2020-2021学年天津市部分区高一(上)期末数学试卷

2020-2021学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，0，1，2}，B＝{﹣1，0，则集合A∪（∁U B）＝（）
A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，0，1，2} 2．（4分）命题“∃x∈（0，+∞），lnx＝2x”的否定是（）
A．∀x∈（0，+∞），lnx＝2x B．∀x∈（0，+∞），lnx≠2x
C．∃x∉（0，+∞），lnx＝2x D．∃x∈（0，+∞），lnx≠2x
3．（4分）已知角α的终边过点P（12，﹣5），则sin（π+α）＝（）A．B．C．D．
4．（4分）设α∈R，则“a＜﹣1”是“a2﹣5a﹣6＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（4分）已知a＝20.3，b＝log0.32，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
6．（4分）为了得到函数的图象，只需把函数（）A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
7．（4分）已知，且，则cosα的值为（）A．B．C．D．
8．（4分）已知扇形的圆心角为150°，其弧长为πcm，则这个扇形的面积为（）A．B．C．D．
9．（4分）已知函数f（x）为偶函数，当﹣1＜x＜0时，f（x）3（1+x）﹣log3（1﹣x），则
的值为（）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
10．（4分）已知函数f（x）＝，若关于x方程f（x）＝m恰有三个不
同的实数解（）
A．（0，3）B．[2，3）C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11．（4分）函数，的最小正周期为．12．（4分）已知e为自然对数的底数．计算：＝．13．（4分）的值是．
14．（4分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示（x）＝．
15．（4分）有下列命题：
①当a＞0，且a≠1时，函数f（x）x﹣1﹣1的图象恒过定点（1，0）；
②cos2•tan3＜0；
③幂函数f（x）＝x﹣1在（0，+∞）上单调递减；
④已知a＞0，b＞0，则的最大值为．
其中正确命题的序号为.（把正确的答案都填上）
三、解答题：本大题共4小题，共60分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（12分）已知，且α是第四象限角．
（Ⅰ）求sin2α和cos2α的值；
（Ⅱ）求的值．
17．（12分）已知函数f（x）＝log a（5﹣2x），其中a＞0，且a≠1．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）求f（x）的零点；
（Ⅲ）比较f（﹣1）与f（1）的大小．
18．（12分）某公司为了发展业务，制订了一个激励销售人员的奖励方案：
①当销售利润不超过10万元时，不予奖励；
②当销售利润超过10万元，但不超过20万元时，按销售利润的20%予以奖励；
③当销售利润超过20万元时，其中20万元按20%予以奖励，超过20万元的部分按40%
予以奖励．
设销售人员的销售利润为x万元，应获奖金为y万元．
（Ⅰ）求y关于x的函数解析式，并画出相应的大致图象；
（Ⅱ）若某销售人员获得16万元的奖励，那么他的销售利润是多少？
19．（12分）已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
2020-2021学年天津市部分区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，0，1，2}，B＝{﹣1，0，则集合A∪（∁U B）＝（）
A．{1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣2，0，1，2}【分析】进行补集和并集的运算即可．
【解答】解：∵U＝{﹣2，﹣1，3，1，2，A＝{﹣4，0，1，B＝{﹣6，0，
∴∁U B＝{﹣2，4，2}U B）＝{﹣2，5，1，2}．
故选：D．
【点评】本题考查了列举法的定义，并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2．（4分）命题“∃x∈（0，+∞），lnx＝2x”的否定是（）
A．∀x∈（0，+∞），lnx＝2x B．∀x∈（0，+∞），lnx≠2x
C．∃x∉（0，+∞），lnx＝2x D．∃x∈（0，+∞），lnx≠2x
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈（0，lnx≠2x，
故选：B．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．（4分）已知角α的终边过点P（12，﹣5），则sin（π+α）＝（）A．B．C．D．
【分析】利用任意角的三角函数的定义可求sinα，进而根据诱导公式化简所求即可求解．【解答】解：因为角α的终边过点P（12，﹣5），
所以x＝12，y＝﹣5＝13，
可得sinα＝＝﹣，
所以sin（π+α）＝﹣sinα＝．
故选：C．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题．
4．（4分）设α∈R，则“a＜﹣1”是“a2﹣5a﹣6＞0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】化简一元二次不等式，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由a2﹣5a﹣6＞0，解得a＜﹣1或a＞3，
则由“a＜﹣1”可得“a2﹣6a﹣6＞0”，
由“a5﹣5a﹣6＞4”不能推出“a＜﹣1”，
故“a＜1”是“a6+a﹣2＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
5．（4分）已知a＝20.3，b＝log0.32，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出：20.3＞1，log0.32＜0，0＜log0.20.3＜1，然后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵20.2＞20＝2，log0.33＜log0.32＝0，0＝log3.21＜log4.20.7＜log0.25.2＝1，∴b＜c＜a．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．6．（4分）为了得到函数的图象，只需把函数（）A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
【分析】由条件根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：∵函数＝sin[2（x+]，故要得到函数，
只需将函数的图象向左平移，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
7．（4分）已知，且，则cosα的值为（）A．B．C．D．
【分析】由已知可求＜＜，利用同角三角函数基本关系式可求cos （）的值，由于α＝（）﹣，利用两角差的余弦公式即可计算得解．【解答】解：因为，且，
所以＜＜，可得cos（＝﹣，
则cosα＝cos[（）﹣）cos）sin）×+．故选：D．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8．（4分）已知扇形的圆心角为150°，其弧长为πcm，则这个扇形的面积为（）A．B．C．D．
【分析】根据扇形面积公式，则必须知道扇形所在圆的半径．设其半径是r，则其弧长是，再根据弧长是π，得出r的值，进而求解．
【解答】解：设扇形的半径是r，根据题意＝π，
解得r＝，
则扇形面积S＝lr＝＝（cm2）．
故选：B．
【点评】此题考查了扇形的面积公式以及弧长公式，得出扇形半径长是解题关键，属于基础题．
9．（4分）已知函数f（x）为偶函数，当﹣1＜x＜0时，f（x）3（1+x）﹣log3（1﹣x），则的值为（）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【分析】由偶函数定义得，＝f（﹣），然后代入即可求解．
【解答】解：因为f（x）为偶函数，当﹣1＜x＜0时5（1+x）﹣log3（6﹣x），
则＝f（﹣3（3﹣）﹣log7（1+）＝log3＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数值的求解，解题的关键是函数奇偶性的应用．
10．（4分）已知函数f（x）＝，若关于x方程f（x）＝m恰有三个不
同的实数解（）
A．（0，3）B．[2，3）C．D．
【分析】原问题等价于函数f（x）与函数y＝m的图象有三个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案．
【解答】解：关于x的方程f（x）＝m有三个不同的实根，
等价于函数f（x）与函数y＝m的图象有三个不同的交点，
作出函数的图象如下：
由图可知实数k的取值范围是[，4）．
故选：D．
【点评】本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11．（4分）函数，的最小正周期为．
【分析】根据正切函数的周期公式即可得到结论．
【解答】解：函数的周期T＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的周期的求法，属于基础题．
12．（4分）已知e为自然对数的底数．计算：＝1．【分析】利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．
【解答】解：
＝+（﹣4）+2×
＝2+（﹣2）+4
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质的合理运用．
13．（4分）的值是﹣．
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】解：＝sin（3π＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．14．（4分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示（x）＝sin（2x+）．
【分析】根据已知中函数在一个周期内的部分图象，根据最大值求出A，根据周期求出ω，根据已知最小值点的坐标，求出φ可得答案．
【解答】解：∵f（x）＝A sin（ωx+φ）的最小值为﹣，且A＞0，
故A＝，
根据＝﹣＝，可得T＝π＝，
又∵ω＞0，
∴ω＝4，
∵点（，﹣）在函数图象上sin（2×，可得sin（7×，
故2×+φ＝6kπ+，解得φ＝4kπ+，
因为|φ|＜，可得：φ＝，
∴函数f（x）＝sin（2x+）．
故答案为：sin（2x+）．
【点评】本题考查的知识点是函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换，函数y＝A sin（ωx+φ）的解析式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象画法，难度中档．
15．（4分）有下列命题：
①当a＞0，且a≠1时，函数f（x）x﹣1﹣1的图象恒过定点（1，0）；
②cos2•tan3＜0；
③幂函数f（x）＝x﹣1在（0，+∞）上单调递减；
④已知a＞0，b＞0，则的最大值为．
其中正确命题的序号为①③.（把正确的答案都填上）
【分析】直接利用指数函数的性质，幂函数的性质，三角函数的值，基本不等式的应用判断①②③④的结论．
【解答】解：对于①：当a＞0，且a≠1时x﹣4﹣1的图象当x＝1时，y＝6，0）；
②由于cos2＜5，tan3＜0，故错误；
③根据幂函数的性质，幂函数f（x）＝x﹣5在（0，+∞）上单调递减
④已知a＞0，b＞5，
所以，当且仅当a+b＝a，与b＞0矛盾，故D错误；
故答案为：①③．
【点评】本题考查的知识要点：指数函数的性质，幂函数的性质，三角函数的值，基本不等式的，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共4小题，共60分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（12分）已知，且α是第四象限角．
（Ⅰ）求sin2α和cos2α的值；
（Ⅱ）求的值．
【分析】（Ⅰ）由题意求得sinα的值，再利用二倍角公式求得sin2α和cos2α的值．（Ⅱ）先求出tanα的值，再利用两角差的正切公式求得的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵已知，且α是第四象限角＝﹣，∴sin2α＝4sinαcosα＝﹣，
cos2α＝2cos3α﹣1＝2×﹣1＝﹣．
（Ⅱ）∵tanα＝＝﹣2，∴＝＝＝
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题．17．（12分）已知函数f（x）＝log a（5﹣2x），其中a＞0，且a≠1．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）求f（x）的零点；
（Ⅲ）比较f（﹣1）与f（1）的大小．
【分析】（Ⅰ）利用对数的真数大于零，列出不等式，求解即可得到答案；
（Ⅱ）根据函数零点的定义，令f（x）＝0，求解即可得到答案；
（Ⅲ）求出f（﹣1）和f（1），然后对a进行分类讨论，分别利用函数的单调性进行比较，即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）＝log a（5﹣2x），所以令3﹣2x＞0，所以函数f （x）的定义域为；
（Ⅱ）令f（x）＝0，即log a（5﹣6x）＝0，即5﹣5x＝1，所以f（x）的零点为2；
（Ⅲ）f（﹣2）＝log a7，f（1）＝log a3，
当a＞8时，函数y＝log a x为增函数，所以log a7＞log a3，即f（﹣4）＞f（1）；
当0＜a＜1时，函数y＝log a x为减函数，所以log a7＜log a3，即f（﹣1）＜f（1）．【点评】本题考查了函数性质的综合应用，涉及了函数的定义域、函数的零点、函数的单调性．解题的关键是熟练掌握对数型函数的性质．
18．（12分）某公司为了发展业务，制订了一个激励销售人员的奖励方案：
①当销售利润不超过10万元时，不予奖励；
②当销售利润超过10万元，但不超过20万元时，按销售利润的20%予以奖励；
③当销售利润超过20万元时，其中20万元按20%予以奖励，超过20万元的部分按40%
予以奖励．
设销售人员的销售利润为x万元，应获奖金为y万元．
（Ⅰ）求y关于x的函数解析式，并画出相应的大致图象；
（Ⅱ）若某销售人员获得16万元的奖励，那么他的销售利润是多少？
【分析】（Ⅰ）根据题意，按分段函数形式把y表示为x的分段函数，并且分段画出对应的函数的大致图象即可．
（Ⅱ）先判断出x＞20，再由0.4x﹣4＝16，即可求出x的值．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得函数的解析式为：
y＝，
大致图象，如图所示：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当10＜x≤20时，
∵y＝16＞4，
∴x＞20，
令4.4x﹣4＝16，解得：x＝50，
所以此销售人员为公司创造50万元的销售利润．
【点评】本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了学生的作图能力，是基础题．19．（12分）已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，结合周期公式以及单调性进行求解即可，
（Ⅱ）求出角的范围，结合三角函数的最值与角的关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos2x+×﹣＝cos2x+﹣cos6x ﹣
＝sin2x﹣），
则周期T＝＝π，
由2kπ﹣≤4x﹣，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，
即f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]．
（Ⅱ）∵﹣≤x≤，
∴﹣≤2x≤，﹣≤，
则当2x﹣＝时，函数取得最大值为y＝sin＝，
当2x﹣＝﹣时）＝﹣2．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键，是中档题．。