2016-2017学年上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期期中考数学试卷含详解

华师大二附中2017届高三期中考试数学试卷
一.填空题
1.已知
1sin
23α=
，则cos α=________.
2.双曲线2
21
2
x y -=的实轴长为________3.集合
{}
1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{}4M N = ，则复数z =________.
4.
在平面直角坐标系
中，若直线
与函数
的图像只有一个交点，则
的值为____________.
5.投掷两颗均匀的骰子一次，则点数之和为5的概率等于________.
6.已知函数
21()x f x x a +=
+1
()2a ≠的图象与它的反函数的图象重合，则实数=a ________.
7.设1e ，2e 为单位向量．且1e 、2e
的夹角为，若a =1e +32e ，b =21e ，则向量a 在b 方向上的射影为________.
8.若
n
a 是
()()
*2,2,n
x n N n x R +∈≥∈展开式中2
x 项的系数，
则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫
++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭_________．
9.在等差数列{}
n a 中，
17
a =，公差为d ，前n 项和为
n
S ，当且仅当8n =时
n
S 取得最大值，则d 的取值范围为
________．
10.给出下列命题:①1y =是幂函数；②函数2()2log x f x x =-的零点有且只有1
个；③
2)0x -≥的
解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤数列{}n
a 的前n 项和为n S ，且1n
n
S a =-()a R ∈，则
{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.
11.矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点(,)x y 在矩阵a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线22
421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫
⎪⎝⎭的作用下变换成曲线
2221x y -=，则ab =________.
12.已知函数
22(1)1
y x a x a =++++-的最小值大于5，则a 的取值范围是________.
二.选择题
13.若1a b >>，01c <<，则A.c
c a b < B.c c
ab ba < C.log log b a a c b c
< D.log log a b c c
<14.圆22
28130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=
a A.4
3
- B.34
-
C. D.2
15.
,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题，其中错误的是
A.若m n ⊥，m α⊥，n ∥β，则αβ⊥
B.若m α⊥，n ∥α，则m n ⊥
C.若α∥β，m α⊆，则m ∥β
D.若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等16.在ABC 中，若3,120AB BC C ==∠=
，则AC =
A.1
B.2
C.3
D.4
17.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()2
20y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且
2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为（
）
A.
33
B.
23
C.
22
D.1
18.如图1所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l//l 1与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E，D 两点，设弧FG 的x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y=f(x)图象大致是
图1
A. B.
C. D.
三.解答题
19.如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，2AB =，已知AE 与平面ABC 所成的角为θ，且3tan 2
θ=
；
（1）求证:平面ACD ⊥平面ADE ；
（2）记AC x =，(x)V 表示三棱锥A CBE -的体积，求(x)V 的表达式及最大值；
20.某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的
2
3
领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元；（1）求{}n a 的通项公式；（2）当38
a
b ≥
时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入?21.已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .（Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P F Q ⊥
，求直线l 的方程.22.已知函数()2cos 10cos
222
x x x f x =+．
（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6
π
个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．
23.已知函数2
()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,4]上的最大值为9，最小值为1，记()(||)f x g x =；
（1）求实数a ､b 的值；
（2）若不等式2(log )(2)f k f >成立，求实数k 的取值范围；
（3）定义在[,]p q 上的函数()ϕx ，设011i i n p x x x x x q -=<<<<<<= ，其中1x ､2x ､L ､1n x -将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0M >，使得和式
1
1
|()()|n
i
i i x x
M ϕϕ-=-≤∑恒成立，则称函数()ϕx 为
在[,]p q 上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为在[0,4]上的有界变差函数?若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由.
华师大二附中2017届高三期中考试数学试卷
一.填空题
1.已知
1sin 23α=
，则cos α=________.
【答案】
79
【分析】根据二倍角的余弦公式计算可得cos α的值.【详解】2
17cos 12sin 12299
αα=-=-⨯=，故答案为：
79
.【点睛】本题考查二倍角的余弦，注意二倍角的余弦公式有3种形式，应根据半角的三角函数的形式选择合适的公式进行计算，本题属于容易题.
2.双曲线2
212
x y -=的实轴长为________
【答案】【分析】根据双曲线标准方程以及实轴长为2a 求解即可.
【详解】由2
212
x y -=得,22a =,故实轴长为2a =.
故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本量求解,属于基础题型.
3.集合{}1,2,M zi =，i 为虚数单位，{}3,4N =，{}4M N = ，则复数z =________.【答案】4i
-【分析】根据{}4M N = 可得4M Î，从而可求z .【详解】因为{}4M N = ，故4M Î，而{}1,2,M zi =，所以4zi =，故4
4z i i
==-，此时{}1,2,4M =，满足{}4M N = .故答案为：4i -.
【点睛】本题考查集合的交以及复数的除法，注意根据集合元素的确定性来解决问题，本题属于容易题.4.在平面直角坐标系中，若直线
与函数
的图像只有一个交点，则
的值为____________.
【答案】12
-
【详解】试卷分析：x a =时1y x a =--取得最小值1-．即函数1y x a =--的图像的最低点为(),1a -．
当0a ≥时，由数形结合可知此时直线2y a =与1y x a =--的图像必有两个交点，故舍；当a<0时，要使直线2y a =与1y x a =--的图像只有一个交点，则有直线2y a =必过点(),1a -，即21a =-，解得12
a =-．综上可得12
a =-
．考点：1函数图像交点问题；2数形结合思想．
5.投掷两颗均匀的骰子一次，则点数之和为5的概率等于________.【答案】
19
【分析】求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式计算可得所求的概率.【详解】投掷两颗均匀的骰子一次，我们用(),a b 表示两个骰子出现的点数对，则共有如下基本事件：
()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6，()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，
所以基本事件的总数为36.
设A 为事件“点数之和为5”，则A 中的基本事件如下：
()()()()1,4,2,3,3,2,4,1，共4个基本事件，故()41369
P A =
=.故答案为：
19
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，注意基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数可以用枚举法、树形图法等来计数，本题属于基础题.6.已知函数21()x f x x a
+=+1
()2a ≠的图象与它的反函数的图象重合，则实数=a ________.
【答案】2
-【分析】求出()f x 的反函数，令其与原函数相等，则可求实数a 的值.【详解】令21+=
+x y x a ，则21+=+xy ay x ，所以12-=-ay x y ，故()1
12
ax f x x --=-，
因为()f x 的图象与它的反函数的图象重合，根据()()1
f x f x -=，
所以
2112
+-=+-x ax x a x ，整理得到恒等式()
222
2321x x ax a x a --=-+-+，
故答案为：2-.
【点睛】本题考查反函数的性质及反函数的求法，注意函数与其反函数的图象关于y x =对称，求反函数的基本步骤是反解、互换，本题属于基础题.
7.设1e ，2e 为单位向量．且1e 、2e
的夹角为，若a =1e +32e ，b =21e ，则向量a 在b
方向上的射影为________.
【答案】
52
【详解】1211112(3)2265cos 13cos .2232e e e e e e e a b a b a a a b b
πθ+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅====+=⋅
考点：该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.
8.若n a 是()
()*
2,2,n
x n N n x R +∈≥∈展开式中2
x
项的系数，
则2323
222lim n n n a a a →∞⎛⎫
++⋅⋅⋅+=
⎪⎝⎭_________．【答案】8
【详解】试卷分析：由题意2
2
2
n n n
a C -=，3
22118()(1)21n n n n a n n n n -==--⋅-，∴2323222n
n
a a a ++⋅⋅⋅+=111118[(1)()()]2231n n -+-++-- 8
8n =-，∴232
32228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．
考点：二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．
9.在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取得最大值，则d 的取值范围为________．【答案】7
(1,8
--【详解】试卷分析：由题意得：890,0a a ><，所以770,780d d +>+<，即71.8
d -<<-考点：等差数列性质
10.给出下列命题:①1y =是幂函数；②函数2()2log x
f x x =-的零点有且只有1个；③
1(2)0x x --≥的
解集为[2,)+∞；④“1x <”是“2x <”的充分非必要条件；⑤数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n
n S a =-()a R ∈，则{}n a 为等差或等比数列；其中真命题的序号是________.
【分析】逐个判断各命题的正确与否后可得正确的选项.
【详解】对于①，因为0y x =是幂函数，但它与1y =不是同一个函数，前者要求0x ≠，而后者x R ∈.故1y =不是幂函数，故①错误.
对于②，在同一坐标系画出22,log x
y y x ==的图象（如图所示）：
则22,log x
y y x ==的图象没有公共点，故2()2log x
f x x =-没有零点，故②错误.
对于③，1x =时不等式也成立，所以③错误.
对于④，{}|1x x <是{}|2x x <的真子集，故“1x <”是“2x <”的充分非必要条件，故④正确.
对于⑤，若0a =，则1n S =-，故1,1
0,2n n a n -=⎧=⎨
≥⎩
，
该数列既不是等差数列也不是等比数列，故⑤错误.故答案为：④.
【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到函数相同的判断、函数零点的个数判断、充分不必要条件的判断、无理不等式的解法、等差数列等比数列的判断等，注意函数零点的个数判断可以通过两个熟悉函数图象的交点个数来判断，本题属于综合题，有一定难度.
11.矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，该运算的几何意义为平面上的点
(,)x y 在矩阵a b c d ⎛⎫
⎪⎝⎭的作用下变换成点(,)ax by cx dy ++，若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫
⎪⎝⎭
的作用下变换成曲线22
21x y -=，则ab =________.
【答案】0
【分析】设(),P x y 在曲线22421x xy y ++=上，求出(),P x y 在矩阵11a b ⎛⎫
⎪⎝⎭
的作用下对应的点Q 的坐标，代入
2221x y -=后整理得到的方程就是方程22421x xy y ++=，从而可求,a b 的值.
【详解】设(),P x y 在曲线2
2
421x xy y ++=上，(),Q x y ''为在矩阵11a b ⎛⎫
⎪⎝⎭
的作用下对应的点，
则x x ay y bx y
=+⎧⎨
=+''⎩，因为(),Q x y ''在2221x y -=上，故()()22
21x ay bx y +-+=，
整理得到(
)()()2
2
2
2122421b
x a b xy a
y -+-+-=，
而22
421x xy y ++=，故22121
24422
b a b a ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩
，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以0ab =.
故答案为：0.
【点睛】本题考查变换的求法，注意根据对应点的坐标关系得到同一个动点满足的两个等价的曲线方程，从而根据系数关系可得参数满足的方程组，此类问题属于中档题，有一定的思维要求.
12.已知函数2
2
(1)1y x a x a =++++-的最小值大于5，则a 的取值范围是________.【答案】1142a -<
或6
2
a >【分析】先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，然后就32a >、13
22a ≤≤、12
a <分三类求()f x 的最值，最
后根据最值的范围可得实数a 的取值范围.【详解】设()2
2
(1)1f x x a x a =++++-，
故2222
1(1),1()1(1),1x x a a x a
f x x x a a x a ⎧++-++≥-=⎨--+++<-⎩
，若32
a >
，则112a -<-，
此时()f x 在(],1a -∞-上为减函数，在11,2a ⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
上为减函数，
在1,2⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，故()2min 11324f x f a a ⎛⎫
=-=+- ⎪⎝⎭
，
因为32a >
，故2
1991133544242a a +->+-=
>，故32a >满足条件.若13
22a ≤≤，则11122
a -≤-≤，此时()f x 在[
)1,a -+∞上为增函数，在(],1a -∞-上为减函数，
故()()2min
122f x f a a =-=+，令2225132
2a a ⎧+>⎪⎨≤≤
⎪⎩，故
6322a <≤.若12
a <
，则1
12a ->，
此时()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
上为减函数，在1,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上为增函数，在[
)1,a -+∞上为增函数，
故()2min 1724f x f a a ⎛⎫==++
⎪⎝⎭
，令2
75412a a a ⎧++>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
，故12a -<.
综上，a 的取值范围为：1142a -<
或6
2
a >.故答案为：1142a -<
或62
a >.【点睛】本题考查含绝对值函数的最值的求法，注意先利用零点分段讨论法去掉绝对值符号，再依据函数的单调性求最值，本题属于难题.
二.选择题
13.若1a b >>，01c <<，则A.c c a b < B.c c
ab ba < C.log log b a a c b c
< D.log log a b c c
<【答案】C
【详解】试卷分析：用特殊值法，令3a =，2b =，1
2
c =
得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，3
211
log log 22
>，选项D 错误，因为
lg lg log log lg ()lg (11lg lg lg lg a b
b b a
b a a b a b a
c b c c c a b b a a b a b a --=⋅-=⋅>>∴<<< lg lg 001lg 0log log lg lg a b
b a a b
c c a c b c b a
-∴><<∴<∴< 选项C 正确，故选C ．
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
14.圆22
28130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=
a A.43
-
B.34
-
C. D.2
【答案】A
【详解】试卷分析：由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆
2
2
28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1
1=，解得4
3a =-，故选A.
【考点】圆的方程，点到直线的距离公式
【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
15.
,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题，其中错误的是
A.若m n ⊥，m α⊥，n ∥β，则αβ⊥
B.若m α⊥，n ∥α，则m n ⊥
C.若α∥β，m α⊆，则m ∥β
D.若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等【答案】A 【分析】
依据空间中位置关系的判定定理和性质定理逐个判断各选项中命题的真假后可得正确的选项.【详解】对于A ，平面,αβ可能平行，故A 错；
对于B ，存在平面β使得n β⊂且l αβ= ，因为n ∥α，n ⊂平面β，故//n l ，因为m α⊥，l ⊂
α，故m l ⊥，所以m n ⊥，故B 正确；
对于C ，根据面面平行的性质可知m ∥β，故C 正确；
对于D ，根据线面角定义可知m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.故选：A.
【点睛】本题考查空间中与线面位置关系有关的命题的真假判断，这类问题需根据位置关系的定义、判定定理、性质定理等来判断真假，必要时还要动态地考虑它们的位置关系，本题属于中档题.
16.在ABC
中，若3,120AB BC C ==∠= ，则AC =
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】A
【详解】余弦定理2222·cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入得2340
AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.
17.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()2
20y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且
2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为（
）
A.
33
B.
23
C.
2
D.1
【答案】C
【分析】方法一：设200,2y P y p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据题意求出点M 的坐标，再根据基本不等式即可求出．【详解】［方法一］：【最优解】直接法
设200,2y P y p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由题意知(,0)2p
F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则200
1112()(,3333633
y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+
，可得：
2000
2
3
22
63
OM y k y p y p p y p =
=
≤=
++
，当且仅当22002,y p y ==时取等号．故选：C ．
［方法二］：参数法
由题意可知：(
,0)2
p
F ，设P 点坐标为2(2,2)(0)pt pt t >，M 点坐标为(,)x y .||2||PM MF =,则13FM FP = ，即223323pt p x pt y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，
22
2212312212233OM
pt
y t pt p x t t t k ====≤+++，当且仅当221t =等号成立.则直线OM 斜率的最大值22
．故选：C ．［方法三］
：几何法
由题意可知：(,0)2p
F ，P 点坐标为2
000(
,)(0)2y y y p >，M 点坐标为(,)x y ，作点O 关于点F 的对称点(,0)N p ，由已知可得点M 为OPN 重心，坐标为2
002,3
3y p y p
⎛⎫
+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
00
12
22ON y k y p x p y ∴=
=≤+，当且仅当22
02y p =等号成立.则直线OM 斜率的最大值22
．故选：C ．［方法四］：方程法
由题意可知：(,0)2p
F ，设P 点坐标为2
00(
,)2y y p
，M 点坐标为(,)x y .易知直线OM 的斜率最大时，00y >，2PM MF =，则2PM MF =
，
可得2
00(,)2(,)22y p x y y x y p --=--，即2
00363
y p x p y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
点M 的轨迹方程为：22962y px p =-与y kx =联立可得2229620k x px p -+=，222(6)4920
p k p ∆=--⨯⨯≥2222k ∴-
≤≤
，则直线OM 斜率的最大值2
2
．故选：C ．
【整体点评】方法一：设出点P 的坐标，再求出点M 坐标，根据基本不等式求出最值，简单高效，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：同方法一几乎一致，只是设点P 的坐标形式与方法一不同；
方法三：构造三角形，利用三角形重心性质求出点M 坐标，再基本不等式求出最值；方法四：先求出点M 的轨迹方程，根据直线与抛物线的位置关系解出．
18.如图1所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l//l 1与半圆相交于F，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E，D 两点，设弧FG 的x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y=f(x)
图象大致是
图1
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】如图
1cos64cos
222
22.
sin603
x x x
y BE BC
--
=+===-
︒
由余弦函数的图象性质可得D 正确
.
考点：本题主要考查三角函数的概念、图象、性质及其应用.
三.解答题
19.如图，ABC
∆内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，2
AB=，已知AE与平面ABC所成的角为θ
，且tan2
θ=
；
（1）求证:平面ACD⊥平面ADE；
（2）记AC x
=，(x)
V表示三棱锥A CBE
-的体积，求(x)
V的表达式及最大值；
【答案】（1）证明见解析；（2
）
3
()
6
V x=(02)
x<<，
max
3
()
3
V x=.
【分析】（1）可证DE⊥平面ACD，从而得到平面ACD⊥平面ADE.
（2）可证EAB
∠为AE与平面ABC所成的角为θ
，从而可得BE=，又可证BE⊥平面ABC
，从而
()
3ACB
V x S
∆
=，利用基本不等式可求(x)
V的最大值.
【详解】（1）因为ABC
∆内接于圆O，AB是圆O的直径，所以AC CB
⊥，
因为四边形DCBE为平行四边形，故//
DE CB，所以AC DE
⊥.
因为DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故DC BC
⊥，所以CD DE
⊥，
因为DC AC C
=
，故DE⊥平面ACD，而DE⊂平面ADE，
故平面ACD⊥平面ADE.
（2）因为四边形DCBE 为平行四边形，故//BE CD ，
由（1）可知DC AC ⊥，DC CB ⊥，故BE AC ⊥，BE CB ⊥，因为AC BC C = ，故BE ⊥平面ACB ，
所以EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角，故EAB θ∠=.在Rt ABE ∆
中，tan 2EAB ∠=
，故2
BE AB ==
故1313
()3326
ACB V x BE S ∆=
⨯=⨯=，其中02x <<.
由基本不等式有22
422
x x +-≤=
，当且仅当x =时等号成立，
故max 3()6
V x =
.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，前者注意空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系转换，后者注意选择合适的顶点来计算体积，本题属于中档题.
20.某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的
2
3
领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b 元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a 元，分流后进入新经济实体，第n 年的收入为n a 元；（1）求{}n a 的通项公式；（2）当38
a
b ≥
时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入?【答案】（1）12
,123((,23
2n n n a n a a b n --=⎧⎪
=⎨+≥⎪⎩））；（2）是.【分析】（1）由题设可知当2n ≥时，收入n a 由两部分构成：一部分是以a 为首项，公比为2
3
的等比数列的第n 项，另一部分是以b 为首项，公比为
3
2
的等比数列的第n 1-项，据此可求{}n a 的通项公式.（2）利用基本不等式可得()2n a a n >≥总成立，从而可判断这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.【详解】（1）由题设有1a a =，22
3
a a
b =
+，当2n ≥时，收入n a 由两部分构成，一部分是以a 为首项，公比为2
3
的等比数列的第n 项，另一部分是以b 为首项，公比为
3
2
的等比数列的第n 1-项，
故当2n ≥时1
2
2332n n n a a b --⎛⎫
⎛⎫=+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以12
,123((,232n n n a n a a b n --=⎧⎪
=⎨+≥⎪⎩））.（2）当38a b ≥时，1
2
1
2
1
1
232332332382342n n n n n n a a b a a ------⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≥+=+⨯ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
,
由基本不等式可有1
1
232342n n a a a --⎛⎫
⎛⎫+⨯≥= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，
因不存在*,2n N n ∈≥，使得1
1
213342n n --⎛⎫
⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
成立，
故1
1
23342n n a a a --⎛⎫⎛⎫+⨯> ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
总成立，
所以一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.
【点睛】本题考查数列在实际问题中的应用，涉及到通项的求法、基本不等式的应用等，注意数列不等式的证明可以利用数列单调性来证明，也可以根据通项的结构形式选择基本不等式来证明，本题属于中档题.21.已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .（Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P F Q ⊥
，求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）22
1
41
33
x y +=；（Ⅱ
）10x +-=
或10x --=．【详解】试卷分析：（1）由112F B B ∆为等边三角形可得a=2b ，又c=1，集合222a b c =+可求22,a b ，则椭圆C 的方程可求；（2）由给出的椭圆C 的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l 的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把
11
F P FQ ⊥
转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l 的方程可求试卷解析：（1）112F B B ∆
为等边三角形，则22
2
2
2224
33{
{{111
3
a a
b b
c a b c b =
-==⇒⇒-===
椭圆C 的方程为：2
23314
x y +=；
（2）容易求得椭圆C 的方程为2
212
x y +=，
当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-，
由()2
21{1
2y k x x y =-+=得(
)
(
)
2
22
2
214210k x k x k +-+-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，
则()
22121222214,2121
k k x x x x k k -+==++，()()1111221,,1,F P x y F Q x y =+=+ ∵11
F P FQ ⊥ ，∴11·0F P F Q
=，
即()()()()()
2
121212*********x x y y x x x x k
x x +++=++++--(
)(
)
()22
2
2
12122
71
111021
k k x x k x x k k -+--+++==+＝解得2
17k =
，即77
k =±，故直线l
的方程为10x +-=
或10x -=.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．22.已知函数(
)2cos 10cos 222
x x x
f x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6
π
个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．
【答案】（1）2π；（2）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）因为(
)2cos 10cos 222
x x x
f x =
+5cos 5
x x =++10sin 56x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭．
所以函数()f x 的最小正周期2πT =．（Ⅱ）（Ⅰ）将()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，
再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．所以()10sin 8g x x =-．
（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5
x >．
由
452
<
知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4
sin 5
x >．因为sin y x =的周期为2π，
所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5
x >
．因为对任意的整数k ，()()00022213
k k π
ππαπαπα+--+=->
>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5
k x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．
23.已知函数2
()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,4]上的最大值为9，最小值为1，记()(||)f x g x =；
（1）求实数a ､b 的值；
（2）若不等式2(log )(2)f k f >成立，求实数k 的取值范围；
（3）定义在[,]p q 上的函数()ϕx ，设011i i n p x x x x x q -=<<<<<<= ，其中1x ､2x ､L ､1n x -将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0M >，使得和式
1
1
|()()|n
i
i i x x
M ϕϕ-=-≤∑恒成立，则称函数()ϕx 为
在[,]p q 上的有界变差函数，试判断函数()f x 是否为在[0,4]上的有界变差函数?若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）1a =，0b =；（3）1
04
k <<
或4k >；（3）是，min 10M =.【分析】（1）根据()g x 在[]
2,4上的单调性可得()g x 的最大值和最小值，结合已知条件可求,a b 的值.
（2）不等式2(log )(2)f k f >等价于2
22log 2log 0k k ->，由后者可以得到2log 2k >，从而可求k 的取值范围.
（3）对任意的[]0,4上的划分，必定存在k *∈N ，使得011104k k n x x x x x +=<<<<<<≤= ，从而可得
()()()1
1
|()()|042n
i
i k i f x f x
f f f x -=-=+-∑，故可得11
|()()|n
i i i f x f x -=-∑的最大值，从而可判断()f x 是[]0,4上
的有界变差函数且min 10M =.
【详解】（1）因为2()21g x ax ax b =-++的对称轴为直线1x =，0a >故()g x 在[2,4]为增函数，所以()max ()481g x g a b ==++，
()min ()211g x g b ==+=，解得0b =，又819a b ⨯++=，解得1a =.
所以1,0a b ==.
（2）由（1）得2
()(||)21f x g x x x ==-+，
因为()21f =，所以2(log )(2)f k f >等价于2
22log 2log 11k k -+>，
所以2log 2k >，故2log 2k >或2log 2k <-，解得1
04
k <<
或4k >.（3）当[]0,4x ∈时，()2
21f x x x =-+，此时()()max min 9,0f x f x ==，且()f x 在[]0,1为减函数，在[]1,4为增函数.
设1x ､2x ､L ､1n x -将区间[0,4]任意划分成n 个小区间，且01104i i n x x x x x -=<<<<<<= ，则存在k *∈N ，使得011104k k n x x x x x +=<<<<<<≤= ，所以
()()()()()()
1
011211
|()()|n
i
i k k i f x f x
f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑ ()()()()()()1211k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++- ，
整理得到
()()()()()()1
01
|()()|2042n
i
i n k k i f x f x
f x f x f x f f f x -=-=+-=+-∑，
因为()0k f x ≥，()()()()()0420410k f f f x f f +-≤+=，故
1
1
|()()|10n
i
i i f x f x
-=-≤∑，当且仅当()0k f x =即1k x =时等号成立，
故()f x 是[]0,4上的有界变差函数，又10M ≥，所以min 10M =.
【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，注意根据对称轴的位置确定函数的单调性从而研究其最值，对于含绝对值的代数式的最值问题，可根据函数的单调性来确定绝对值符号内的代数式的符号，有时也可以利用绝对值不等
式来放缩求最值，本题属于难题.。