【人教A版】最新版必修三导学案设计(含答案)第二章-2.3
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[学习目标 ] 1.理解两个变量的有关关系的观点.2.会作散点图,并利用散点图判断两个变量之间能否拥有有关关系.3.会求线性回归方程.
知识点一变量间的有关关系
1.变量之间常有的关系
函数关系变量之间的关系能够用函数表示
有关关系变量之间有必定的联系,但不可以完整用函数表示
2.有关关系与函数关系的差别与联系
类型差别联系
①函数关系中两个变量间是一种确①在必定的条件下能够互相
函数关系
定性关系;②函数是一种因果关系,转变,关于拥有线性有关关系
有 的因,必有 的果.比如,
的两个 量来 , 当求得其
的半径由
1 增大 2,其面 必定
性回 方程后, 能够用一种确
由 π增大到 4π
定性的关系 两个 量
①有关关系是一种非确立性关系.
例
的取 行 估;
如,抽烟与患肺癌之 的关系,二者之 然没有确立的函数关系, 但吸
有关关系
烟多的人患肺癌的 会大幅增添,二者之 即是一种非确立性的关系;②有关关系不必定是因果关系, 也可能是陪伴关系
②有关关系在 生活中大
量存在, 从某种意 上 ,
函
数关系是一种理想的关系模
型,而有关关系是一种更 一
般的状况
知 点二 散点 及正、 有关的观点
1.散点
将 本中
n 个数据点 (x i , y i )(i = 1,2,⋯, n)描在平面直角坐 系中,以表示拥有有关关系的
两个 量的一 数据的 形叫做散点 .
2.正有关与 有关
(1)正有关:散点 中的点分布在从左下角到右上角的地区.
(2) 有关:散点 中的点分布在从左上角到右下角的地区.
思虑 随意两个 数据能否均能够作出散点 ?
答 能够,不论 两个 量能否具 有关性,以一个 量 作 横坐 ,另一个作 坐
,均可画出它的散点 .
知 点三
回 直
1.回 直
假如散点 中点的分布从整体上看大概在一条直 邻近,就称 两个 量之 拥有 性有关
关系, 条直 叫做回 直 .
2.回 方程与最小二乘法
我 用 y i
^ ^ ^ i
i
i
i
i
- y 来刻画 察
y (i = 1,2,⋯, n)与 y
的偏离程度, y - y 越小,偏离越小,直
^
就越 近已知点.我 希望
y i i
的 n 个差组成的 的差量越小越好, 才 明所找的直
- y
^
是最 近已知点的.因为把
y i - y i 个差量作和会使差量中的正 互相抵消,所以我
用 些差量的平方和即
Q = n
i i ) 2 作 差量, 回 直 就是全部直 中
Q 取最小
(y
- a - bx
i =
1
的那一条.因 平方又叫二乘方,所以 种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法.
^
^
用最小二乘法求回 方程中的 a , b 有下边的公式:
n
n
x i - x y i - y
x i y i - n x y
^ i =
1
i =
1
b =
=
,
n x i - x 2
n
2
i =
1
2
- n x
x
i
i =
1
^
^
a = y -
b x ,
1 n
1 n
此中 x =n = x i , y = n = y i .
i
1
i 1
^
^
^^^
这样,回归方程的斜率为 b ,截距为 a ,即回归方程为 y =bx + a.
思虑 任何一组数据都能够由最小二乘法得出回归方程吗?
答
用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据拥有线性有关关系
(可利用散点图来
判断 ),不然求出的回归方程是无心义的.
题型一
变量间有关关系的判断
例 1 在以下两个变量的关系中,哪些是有关关系?①正方形边长与面积之间的关系;②作文水平与课外阅读量之间的关系;③人的身高与年纪之间的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
解 两变量之间的关系有两种:函数关系与带有随机性的有关关系.
① 正方形的边长与面积
之间的关系是函数关系. ② 作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系,可是具
有有关性,因此是有关关系.
③ 人的身高与年纪之间的关系既不是函数关系,也不是有关关
系,因为人的年纪达到一准期间身高就不发生明显变化了,因此他们不具备有关关系.
④ 降
雪量与交通事故的发生率之间拥有有关关系.
综上,②④ 中的两个变量拥有有关关系.
反省与感悟函数关系是一种确立的关系,而有关关系是非随机变量与随机变量的关系. 函数关系是一种因果关系,而有关关系不必定是因果关系,也可能是陪伴关系.
追踪训练1以下两个变量间的关系不是函数关系的是()
A.正方体的棱长与体积
B.角的度数与它的正弦值
C.单产为常数时,土地面积与粮食总产量
D.日照时间与水稻的单位产量
答案D
分析函数关系与有关关系都是指两个变量之间的关系,可是这两种关系是不一样的,函数关
系是指当自变量一准时,函数值是确立的,是一种确立性的关系.因为 A 项 V= a3, B 项 y = sin α, C 项 y= ax(a> 0,且 a 为常数 ) ,所以这三项均是函数关系. D 项是有关关系.
题型二散点图
例 2 5名学生的数学和物理成绩(单位:分 )以下:
学生
A B C D E
成绩
数学成绩8075706560
物理成绩7066686462
判断它们能否拥有线性有关关系.
解以 x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩,得相应的散点图以下图.
由散点图可知,各点分布在一条直线邻近,故二者之间拥有线性有关关系.
反省与感悟1.判断两个变量x 和y 间能否拥有线性有关关系,常用的简易方法就是绘制散点图,
假如图上发现点的分布从整体上看大概在一条直线邻近,那么这两个变量就是线性相
关的,注意不要受个点的地点的影响.
2.画散点注意合理位度,防止形大或偏小,或许是点的坐在座系中
画禁止,使形失真,致得出.
追踪2量x,y 有数据 (x i, y i)(i =1, 2,⋯, 10),得散点①;量u, v 有数据 (u i, v i)( i= 1, 2,⋯, 10),得散点② .由两个散点能够判断()
A .量 x 与 y 正有关,
B .量 x 与 y 正有关,C.量 x 与 y 有关,D.量 x 与 y 有关,u 与 v 正有关u 与 v 有关u 与 v 正有关u 与 v 有关
答案C
型三求回直的方程
例 3某种品的广告支出x(位:百万元 )与售 y(位:百万元 )之有以下数据:
x24568
y3040605070
(1)画出散点;
(2)求回方程.
解 (1) 散点如所示.
(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算.
i 1 2 3 4 5 x i 2 4 5 6 8
y i 30 40 60 50 70 x i y i
60 160 300 300 560 x i 2
4
16
25
36
64
5
2
5
x = 5, y = 50,
, x i y i = 1 380
x i = 145
i = 1 i =
1
5
x i y i - 5 x y
^i =
1
= 1 380-5× 5× 50= 6.5,
于是可得, b =
5
145- 5× 52
2
2
x i - 5 x
i =
1
^
^
a = y -
b x = 50- 6.5× 5= 17.5.
^
于是所求的回归方程是 y = 6.5x + 17.5.
反省与感悟
1.求回归方程的步骤
(1)列表 x i ,y i , x i y i .
n
n
n
(2)计算 x , y ,
2
2
, x i y i . x i , y i i = 1 i = 1 i = 1
^ ^
(3)代入公式计算 b , a 的值.
^
^
^
(4)写出回归方程 y = a +bx.
2.求回归方程的合用条件
两个变量拥有线性有关性,若题目没有说明有关性,则一定对两个变量进行有关性判断.
追踪训练 32014 年元旦前夜,某市统计局统计了该市2013 年 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料以下表:
年收入 x(万元 )24466
年饮食支出 y(万元 )0.9 1.4 1.6 2.0 2.1
年收入 x(万元 )677810
年饮食支出 y(万元 ) 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
(1)假如已知y 与 x 是线性有关的,求回归方程;
(2)若某家庭年收入为9 万元,展望其年饮食支出.
1010
(参照数据:xy= 117.7,2x= 406)
i i i
i= 1i= 1
解依题意可计算得: x =6, y = 1.83, x 2= 36,
1010 x y = 10.98,又∵x i y i= 117.7,2
x i= 406,
i= 1i= 1
10
x i y i- 10 x y
^^^
∴ b=
i=1≈ 0.17,a= y - b x = 0.81,
10
x2i-10 x 2
i= 1
^
∴y= 0.17x+ 0.81.
^
∴所求的回归方程为y= 0.17x+ 0.81.
^
(2)当 x= 9 时, y= 0.17×9+ 0.81= 2.34( 万元 )
可估计大部分年收入为9 万元的家庭每年饮食支出约为 2.34 万元.数形联合思想
例 4以下是在某地收集到的不一样楼盘房子的销售价
钱y(单位:万元 )和房子面积 x(单位:m2)
的数据:
房子面积 x11511080135105
销售价钱 y49.643.238.858.444
判断房子的销售价钱和房子面积之间能否拥有线性有关关系.假如有线性有关关系,是正相关仍是负有关?
剖析作出散点图,利用散点图进行判断.
解数据对应的散点图以下图.
经过以上数据对应的散点图能够判断,房子的销售价钱和房子面积之间拥有线性有关关系,
且是正有关.
解后反省判断两个变量 x 和 y 能否拥有线性有关关系,常用的简易方法就是绘制散点图.假如发现点的分布从整体上看大概在一条直线邻近,那么这两个变量就拥有线性有关关系.注意不要受个别点的地点的影响.
1.炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有()
A .确立性关系B.有关关系
C.函数关系D.无任何关系
答案B
分析炼钢时钢水的含碳量除了与冶炼时间有关外,还受冶炼温度等的影响,故为有关关系.
^
2.设有一个回归方程为 y=- 1.5x+2,则变量 x 增添一个单位时 ()
A . y 均匀增添 1.5 个单位B. y 均匀增添 2 个单位
C.y 均匀减少 1.5 个位D. y 均匀减少 2 个位
答案C
分析∵两个量性有关,∴ 量x增添一个位,y 均匀减少 1.5 个位.
3.某商品的售量y( 位:件 )与售价钱x(位:元 /件 )有关,其回方程可能是()
^^
A. y=- 10x+200
B. y=10x+ 200
^^
C.y=- 10x- 200
D. y=10x- 200
答案A
分析合象 (略 ),知 B ,D 正有关,C 不切合意,只有 A 正确.
4.某大学的女生体重y(位: kg)与身高 x(位: cm)拥有性有关关系,依据一本数
据 (x i, y i)( i= 1,2,⋯, n),用最小二乘法成立的回方程^
y= 0.85x- 85.71,以下中
不正确的选项是 ()
A . y 与 x 拥有正的性有关关系
B .回直本点的中心( x , y )
C.若大学某女生身高增添 1 cm,其体重增添 0.85 kg
D.若大学某女生身高170 cm,可判定其体重必58.79 kg
答案D
^
分析当 x= 170 , y= 0.85× 170- 85.71=58.79,体重的估 58.79 kg.
^ 5.正常状况下,年在 18 到 38 的人,体重 y(kg) 身高 x(cm)的回方程= 0.72x-
y 58.2,明同学 (20 )身高 178 cm,他的体重在 ________kg 左右.
答案69.96
178 cm 的人的体重行,^
分析用回方程身高当 x= 178 ,y= 0.72×178- 58.2=69.96(kg) .
1.判断变量之间有无有关关系,简易可行的方法就是绘制散点图.依据散点图,可看出两个
变量能否拥有有关关系,能否线性有关,是正有关仍是负有关.
2.求回归直线的方程时应注意的问题
(1)知道 x 与 y 呈线性有关关系,无需进行有关性查验,不然应第一进行有关性查验.假如两
个变量之间自己不拥有有关关系,或许说,它们之间的有关关系不明显,即便求出回归方程
也是毫无心义的,并且用其估计和展望的量也是不行信的.
^^^^
(2)用公式计算 a、 b的值时,要先算出b,而后才能算出 a.
^^^
3.利用回归方程,我们能够进行估计和展望.若回归方程为y= bx+ a,则 x= x0处的估计值
^^^
为 y0= bx0+ a.
1.以下有关线性回归的说法,不正确的选项是()
A.变量取值一准时,因变量的取值带有必定随机性的两个变量之间的关系叫做有关关系
B.在平面直角坐标系顶用描点的方法获取表示拥有有关关系的两个变量的一组数据的图形
叫做散点图
C.回归方程最能代表观察值x、y 之间的线性关系
D.任何一组观察值都能获取拥有代表意义的回归直线
答案D
分析只有数据点整体上分布在一条直线邻近时,才能获取拥有代表意义的回归直线.
2.过 (3,10) ,(7,20) , (11,24)三点的回归方程是()
^
A. y= 1.75+5.75x
^
B.y=- 1.75+5.75x
^
C.y= 5.75+ 1.75x
^
D.y= 5.75-1.75x
答案C
分析x = 7, y = 18,回归方程必定过点( x , y ),代入 A 、 B、 C、D 选项可知,选 C. 3.以下图中拥有有关关系的是()
答案C
分析 A 中明显任给一个x 的值都有独一确立的y 值和它对应,是一种函数关系; B 也是一种函数关系; C 中从散点图可看出全部点看上去都在某直线邻近,拥有有关关系,并且是一
种线性有关; D 中全部的点在散点图中没有显示任何关系,所以变量间是不有关的.应选 C.
^^^^ 4.已知一组观察值 (x i, y i)作出散点图后确立拥有线性有关关系,若关于y= bx+ a,求得 b =
0.51, x = 61.75, y = 38.14,则回归方程为 ()
^^
A. y= 0.51x+6.65
B. y=6.65x+ 0.51
^^
C.y= 0.51x+ 42.30
D. y=42.30x+ 0.51
答案A
^^^^
分析因为 b= 0.51, a= y - b x ≈ 6.65,所以 y= 0.51x+ 6.65.
5.某产品的广告花费x(单位:万元 )与销售额 y(单位:万元 )的统计数据以下表:
广告花费 x4235
销售额 y49263954
^^^^
依据上表可得回归方程y= bx+ a中的 b
为9.4,据此模型预告广告花费为6万元时销售额为
()
A . 63.6 万元B. 65.5 万元C.67.7 万元D. 72.0 万元答案B
分析x =4+2+3+5
= 3.5, y =
49+26+39+54
= 42.因为回归直线过点( x , y ),所以44
^^^^
42= 9.4× 3.5+ a.解得 a= 9.1.故回归方程为y= 9.4x+ 9.1.所以当x= 6时, y= 6× 9.4+ 9.1=65.5.
^
6.工人薪资 y(元 )与劳动生产率x(千元 ) 的有关关系的回归方程为y= 50+ 80x,以下判断正确的是 ()
A .劳动生产率为 1 000 元时,工人薪资为130 元
B .劳动生产率提升 1 000 元时,工人薪资均匀提升80 元
C.劳动生产率提升 1 000 元时,工人薪资均匀提升130 元
D.当月薪资为 250 元时,劳动生产率为2000元
答案B
分析因为回归方程斜率为80,所以 x 每增添1, y 均匀增添80,即劳动生产率提升 1 000元时,工人薪资均匀提升80 元.
7.已知 x 与 y 之间的几组数据以下表:
x123456
y021334
^^^
假定依据上表数据所得线性回归方程为y= b
(1,0)和
x+ a .若某同学依据上表中的前两组数据
(2,2)求得的直线方程为y= b′ x+a′,则以下结论正确的选项是
()
^^^^
A. b> b′, a> a′
B. b>b′, a< a′
^^^^
C.b< b′, a> a′
D. b< b′, a< a′答案C
分析由 (1,0), (2,2)求 b′, a′ .
2- 0
b′==2,a′ =0-2× 1=-2.
^^6
求 a,b时,i i= 0+ 4+ 3+ 12+ 15+ 24=58,
x y
i=1
713
x=2, y =6,
6
2
x i= 1+ 4+ 9+ 16+ 25+ 36= 91,
i= 1
713 ^58- 6×2×6=5,
∴ b=
7 91-6×27
2
^
13-5×7=13-5=-1,
a=
672623
^^
∴b< b′, a> a′ .
二、填空题
8.在必定的限度范围内,若施化肥量x(单元: kg/公顷 )与水稻产量y(单位: kg/ 公顷 )的回归
^
方程为 y= 5x+ 250,当施化肥量为
80kg/ 公顷时,估计水稻产量为________kg/ 公顷.
答案650
^^
分析把 x= 80 代入回归方程 y= 5x+250,得 y= 650.
9.某数学老师身高 176 cm ,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm 和 182 cm. 因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归剖析的方法展望他孙子的身高为
________cm.
答案185
分析因为儿子的身高与父亲的身高有关,所以设儿子的身高为Y( 单位: cm),父亲自高为X(单位: cm),依据数据列表:
X173170176
Y170176182
^^
由数据列表,得回归系数b= 1, a=3.
于是儿子身高与父亲自高的关系式为Y= X+ 3.
当 X= 182 时, Y= 185.
故展望该老师的孙子的身高为185 cm.
10.期中考试后,某校高三(9) 班对全班65 名学生的成绩进行剖析,获取数学成绩y 对总成^
绩 x 的回归方程为 y= 6+ 0.4x.由此能够估计:若两个同学的总成绩相差
50 分,则他们的数学成绩大概相差 ________分.
答案20
分析令两人的总成绩分别为x1, x2.
则对应的数学成绩估计为
^^
y1= 6+ 0.4x1,y2=6+ 0.4x2,
^^
所以 |y1- y2|= |0.4(x1- x2)|= 0.4× 50=20.
11.为认识篮球喜好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到 5 号每日打篮球时间 x(单位: h)与当日投篮命中率y 之间的关系:
时间 x12345
命中率 y0.40.50.60.60.4
小李这 5 天的均匀投篮命中率为 ________;用线性回归剖析的方法,展望小李该月 6 号打 6h 篮球的投篮命中率为________.
答案0.5 0.53
0.4+ 0.5+ 0.6+0.6+ 0.4 2.5
分析y =5=5= 0.5,
x = 1+ 2+3+ 4+ 5= 3.
5
^
由公式,得 b = 0.01,
^
^
进而 a = y - b x = 0.5- 0.01× 3= 0.47.
^
所以回归方程为 y = 0.47+0.01x.
^
所以当 x = 6 时, y = 0.47+0.01× 6=0.53. 三、解答题
12.从某居民区随机抽取
10 个家庭,获取第
i 个家庭的月收入 x (单位:千元 )与月积蓄 y (单
i
i
10 10
10 10 位:千元 )的数据资料,算得
x i = 80, y i = 20, x i y i = 184, x i 2
= 720.
i =
1
i =
1
i =
1
i =
1
^
^
(1)求家庭的月积蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y =bx + a ;
(2)判断变量 x 与 y 之间是正有关仍是负有关;
(3)若该居民区某家庭月收入为
7 千元,展望该家庭的月积蓄.
n
x i y i -n x y ^^
^
^
i =
1
^ ^
附:线性回归方程 y = bx + a 中,b =
,a = y - b x ,此中 x , y 为样本均匀值.
n
2
2
x i - n x
i =
1
解 (1) 由题意知 n = 10, x =
1 n
x i =
80
= 8,
n i =1 10
1
n
20
= 2,
y =
n =
y i = 10 i
1
n
又 l xx = x 2i - n x 2= 720- 10× 82= 80,
i
=
1
l = n
xy x y - n x y =184- 10×8× 2= 24,
i i
i =
1
^
l xy
24
^
^
由此得 b = l xx =80= 0.3,a = y - b x = 2- 0.3× 8=- 0.4,
^
故所求线性回归方程为
y = 0.3x - 0.4.
^
(2)因为变量 y 的值随 x 值的增添而增添 (b = 0.3> 0),故 x 与 y 之间是正有关.
^
(3)将 x = 7 代入回归方程能够展望该家庭的月积蓄为
y = 0.3× 7- 0.4= 1.7(千元 ).
13.一台机器因为使用时间较长,生产的部件有一些会出缺损,按不一样转速生产出来的部件
出缺损的统计数据以下表所示
.
转速 x(转 /秒 )
1614128
每小时生产缺损部件数
y(个 )
11
9
8
5
(1)作出散点图;
(2)假如 y 与 x 线性有关,求出回归方程;
(3)若实质生产中,同意每小时的产品中出缺损的部件最多为
10 个,那么,机器的运行速度
应控制在什么范围内?
解 (1) 作出散点图以下图.
^^
^
4
=b x + a.由题意, 得 x = 12.5, y = 8.25,
2 =
i (2)由 (1)知 y 与 x 线性有关. 设回归方程为: y
x
i =
1
4
660, x i y i = 438.
i =
1
^
438- 4× 12.5× 8.25
∴
b =
660- 4× 12.52 ≈
0.73,
^
a = 8.25- 0.73×12.5≈- 0.88,
^
∴ y = 0.73x - 0.88.
(3)令 0.73x -0.88≤ 10,解得 x ≤15.
故机器的运行速度应控制在 15 转 /秒内.。