2018届苏教版 4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数 单元测试2 word版(含参考答案)
任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．（2）.若α的终边上有一点P (x ,y )(与原点O 不重合),则sin α=yr ,cos α=xr ,tan α=yx (x ≠0),其中r=√x 2+y 2.(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(4)三角函数值在各象限内的符号,1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π＋7π3，k ∈Z .当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．1．象限角角α的弧度数公式 |α|＝lr (l 表示弧长)注意：(1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．(2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用 角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 22．轴线角4．四种角的终边关系(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2k π，k ∈Z . (2)β，α终边关于x 轴对称⇔β＝－α＋2k π，k ∈Z . (3)β，α终边关于y 轴对称⇔β＝π－α＋2k π，k ∈Z .(4)β，α终边关于原点对称（终边互为反向延长线）⇔β＝π＋α＋2k π，k ∈Z . (5)β，α终边在一条直线上⇔β＝π＋α＋k π，k ∈Z .5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. 角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：()cos ,sin P r r αα(3)特殊角的三角函数值2.弧度制（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.（2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 =l rα 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式: =l r α. 扇形面积公式: 21122==S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π≈=.1801=()5730≈.π说明：①1800＝π是所有换算的关键，如ππ====,18018030456644；②1设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.角α 0° 30° 45° 60°90°120°135°150°180° 270°360° 角α的弧度数π6π4 π3 π22π 3π 5π6π 3π2π sin α 0 12√22√321 √32√22120 -1 0 cos α 1 √32√22120 -12-√22-√32-1 0 1 tan α√331√3 不 存在-√3 -1-√33不 存在第四2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 3．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( )A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<04.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.5.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝∅6.若角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x 上,则角α的取值集合是 ( ) A.{α|α=2kπ-π3,k ∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k ∈Z} C.{α|α=kπ-2π3,k ∈Z}D.{α|α=kπ-π3,k ∈Z}7.已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 8．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－39.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.3210.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象11.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.4512．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α13．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角．14．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．15．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．16．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．17．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．18．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 19．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答20．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α❷.2．三角函数的诱导公式断三角函数值的符号． 作用：切化弦，弦切互化．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . (3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.（4）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.考法(一)是公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin 2α＋cos 2α＝1及tan α＝sin αcos α即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．1.已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝( )A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2 D.1＋k 22.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3 B ．－3 C ．1D ．－14.已知sin α＋cos α＝－15，且π2＜α＜π，则1sin (π－α)＋1cos (π－α)的值为________．5.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( )A.125 B.－125 C.512 D.－5126.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( )A.－35 B.35 C.－45 D .457．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝－713，则tan A ＝________.8.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255 考法(二)的分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解.1．已知tan α＝2，求sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值．3.已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为______．5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是_____．6已知tan α＝－43，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值． 7.已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B.2 C.－12 D.－2 8.已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C.13 D ．－14考法(三)是考查sin α±cos α与sin αcos α的关系．对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二1.已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．2.已知sin 2α＝34，π4＜α＜π2，则sin α－cos α的值是( )A.12 B ．－12 C.14D ．－143.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29C.29D.794.已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝( )A.－32 B.32 C.－34 D .345．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为__________． 6.(2018自贡一模)求值:√1-2sin10°cos10°√2=.7.．若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________． 8.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.1．(2018·大连二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( )A.13 B ．－13 C.222 D ．－23 2.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( )A.34 B ．－43 C ．－34 D.433.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 4.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( )A.513 B.1213 C.－513D.－12135.已知sin (π3-α)=12,则cos (π6+α)= .6..(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)；(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β(两式相除、上同下异)．(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况． (2)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.2．降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22；1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22. 4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等． (1)sin(A+B )=sin C ;(2)cos(A+B )=-cos C ; (3)sin A+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2; (5)tan(A+B )=-tan C ;(6)∵tan(A+B )=tan(π-C ),∴tanA+tanB1-tanAtanB=-tan C ,去分母,移项,整理可得tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.2.找出下列复角的一个关系式,并写出它们的一个三角函数关系式.提示:(1)π4+α+π4-α=π2,sin (π4+α)=cos (π4-α);(2)(2π3+α)-(π6+α)=π2,sin (2π3+α)=cos (π6+α);(3) (π4+α)+(3π4-β)=π+(α-β),sin(α-β)=-sin [(3π4-β)+(π4+α)]; (4) (4)(3π4-β)-(π4+α)=π2-(α+β),sin(α+β)=cos [(3π4-β)-(π4+α)].5．辅助角公式：一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . 1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( )A ．－32B.32 C ．－12 D.122.cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α3..3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.4.1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( ) A.√2 B.√3 C.2D.√55．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝________6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________.7．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112D ．－1128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 9.在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________. 10.sin 10°1－3tan 10°＝________.(3)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.11.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.16B ．－16 C.12 D.2312.已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A.32 B.3 C.12 D.3313.(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为( )A.725 B.72－818C ．－17250 D.25 14．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( )A.12 B.13 C.14 D.1515．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79 C ．－79 D ．－8916．下列式子的运算结果为3的是( )①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③1＋tan 15°1－tan 15°；④tanπ61－tan2π6.A ．①②④ B ．③④C ．①②③ D ．②③④17.若cos α=13,α∈(0,π),则cos α2的值为( )A.√63B.-√63C.±√63D.√3318已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝( )A.5＋23 B.15－26 C.5－23 D.15＋2619.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( )A.725B.15C.-15D.-72520.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=( ) A.-√32 B.√32 C.-12 D.12 考法(一) 给角求值 1.cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝________ 2.sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.3.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1 B ．－1C.12 D ．－124.cos 165°的值是( ). A.√6-√22B.√6+√22C.√6-√24D.-√6-√245.sin47°-sin17°cos30°cos17°= .6.(2018年全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .考法(二) 给值求值1.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，若17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值为________． 2.若tan α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)=( ).A.-1B.-15C.57D.173.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.4.已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值. 5.在△ABC 中,若sin A=35,cos B=513,则cos C= .考法(三) 给值求角 1. 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． 2.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________. 3.已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________. 4.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，则α－β＝________.5.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.(2)已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值.6.已知α∈(π2,π),且sin α2+cos α2=√62.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cos β的值.辅助角公式 (1)sin x±cos x ;(2)sin x±√3cos x ;(3)√3sin x±cos x.2.(2013年全国Ⅰ卷)设当x=θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ= .3.(2014年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，4.sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.3.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. (2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α 角度1 给角(值)求值(1)计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. ①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值.角度2 给值求角(1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝___. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 考点三 三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019·郑州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的最值. (2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45 B.－15 C.15 D.45 1..sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14 B.12C.32 D .12..(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.4.．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－1125.．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．3．下列式子的运算结果为3的是( ) ①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③1＋tan 15°1－tan 15°；④tan π61－tan2π6.A ．①②④B ．③④C ．①②③D ．②③④6.(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝( )1、已知θ是第三象限角，且4459sincos θθ+=，那么2sin θ等于（） A 、3B 、3-C 、23D 、23- 2、函数222y sin x x =-+的最小正周期 A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （ ）A 、1B 、2C 、－1D 、－2 4、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．2.下列各式中，值为的是A．B．C．D．【答案】D【解析】;;;.【考点】二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.4.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.已知点P（）在第三象限，则角在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由已知得，即，则角在第二象限。
【考点】（1）三角函数值符号的判断；（2）象限角的判断。
7. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.8.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.9.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．10.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．【答案】；．【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．∵为第四象限角，∴，∴，∴，∴，∴＝，∴，．【考点】任意角的三角函数的定义．11.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.12.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°【答案】B【解析】与330°终边相同的角可写为，当时，可得-30°.【考点】终边相同的角之间的关系.13.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.14.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.15.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．16.已知【答案】【解析】由已知得，又因为，所以，而，故答案为．【考点】1．诱导函数；2．特殊角的三角函数值．17.一钟表的分针长5 cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm【答案】【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，分针经40分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为2π×=，代入弧长公式l=αr，得出分针的端点所转过的长为×5=（cm）．故答案为：。
2018-2019学年最新苏教版高中数学必修四《任意角的三角函数》同步练习题及答案解析-精品试卷
必修四《任意角的三角函数》一、 填空题1. 若－π2＜α＜0，则点Q(cos α，sin α)位于第________象限． 2. 已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则sin α－cos α＝__________． 3. 若角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则α＝__________．4. 若△ABC 中，cos A ·cos B<0，则此三角形的形状是____________．5. 若f(cos x)＝cos 2x ，则f(sin 15°)＝________．6. 若sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，则5sin A ＋815cos A －7＝________． 7. 若sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则4sin 2 α－3sin αcos α－5cos 2α＝______． 8. 已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________． 9. 已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ＝________． 10. 下列四个命题中正确的有________．(填序号)① 若α是第一象限角，则sin α＋cos α＞1；② 存在α使sin α＝13，cos α＝23同时成立； ③ 若|cos 2α|＝－cos 2α，则α终边在一、二象限；④ 若tan (5π＋α)＝－2且cos α>0，则sin (α－π)＝255. 二、 解答题11. 化简：(1)sin [α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）·cos （α＋2n π）(n∈Z)； (2)cos α1＋sin α－sin α1＋cos α－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α.12. (1) 已知角θ的终边上有一点P(x ，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值；(2) 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x<1，f （x －1）－1，x>1，求f(13)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值．13. 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1) 求sin A ·cos A ；(2) 判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3) 求tan A 的值．1. 四 解析：因为－π2＜α＜0，则cos α＞0，sin α＜0. 2. 3－12 解析：因为点P 是单位圆上一点，所以sin α＝32，cos α＝12，sin α－cos α＝3－12. 3. 2k π－π3，k ∈Z 解析：∵ P(1，－3)，∴ α＝2k π－π3，k ∈Z. 4. 钝角三角形 解析：∵ cos A ·cos B<0，∴ A 是钝角或者B 是钝角．5. －32 解析：f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－32.6. 6或－34 解析：∵ sin A ＝45，且A 是三角形的一个内角，∴ cos A ＝±35， ∴ 5sin A ＋815cos A －7＝4＋8±9－7＝6或－34. 7. 1 解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得sin α＝2cos α， ∴ tan α＝2.∴ 4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1. 8. －3125 解析：将sin θ＝2cos θ－25代入平方关系得⎝⎛⎭⎪⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1，解得cos θ＝－725或35(不符，舍去)，从而sin θ＝－2425，故sin θ＋cos θ＝－3125. 9. －23 解析：因为0<θ<π4，所以cos θ>sin θ，即sin θ－cos θ<0.又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，所以sin θ－cos θ＝－23. 10. ①④ 解析：对于①，在α终边上任取一点(x ，y)，则x ＞0，y ＞0，sin α＝y x 2＋y 2，cos α＝x x 2＋y 2，sin α＋cos α＝x ＋y x 2＋y 2＞x ＋y x 2＋y 2＋2xy＝1，∴ ①正确；由⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232≠1知②不正确；对于③，取α＝π2，则||cos 2α＝－cos 2α成立，但是π2终边不在一、二象限，∴ ③不正确；对于④，由tan(5π＋α)＝－2得tan α＝－2，cos α＝－12sin α，又cos α>0，∴ sin α<0，再由sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin α＝－255，∴ sin (α－π)＝－sin α＝255，④正确． 11. 解：(1) 原式＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α. (2) 原式＝1＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α(cos α1＋sin α－sin α1＋cos α)－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝11＋sin α＋cos α[（1＋sin α＋cos α）cos α1＋sin α－（1＋cos α＋sin α）sin α1＋cos α]－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝11＋sin α＋cos α(cos α＋cos 2α1＋sin α－sin α－sin 2α1＋cos α)－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝11＋sin α＋cos α(cos α＋1－sin α－sin α－1＋cos α)－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α ＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α－2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝0. 12. 解：(1) ∵ θ的终边过点(x ，－1)(x≠0)，∴ tan θ＝－1x. 又tan θ＝－x ，∴ x 2＝1，∴ x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22，sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，sin θ＋cos θ＝－ 2. 综上，sin θ＋cos θ＝0或－ 2.(2) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋f(43－1)－1＝12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝－12＋cos π3＝0. 13. 解：(1) ∵ sin A ＋cos A ＝15 ①，两边平方得1＋2sin Acos A ＝125，∴ sin A ·cos A ＝－1225. (2) 由(1)sin Acos A ＝－1225<0，且0<A<π，可知cos A<0，∴ A 为钝角，∴ △ABC 是钝角三角形．(3) ∵ (sin A －cos A)2＝1－2sin Acos A ＝1＋2425＝4925. 又sin A>0，cos A<0，sin A －cos A>0，∴ sin A －cos A ＝75②， ∴ 由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， 则tan A ＝sin A cos A ＝－43.。
2018年高考数学专题12任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍理
专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一 象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。
(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。
【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。
(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )， 所以角－α的终边在第二象限。
由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。
所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。
【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。
(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。
(4)求并集化简集合。
2．确定k α，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出k α或αk的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定k α或αk的终边所在位置。
【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二 扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。
高三一轮复习苏教版必修4三角函数及三角恒等变换、正余弦定理导学案
总课题高三一轮复习---第四章三角函数总课时第1、2课时课题 4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数课型复习课教学目标1.了解任意角的概念及角的集合表示.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学重点1.象限角与终边相同的角的形式表示的应用.2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学难点同上学法指导讲练结合教学准备导学案导学《步步高》一轮复习资料自主学习高考要求三角函数的概念 B教学过程师生互动个案补充第1课时：一、基础知识梳理1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内的绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的；②分类：角按旋转方向分为、和 .(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝ .(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是________________角．第一象限角的集合是S＝；第二象限角的集合是S＝；第三象限角的集合是S＝；第四象限角的集合是S＝ .(4)轴线角终边在x轴的正半轴上的角的集合是S＝；终边在x轴上的角的集合是S＝；终边在y轴上的角的集合是S＝；终边落在坐标轴上的角的集合是S＝.2.弧度制(1)定义：把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．正角的弧度数是，负角的弧度数是，零角的弧度数是 .(2)角度制和弧度制的互化：360°＝______ rad；180°＝______ rad；1°＝________ rad；1 rad＝____________≈57.30°.(3) 弧长公式与扇形面积公式：l＝__________，即弧长等于____________________．3.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，|OP |＝r >0， 我们规定：①比值 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ ；②比值 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；③比值______(x ≠0)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ .(1)三角函数值在各象限的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示：口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．*(2)三角函数线(了解)下图中有向线段MP ，OM ，AT 分别表示____________，__________和__________．二、基础练习训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然.( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.( ) (4)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限.( )*(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1. ( )2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________.(填序号)①2k π＋45° (k ∈Z );②k ·360°＋94π (k ∈Z )；③k ·360°－315°(k ∈Z );④k π＋5π4 (k ∈Z ).3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________.4.已知sin α<0且tan α>0，则角α是第________象限角．5.已知角α的终边经过点)12,5(--P ，则sin ____,cos ___,tan ____ααα===．6．“α＝π6”是“sin α＝12”的________条件．三、典型例题分析题型一: 角及其表示例1：(1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是______________. (2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在______________.变式训练：(1)终边在直线y x =-上的角的集合是______________. (2)如果α是第一象限角，那么角2α的终边落在______________.(3)已知角α＝45°，在区间[－720°，180°]内与角α有相同终边的角β＝________.(4)与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．(5)已知角x 的终边落在图示阴影部分区域，写出角x 组成的集合．(a )(b )题型二: 三角函数的概念例2：已知角α终边上一点),3(y P -，且y 42sin =α，求αcos 和αtan 的值．变式训练：(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ等于___________________.(2)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________.(3) 已知角α的终边经过点P (－4a,3a ) (a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．第2课时：题型三 扇形的弧长、面积公式的应用例3：已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？变式训练：已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________.题型四 三角函数值的符号例4：若sin cos 0,tan cos 0θθθθ⋅>⋅<且，则角θ的终边落在第_______象限变式训练：1.若sin 0tan 0θθ<>且，则θ是第_______象限。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。
2018课标版理数一轮(4)第四章-三角函数、解三角形(含答案)1 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
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2-1 扇形弧长为20 cm,圆心角为100°,则该扇形的面积为 答案
360
cm2.
解析 由弧长公式l=|α|r,得
36 360 20 36 1 1 r= 100 = cm,∴S扇形= lr= ×20× = cm2. 2 2 180
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变式2-2 在本例(1)中,若去掉条件中的“面积是4”,则扇形的半径和 圆心角取何值时,扇形面积最大? 解析 设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=10.
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变式1-2 本例(3)中,若把第二象限改为第三象限,则结果如何? 解析
2
由角α终边在第三象限,可知π+2kπ<α< +2kπ,k∈Z,所以 +kπ<
2
3 2
α 3 < +kπ,k∈Z.
4
当k=2m(m∈Z)时, +2mπ< < +2mπ,
2
α 3 2 4
此时 的终边在第二象限;
2
所以当k=2m(m∈Z)时, +m·2π< < +m·2π,此时 的终边在第一象限;
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方法技巧 (1)给出一个角,判断该角为第几象限角的方法是:先将此角化为k· 360°+ α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与此角终边相同的角α(0°≤α<360°), 再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角. (2)已知θ的终边所在的象限,求 或nθ(n∈N*)的终边所在的象限的方法 是:将θ的范围用不等式(含有k(k∈Z))表示,然后两边同除以n或乘n,再对 k进行讨论,得到 或nθ(n∈N*)的终边所在的象限.
2018届苏教版(文) 弧度制与任意角的三角函数 单元测试
第21课弧度制与任意角的三角函数A 应知应会1.下列说法,正确的是.(填序号)①终边落在第一象限内的角为锐角;②锐角是第一象限角;③第二象限角为钝角;④小于90°的角一定为锐角;⑤角α与角-α的终边关于x轴对称.2.已知α为第二象限角,那么-的值为.3.若α=k·180°+45°,k∈Z,则α为第象限角.4.已知某扇形的周长是8 cm,面积为4 cm2,那么该扇形的圆心角的弧度是.5.已知sinα<0,tan α>0.(1)求角α的集合;(2)求角的终边所在的象限;(3)试判断tansincos的符号.6.已知角α的终边上有一点P(3a,4a),其中a≠0,求sinα,cosα,tanα.B 巩固提升1.已知cos x=,x是第二或第三象限角,那么实数a的取值范围为.2.已知角α的终边上有一点P(t,t2+1)(t>0),那么tanα的最小值为.3.(2016·合肥调研)函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为.4.若点P从点(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1按逆时针方向运动弧长到达点Q,则点Q的坐标为.5.已知角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0),且sinθ=m,试判断角θ的终边在第几象限,并求cosθ和tanθ的值.6.已知扇形AOB的周长为8 cm.(1)若此扇形的面积为3 cm2,求圆心角的大小;(2)当此扇形的面积取到最大值时,求圆心角的大小和弦长AB.第21课弧度制与任意角的三角函数A 应知应会1.②⑤【解析】命题①错,如:390°角的终边在第一象限内,但不是锐角;命题③错,如:480°角的终边在第二象限内,但不是钝角;命题④错,如:-30°小于90°,但不是锐角.2. 2【解析】由α为第二象限角,得|sin α|=sin α,|cos α|=-cos α,所以-=2.3.一或三【解析】当k=2n时,α=n·360°+45°,故α为第一象限角;当k=2n+1时,α=n·360°+225°,故α为第三象限角.因此α为第一或第三象限角.4. 2【解析】设扇形的半径为r,所对的弧长为l,则有解得故α==2.5.【解答】(1)由sin α<0,得角α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上;由tan α>0,得角α的终边在第一、三象限.故角α的终边在第三象限,其集合为.(2)由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,得kπ+<<kπ+,k∈Z,故角的终边在第二、四象限.(3)当角的终边在第二象限时,tan<0,sin>0,cos<0,所以tansin·cos>0;当角的终边在第四象限时,tan<0,sin<0,cos>0,所以tansin cos>0.综上,tansincos的符号为正.6.【解答】由题意知r==5|a|.当a>0时,r=5a,所以sinα===,cosα===,tanα===;当a<0时,r=-5a,所以sinα=-,cosα=-,tanα=.综上可知,当a>0时,sinα=,cosα=,tanα=;当a<0时,sinα=-,cosα=-,tanα=.B 巩固提升1.【解析】由题知-1<cos x<0,即-1<<0⇒解得-1<a<.故实数a的取值范围为.2. 2【解析】由题意知tanα==t+≥2,当且仅当t=1时等号成立,故tanα的最小值为2.3.,k∈Z【解析】因为3-4sin2x>0,所以sin2x<,所以-<sin x<,所以x∈kπ-,kπ+,k∈Z.4.【解析】由弧长公式l=|α|·r,l=,r=1,得点P按逆时针方向转过的角度α=,所以点Q的坐标为,即.5.【解答】由题意得r=,所以sinθ==m.因为m≠0,所以m=±,故θ是第二或第三象限角.当m=时,r=2,点P的坐标为(-,),所以cosθ===-,tanθ===-.当m=-时,r=2,点P的坐标为(-,-),所以cosθ===-,tanθ===.综上可知,cosθ=-,tanθ=-或cosθ=-,tanθ=.6.【解答】设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α.(1)由题设可得解得或所以α==或α==6.(2)因为2r+l=2r+αr=8,所以r=,所以S扇=αr2=α·=≤4,当且仅当α=,即α=2时,此扇形的面积取到最大值4,此时r==2(cm),所以AB=2×2sin 1=4sin 1(cm).。
第四章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
题型二 弧度制及其应用
例 2 (1)已知一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，则此扇形的弧积为____3____ cm2.
由已知得 α＝π3，R＝10 cm， 所以 l＝αR＝π3×10＝130π(cm)， S 扇形＝12αR2＝12×π3×102＝530π(cm2).
√C.第三、四象限
D.第一、四象限
因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边 在第三、四象限.
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一、单项选择题 1.给出下列四个命题，其中正确的是 A.－34π是第四象限角 B.43π是第二象限角 C.－400°是第一象限角
√D.－315°是第一象限角
思维升华
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三 角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽 略角的终边在坐标轴上的情况.
跟踪训练 3 (1)已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝
A.2kπ－45°(k∈Z)
B.k·360°＋94π(k∈Z)
√C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋54π(k∈Z)
自主诊断
与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制 不能混用，所以只有 C 正确.
自主诊断
3.(必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ
题型三 三角函数的概念
例 3 (1)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系中，角 α 以 x 轴的非负半轴为
江苏省宿迁市马陵中学高考数学 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数复习测试
第四章 三角函数、角三角形§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数(时间：45分钟 满分：100分)一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．若角120°的终边上有一点(－4，a)，则a 的值是________．2．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为______________．3．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角．4．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x ，y)是其终边上一点，则cos α＝－x x2＋y2. 其中正确的命题的个数为________．5．已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________． 6．已知α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P(－4m,3m) (m>0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α等于________．7．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m ，5)，且cos α＝24m ，则sin α的值为________． 8．若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________. 9．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是______________．二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)设θ为第三象限角，试判断sin θ2cos θ2的符号． 11．(16分)扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.12．(16分)角α终边上的点P 与A(a,2a)关于x 轴对称(a>0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋t an α·tan β的值．答案1.4 32.2kπ－β (k ∈Z)3.三或四4.15.126.257.1048.22或－22－1 9.⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，π＋2kπ (k ∈Z) 10.解 ∵θ为第三象限角，∴2kπ＋π<θ<2kπ＋3π2 (k ∈Z)， kπ＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z)． 当k ＝2n (n ∈Z)时，2nπ＋π2<θ2<2nπ＋34π，此时θ2在第二象限．∴sin θ2>0，cos θ2<0.因此sin θ2cos θ2<0；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，(2n ＋1)π＋π2<θ2<(2n ＋1)π＋3π4(n ∈Z)，即2nπ＋3π2<θ2<2nπ＋7π4(n ∈Z)．此时θ2在第四象限．∴sin θ2<0，cos θ2>0，因此sin θ2cos θ2<0.综上可知sin θ2cos θ2<0.11.解 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，12lr ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l·2r≤14⎝⎛⎭⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4.∴r ＝2，∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.12.解 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a)， 点Q 的坐标为(2a ，a)．所以，sin α＝－2a a2＋(－2a)2＝－25，cos α＝a a2＋(－2a)2＝15，tan α＝－2a a ＝－2，sin β＝a(2a)2＋a2＝15，cos β＝2a (2a)2＋a2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．【答案】【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.5.如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；【答案】第二象限角【解析】因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，即所以θ为第二象限角．6.若θ是第二象限角，试判断sin(cosθ)的符号．【答案】负号【解析】∵2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴－1<cosθ<0，∴sin(cosθ)<0.∴sin(cosθ)的符号是负号．7.已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．【答案】【解析】如图，∠AOB＝2rad，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，且AC ＝AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝8.已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P，则α＝__________．【答案】【解析】将点P的坐标化简得，它是第四象限的点，r＝|OP|＝1，cosα＝＝.又0≤α≤2π，所以α＝.9.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________．【答案】2【解析】依题意知解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3.又sinα＜0，∴α的终边在第三象限，∴n＜0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.10.等于()A．sin2-cos2B．cos2-sin2C．±(sin2-cos2)D．sin2+cos2【答案】A【解析】原式===|sin2-cos2|,∵sin2>0,cos2<0,∴原式=sin2-cos2.11.已知点P(sinπ,cosπ)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】点P(sinπ,cosπ),即为P(,-),它在第四象限的角平分线上,且θ∈[0,2π),故选D.12.在单位圆中,一条弦AB的长度为,则弦AB所对的圆心角α是rad.【答案】π【解析】由已知R=1,∴sin==,∴=,∴α=π.13.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值14.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】角600°的终边与角-120°的终边相同，且角-120°的终边在第三象限，，所以.故选B.或解：因为角角600°的终边在第三象限，第三象限角终边上的点任一点，，由选项可知，只有B满足.故选B.【考点】1.终边相同的角的运用；2.三角函数的定义的运用.15.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式16.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.17.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.18.若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以==，=，故选A.【考点】本题主要考查特殊角的三角函数值，诱导公式、和差倍半公式的应用。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习专题4.1弧度制及任意角的三角函数(练)
专题4.1 弧度制及任意角的三角函数【基础巩固】1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题的个数为________． 【答案】32．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 【答案】二【解析】由题意知tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角．3．(2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m ＝________.【答案】3 【解析】sin θ＝m16＋m 2＝35，解得m ＝3. 4.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) 【解析】在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )． 5．设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________． 【答案】(－cos α，－sin α)【解析】由已知P (cos α，sin α)，则Q (－cos α，－sin α)． 6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．【答案】π3【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.7．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32【解析】由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.8．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是第________象限角．【答案】二9．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________． 【解析】设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 【答案】 310．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________. 【答案】－35【解析】由题意知， tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.11．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是________． 【答案】112．(2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－2,3]【解析】∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.【能力提升】13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________. 【答案】1【解析】圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.14．(2017·泰州模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.【答案】－43【解析】因为α是第二象限角， 所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.15．函数y ＝2sin x －1的定义域为________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )【解析】∵2sin x －1≥0， ∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．【答案】(2－sin 2,1－cos 2)。
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(经典练习及答案详解)
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式3.任意角的三角函数 (1)定义(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－1213，则m 的值为( ) A.－5 B.5C.±5D.±8答案 C解析 由三角函数的定义可知cos θ＝－12（－12）2＋m2＝－1213，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°}解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案 D解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角 答案 BD解析 对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，∵角α的终边在第二象限， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4＜α2＜2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4＜α2＜(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三象限角，故正确.6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 答案 π50解析 ∵周角为2π rad ， ∴1密位＝2π6 000＝π3 000(rad)， ∴60密位＝π3 000·60＝π50(rad).考点一 角的概念及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A 、B ，易知D 错误，C 正确.2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 BD解析 ∵α为第三象限角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，π2＋2m π<α2<3π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第二象限， 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α2<7π4＋2m π，m ∈Z ， 此时α2在第四象限.综上，α2的终边在第二或第四象限.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3解析 终边在直线y ＝3x 上的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤π3＋k π<2π，k ∈Z ， 解得k ＝－2，－1，0，1，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.感悟升华 1.确定nα，αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn 的范围，然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二 弧度制及其应用【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，若α＝π3，R ＝10 cm ，求：(1)扇形的面积；(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 (1)由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). (2)l ＝α·R ＝π3·10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3·10－12×102×32＝50π－7533(cm 2).感悟升华 应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2(2)已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案 (1)ABC (2)4解析 (1)设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1. (2)设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ， 则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r ) ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4， 所以S max ＝4(cm 2).考点三 三角函数的定义及应用角度1 求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A.－33 B.±33C.－32D.±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32. 综上sin α·tan α＝－32. 角度2 由三角函数值求参数【例3】已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12.角度3 三角函数值的符号【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边可能在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.y 轴上D.x 轴上答案 AD解析∵|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，∴角θ2的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.感悟升华 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练2】(1)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y＝________.答案(1)D(2)－3解析(1)由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.故选D.(2)因为sin θ＝－31010<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y ＝－3.A 级 基础巩固一、选择题1.小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为( ) A.π3 B.π6C.－π3D.－π6答案 B解析 因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为π6.故选B.2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是( ) A.－3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角答案 BCD解析 －3π4是第三象限角，故A 错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，B 正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C 正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D 正确.3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，则sin α＝( )A.－32B.－12C.32D.12答案 D解析 由任意角三角函数的定义得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.故选D.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.5.若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－3π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－π4，k ∈Z 答案 D解析 由图知，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π＋3π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝（2n ＋1）π－π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π4，k ∈Z . 6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角， 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2<0， 综上可知，θ2为第二象限角.7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去).故选A.8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )A.经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3B.经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12C.经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D.经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇答案 ABD解析 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确.二、填空题9.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________.答案 (－1，3)解析设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标为(－1，3).11.(2021·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________.答案 55°解析 由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，所以α＝55°.12.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝________.答案 55解析 由O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15， 即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝|a |＝55.B 级 能力提升13.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .14.(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β＋4cos βB.4β＋4sin βC.2β＋2cos βD.2β＋2sin β 答案 B解析 如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分的面积最大.又AB 的长为定值，故当点P 为优弧的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 面积最大，即当P 为优弧的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝180°－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB ＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β.故选B.15.一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案 7＋439解析 设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439.16.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________.答案解析 因为tan α<cos α，所以P 所在的圆弧不是，因为tan α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，又cos α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，所以P 所在的圆弧是.。
高考数学大一轮复习4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数教师用书理苏教版【含答案】
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }．(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象 限符号第三象 限符号第四象 限符号sin α R ＋ ＋ － － cos αR ＋－－＋tan α{α|α≠kπ＋π2，k ∈Z }＋ － ＋ －4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .三角函 数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)角α终边上点P 的坐标为(－12，32)，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( × ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．( × ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )(4)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．( √ ) (5)α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( √ )(6)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )1．角－870°的终边所在的象限是第________象限． 答案 三解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________． 答案2sin 1解析 设圆的半径为r ，则sin 1＝1r ，∴r ＝1sin 1，∴2弧度的圆心角所对弧长为2r ＝2sin 1. 3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝____________.答案 －8解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8.4．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )解析 ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．题型一 角及其表示例1 (1)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________． (2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．答案 (1){α|α＝k π＋π3，k ∈Z } (2)第一、二象限或y 轴的非负半轴上解析 (1)∵在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π3＋k π，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ，∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z .∴角2α的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．(1)在直角坐标平面内，对于始边为x 轴非负半轴的角，下列命题中正确的是________．(填序号)①第一象限中的角一定是锐角； ②终边相同的角必相等； ③相等的角终边一定相同； ④不相等的角终边一定不同．(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________. 答案 (1)③ (2)－675°或－315°解析 (1)第一象限角是满足2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z 的角，当k ≠0时，它都不是锐角，与角α终边相同的角是2k π＋α，k ∈Z ；当k ≠0时，它们都与α不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同． (2)由终边相同的角关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°. 题型二 三角函数的概念例2 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是第________象限角．思维点拨 (1)由于三角函数值与选择终边上的哪个点没有关系，因此知道了终边所在的直线，可在这个直线上任取一点，然后按照三角函数的定义来计算，最后用倍角公式求值． (2)可以根据各象限内三角函数值的符号判断． 答案 (1)－35(2)三解析 (1)取终边上一点(a,2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而角α为第二或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而角α为第三或第四象限角，故角α为第三象限角．思维升华 (1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r .(2)根据三角函数定义中x 、y 的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．(1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．(2)若θ是第二象限角，则θθ________0.(判断大小)答案 (1)12(2)<解析 (1)∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45， ∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.(2)∵θ是第二象限角，∴－1<cos θ<0,0<sin θ<1， ∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，∴sin cos θcos sin θ<0.题型三 弧度制的应用例3 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 思维点拨 (1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数． 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则 α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3＝503π－5032＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.思维升华 涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l ＝|α|R ，S ＝12|α|R 2.已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________． 答案 1 cm 2 1 cm 2解析 设扇形圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r－2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.数形结合思想在三角函数中的应用典例：(1)函数y ＝sin x －32的定义域为________． (2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C (2,1)时，OP →的坐标为________．思维点拨 (1)求函数定义域可转化为解不等式sin x ≥32，利用三角函数线可直观清晰地得出角x 的范围．(2)点P 转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P 点坐标和三角形边长的关系．解析 (1)∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)如图所示，过圆心C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过P 作x 轴的垂线与过C 作y 轴的垂线交于点B .因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin(2－π2)＝－cos 2，CB ＝cos(2－π2)＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2， 所以OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案 (1)[2k π＋π3，2k π＋23π], k ∈Z(2)(2－sin 2,1－cos 2)温馨提醒 (1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置；(2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系.方法与技巧1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．OP ＝r 一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．失误与防范1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝________. 答案255解析 由三角函数的定义， 得sin α＝2－2＋22＝255. 2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________． 答案3解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ， 所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3.3．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角x 的最小正值为________．答案5π3解析 因为sin x ＝cos 5π6＝－32，cos x ＝sin 5π6＝12，所以x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，故当k ＝1时，x ＝5π3，即角x 的最小正值为5π3.4．若α是第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α2|cosα2的值为________．答案 0解析 ∵α是第三象限角， ∴2k π＋π<α<2k π＋32π(k ∈Z )，∴k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，∴角α2在第二象限或第四象限．当α2在第二象限时，y ＝sin α2sin α2－cosα2cosα2＝0， 当α2在第四象限时，y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cosα2＝0， 综上，y ＝0.5．已知θ角的终边与480°角的终边关于x 轴对称，点P (x ，y )在θ角的终边上(不是原点)，则xyx 2＋y 2的值等于________．答案34解析 由题意知角θ的终边与240°角的终边相同， 又∵P (x ，y )在角θ的终边上， ∴tan θ＝tan 240°＝3＝y x，于是xyx 2＋y 2＝y x1＋y x2＝31＋3＝34. 6．设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝24m ，则sin α的值为________． 答案104解析 设P (m ，5)到原点O 的距离为r ， 则m r ＝cos α＝24m ， ∴r ＝22，sin α＝5r ＝522＝104.7．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.答案 －35解析 由题意及图，易知A 点的横坐标为－35，所以cos α＝－35.8．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________________________________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .9．已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m3＋m2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝－5－3＝153. 10．已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积． 解 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)． (2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2 ＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.(3)设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ， S 弓＝S 扇形－S 三角形＝12×π3×22－12×22×sin π3 ＝(2π3－3)(cm 2)． B 组 专项能力提升(时间：20分钟)1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________cm 2.答案 80π解析 ∵72°＝2π5， ∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)． 2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．答案 －1解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限， 又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.3．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为________．答案 (1，3)解析 设B (x ，y )，由题意知OA ＝OB ＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限，∴x ＝2cos 60°＝1，∴y ＝2sin 60°＝3，∴B 点的坐标为(1，3)．4．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①MP <OM <0；②OM <0<MP ；③OM <MP <0；④MP <0<OM .其中正确的是________．答案 ②解析 角1718π在第二象限，OM <0，MP >0，∴②正确． 5．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·|－π6|＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点和Q 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置， 则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π， Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。
4-1任意角、弧度制及任意角的三角函数单元测试题(含答案)
CБайду номын сангаас第三象限
3．若一扇形的圆心角为 72° ，半径为 20 cm，则扇形的面积为( A．40 π cm2 B．80 π cm2 C．40 cm2
D．80 cm2 )．
3 4．(2012· 安庆质检)若 cos α＝－ 2 ，且角 α 的终边经过点(x,2)，则 P 点的横坐标 x 是( A．2 3 B．± 2 3 C．－2 2 D．－2 3
4-1 任意角、弧度制及任意角的三角函数单元测试题
A级 基础达标演练 满分：60 分) (时间：40 分钟 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．sin 2cos 3tan 4 的值( A．小于 0 )． B．大于 0 C．等于 0 )． D．第四象限 )． D．不存在
θ θ θ 2．设 θ 是第三象限角，且cos2＝－cos2，则2是( A．第一象限 B．第二象限
(时间：30 分钟 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
4 1．已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30° )，且 cos α＝－5，则 m 的值为 1 A．－2 1 B.2 3 C．－ 2 3 D. 2
(
)．
2π 2．(2012· 北京东城模拟)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 逆时针方向运动 3 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为( 1 3 A.－ ， 2 2 )． 3 1 B.－ ，－ 2 2 1 3 C.－ ，－ 2 2 3 1 D.－ ， 2 2
二、填空题(每小题 4 分，共 8 分) 3．若三角形的两个内角 α，β 满足 sin αcos β＜0，则此三角形为________． 4．函数 y＝ sin x＋ 三、解答题(共 22 分) 5．(10 分)如图所示，A，B 是单位圆 O 上的点，且 B 在第二象限，C 是圆与 x 轴正半轴的交点，A 点 3 4 的坐标为5，5，△AOB 为正三角形． (1)求 sin∠COA； (2)求 cos ∠COB. 1 2－cos x的定义域是________．
2018届苏教版 任意角、弧度及任意角的三角函数 单元测试
任意角、弧度及任意角的三角函数基础巩固组1.若α=k·180°+45°(k∈Z),则角α在().A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限答案:A解析:当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,此时角α为第三象限角;当k=2m(m ∈Z)时,α=m·360°+45°,此时角α为第一象限角.2.若角α和角β的终边关于x轴对称,则角α可以用角β表示为().A.2kπ+β(k∈Z)B.2kπ-β(k∈Z)C.kπ+β(k∈Z)D.kπ-β(k∈Z)答案:B解析:因为角α和角β的终边关于x轴对称,所以α+β=2kπ(k∈Z),所以α=2kπ-β(k∈Z).3.若一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为().A.π3B.2π3C.3D.答案:C解析:设圆的半径为R,由题意可知,圆内接正三角形的边长为3R,则圆弧长为3R.故该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR= 3.4.已知点P(tan α,cos α)在第二象限,则角α的终边所在的象限为().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:由题意,得tanα<0,且cosα>0,则角α的终边在第四象限.5.(2015河南洛阳统一考试)已知角α的终边经过点A(-3,a),若点A在抛物线y=-14x2的准线上,则sin α=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:抛物线的准线方程为y=1,因为点A(-3,a)在抛物线y=-14x2的准线上,所以a=1,所以点A(-3,1),所以sinα=3+1=12,故选D.6.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所在半径的大小无关; ④若sin α=sin β,则α与β的终边相同; ⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4答案:A解析:由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin π6=sin 5π6,但π6与5π6的终边不相同,故④错;当θ=π,cos θ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知,只有③正确.7.若三角形的两个内角α,β满足sin αcos β<0,则此三角形为 . 答案:钝角三角形解析:∵sin αcos β<0,且角α,β是三角形的两个内角,∴sin α>0,cos β<0,∴角β为钝角.故三角形为钝角三角形. 8.函数y= 2cos x -1的定义域为 . 答案: 2kπ-π3,2kπ+π3(k ∈Z ) 解析:∵2cos x-1≥0,∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示).则x ∈ 2kπ-π3,2kπ+π3(k ∈Z ).9.已知角α的终边在直线y=-3x 上,求10sin α+3cos α的值. 解:设角α终边上任一点为P (k ,-3k )(k ≠0),则r= k 2+(-3k )2= 10|k|.当k>0时,r= 10k ,则sin α=10k =- 10,1cos α=10kk= 10,因此,10sin α+3cos α=-3 10+3 10=0. 当k<0时,r=- 10k , 则sin α=-10k=3 101cos α=- 10kk=- 10, 因此,10sin α+3cos α=3 10-3 10=0. 综上,10sin α+3cos α=0.10.(1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角;(2)已知一个扇形OAB 的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB. 解:(1)设圆心角是θ,半径是r ,则 2r +rθ=10,12θr 2=4,解得 r =4,θ=12或 r =1,θ=8(舍去).因此,扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm,弧长为l cm,则 12lr =1,l +2r =4,解得 r =1,l =2. 则圆心角α=lr=2.如图,过O 作OH ⊥AB 于点H ,则∠AOH=1.因为AH=1·sin1=sin1(cm), 所以AB=2sin1(cm).能力提升组11.已知角α=2k π-π5(k ∈Z ),若角θ与角α的终边相同,则y=sin θ|sin θ|+|cos θ|cos θ+tan θ|tan θ|的值为( ).A.1B.-1C.3D.-3答案:B解析:由α=2k π-π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.因此,y=-1+1-1=-1,故选B .12.若点P 从(2,0)出发,沿圆x 2+y 2=4按顺时针方向运动2π3弧长到达点Q ,则点Q 的坐标为( ).A . 12,-32B . -32,-12C.(1,- 3)D.(- 3,1)答案:C解析:由弧长公式得,点P 顺时针转过的角度α=-π3,则点Q 的坐标为 2cos -π3 ,2sin -π3 ,即 1,- 3 .13.已知角θ的终边经过点P (-x ,-6),且cos θ=-513,则sin θ= ,tan θ= . 答案:-1213125 解析:cos θ==-513,解得x=52. sin θ=-52+(-6)2=-1213,tan θ=125.14.一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? 解:设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,则l+2r=20,即l=20-2r (0<r<10).扇形的面积S=12lr=12(20-2r )r =-r 2+10r=-(r-5)2+25.则当r=5cm 时,S 有最大值25cm 2, 此时l=10cm,α=l r =2.因此,当α=2时,扇形的面积取最大值.15.已知sin 2θ<0,且|cos θ|=-cos θ,问点P (tan θ,cos θ)在第几象限? 解:法一:由sin2θ<0,得2k π+π<2θ<2k π+2π(k ∈Z ),即k π+π2<θ<k π+π(k ∈Z ).当k 为奇数时,角θ的终边在第四象限; 当k 为偶数时,角θ的终边在第二象限.又cos θ≤0,所以角θ的终边在左半坐标平面(包括y 轴),所以角θ的终边在第二象限. 所以tan θ<0,cos θ<0,故点P 在第三象限. 法二:由|cos θ|=-cos θ, 知cos θ≤0.① 又sin2θ<0,所以2sin θcos θ<0. ②由①②可推出 sin θ>0,cos θ<0,则tan θ<0,故点P 在第三象限.。
苏教版必修四第一章三角函数1.1任意角、弧度(习题+解析)
高中随意角、弧度数学（答题时间： 30 分钟）1. 把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240 °所形成的角是 ________。
*2. （曲阜师大附中检测）在－720 °～ 720 °内与－ 1 050 角°终边同样的角是 ________。
3. 写出终边在如下图暗影部分 （包含界限） 的角的会合。
（1）________，（ 2）________。
**4. 若 α是第三象限角，求角 2α所在的象限为 ________， 所在的象限为 ________。
25. 已知扇形 AOB 的圆心角为 120 °，半径长为 6，则：（ 1） AB 的长为 ________；（ 2）扇形所含弓形的面积为 ________。
**6. 若角 α与角－ 2的终边垂直，试表示知足条件的角α的会合，并研究其终边有何3地点关系？1. － 240 ° 分析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角，且旋转了 240 °，故填－ 240 °。
2. － 690 °或－ 330 °或 30°或 390 ° 分析：与－ 1 050 °边同样的角可表示为终 k ·360 °－ 1 050 ° （ k ∈ Z ），k ＝ 1 时， 1×360 °－1 050 ＝°－ 690 °， k ＝ 2 时， 2×360 °－1 050 ＝°－ 330 °， k ＝ 3 时， 3×360 °－1 050 ＝° 30°， k ＝ 4 时， 4×360 °－1 050＝° 390 °。
3.（ 1）{ α|30 °＋ k · 360 °≤α 150＋°k ·360 °， k ∈Z } ；（ 2）{ α|－ 210 °＋ k · 360 α°≤30＋°k ·360 °， k ∈ Z} 分析：先写出界限角，再按逆时针次序写出地区角，则（ 1）{ α|30 ＋°k · 360 α°≤150＋°k ·360 °，k ∈ Z} ；（ 2）{ α|－ 210 °＋ k · 360 α°≤30＋°k ·360 °， k ∈ Z} 4. 第一、二象限角或终边在 y 轴的正半轴上的角；第二象限角或第四象限角分析：由角 α是第三象限角可知，k ·360 °＋ 180 °＜ α＜ k ·360 °＋ 270 °，k ∈ Z ，于是， 2k ·360 °＋ 360 °＜ 2α＜ 2k ·360 °＋540 °， k ∈ Z ， 即（ 2k ＋ 1） ·360 °＜ 2α＜（ 2k ＋ 1） ·360 °＋ 180 °， k ∈ Z ， 所以 2α为第一、二象限角或终边在 y 轴的正半轴上的角，由于 k ·180 °＋ 90 °＜＜ k ·180 °＋135 °， k ∈ Z ，2当 k 为奇数时，设k ＝ 2n ＋1， n ∈ Z ，则 n ·360 °＋270 °＜＜ n ·360 °＋ 315 °， n ∈ Z ，此2时为第四象限角；2当 k 为偶数时，设k ＝ 2n ， n ∈ Z ，则 n ·360 °＋ 90 °＜＜n ·360 °＋135 °， n ∈ Z ，此时22第1页/共2页为第二象限角，所以为第二象限角或第四象限角。
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第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．5.0sin 1B ．sin 0.5C ．2sin 0.5D ．tan 0.5【答案】A ． 【解析】5.0sin 1=r ，5.0sin 15.0sin 11=⨯==∴r l α，故选A.2．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．2 3 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3 【答案】D∴x ＝－2 3.故选D.3. 若3π2<α<2π，则直线x cos θ＋y sin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】 判断cos α>0，sin α<0，数形结合．4．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )．A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 【答案】D【解析】由sin 3π4＞0，cos 3π4＜0知角θ是第四象限的角，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.5. 若α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 【答案】C【解析】 P (2sin30°，－2cos30°)即P (1，－3)， ∴r ＝2，故sin α＝－32，故选C. 6．若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为( ) (A)40πcm 2(B)80πcm 2(C)40cm 2(D)80cm 2【答案】选B.【解析】72°=, ∴S 扇形=αR 2=³³202=80π(cm 2). 7．若α是第三象限角，则y ＝sin α2sin α2＋cosα2cosα2的值为( )A ． 0B ．2C ．－2D ．2或－2 【答案】A8．角α与角β的终边互为反向延长线，则( ) A ．α＝－β B ．α＝180°＋βC ．α＝k ²360°＋β(k ∈Z )D ．α＝k ²360°±180°＋β(k ∈Z ) 【答案】D【解析】因为角α与角β的终边互为反向延长线，则360180,360180()k k k Z αβαβ-=⋅±∴=⋅±+∈o o o o ，选D9．若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为( ) A.1sin 21B.2sin 22 C.1cos 21 D.2cos 22【答案】A【解析】由题意得扇形的半径为1sin 1.又由扇形面积公式得，该扇形的面积为12²2²1sin 21＝1sin 21. 10. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠ AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)【答案】A【解析】 由三角函数的定义知P (cos θ，sin θ)，选A.11. 已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12D.12【答案】D12. 点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 【答案】A【解析】 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ， y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中的横线上。
） 13．角函数y ＝2sin x －1的定义域为________. 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )【解析】∵2sin x －1≥0，∴sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z).14.【2017九江模拟】若390°角的终边上有一点P (a ，3)，则a 的值是________. 【答案】3 315．若角α终边所在的直线．．经过()33,si co 4s n 4P ππ，O 为坐标原点，则OP = ，sin α= 【答案】1；2±【解析】1OP ==；若()33,si co 4s n 4P ππ在其终边上，则3sin4sin 12πα==；若()33,si co 4s n 4P ππ在其终边延长线上，则sin 2α=-，综上sin α=2±16．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 【答案】23【解析】设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r ，由题意圆锥的侧面展开图得弧长（即圆锥得底面圆周长）为43π，由,342r ππ=得,32=r 圆锥母线与底面所成角的余弦值为32==l r .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边,锐角α的终边与单位圆在第一象限交于点A ，且点A 的纵坐标为1010，锐角β的终边与射线x-7y=0（0x ≥）重合． （1）求tan tan αβ和的值； （2）求2αβ+的值．()11tan tan 137tan 1tan tan 2137αβαβαβ++∴+===--⋅ ()[]11tan tan()32tan 2tan ()1111tan tan()132ααβαβααβααβ+++∴+=++===-⋅+-⋅02πα<< ，x y tan =在)2,0(π上单调递增，且4tan 1tan πα=< ，∴40πα<<，同理40πβ<<，∴4320πβα<+< ， 从而24παβ+=18．直角坐标系xoy 中，锐角α的终边与单位圆的交点为P ，将OP 绕O 逆时针旋转到OQ ，使α=∠POQ ，其中Q 是OQ 与单位圆的交点，设Q 的坐标为),(y x ．（Ⅰ）若P 的横坐标为53，求x y ；（Ⅱ）求y x +的取值范围．法二：∵P 的横坐标为35, ∴34cos ,sin 55αα==， ∴229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-， 4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=∴sin 224cos 27y x αα==- （Ⅱ）cos 2sin 2x y αα+=+,),(0,)42ππαα=+∈，∴ 52(0,),2(,)444πππαπα∈+∈，∴sin(2)(42πα+∈-,)(4πα+∈-,∴x y +的取值范围是(-19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，直线AB 的倾斜角为34π，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈(π2，34π)．用θ表示点B 的坐标及|OA |.【答案】|OA |＝2sin θ＋2cos θ∴|OA |＝2sin θ＋2cos θ.20．如图，在平面直角坐标系xoy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．（1）若点B 的横坐标为，求tan α的值；（2）若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； （3）若]32,0[πα∈，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式． 【解析】（1）由题意可得)53,54(-B ，根据三角函数的定义得：43tan -==x y α； （2）若△AOB 为等边三角形，则B （，）或（，）可得3tan ==∠xyAOB 或3-，故∠AOB=，或；故与角α终边相同的角β的集合为},23{Z k k ∈+=ππββ},23{Z k k ∈+-=ππββ ；（3）若]32,0[πα∈，则S 扇形=αα21212=r ，而S △AOB =³1³1³sin α=sin α， 故弓形的面积S=S 扇形﹣S △AOB =ααsin 2121-，]32,0[πα∈.。