2008年北京市东城区中考数学二模试卷

22 2008年北京帀东城区中考数学二模试卷
第I 卷（机读卷共32分）
、选择题（共8个小题，每小题 4分，共 下列各题均有四个选项，其中只有一个 1.如图，小手盖住的点的坐标可能为 （
32分) 是符合题意的.
)
C . (— 4,— 6)
D . (— 6, 3)
2•右上图是
由
B . a 2 • a 4 =
a 8
D . （a 4）2=
a 8
5次数学模拟考试成绩进行统计分析，要判断小明的数学
成绩是否稳定，老师需要知道小明这 5次数学成绩的（ ）
5.
若两圆的半径分别是 3和6,两圆的圆心距是 9，则此两圆的位置关系
是（ ）
A .外离
B .外切
C .相交
D .内切
6. 如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、
H 、K 都是7X 8方格纸中的格点，为使△
ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、K 四点
中的（
A .频数
B .众数
C .中位数
D .方差
A . (3,— 4)
3•下列计算正确的是（ ） A . a 1+ a 4= a 6 C . a 6 十 a 2= a 3 4•王老师对小明在参加中考前的
DEM
第2题图
6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是 A B C D ) 第6题
图
A . H
B . G
C . F
7. 下列图形中阴影部分的面积相等的是（）
A .①②
B .②③
C .①④
D .③④ &已知一列: 数: 1 ,-
-2, 3，一 4, 5,— 6, 7…，将这列数排成下列形式 第1行 1 第2行 —2 3 第3行 —4 5 —6 第4行 7 - -8 9 —10
第5行 11 —1
2 1
3 —1
4 15
按照上述规律排列下去，那么第 10行从左边数第5个数等于（
） A . 50 B . - 50
C . 60
D .— 60 第U 卷
（非机读卷共88分）
二、填空题（共4个小题，每小题 4分，共16分）
9. 4的算术平方根是 __________ .
X 1
10•当x = 时，分式——的值为0. X 1
11.如图，在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, CA = CB = 2 .分别以 A 、B 、C 为圆心、以1为半 径画圆，
则图中阴影部分的面积是 ___________________ .
1
12.对于实数u , v ,定义一种运算"*”为u*v = uv + v .若关于x 的方程x*（a*x ）=— —有
4
两个相等的实数根，则满足条件的实数
a 的值是 _________ .
三、解答题（共13个小题，共72分）
13 . （5 分）计算：2— 1 + （ — 1）2007 + sin 30°—|— 5| . <D
® ® @ 第7题图
14 . （5分）先化简，然后请你选择一个合适的x的值代入求值:
x24x 4 x
16. （5分）解方程：x 2-6x + 2 = 0（用配方法）.
17. （5分）如图，AD = BC ,请添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明. 你所添加的条
件为 _____________________ ;
得到的一对全等三角形是△ _________ ◎△ ________ .
18. （5分）（列方程或方程组解应用题）
某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物"福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下 图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元.
19. （5分）把一副扑克牌中的 3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是 3、4、5）洗匀后，正面
朝下放在桌面上.
（1） 如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是15. （5分）解不等式
组 4x 3x 1 ① 5 5 ， 2(x 3) 5x 6, 并将它的解集在数轴上表示出来. ②
第17题图
第18题图
4的概率是多少？
（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字•当2张牌面数字相同时，小王赢；当2张牌面数字不相同时，小李赢.现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平，并说明理由.
20. （5分）如图，A , B 两镇相距60km , C 镇在A 镇的北偏东60°方向，在B 镇的北偏西 30°方
向.C 镇周围20km 的圆形区域内为文物保护区•有关部门规定，该区域内禁止 修路•现计划修筑连
结 A ，B 两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区
域.（.3 〜1.7）
第20题图 21. （5分）如图，已知等边三角形 ABC ,以边BC 为直径的半圆与边 AB 、AC 分别交于点D 、 点E ,
过点D 作
DF 丄AC ,垂足为点 F .
（1）判断DF 与O O 的位置关系，并证明你的结论.
⑵过点F 作FH 丄BC ,垂足为点H .若厶ABC 的边长为4,求FH 的长（结果保留根号）.
第21题图
22. （5分）某中学组织一次学生夏令营活动，他们将前来报名的学生按年龄
（整数岁）分为A 、
（1） ____________ 表中 x= ______ ; y= ;
（2） 若想从C 组中抽一些人到 A 组，抽一些人到 B 组（抽到B 组人数不可以为 0），使A
组的人数是B 组的2倍，且C 组的人数在3个组中不是最少的，应该怎样抽调 ？
23. （7分）阅读下列材料：
任意给定一个矩形 ABCD ，如果存在另一个矩形 ABCD ，使它的周长和面积分别是
矩形ABCD周长和面积的k倍(k > 2，且k是整数)•那么我们把矩形ABCD叫做矩
形ABCD的k倍矩形.
例如：矩形ABCD的长和宽分别为3和1它的周长和面积分别为8和3;矩形ABCD 的长和宽分别为 4 + . 10和4一10 ,它的周长和面积分别为16和6,这时，矩形ABCD的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的2倍，则
矩形ABCD叫做矩
形ABCD的2倍矩形.
解答下列问题：
(1)填空：一个矩形的周长和面积分别为________ 10和6,则它的2倍矩形的
周长为，面
积为______ .
⑵已知矩形ABCD的长和宽分别为2和1，那么是否存在它的k倍矩形ABCD，且
AB : AB = BC : BC?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
24. (7分)如图，已知抛物线y= ax2+ bx+ 2的图象经过点A和点B.
(1) 求该抛物线的解析式.
(2) 把(1)中的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上或向下平移多少个单位长度能使抛物线与直线AB只有一个交
点？写出此时抛物线的解析式.
5
(3) 将(2)中的抛物线向右平移个单位长度，再向下平移t个单位长度(t>0)，此时，抛
2
物线与x轴交于M、N两点，直线AB与y轴交于点P.当t为何值时，过M、N、P 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
25. (8分)已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，按图①放置，使点F在BC 上,取DF 的中点G，连结EG、CG.
(1)探索EG、CG的数量关系，并说明理由；
⑵将图①中△ BEF绕B点顺时针旋转45°得图②，连结DF，取DF的中点G，问(1) 中的结论是否成立，并说明理
由；
(3) 将图①中厶BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)得图③，连结DF，取DF的中点G，问(1)中
的结论是否成立，请说明理由.
答案
22. 2008年北京市东城区中考数学二模试卷 、选择题 1. A 2. C 3. D 4. D 5. B 6. A 7. D 8. B 二、填空题 n 9. 2 10. 1 11. 2 — 12
. 0 2 三、解答题 13.解：原式 1 1 1 5 1 1 5 5. 2 2 14.解：原式 x(x 4) x 3 x .代入求值（答案不唯一） x 3 (x 4) 15. 解：解不等式①得 x v — 1,解不等式②得x >- 4. •••原不等式组的解集为— 4 < x v — 1. 在数轴上表示如图. 第15题答图 16. 解：x 2— 6x = — 2, x 2— 6x + 9= — 2+ 9, (x — 3)2 == 7, 解得 x — 3=± 17，即 x = 3± “?7 . ••• X 1 = 3+ ■- 7 , x 2= 3—7 . 17. （答案不唯一）所添加条件为PA = PB , 得到的一对全等三角形是△ PADPBC 或厶PAC ^A PBD . 证明：（以△ PAD ◎△ PBC 为例）T PA = PB ，•/ A
=Z B . 又••• AD = BC ,「.A PAD ◎△ PBC . 所添加条件，只要能证明三角形全等即可. 18. 解：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为 x 2 y 145 依题意，得 解这个方程组，得 2x 3y 280.
19. 解：（1）P （抽到牌面数字4） = - （2）游戏规则对双方不公平.
3 x 元禾口 y
元.
x 125,
y 10. 故一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为 125元和10元.
•/△ ABC 为等边三角形， DF 丄AC , •••/ ADF = 30°,v OB = OD , / DBO = 60°, •••/ BDO = 60°.
•••/ ODF = 180°-/ BDO -/ ADF = 90°.
• DF 是O O 的切线.
(2) 解：T AD = BD = 2,/ ADF = 30°,
• AF = 1 .••• FC = AC - AF = 3.由上述表格或树状图知：所有可能出现的结果共有 9种.
3 1
P （抽到牌面数字相同）
9 3 、， 6 2
P （抽到牌面数字不相同） 9 3
1 2
，此游戏规则不公平，小李赢的可能性大.
3 3 第20题答图 •••/ ACB = 90°,A / DCB = 30° .
1 •••在 Rt △ ABC 中，
BC -AB 30 . 2
在 Rt △ DBC 中，CD BC COS30 30 T 仮3.
••
• 15、
3 >20,
「.
这
开始
3 4 5 3 4； 3 4 3 (3J) (3,4) g MJ) S 廿一釘 tM) (* i)
第19题答图
•/ FH 丄
FHC = 90°
22. (1)x = 0.3, y = 10.
⑵解：设从C 组调m 人到A 组，调n 人到B 组. 15 m 2(10 n),
25 m n 10 n.
5 解得，m = 5+ 2n , n —.又T n 为大于零的整数，
2
/• n = 1 或 n = 2.
•••有两种调法：调 7人到A 组，调1人到B 组；或调9人到A 组，调2人到B 组.
23. (1)20 12
(2)解：不存在.若存在，由 AB : AB = B C : BC , 可得 AB : B C = AB : BC = 2 ： 1(设 AB 是长边).
又由 2(A B + BC )= k • 2(AB + BC)，可得 BC = k , AB = 2k . 则有 k • 2k = k • 2,「. k 2= k ,「. k = 0 或 1.
••• k > 2,「.不存在满足条件的 k .
24. 解：(1)由图象可知 A(1, 0), B(4, 6)，代入 y = ax 2 + bx + 2. •抛物线的解析式为 y = x 2— 3x + 2. (2)原抛物线的解析式可配方为 y x
2
x 2 1 ,设向上或向下平移h 个单位长度，则解析式为
2
1
x - 2
由A 、B 两点坐标可求得直线 AB 的解析式为y = 2x — 2, 2 1
1 「 由 y
x 2 -h, 4
y 2x 2,
得 x
1 2 1 h 2x 2，化简得 x 2 — 3x + h + 2= 0,
2 4 在 Rt △ FHC 中，sin FCH
FH
FC FH FC sin60
即FH 的长为
3,3 2 依题意，得 0 a b 2,
6 16a 4b
解得 2. 1, 3.
2 3
1 ,抛物线向左平移1个单位长度后解析
2 4 式为y
•••抛物线与直线只有一个交点，即此一元二次方程只有唯一的根，
••• b2—4ac = 0,即卩9-4X (h+ 2) = 0.
1 1
h ―,也就是抛物线再向上平移—个单位长度能与直线AB只有一个交点，此时抛
4 4
1 2
物线的解析式为y x 1.
2
2 15、、
(3)抛物线y x 向右平移一个单位长度，再向下平移t个单位长度，解析式为y
=(x—3)2—t.
令y = 0,即(x—3)2—1= 0,贝y X1 = 3+、.t , X2= 3 —t .
由⑵知：点P(0,—2).
•••过M、N、P三点的圆的圆心一定在直线x = 3上，点P为定点，•要使圆的面积最
小,圆的半径应等于点P到直线x= 3的距离，此时，半径为3,面积为9 .设圆心为
C, MN的中点为E,连结CE, CM.
在三角形CEM 中，T ME2+ CE2= CM2,
•••( . t )2+ 22= 32,二t = 5.
•••当t= 5时，过M、N、P三点的圆的面积最小，最小面积为9 .
25. 解:(1)EG = CG .
证明：•••/ DEF = Z DCF = 90°, DG= GF ,
1
EG DF CG.
2
(2) (1)中结论成立，即EG= CG .
证明：过点F作BC的平行线，交DC的延长线于点M，连结MG .
•EF = CM，易证四边形EFMC为矩形.
•••/ EFG = Z GDM .
在直角三角形FMD中，DG = GF ,
FG = GM = GD .
•••/ GMD =Z GDM . EFG = Z GMD .
•△ EFG◎△ CMG . • EG = CG .
(3) 成立.证明：取BF的中点H，连结EH , GH，取BD的中点O,连结OG , OC .
•/ OB= OD，/ DCB = 90°,
1 CO BD . •/ DG = GF , BH = HF , OD = OB,
2
1 1
•- GH// BO,且GH BD ；OG // BF,且OG BF .
2 2
•- CO= GH .
•••△BEF为等腰直角三角形，
1
EH BF . • EH = OG .
2
•••四边形OBHG为平行四边形，•/ BOG = Z BHG .
•••/ BOC=Z BHE = 90°,「./ GOC =Z EHG .
•••△ GOC◎△EHG .••• EG = GC .
.w 第25题答图①
D
第25题答图②。