中考数学总复习《二次函数中的特殊四边形存在性问题 》专题训练-附答案

中考数学总复习《二次函数中的特殊四边形存在性问题 》专题训练-附答案
学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________
1．如图，已知抛物线223y x x =+-的图像与坐标轴分别交于、、A B C 三点，连接AC ，点M 是AC 的中点，抛物线的对称轴交x 轴于点F ，作直线FM ．
(1)直接写出下列各点的坐标：F ______，M ______；
(2)若点P 为直线FM 下方抛物线上动点，过点P 作PQ y ∥轴，交直线FM 于点Q ，当PQM 为直角三角形时，求点P 的坐标；
(3)若点N 是x 轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E ，使以点F M N E 、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E 的坐标：若不存在，请说明理由．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+交坐标轴于B 、C 两点，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点，且交x 轴于另一点()1,0A -．点D 为抛物线在第一象限内的一点，过点D 作DQ CO ∥，DQ 交BC 于点P ，交x 轴于点Q ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P 的横坐标为m ，在点D 的移动过程中，存在DCP DPC ∠=∠，求出m 值；
(3)在抛物线上取点E ，在平面直角坐标系内取点F ，问是否存在以C 、
B 、E 、F 为顶点且以CB 为边的矩形？如果存在，请求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线223y x x =--+的顶点为D 点，且与x 轴交于B ，A 两点（B 在A 的左侧），与y 轴交于点C ．点E 为抛物线对称轴上的一个动点：
(1)当点E 在x 轴上方且CE BD ∥时，求sin DEC ∠的值；
(2)若点Р在抛物线上，是否存在以点B ，E ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形﹖请求出点Р的坐标；
(3)若抛物线对称轴上有点E ，使得55
AE DE +
取得最小值，连接AE 并延长交第二象限抛物线为点M ，请直接写出AM 的长度．
4．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于()1,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点D 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接AC ，CD ，DB ，试求四边形ABDC 面积的最大值；
(3)如图2，点(),1D m m -是第一象限内抛物线上的一点，连接AD ，BD ，点E 是线段AB 上的任意一点（不与点A ，B 重合），过点E 分别作EM AD ∥交BD 于点M ，EN BD ∥交AD 于点N ．
①判断四边形EMDN 的形状，并证明你的结论；
①四边形EMDN 是否能成为正方形？若能，请直接写出点E 的坐标；若不能，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，AOC 绕原点O 逆时针旋转90︒得到DOB ，其中1OA =，OC=3．
(1)若二次函数经过A 、B 、C 三点，求该二次函数的解析式；
(2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴l 上是否存在一点P ，使得PA PC +最小？若P 点存在，求出P 点坐标；若P 点不存在，请说明理由．
(3)在（1）条件下，若E 为x 轴上一个动点，F 为抛物线上的一个动点，使得B 、C 、E 、F 构成平行四边形时，求E 点坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线234
y x bx c =++与直线AB 交于点()0,3A -和()4,0B ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线，交AB 于点E ，过点P 作AB 的垂线，垂足为点F ，求PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标；
(3)在（2）中PEF 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，点N 为原抛物线对称轴上一点．在平移后抛物线上确定一点M ，使得以点B ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交
于C 点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P 是直线BC 下方抛物上一动点，连接PB ，PC ，求PBC 面积的最大值以及此时点P 的坐标；
(3)在（2）中PBC 的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q ，M 为y 轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+-≠与x 轴交于()4,0A ，()2,0B -两点，与y 轴交
于点C ，连接BC ，y 轴上有一点()0,3D -．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P 是直线AD 下方抛物线上的一个动点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，PH 交直线AD 于点E ，作PF BC 交直线AD 于点F ，求11510
PF PH +的最大值，及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，将点P 向右平移152
个单位长度，再向上平移398个单位长度得到点P '；将抛物线沿着射线BC 方向平移5个单位长度得到一条新抛物线，点M 为新抛物线与y 轴的交点，
N 为新抛物线上一点，Q 为新抛物线对称轴上一点，请写出所有使得以点P '，M ，Q ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的坐标，并写出求解点Q 的坐标的其中一种情况的过程．
9．如图，抛物线212
y x bx c =-++的图象经过点C ，交x 轴于点()1,0A -、()4,0B （A 点在B 点左侧），顶
点为D ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点Q ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点F ，过点Q 作x 轴的平行线交y 轴于点E ，求矩形PQEF 的周长最大值；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M ，使45BMC ∠=︒？若存在，请直接写出点M 的纵坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图1，抛物线232
y ax x c =++与x 轴交于点A 、(4,0)B （A 点在B 点左侧），与y 轴交于点(0,6)C ，点P 是抛物线上一个动点，连接,,PB PC BC
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2所示，当点P 在直线BC 上方运动时，连接AC ，求四边形ABPC 面积的最大值，并写出此时P 点坐标．
(3)若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，P 的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M ，使得以点,,,B M N P 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点．
(1)求抛物线的解析式． (2)连接AC ，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得ACP △的周长最小？若存在，求出点P 的坐标和ACP △的周长的最小值，若不存在，请说明理由．
(3)点M 为抛物线上一动点，点N 为x 轴上一动点，当以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M 的横坐标．
12．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()5,0-．
(1)求点C 的坐标；
(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求三角形ACP 面积的最大值；
(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()10A -，
，()30B ，和()01C -，三点．
(1)求该抛物线的表达式与顶点坐标；
(2)点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P 的坐标．
14．如图，抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标是19,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
，与x 轴交于点A 、点()2,0B ，与y 轴交于点C ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在抛物线上，是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
15．综合与探究
如图，抛物线2142
y x x =+-与x 轴交于点A 和B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点P 在直线AC 下方的抛物线上运动．
(1)求点B 的坐标和直线AC 的解析式；
(2)如图1，过点P 作PD y ∥轴交直线AC 于点D ，过点P 作PE AC ⊥，垂足为E ，当PDE △的面积最大时，求点P 的坐标；
(3)点M 在抛物线上运动，点N 在x 轴上运动，以点B ，C ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，借助图2探究，请直接写出符合条件的点M 的坐标．
参考答案： 1．(1)(1,0)F - 13(,)22
M - (2)点P 的坐标为：1P （210322---，） 21555(,)22
P ---- (3)存在，13(,)22E 或3(1,)2
E --
2．(1)223y x x =-++
(2)2m =
(3)存在，此时点F 的坐标为()4,1或()5,2--
3．(1)55
(2)存在 ()2,3P - ()4,5P -- ()2,5P -
(3)754
AM =
4．(1)213222
y x x =-++ (2)四边形ABDC 面积的最大值为9
(3)①矩形①能，7,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
5．(1)2=23y x x --
(2)存在
(3)(72,0)-或(72,0)--或(1,0)
6．(1)239344y x x =
-- (2)365 92,2P ⎛⎫- ⎪⎝
⎭ (3)13693,216M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 727,216M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 333,216M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
7．(1)2=23y x x --
(2)315(,)24
P - (3)17(,)24N -或533(,)24
N 或57(,)24N --
8．(1)2142y x x =
-- (2)11510
PF PH +最大值为758，此时点P 的坐标为335,28⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)点Q 的坐标为()2,39或()2,29或()2,10-
9．(1)213222
y x x =-++ (2)9
(3)3132+
或3912
--
10．(1)233642y x x =-++ (2)2t =时，ABPC S 四边形有最大值，最大值为24，点P 的坐标为(2,6)
(3)存在，点M 的坐标为(0,0)或()14,0-或(14,0)或(8,0)
11．(1)223y x x =-++
(2)(1,2)P 1032+
(3)2或17+或17-
12．(1)(0,5)
(2)1258
(3)存在，点M 的坐标为：()3,8-或()3,16-或(7,16)--
13．(1)212133y x x =--，顶点坐标为413⎛⎫- ⎪⎝
⎭， (2)()21-，或543⎛⎫ ⎪⎝⎭
，或()47-，
14．(1)22y x x =-++
(2)存在，点Q 的坐标为：35,24Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或37,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
15．(1)点B 的坐标为()20，
，直线AC 的解析式为4y x =-- (2)()24--，
(3)()24--，或()1174--，或()
1174-+，；。