广东省东莞市2013届高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题及答案

东莞市2012-2013学年度第—学期高三调研测试
文科数学
考生注意：本卷共三大题，满分150分，时间120分钟．不准使用计算器， 参考公式：锥体的体积公式V=
1
3
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题各有四个选择支，仅有一 个选择支正确，请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}1,1,2A =-，{}1,1B =-，则()U A C B 为
A ．{}1,2
B ．{}1
C ．{}2
D ．{}1,1-
2．设函数()3f x x *
=+，则函数()f x 存在零点的区间是 A ．[]0,1 B ．[]1,2 C ．[]2,1-- D ．[]1,0-
3．已知平面向量(2,4)a =，32(4,8)a b +=，则a b ⋅= A ．-10 B ．10 C ．-20 D ．20 4．若—个算法的程序框图如右图，则输出的结果S 为 A ．
12 B ．23 C ．34 D ．45
5．已知函数()sin()(0)3
f x x π
ωω=+>的图象的两相
邻对称轴之间的距离为
2
π
，要得到()y f x =的图象，
只须把sin y x ω=的图象 A ．向右平移3
π
个单位 B ．向右平移6
π
个单位 C ．向左平移
3
π
个单位 D ．向左平移
6
π
个单位
6．已知数列{}n a 满足：点(,)()n n a n N *∈都在曲线2log y x =的图象上，则
24816a a a a +++=
A ．9 B10 C20 D30
7．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，
则不正确．．．
的说法是 A 若求得的回归方程为y =0.9x-0.3，则变量y 和x 之间具有正的线性相关关系
B.若这组样本擞据分别是(1,1)，(2,1.5)，(4,3)，(5，4.5)则其回归方程y =bx+a 必过点(3,2.5), C 若同学甲根据这组数据得到的回归模型l 的残差平方和为1E =0.8．同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为2E =2.1，则模型1的拟合效果更好。

D ．若用相关指数22
1
2
1
()2
(1)()
n
i
i
i n
i
i y y R R y y ==-=-
-∑∑来刻画回归效果，回归模型3的相关指数
230.32R =，回归模型4的相关指数2
40.91R =，则模型3的拟合效果
更好。

8．“
1
1x
<”是“1x >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 9．点M 、N 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A B 、11A D 中点， 用过A 、M 、N 和D 、N 、1C 的两个截面截去正方体的两个角后 得到的几何体如右图，则该几何体的正视图、侧视图(左视图）、 俯视图依次为
A ．①、②、③
B ．②、③、④
C ．①、③、④
D ．②、④、③ 10．若对任意x A ∈，都有
1
A x
∈，则称集合A 为“完美集合”．在集合{}1,1,2,3A =-的所有非空子集中任取—个集合，这个集合是“完美集合”的概率为
A ．
115- B ．215 C ．15 D ．415
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
㈠必做题(第11-13题)
11．若复数z 满足(12)2i z i +=+，则z = ．
12．若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线2
213
x y -=的右焦点重合，则常数p 的值等
于 ．
13·已知关于变量x,y 的线性约束条件为31
11x y x y -≤-≤⎧⎨
-≤+≤⎩
，则目标函数3z x y =+的最小
值为 ．
(二)选做题（第14、15题，考生只能从中选做—题．）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，圆以C 的参数方程是
cos 1sin x y θ
θ
⎧=+⎪⎨
=+
⎪⎩(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 则 圆心C 的极坐标是 ． 15．(几何证明选讲选做题)如图，四边形ABCD 内接于 O ，AB 为O 的直径，直线MN 切O 于D ， 60MDA ∠=，则BCD ∠= ． 三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分12分）
在ABC ∆中a 、b 、c 分别内角A 、B 、C 的对边，已知向量(,)m c b =，
(sin 2,sin )n B C =，且m n ⊥。

(l)求角B 的度数；
(2)若△ABC b 的最小值． 17．（本小题满分12分）
某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织学生给食堂打分（分数为整数，满分为 100分），从中随机抽取—个容量为120的样本，发现所有数据均在[]40,100内．现将这些分数分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），［70，80），[80，90），［90，100]，并画出了样本的频率分布直方图，部分图形如图所示．观察图形，回答下列问题：
(l)算出第三组[60,70）的频数，并补全 频率分布直方图；
(2)请根据频率分布直方图，估计样本的 众数和平均数，
18.（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，11a =，n S 与13n S +-的等差中项是2
()3
n N *-∈．
(1)证明数列23n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
为等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式；
(3)若对任意正整数n ，不等式n k S ≤恒成立，求实数k 的最大值． 19．（本小题满分14分）
在等腰梯形PDCB(见图a ）中，DC//PB ，，DA PB ⊥，垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得PA AB ⊥，得到四棱锥P-ABCD （见图b ）． 在图b 中完成下面问题：
(I)证明：平面PAD ⊥平面PCD;
(2)点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥P-ABCD 分成两个几何体(如图b ），当这两 个几何体的体积之比5:4PM ACD M ABC V V --=时，求PM
MB
的值； (3)在(2)的条件下，证明：PD ‖平面AMC.
20.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xoy 中，已知三点(0,0)O ，(1,1)A -，(1,1)B ，曲线C 上任意—点(,)M x y 满足：1
4()2
MA MB OM OA OB +=-
⋅+．
(l)求曲线C 的方程；
(2)设点P 是曲线C 上的任意一点，过原点的直线L 与曲线相交于M,N 两点，若直线 PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k ．试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论； (3)设曲线C 与y 轴交于D 、E 两点，点M (0,m)在线段DE 上，点P 在曲线C 上运动． 若当点P 的坐标为(0,2)时，MP 取得最小值，求实数m 的取值范围． 21．(本小题满分14分）
已知函数()ln f x ax b x c =++，(,,a b c 是常数）在x=e 处的切线方程为
(1)0e x ey e -+-=，1x =既是函数()y f x =的零点，又是它的极值点．
(1)求常数a,b,c 的值；
(2)若函数2
()()()g x x mf x m R =+∈在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m 的取
值范围；
(3)求函数()()1h x f x =-的单调递减区间，并证明：
ln 2ln 3ln 4
ln 20121
234
20122012⨯⨯⨯⨯
<
2012-2013学年度第一学期高三调研测试
文科数学参考答案
一、选择题（每小题5分，满分50分.）
二、填空题（每小题5分，满分20分．） 11.
i 5354- ；12.4； 13.-5 ； 14. )6
,2(π
； 15. 150. 三、解答题（本大题共6小题，满分80分．） 16.（本小题满分12分）
解:（1）由⊥,得⋅=0sin 2sin =+C b B c , ……………2分 由正弦定理得0sin sin cos sin 2sin =+⋅C B B B C , ……………4分 因为π<<B 0，π<<C 0，
所以0sin ≠B ，0sin ≠C ，从而有01cos 2=+B ，2
1
cos -
=B ， 故 120=B . ……………6分 （2）由ABC S ∆=
4
3
3sin 21=
B ac ，得3=ac . ……………8分 又由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得
222221
2()323=92
b a
c ac a c ac =+--=++≥+， ………10分 当且仅当3=
=c a 时等号成立, ……………11分
所以, b 的最小值为3. ……………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）因为各组的频率之和等于1, 所以分数在[)70,60内的频率为：
15.010)010.0025.0030.0015.0005.0(1=⨯++++-=f ， ……………3分 所以第三组[)70,60的频数为1815.0120=⨯（人）. ……………4分 完整的频率分布直方图如图. ……6分
（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计 值为75分. ……………8分 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为: +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯)015.010(65)015.010(55)005.010(45
5.73)01.010(95)025.010(85)03.010(75=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯（分）. ………11分 所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分. ………12分
18.（本小题满分14分）
解:（1）因为n S 和13+-n S 的等差中项是2
3
-
， 所以331-=-+n n S S （*N n ∈），即13
1
1+=+n n S S ， ……………2分
由此得)2
3(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （*
N n ∈）， …………3分
即
312
323
1=--
+n n S S （*N n ∈）， ……………4分
100
90
80
70
60
50
40
又2
1
232311-=-=-
a S ， 所以数列}23{-n S 是以21-为首项，31
为公比的等比数列. ……………5分
（2）由（1）得1)31(2123-⨯-=-n n S ，即1)3
1
(2123--=n n S （*N n ∈）， (6)
分
所以，当2≥n 时，12113
1
])31(2123[])31(2123
[----=---=-=n n n n n n S S a ，…8分
又1=n 时，11=a 也适合上式，
所以)(3
1
*1N n a n n ∈=-. ……………9分 （3）要使不等式n k S ≤对任意正整数n 恒成立，即k 小于或等于n S 的所有值.
又因为1
)3
1(2123--=
n n S 是单调递增数列, ……………10分 且当1=n 时，n S 取得最小值1)3
1(21231
11=-=
-S , ……………11分 要使k 小于或等于n S 的所有值，即1≤k , ……………13分 所以实数k 的最大值为. ……………14分
19.（本小题满分14分）
证明：(1)因为在图a 的等腰梯形PDCB 中，PB DA ⊥，
所以在四棱锥ABCD P -中,AB DA ⊥, PA DA ⊥. …………1分 又PA AB ⊥，且AB DC //，所以PA DC ⊥，DA DC ⊥， …………2分 而⊂DA 平面PAD ，⊂PA 平面PAD ，A DA PA = ，
所以⊥DC 平面PAD . …………3分 因为⊂DC 平面PCD ，
所以平面⊥PAD 平面PCD . …………4分 解：(2)因为PA DA ⊥，且AB PA ⊥ 所以⊥PA 平面ABCD ， 又⊂PA 平面PAB ，
所以平面⊥PAB 平面ABCD .
A
B
D
C O
P
M
N
如图，过M 作AB MN ⊥,垂足为N , 则⊥MN 平面ABCD . ……5分 在等腰梯形PDCB 中，PB DC //， 2,33=
==PD DC PB ,PB DA ⊥，
所以1=PA ，2=AB ，122=-=PA PD AD . …………6分
设h MN =，则
h h h DA AB h S V ABC ABC M 31
122131213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅=
∆-. …………7分 2
1
11221312)(3131=⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯=⋅=-PA AD AB DC PA S V ABCD ABCD P 梯形.
h V V V ABC M ABCD P ACD PM 3
1
21-=-=---. …………8分
因为4:5:=--ABC M ACD PM V V ，所以4:53
1:)3121(=-h h ，解得32
=h .………9分
在PAB ∆中，32==PA MN BP BM , 所以BP BM 32=,BP MP 3
1
=.
所以2:1:=MB PM . …………10分 (3)在梯形ABCD 中，连结AC 、BD 交于点O ，连结OM .
易知AOB ∆∽DOC ∆，所以
2
1
==AB DC OB DO . …………11分 又2
1=MB PM , 所以MB PM
OB DO =
， …………12分 所以在平面PBD 中，有MO PD //. …………13分 又因为⊄PD 平面AMC ，⊂MO 平面AMC ，
所以PD //平面AMC . …………14分
20.（本小题满分14分） 解：（1）由题意可得，
)22,2()1,1()1,1(y x y x y x --=--+---=+， …………1分
所以4844)22()2(||2222+-+=-+-=+y y x y x ，
…………2分
又y y x OB OA -=⋅-=+4)2,0(),(2
1
4)(4， …………3分
所以y y y x -=+-+448442
2
，即14
32
2=+y x . …………4分
（2）因为过原点的直线L 与椭圆相交的两点N M ,关于坐标原点对称，
所以可设),(),,(),,(0000y x N y x M y x P --. …………5分 因为N M P ,,在椭圆上，所以有
14
32
2=+y x ， ………①
14
3
2200=+
y x ， ………② …6分
①-②得
342
2202-=--x x y y . 又00x x y y k PM --=
,0
x x y y k PN ++=， …………7分 所以34
2
22
020000-=--=++⋅--=⋅x x y y x x y y x x y y k k PN
PM ， …………8分 故PN PM k k ⋅的值与点P 的位置无关，与直线L 也无关. …………9分
（3）由于),(y x P 在椭圆C 上运动，椭圆方程为14
32
2=+y x ，故22≤≤-y ，且
2
24
33y x -
=. …………10分 因为),(m y x -=，所以 324
1)(||22
22++-=
-+=
m my y m y x 33)4(4
1
22+--=
m m y ． …………12分 由题意，点P 的坐标为)2,0(时，||MP 取得最小值，即当2=y 时，||MP 取得最 小值，而22≤≤-y ，故有24≥m ，解得2
1
≥
m ． …………13分 又椭圆C 与y 轴交于E D 、两点的坐标为)2,0(、)2,0(-，而点M 在线段DE 上， 即22≤≤-m ，亦即
221≤≤m ，所以实数m 的取值范围是]2,2
1
[．…………14分
21.（本小题满分14分）
解：（1）由c x b ax x f ++=ln )(知，)(x f 的定义域为),0(+∞,x
b
a x f +=)(', …1分 又)(x f 在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ，所以有 e
e e b a e
f 1
)('--
=+
=,① …………2分 由1=x 是函数)(x f 的零点，得0)1(=+=c a f ,② …………3分 由1=x 是函数)(x f 的极值点，得0)1('
=+=b a f ，③ …………4分 由①②③，得1-=a ，1=b ，1=c . …………5分 （2）由(1)知)0(1ln )(>++-=x x x x f ，
因此，2
2
()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++>，所以
)0)(2(1
2)(2'>+-=+
-=x m mx x x
x m m x x g . …………6分 要使函数)(x g 在)3,1(内不是单调函数，则函数)(x g 在)3,1(内一定有极值，而 )2(1
)(2'm mx x x
x g +-=
，所以函数)(x g 最多有两个极值. …………7分 令2
()2(0)d x x mx m x =-+>.
（ⅰ）当函数)(x g 在)3,1(内有一个极值时，0)('
=x g 在)3,1(内有且仅有一个根，即
02)(2
=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根，又因为(1)20d =>，当
0)3(=d ，即9=m 时，02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根
3
2
x =，当0)3(≠d 时，应有0)3(<d ，即03322<+-⨯m m ，解得9>m ，所
以有9m ≥. ………8分
.（ⅱ）当函数)(x g 在)3,1(内有两个极值时，0)('
=x g 在)3,1(内有两个根，即二次函 数02)(2
=+-=m mx x x d 在)3,1(内有两个不等根，所以
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧<<>+-⨯=>+-=>⨯⨯-=∆,
341,0332)3(,
02)1(,02422m m m d m m d m m
解得98<<m . …………9分 综上，实数m 的取值范围是),8(+∞. …10分 （3）由1)()(-=x f x h )0(ln >+-=x x x ，得x
x
x h -=
1)('， 令0)('
≤x h ，得1≥x ，即)(x h 的单调递减区间为[)+∞,1. 由函数)(x h )0(ln >+-=x x x 在[)+∞,1上单调递减可知，
当),1(+∞∈x 时, )1()(h x h <，即1ln -<+-x x ， …………11分 亦即ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞都成立，
亦即x x x x 1
ln 0-<
<对一切(1,)x ∈+∞都成立， …………12分 所以21
22ln 0<<，
32
33ln 0<<，
4
3
44ln 0<<，
(2012)
2011
20122012ln 0<
<
， …………13分 所以有
20122011
43322120122012ln 44ln 33ln 22ln ⨯
⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯ ， 所以2012
1
20122012ln 44ln 33ln 22ln <
⨯⨯⨯⨯ . (14)。