人教版八年级数学上册《三角形的外角》同步训练习题

人教版八年级数学上册《三角形的外角》同步训练习题11.2.2《三角形的外角》同步训练习题
一．选择题〖共7小题〗
1．〖2015秋•铁力市校级月考〗下列说法错误的是〖〗
A．有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形
B．有两个角互余的三角形是直角三角形
C．直角三角形只有一条高
D．任何一个三角形中，最大角不小于60度
2．〖2015春•长春期末〗
已知，如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是
〖〗
A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC=∠ADC
C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
3．〖2015春•定陶县期末〗
三角形的一个外角与它相邻的内角相等，而且等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍．则这个三角形各角的度数是〖〗
A．45°，45°，90°B．36°，72°，72°C．25°，21°，134°
D．30°，60°，90°
4．〖2015春•龙口市期中〗
如图所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为
〖〗
A．60°B．70°C．80°D．85°
5．〖2014•天水一模〗如图，点D﹨B﹨
C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=〖〗
A．60°B．50°C．45°D．25°
6．〖2015春•启东市期中〗如图，Rt△
ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，
折痕为CD，则∠A′DB=〖〗
A．40°B．30°C．20°D．10°
7．〖2015春•泰山区期中〗
如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=〖〗
A．70°B．80°C．90°D．100°
二．填空题〖共7小题〗
8．〖2015•徐州模拟〗
直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为．
9．〖2015春•孟津县期末〗
直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是
．
10．〖2015春•北京校级期中〗
如图，△ABC中，∠A=50°，∠ABO=18°，∠ACO=32°，则∠BOC=
．
11．〖2015春•保山校级期中〗
如图，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，
则∠1+∠2等于度．
12．〖2015秋•萧山区月考〗如
图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56’，那
么∠BOC为．
13．〖2014•天心区模拟〗
一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α是°．
14．〖2014春•孟津县期末〗如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
度．
三．解答题〖共5小题〗
15．〖2015秋•武威校级月考〗
如图，在△ACB中，∠ACB=900，CD⊥AB于D．
〖1〗求证：∠ACD=∠B；
〖2〗若AF平分∠CAB分别交CD﹨BC于E﹨F，求证：∠CEF=∠CFE．
16．〖2015春•昆明校级期末〗
如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BA
C=63°，求∠DAC的度数．
17．〖2015春•高密市期末〗
一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B﹨
∠C应分别是21°和32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗
？为什么？
18．〖2015春•荔城区期末〗
如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC．〖1〗图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB﹨BE于D﹨
F两点，求证：∠EFD=∠ADC；
〖2〗图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB﹨BE的延长线于D﹨F两点，试探究〖1〗中结论是否仍成立？为什么？
19．〖2014春•唐河县期末〗
认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的
问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=〖∠ABC+∠ACB〗=〖180°﹣∠A〗=90°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣〖∠1+∠2〗=180°﹣〖90°﹣∠A〗=90°+∠A．
〖1〗
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
〖2〗
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？〖直接写出结论〗
〖3〗拓展：如图4，在四边形ABCD
中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？〖直接写出结论〗
人教版八年级数学上册
11.2.2《三角形的外角》同步训练习题答案
解析
一．选择题〖共7小题〗
1．〖2015秋•铁力市校级月考〗下列说法错误的是〖〗
A．有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形
B．有两个角互余的三角形是直角三角形
C．直角三角形只有一条高
D．任何一个三角形中，最大角不小于60度
选C
【点评】本题考查了钝角三角形﹨
直角三角形的概念．注意D中，如果最大角小于60°，则三个角的和就小于180°，与三角形的内角和定理，内角和为180°相矛盾．
2．〖2015春•长春期末〗
已知，如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是
〖〗
A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC=∠ADC
C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD，再根据∠BAC=∠BAD+∠DAC即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠B=∠DAC，
∴∠BAC=∠ADC．
故选B．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
3．〖2015春•定陶县期末〗三角
形的一个外角与它相邻的内角相等，而且等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍．则这个三角形各角的度数是〖〗A．45°，45°，90°B．36°，72°，72°C．25°，21°，134°
D．30°，60°，90°
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和与三角形的内角和等于180°可以求出与这个外角相邻的内角等于90°，然后根据这个外角等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍，求出这个内角即可．
【解答】解：根据题意，与这个外角相邻的内角等于180°÷2=90°，∵这个外角等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍，
∴90°÷3=30°，
∴90°﹣30°=60°，
∴这个三角形各角的度数是：30°，60°，90°．
故选D．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练
掌握性质和定理是解题的关键．
4．〖2015春•龙口市期中〗
如图所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为
〖〗
A．60°B．70°C．80°D．85°
【考点】三角形的外角性质；余角和补角；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和等于180°求出∠3+∠4的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，∴∠3+∠4=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠A=180°﹣20°﹣25°﹣35°=100°，在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠3﹣∠4=180°﹣100°=80°．
故选C．
【点评】本题三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形
是解题的关键．
5．〖2014•天水一模〗如图，点D﹨B﹨
C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=〖〗
A．60°B．50°C．45°D．25°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ABD的度数，再由三角形内
角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，
在△BDE中，
∵∠D=25°，∠ABD=110°，
∴∠1=180°﹣25°﹣110°=45°．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
6．〖2015春•启东市期中〗如图，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=〖〗
A．40°B．30°C．20°D．10°
【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质；翻折变换
〖折叠问题〗．
【分析】在直角三角形
ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，
∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，
由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，
又∵∠CA′D为△A′BD的外角，
∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，
则∠A′DB=55°﹣35°=20°．
故选：C．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
7．〖2015春•泰山区期中〗
如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=〖〗
A．70°B．80°C．90°D．100°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据角平分线的定
义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的
度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求
出∠P的度数，即可求出结果．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的
平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，
∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠BPC=20°，
∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°，
故选C．
【点评】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中
．
二．填空题〖共7小题〗
8．〖2015•徐州模拟〗直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为
30°．
【考点】直角三角形的性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形的一锐角为60°，
∴另一锐角为90°﹣60°=30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是
解题的关键．
9．〖2015春•孟津县期末〗
直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是55°﹨
35°．
【考点】直角三角形的性质．
【分析】设一个锐角为x，根据题意表示出另一个锐角，根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设一个锐角为x，则另一个锐角为x﹣20°，
则x+x﹣20°=90°，
解得，x=55°，
x﹣20°=35°
故答案为：55°﹨35°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键，注意方程思想的正确运用．
10．〖2015春•北京校级期中〗
如图，△ABC中，∠A=50°，∠ABO=18°，∠ACO=32°，则∠BOC=
100°．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】延长BO与AC相交于点D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长BO与AC相交于点D，
由三角形的外角性质，在△ABD中，∠1=∠A+∠ABO=50°+18°=68°，在△COD中，∠BOC=∠1+∠ACO=68°+32°=100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造成三角形是解题的关键．
11．〖2015春•保山校级期中〗
如图，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，
则∠1+∠2等于270 度．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】如图，根据题意可知∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，然后结合三角形内角和定理即可推出∠1+∠2的度数．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠B=90，
∴∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，
∴∠1+∠2=270°．
故答案为：270．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质﹨
三角形内角和定理，关键在于求证∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN
．
12．〖2015秋•萧山区月考〗
如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56’，
那么∠BOC为81°8′．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．〖2014•天心区校级模拟〗
一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α是75 °．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角板的常数以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1的度数，再根据直角等于90°计算即可得解．
【解答】解：如图，∠1=45°﹣30°=15°，
∠α=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟知三
角板的度数是解题的关键．
14．〖2014春•孟津县期末〗如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180 度．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】探究型．
【分析】根据三角形外角的性质可知∠B+∠C=∠2，∠A+∠E=∠1，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠2是△OBC的外角，
∴∠B+∠C=∠2，
∵∠1是△AEF的外角，
∴∠A+∠E=∠1，
∵∠1+∠2+∠D=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案为：180．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键
．
三．解答题〖共5小题〗
15．〖2015秋•武威校级月考〗
如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
〖1〗求证：∠ACD=∠B；
〖2〗若AF平分∠CAB分别交CD﹨BC于E﹨F，求证：∠CEF=∠CFE．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】〖1〗
由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
〖2〗根据直角三角形两锐角互余得
出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠
CEF=∠CFE．
【解答】证明：〖1〗∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；
〖2〗在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
16．〖2015春•昆明校级期末〗
如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BA
C=63°，求∠DAC的度数．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
【解答】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°；
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综
合应用．
17．〖2015春•高密市期末〗
一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B﹨
∠C应分别是21°和32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗
？为什么？
【考点】三角形的外角性质．
【专题】应用题．
【分析】直接利用图形中的外角和等于与它不相邻的两个内角和求解．【解答】解：延长CD与AB相交于点F．
∵∠DFB=∠C+∠A=32°+90°=122°，
又∵∠BDC=∠DFB+∠B=122°+21°=143°，
∵实际量得的∠BDC=148°，
143°≠148°，
∴这个零件不合格．
【点评】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系．三角形的外角等
于与它不相邻的两个内角和．
18．〖2015春•荔城区期末〗
如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC．〖1〗图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB﹨BE于D﹨
F两点，求证：∠EFD=∠ADC；
〖2〗图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB﹨BE的延长线于D﹨F两点，试探究〖1〗中结论是否仍成立？为什么？
【考点】三角形的外角性质．
【分析】〖1〗
首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠
EFD=∠ADC；
〖2〗首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠
DAG，再根据等量代换可得∠FAE=∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠AEB﹣∠FAE，∠ADC=∠ABC﹣∠BAD，进而得
∠EFD=∠ADC．
【解答】解：〖1〗∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，
又∵∠AEB=∠ABC，
∴∠EFD=∠ADC；
〖2〗探究〖1〗中结论仍成立；
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD=∠GAD，
∵∠FAE=∠GAD，
∴∠FAE=∠BAD，
∵∠EFD=∠AEB﹣∠FAE，∠ADC=∠ABC﹣∠BAD，
又∵∠AEB=∠ABC，
∴∠EFD=∠ADC．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
19．〖2014春•唐河县期末〗
认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的
问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=〖∠ABC+∠ACB〗=〖180°﹣∠A〗=90°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣〖∠1+∠2〗=180°﹣〖90°﹣∠A〗=90°+∠A．
〖1〗
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
〖2〗
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？〖直接写出结论〗
〖3〗拓展：如图4，在四边形
ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？〖直接写出结论〗
【考点】三角形的外角性质；三角形的角平分线﹨
中线和高；三角形内角和定理．
【专题】探究型；整体思想．
【分析】〖1〗根据角平分
线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；
〖2〗
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形
内角和定理列式整理即可得解；
〖3〗
根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解
．
【解答】解：〖1〗探究2结论：∠BOC=∠A．理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCD=〖∠A+∠ABC〗=∠A+∠ABC=∠A+∠OBC，
又∵∠OCD是△BOC的一个外角，
∴∠BOC=∠OCD﹣∠OBC=∠A+∠OBC﹣∠OBC=∠A；
〖3〗拓展：结论∠BOC=〖∠A+∠D〗．在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=〖360°﹣∠A﹣∠D〗，∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB=〖∠ABC+∠BCD〗=〖360°﹣∠A﹣∠D〗，
在△OBC中，∠BOC=180°﹣〖∠OBC+∠OCB〗=180°﹣
〖360°﹣∠A﹣∠D〗=〖∠A+∠D〗，
即∠BOC=〖∠A+∠D〗．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解
题的关键．。