有限差分法
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有限差分法
• 1、差分 • 1.1、定义：某个物理量的有限增量。如： ΔT。 • 1.2、引入差分的目的：以有限差分代替无 限微分，以差分方程代替微分方程，以数值 计算代替数学推导的过程，从而将连续函数 离散化，以有限的、离散的数值代替连续的 函数分布。
T(x,y)
T0,4 T0,3 T0,2
T1,4 T2,4 T3,4
y Ti,j
T0,4
T0,3 T0,2 T0,1 T0,0
T1,4 T2,4 T3,4
T4,4
T4,3 T4,2 T4,1
T1,0 T2,0 T3,0 T4,0
x
• • • •
3.2、向前差分：（二维的情况） 3.2.1、一阶差分： ΔTf,i,j=Ti+1,j-Ti,j Δ2Tf,i,j=Ti+2,j-2Ti+1,j+Ti,j
y
一阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
y
二阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
x
2
y
2
0
• 如方程和边界条件如下，请按等步长0.25， 求解各节点的温度。方程及边界条件如下：
2 2T T 0 , 0 x 1, 0 y 1 2 2 x y T ( 0 , y ) T ( x ,0 ) 0 T ( x ,1) 100 x , x 0 T (1, y ) 100 y , y 0
2
T
2
y
2
T i , j 1 2 T i , j T i , j 1 0 . 25
2
y Ti,j T4,4 T4,3 T4,2 T4,1
T0,4 T0,3 T0,2 T0,1 T0,0
T1,4 T2,4 T3,4
T1,0 T2,0 T3,0 T4,0
x
T
2
x
2
T
Ti,j
T4,4 T4,3 T4,2
T0,1
T0,0
T4,1
T1,0 T2,0 T3,0 T4,0
• 2、差分法求解微分方程的步骤 • 2.1、建立网络。 • 2.2、将一阶差分ΔT代替一阶微分dT，将二 阶差分Δ2T代替二阶微分d2T 。 • 2.3、将一阶差商ΔT/Δx（ΔT/Δy， ΔT/Δz） 代替一阶微商dT/dx（dT/dy， dT/dz）；将 将二阶差商Δ2T/Δx2（Δ2T/Δy2， Δ2T/Δz2） 代替一阶微商d2T/dx2（d2T/dy2， d2T/dz2）；
2
y
2
T i 1, j 2 T i , j T i 1, j 0 . 25
2
T i , j 1 2 T i , j T i , j 1 0 . 25
2
0
T i 1 , j T i 1 , j T i , j 1 T i , j 1 4 T i . j 0
• 3.4.2、二阶差分：Δ2Tc,i=Δ(ΔTc,i)=Δ(Ti+1/2Ti-1/2)=ΔTi+1/2-ΔTi-1/2=Ti+1-2Ti+Ti-1
Ti-2
Ti-1
Ti
Ti+1
Ti+2
• 例题：对于各向同性二维稳态导热方程，如 果物体内部热源密度为0，方程可写成如下 形式： 2 T 2 T
y
一阶差分：y方向
Ti,j+2 Ti,j+1 Ti,j Ti,j-1
Ti,j-2
x
y
二阶差分：y方向
Ti,j+2 Ti,j+1 Ti,j Ti,j-1
Ti,j-2
x
• 3.3、向后差分：（一维的情况） • 3.3.1、一阶差分：ΔTb,i=Ti-Ti-1
Ti-2 Ti-1 Ti Ti+1 Ti+2
• 3.3.2、二阶差分：Δ2Tb,i=Δ(ΔTb,i)=Δ(Ti-Ti1)=ΔTi-ΔTi-1=Ti-2Ti-1+Ti-2
Ti-2
Ti-1
Ti
Ti+1
Ti+2
• 3.4、中间差分：（一维的情况） • 3.4.1、一阶差分：ΔTc,i=Ti+1/2-Ti-1/2
Ti-1/2 Ti+1/2 Ti-2 Ti-1 Ti Ti+1 Ti+2
• 3、差分的计算： • 3.1、向前差分：（一维的情况） • 3.1.1、一阶差分：ΔTf,i=Ti+1-Ti
Ti-2 Ti-1 Ti Ti+1 Ti+2
• 3.1.2、二阶差分：Δ2Tf,i=Δ(ΔTf,i)=Δ(Ti+1Ti)=ΔTi+1-ΔTi=Ti+2-2Ti+1+Ti
Ti-2 Ti-1 Ti Ti+1 Ti+2
T
2
x
2
T
2
x
2Leabharlann T i 1, j 2 T i , j T i 1, j 0 . 25
2
y Ti,j
T4,4 T4,3 T4,2 T4,1 T1,0 T2,0 T3,0 T4,0 x
T0,4 T0,3 T0,2 T0,1 T0,0
T1,4 T2,4 T3,4
T
2
y
• 1、差分 • 1.1、定义：某个物理量的有限增量。如： ΔT。 • 1.2、引入差分的目的：以有限差分代替无 限微分，以差分方程代替微分方程，以数值 计算代替数学推导的过程，从而将连续函数 离散化，以有限的、离散的数值代替连续的 函数分布。
T(x,y)
T0,4 T0,3 T0,2
T1,4 T2,4 T3,4
y Ti,j
T0,4
T0,3 T0,2 T0,1 T0,0
T1,4 T2,4 T3,4
T4,4
T4,3 T4,2 T4,1
T1,0 T2,0 T3,0 T4,0
x
• • • •
3.2、向前差分：（二维的情况） 3.2.1、一阶差分： ΔTf,i,j=Ti+1,j-Ti,j Δ2Tf,i,j=Ti+2,j-2Ti+1,j+Ti,j
y
一阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
y
二阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
x
2
y
2
0
• 如方程和边界条件如下，请按等步长0.25， 求解各节点的温度。方程及边界条件如下：
2 2T T 0 , 0 x 1, 0 y 1 2 2 x y T ( 0 , y ) T ( x ,0 ) 0 T ( x ,1) 100 x , x 0 T (1, y ) 100 y , y 0
2
T
2
y
2
T i , j 1 2 T i , j T i , j 1 0 . 25
2
y Ti,j T4,4 T4,3 T4,2 T4,1
T0,4 T0,3 T0,2 T0,1 T0,0
T1,4 T2,4 T3,4
T1,0 T2,0 T3,0 T4,0
x
T
2
x
2
T
Ti,j
T4,4 T4,3 T4,2
T0,1
T0,0
T4,1
T1,0 T2,0 T3,0 T4,0
• 2、差分法求解微分方程的步骤 • 2.1、建立网络。 • 2.2、将一阶差分ΔT代替一阶微分dT，将二 阶差分Δ2T代替二阶微分d2T 。 • 2.3、将一阶差商ΔT/Δx（ΔT/Δy， ΔT/Δz） 代替一阶微商dT/dx（dT/dy， dT/dz）；将 将二阶差商Δ2T/Δx2（Δ2T/Δy2， Δ2T/Δz2） 代替一阶微商d2T/dx2（d2T/dy2， d2T/dz2）；
2
y
2
T i 1, j 2 T i , j T i 1, j 0 . 25
2
T i , j 1 2 T i , j T i , j 1 0 . 25
2
0
T i 1 , j T i 1 , j T i , j 1 T i , j 1 4 T i . j 0
• 3.4.2、二阶差分：Δ2Tc,i=Δ(ΔTc,i)=Δ(Ti+1/2Ti-1/2)=ΔTi+1/2-ΔTi-1/2=Ti+1-2Ti+Ti-1
Ti-2
Ti-1
Ti
Ti+1
Ti+2
• 例题：对于各向同性二维稳态导热方程，如 果物体内部热源密度为0，方程可写成如下 形式： 2 T 2 T
y
一阶差分：y方向
Ti,j+2 Ti,j+1 Ti,j Ti,j-1
Ti,j-2
x
y
二阶差分：y方向
Ti,j+2 Ti,j+1 Ti,j Ti,j-1
Ti,j-2
x
• 3.3、向后差分：（一维的情况） • 3.3.1、一阶差分：ΔTb,i=Ti-Ti-1
Ti-2 Ti-1 Ti Ti+1 Ti+2
• 3.3.2、二阶差分：Δ2Tb,i=Δ(ΔTb,i)=Δ(Ti-Ti1)=ΔTi-ΔTi-1=Ti-2Ti-1+Ti-2
Ti-2
Ti-1
Ti
Ti+1
Ti+2
• 3.4、中间差分：（一维的情况） • 3.4.1、一阶差分：ΔTc,i=Ti+1/2-Ti-1/2
Ti-1/2 Ti+1/2 Ti-2 Ti-1 Ti Ti+1 Ti+2
• 3、差分的计算： • 3.1、向前差分：（一维的情况） • 3.1.1、一阶差分：ΔTf,i=Ti+1-Ti
Ti-2 Ti-1 Ti Ti+1 Ti+2
• 3.1.2、二阶差分：Δ2Tf,i=Δ(ΔTf,i)=Δ(Ti+1Ti)=ΔTi+1-ΔTi=Ti+2-2Ti+1+Ti
Ti-2 Ti-1 Ti Ti+1 Ti+2
T
2
x
2
T
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2Leabharlann T i 1, j 2 T i , j T i 1, j 0 . 25
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y Ti,j
T4,4 T4,3 T4,2 T4,1 T1,0 T2,0 T3,0 T4,0 x
T0,4 T0,3 T0,2 T0,1 T0,0
T1,4 T2,4 T3,4
T
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