高中数学高考总复习集合习题及详解

高中数学高考总复习集合习题及详解
一、选择题
1．(09·全国Ⅱ)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N )＝( )
A ．{5,7}
B ．{2,4}
C ．{2,4,8}
D ．{1,3,5,6,7}
[答案] C
[解析] M ∪N ＝{1,3,5,6,7}， ∴∁U (M ∪N )＝{2,4,8}，故选C.
2．(2010·烟台二中)已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |y 2＝x ，x ≥0}，则M ∩N ＝( ) A ．{(0,0)，(1,1)} B ．{0,1} C ．[0，＋∞)
D ．[0,1]
[答案] C
[解析] M ＝{y |y ≥0}，N ＝R ，则M ∩N ＝[0，＋∞)，选C.
[点评] 本题极易出现的错误是：误以为M ∩N 中的元素是两抛物线y 2＝x 与y ＝x 2的交点，错选A .避免此类错误的关键是，先看集合M ，N 的代表元素是什么以确定集合M ∩N 中元素的属性．若代表元素为(x ，y )，则应选A.
3．设集合P ＝{x |x ＝k 3＋16，k ∈Z }，Q ＝{x |x ＝k 6＋1
3，k ∈Z }，则( )
A ．P ＝Q
B ．P Q
C ．P Q
D ．P ∩Q ＝∅
[答案] B
[解析] P ：x ＝k 3＋16＝2k ＋16，k ∈Z ；Q ：x ＝k 6＋13＝k ＋26，k ∈Z ，从而P 表示1
6的奇数
倍数组成的集合，而Q 表示1
6
的所有整数倍数组成的集合，故P Q .选B.
[点评] 函数值域构成的集合关系的讨论，一般应先求出其值域．如果值域与整数有关，可将两集合中的元素找出它们共同的表达形式，利用整数的性质求解或用列举法讨论．
4．(文)满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
[答案] B
[解析] 集合M 必须含有元素a 1，a 2，并且不能含有元素a 3，故M ＝{a 1，a 2}或{a 1，a 2，a 4}．
(理)(2010·湖北理，2)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216
＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子
集的个数是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
[答案] A
[解析] 结合椭圆x 24＋y 2
16＝1的图形及指数函数y ＝3x 的图象可知，共有两个交点，故
A ∩
B 的子集的个数为4.
5．(2010·辽宁理，1)已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )
A ．{1,3}
B ．{3,7,9}
C ．{3,5,9}
D ．{3,9}
[答案] D
[解析] 由题意知，A 中有3和9，若A 中有7(或5)，则∁U B 中无7(或5)，即B 中有7(或5)，则与A ∩B ＝{3}矛盾，故选D.
6．(文)(2010·合肥市)集合M ＝{x |x 2－1＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是( )
A ．{－1,1}
B ．{－1}
C ．{1}
D ．∅
[答案] B
[解析] ∵M ＝{1，－1}，N ＝{1,2}，∴M ∩N ＝{1}， 故阴影部分表示的集合为{－1}．
(理)(2010·山东省实验中学)如图，I 是全集，A 、B 、C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A ．(∁I A ∩
B )∩
C B ．(∁I B ∪A )∩C C ．(A ∩B )∩∁I C
D ．(A ∩∁I B )∩C
[答案] D
[解析] 阴影部分在A 中，在C 中，不在B 中，故在∁I B 中，因此是A 、C 、∁I B 的交集，故选D.
高考总复习
含详解答案
[点评] 解决这类题的要点是逐个集合考察，看阴影部分在哪些集合中，不在哪些集合中，注意不在集合M 中时，必在集合M 的补集中．
7．已知钝角△ABC 的最长边长为2，其余两边长为a ，b ，则集合P ＝{(x ，y )|x ＝a ，y ＝b }所表示的平面图形的面积是( )
A ．2
B ．4
C ．π－2
D ．4π－2
[答案] C
[解析] 由题中三角形为钝角三角形可得①a 2＋b 2<22；②a ＋b >2；③0<a <2,0<b <2，于是集合P 中的点组成由条件①②③构成的图形，如图所示，则其面积为S ＝π×224－1
2×2×2
＝π－2，故选
C.
8．(文)(2010·山东滨州)集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0}
B ．{1}
C ．{0,1}
D ．{－1,0,1}
[答案] B
[解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B ＝{1，cos1}， ∴A ∩B ＝{1}．
(理)P ＝{α|α＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{β|β＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝( )
A ．{(1，－2)}
B ．{(－13，－23)}
C ．{(1，－2)}
D ．{(－23，－13)}
[答案] B
[解析] α＝(m －1,2m ＋1)，β＝(2n ＋1,3n －2)，
令a ＝β，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝2n ＋12m ＋1＝3n －2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－12
n ＝－7
∴P ∩Q ＝{(－13，－23)}．
9．若集合M ＝{0,1,2}，N ＝{(x ，y )|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x 、y ∈M }，则N 中元素的个数为( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．2
[答案] C
[解析] N ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,1)}，按x 、y ∈M ，逐个验证得出N .
10．(文)已知集合{1,2,3，…，100}的两个子集A 、B 满足：A 与B 的元素个数相同，且A ∩B 为空集．若n ∈A 时，总有2n ＋2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为( )
A ．62
B ．66
C ．68
D ．74
[答案] B
[解析] 若24到49属于A ，则50至100的偶数属于B 满足要求，此时A ∪B 已有52个元素；集合A 取1到10的数时，集合B 取4到22的偶数，由于A ∩B ＝∅，∴4,6,8∉A ，此时A ∪B 中将增加14个元素，∴A ∪B 中元素个数最多有52＋14＝66个．
(理)设⊕是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集．若对任意a 、b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A ．自然数集
B ．整数集
C ．有理数集
D ．无理数集
[答案] C
[解析] A ：自然数集对减法，除法运算不封闭， 如1－2＝－1∉N,1÷2＝1
2
∉N .
B ：整数集对除法运算不封闭，如1÷2＝1
2∉Z .
C ：有理数集对四则运算是封闭的．
D ：无理数集对加法、减法、乘法、除法运算都不封闭． 如(2＋1)＋(1－2)＝2，2－2＝0，2×2＝2，2÷2＝1， 其运算结果都不属于无理数集． 二、填空题
11．(文)已知集合A ＝{x |log 1
2x ≥3}，B ＝{x |x ≥a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(－
∞，c ]，其中的c ＝______.
[答案] 0
[解析] A ＝{x |0<x ≤1
8}，∵A ⊆B ，
∴a ≤0，∴c ＝0.
(理)(2010·江苏苏北四市、南京市调研)已知集合A ＝{0,2，a 2}，B ＝{1，a }，若A ∪B ＝{0,1,2,4}，则实数a 的值为________．
[答案] 2
[解析] ∵A ∪B ＝{0,1,2,4}，∴a ＝4或a 2＝4，若a ＝4，则a 2＝16，但16∉A ∪B ，∴a 2
＝4，∴a ＝±2，又－2∉A ∪B ，∴a ＝2.
高考总复习
含详解答案
12．(2010·浙江萧山中学)在集合M ＝{0，1
2，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该
集合恰满足条件“对∀x ∈A ，则1
x
∈A ”的概率是________．
[答案]
331
[解析] 集合M 的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对∀x ∈A ，则1
x ∈A ”的集合
A 中的元素为1,2或12，且12，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{12，2}，{1，1
2，
2}．因此，所求的概率为3
31
.
13．(文)(2010·江苏，1)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.
[答案] 1
[解析] ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ， ∵a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.
(理)A ＝{(x ，y )|x 2＝y 2} B ＝{(x ，y )|x ＝y 2}，则A ∩B ＝________. [答案] {(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．
[解析] A ∩B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
(x ，y )⎪⎪⎪
⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝y
2
x ＝y 2
＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}． 14．若A ＝{x |22x －
1≤14}，B ＝{x |log 116x ≥12}，实数集R 为全集，则(∁R A )∩B ＝________.
[答案] {x |0<x ≤1
4
}
[解析] 由22x －
1≤14得，x ≤－12，由log 116x ≥12得，0<x ≤14，
∴(∁R A )∩B ＝{x |x >－12}∩{x |0<x ≤14}＝{x |0<x ≤1
4}．
三、解答题
15．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围． [解析] (1)A ＝{1,2}，∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ， ∴4＋4(a ＋1)＋(a 2－5)＝0，∴a ＝－1或－3. (2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，
由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)＝0得，a ＝－3. 当a ＝－3时，B ＝{2}，符合题意；
当a <－3时，Δ<0，B ＝∅，满足题意； 当a >－3时，∵B ⊆A ，∴B ＝A ，
故⎩
⎪⎨⎪⎧
2(a ＋1)＝－3a 2－5＝2，无解． 综上知，a ≤－3.
16．(2010·广东佛山顺德区质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0}，若∁U (A ∪B )⊆C ，求实数a 的取值范围．
[解析] A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x <－4，或x >2}，A ∪B ＝{x |x <－4，或x >－2}， ∁U (A ∪B )＝{x |－4≤x ≤－2}，而C ＝{x |(x －a )(x －3a )<0} (1)当a >0时，C ＝{x |a <x <3a }，显然不成立． (2)当a ＝0时，C ＝∅，不成立．
(3)当a <0时，C ＝{x |3a <x <a }，要使∁U (A ∪B )⊆C ，只需⎩
⎪⎨⎪⎧
3a <－4a >－2，即－2<a <－43.
综上知实数a 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫－2，－4
3. 17．(文)设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．
[解析] 假设A ∩B ≠∅，则方程组
⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝2x －1y ＝ax 2－ax ＋a 有正整数解，消去y 得， ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0(*)
由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0， 解得－233≤a ≤233.
因a 为非零整数，∴a ＝±1，
当a ＝－1时，代入(*)，解得x ＝0或x ＝－1， 而x ∈N *.故a ≠－1.
当a ＝1时，代入(*)，解得x ＝1或x ＝2，符合题意． 故存在a ＝1，使得A ∩B ≠∅， 此时A ∩B ＝{(1,1)，(2,3)}．
(理)(2010·厦门三中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且(a －1)S n ＝a (a n －1)(a >0，n ∈N *)． (1)求证数列{a n }是等比数列，并求a n ；
(2)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x }，问是否存在实数a ，使得对于任意的n ∈N *，都有S n ∈A ？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．
[解析] (1)①当n ＝1时，∵(a －1)S 1＝a (a 1－1)，∴a 1＝a (a >0)
高考总复习
含详解答案
②当n ≥2时，由(a －1)S n ＝a (a n －1)(a >0)得， (a －1)S n －1＝a (a n －1－1)
∴(a －1)a n ＝a (a n －a n －1)，变形得：a n
a n －1＝a (n ≥2)，
故{a n }是以a 1＝a 为首项，公比为a 的等比数列， ∴a n ＝a n .
(2)①当a ≥1时，A ＝{x |1≤x ≤a }，S 2＝a ＋a 2>a ，∴S 2∉A ， 即当a ≥1时，不存在满足条件的实数a . ②0<a <1时，A ＝{x |a ≤x ≤1} ∵S n ＝a ＋a 2＋…＋a n ＝a
1－a (1－a n )，
∴S n ∈[a ，a
1－a
)，
因此对任意的n ∈N *，要使S n ∈A ，只需⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <1a 1－a ≤1，解得0<a ≤1
2，
综上得实数a 的取值范围是(0，1
2
]．。