高考试题的探究(一)：多变量处理方法与策略

浅谈多变量问题的处理策略
摘要：破解高考数学中多变量问题是一个难点.灵活换元----化二元归一元；主元思想---化主元为常元；审视结构---化主元为常元是破解此类问题的常用策略.
高考数学时常出现多变量的综合问题。

由于含有多个变量，使题目显得繁杂混乱对思维灵活性要求较高，许多学生面对此类问题往往一筹莫展，难以找到解决问题的突破口。

如何从繁乱中理出头绪并顺利解决问题呢？
下面，笔者结合模拟试题为例，探讨多变量问题的破解策略。

1.问题的提出
例1：已知函数()ln .f x x ax =-
（1）试判断函数()f x 的单调性；
（2）若函数()y f x =的图像在1x =处的切线平行于x 轴,且()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数()y f x =的图像上任意两个不同的点，设直线AB 的斜率为k ，
证明: 21
111 1.k x x -<<- (2014年画龙点睛高考模拟试卷-安徽4月卷<一>第19题)
2.灵活换元----化二元归一元
破解此类问题，需运用转化与化归的思想，通过构造两个变量的比值的函数，使之减少变量的个数，化归为我们所熟悉的一元函数，最后利用导数证明不等式。

由题意可知()1,f x a x
'=- ()110, 1.f a a '=-==()ln .f x x ax =- ()()2211212121
ln ln ln ln 1,x x x x x x k x x x x ----==--- 要证11 1.k x <
-只需证21211ln ln 1,x x x x x -<- 即2
11222111ln
1ln 1,x x x x x x x x x <⇔<-- 设21
1,x t x =>令()()ln 11u t t t t =-+>，则： ()()110,u t u t t
'=-<单调递减， 所以()()10,u t u <=即()ln 10ln 1.u t t t t t =-+<⇔<-
故2211ln 1.x x x x <-同理可证2
11.k x -< 3.主元思想---化多元为单元
破解此类问题，也可以借助于分析法，灵活地运用主元法，将其中某一个变量作为主变量，其余变量视作为字母常数来对待加以破解。

要证2
11k x -<，只需证21212ln ln 1,x x x x x ->- 即1212
ln ln 1,x x x x ->- 设21,s x x =>令()()111ln ln 1,x u s s x t x s =+
-->，则： ()112210,x s x u s s s s
-'=-=>()u s 在()1,s x ∈+∞单调递增， 所以()()10.u s u x >=即11ln ln 1,x s x s
->- 故1212ln ln 1,x x x x ->-同理可证1
1 1.k x <- 4.审视结构---化主元为常元
破解此类问题，还可结合结构的具体特征构造函数，研究其单调性灵活地运用数形结合的数学思想达到解决问题的目的。

()()2211212121
ln ln ln ln 1,x x x x x x k x x x x ----==--- 整理，得：()()2211ln 1ln 1,x k x x k x -+=-+
构造函数()()ln 1,h x x k x =-+则()()11h x k x
'=-+， 当1k ≤-时，()()0,h x h x '≥在()0,+∞单调递增，不合题意；
当1k >-时，()10,1h x x k '==
+，()h x 在10,1k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭单调递增，1,1k ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭单调递减，
因()()12h x h x =，所以1210,1x x k <<<+即21
111 1.k x x -<<- 上述方法是解决此类问题的常规策略，其思路是通过灵活换元、主元常元互换、合理构造等方法使函数的多变量问题转化为我们所熟悉的一元函数，最好利用导数的工具达到解决问题的目的。

5.题型规律的活用
例2：（2011年湖南高考数学文科第22题）设函数()()1ln .f x x a x a R x
=-
-∈ （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点()()()()
1122,,A x f x A x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2?k a =-若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
解：（I ）（略）。

（2）()f x 的定义域为()0,.+∞ ()222111.a x ax f x x x x
-+'=+-=则 12122,, 1.a x x a x x >+==
()()12121212121212
ln ln ln ln 112.f x f x x x x x k a a x x x x x x x x ---==+-⋅=-⋅--- 若存在a ，使得2,k a =-则：
1212
ln ln 1,x x x x -=-即1212ln ln ,x x x x -=- 亦即()2222
12ln 01,x x x x --=> 而()1
2ln h t t t t =--在()1,+∞上单调递增，()()10.h t h >=
故不存在a ，使得2.k a =-
例3：已知函数()()
2x f x x ax b e =++,且22b a ≥+. （1）试判断函数()f x 的导函数()f x '的单调性；
（2）对任意的12,x x 、若12,x x ≠求证：()()1212.22f x f x x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭
+ (2014年画龙点睛高考模拟试卷-安徽5月卷<四>第20题)
解：（1）()()22.x f x e x a x a b '⎡⎤=++++⎣⎦
令()()22x g x e x a x a b ⎡⎤=++++⎣⎦，则：
()()2422.x g x e x a x a b '⎡⎤=+++++⎣⎦
而()2
4220x a x a b +++++=的判别式
()()22442248a a b a b ∆=+-++=-+
因2
2b a ≥+，则224830,a b a ∆=-+≤-≤
因此，()24220x a x a b +++++≥恒成立，
所以，()0,g x '≥即()()22x g x e x a x a b ⎡⎤=++++⎣⎦单调递增， 故函数()f x 的导函数()f x '的单调递增；
（2）对任意的12,x x 、不妨设12,x x <
令()()()12121,22f x f x x x h x f +⎛⎫=- ⎪⎝⎭
+则： ()()()112121111,22222f x x x x x h x f f f x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫''''=⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
++ 因12,x x <则：121,2x x x >+由第（1）问知()121,2x x f f x ⎛⎫''> ⎪⎝⎭
+ 所以()()121110,22x x h x f f x ⎡⎤⎛⎫'''=-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
+ 故()()()1212122f x f x x x h x f +⎛⎫=- ⎪⎝⎭
+在1x R ∈单调递增， 因12,x x <则：()()120.h x h x <=故()()1212.22f x f x x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭
+ 作为教师，我们在高三复习中多加分析，主动探究、归纳、提炼，让学生看清问题的本质属性，这对在有效的时间内提高复习质量，无疑是一种有益地尝试！
参考文献：傅建红 消元换元有奇效，终究导数显神功[J].中学数学研究,2012年第8期:40.。