矿大采矿材料力学B题库精选题6

(A)(B)(C)
(D)
弯曲应力
1. 圆形截面简支梁A,B套成，A,B层间不计摩擦，材料的弹性模量2
B A
E E
=。

求在外力偶矩
e
M作用下，A,B中最大正应力的比值max
min
A
B
σ
σ
有4个答案：
(A)
1
6
；(B)
1
4
；
(C)
1
8
；(D)
1
10。

答：B
2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗
拉弹性模量
t
E大于材料的抗压
弹性模量
c
E，则正应力在截面
上的分布图有以下4种答案：
答：C
3. 将厚度为2 mm的钢板尺与一曲面密实接触，已
知测得钢尺点A处的应变为
1
1000
-，则该曲面在点A
处的曲率半径为mm。

答：999 mm
4. 边长为a的正方形截面梁，按图示两
种不同形式放置，在相同弯矩作用下，
两者最大正应力之比max a
max b
()
()
σ
σ
=。

答：2
/1
5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，,10
h b b t
==。

试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。

证：
4
1
2
,(d) 1 820
3
B
A
z z z
My M Mt
M y yb y
I I I
σ==⨯=⨯
⎰
4
690
z
I t
=
4
1
4
1
1 82088%
3690
M t
M t
=⨯⨯≈
其中：积分限
1
,
22
h h
B t A M
=+=为翼缘弯矩
(a)
6. 直径20 mm d =的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量200 GPa E =,
200 mm a =，欲将其中段AB 弯成 m ρ=12的圆弧，试求所需载荷，并计算最大弯曲正应力。

解：
1
M
EI
ρ
=
而M Fa = 4
840.78510 m , 0.654 kN 64
d EI
I F a
πρ-=
=⨯=
=
33max
8
0.654100.22010167 MPa 2220.78510M d Fad I I σ--⋅⨯⨯⨯⨯====⨯⨯ 7. 钢筋横截面积为A ，密度为 ρ，放在刚性平面上，一端加力F ，提起钢筋离开地面长度3l 。

试问F 应多大？ 解：截面C 曲率为零
2(/3)0, 326
C Fl gA l gAl M F ρρ=-==
8. 矩形截面钢条长l ，总重为F ，放在刚性水平面上，在钢条A 端作用3
F
向上的拉力时，试求钢条内最大正应力。

解：在截面C 处， 有
1
0C
M EI
ρ
=
= 2()2 0, 323
AC C AC AC l F F l
M l l l =⨯-⨯==即
AC 段可视为受均布载荷q 作用的简支梁
2
m a x m a x 22
()/8/63AC M q l Fl
W bt bt
σ=== 9. 图示组合梁由正方形的铝管和正方形钢杆套成，在两端用刚性平板牢固联接。

已知：钢和铝的弹性模量关系为S a 3E E =；在纯弯曲时，应力在比例极限内。

试求铝管和钢杆的最大线应变之比s a /εε及最大正应力之比s a /σσ。

解：a ε=
S , a
ερ
2a ρ
=
a ε∶S ε=2∶1 又E σε=
a σ ∶S σ=[a E a ε⋅] ∶S [E S ε⋅2]3
=
M e e
10. 一根木梁的两部分用单排钉连接而成，已知惯性矩64113.510 m z I -=⨯，
3 kN F =，横截面如图示，每个钉的许用剪力S []700 N F =，试求钉沿梁纵向的间距a 。

（C 为形心） 解：缝间水平切应力
*
*S 29
36
3 000[20050(87.525)50(87.550)/2]10
0.33 MPa
5010113.510z
z
z z F S FS bI bI ττ---⋅'===
⨯⨯⨯-+⨯-⨯=
=⨯⨯⨯令 S []700N b a F τ'== 则 S []F a b τ='
11. No.28a 重机自重P =10 kN F =，MPa 100][=τ(max
()z
z I S =解：(58D M =max ()(D M 全梁Smax F =
12. 解：)y ττ'(=(
13. 想弹塑性）
证：p max s s s 2, z M S M W σσ==
22max
2, 1224
z bh bh S W == p
max s 22z
M S
M W == 14. 组成的合力为：2
34ql h
，证：在离自由端为x 32x qx
bh
τ=
切应力为()x
x x τττ''= 故 2
S 0 0333d d d 224l
l x A qx q ql F A b x x x bh h h
τ====⎰⎰⎰
这个力由固定端处下半部的正应力的合力来平衡，
2
N 34ql F h
=
15. 图示等厚度t ，长l ，变宽度矩形截面板条，受轴向拉力F 作用。

设横截面上的正应力均匀
分布。

试按材料力学方法证明任意x 处横截面 上切应力τ的分布规律表达式为：2()
Fly tb l x τ=+。

证：从板条上x 附近取一微段d x 如图示，从中再截一小块(见图中阴影处)。

设一
对轴向拉力为F 。

由该小块的静力平衡条件0x F =∑，得 **S N1
N2d 0F F F '+-= 其中 1 *2
N 11 1 11
d d 2b
A y F F Fy F A t y b t b σ===-⎰⎰ 2
*2N2
2 2 22
d d 2b A y F F Fy
F
A t y b t b σ===-
⎰⎰
S 21d d d d , d b x
F t x t x b b b l
ττ''==-== 解得 (1/)[(1/)d ]
Fy
t x l b x l b l τ=+⨯⨯++
略去d b 项，得 2()Fly
tb l x τ=+
16.
z I =C (1) (2) 解：B F 截面B 截面C max τ
17. 矩形截面悬臂梁受力如图,设想沿中性层截开,列出图示下半部分的平衡条件并画出其受力图。

解：中性层以下部分的受力图如图所示。

其静力平衡条件为
2 00: d 2h y F
F b y τ==⨯∑⎰，
2 22
0()d 224
h z F F b h y b y bI =⨯-⎰
2max 00: d h
x F bl b y τσ=⨯=∑⎰
， 2 03d 2h
z Fl Fl yb y h I =⎰
20 00: d 02h Fl M yb y σ=-+=∑⎰， 22 0d 2h
z
Fl Fl
by y I =⎰
18. 小锥度变截面悬臂梁如图，直径2b a d d =，试求最大正应力的位置及大小。

解：在距截面A 为x 的截面上
33
()(1)32π)(1/)x b a x a a a M Fx
d d x x
d d d l l
M Fx W d x l σ=-=+=+==
(+
由
d 0d x σ=，即 33d 32(1/3/)0d π)(1/)a Fx x l x l x d x l σ+-==(+ 可求得 2
l
x = 对应的max 3
12827π)a Fl
d σ=
(发生在梁中间截面的上、下边缘，上拉下压。

/2
所以 1.385 m 1.3
l
a l =-=
23. T 字形截面外伸梁如图示，已知[]3[]
σσ-
+
=。

试求该梁最合理的外伸长度。

解：, 42
C B Fl Fa M M Pa =-=-
截面C
2[1
1[]3
t c y y σσ+
-]=>=， 截面B 1[1
2[]3
t c y y σσ+-]=>=
两截面均是拉应力较危险 令它们相等 002C B M y M y I I ⨯=
得 4l
a = 24. 试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置。

若剪力S F 的方向垂直向下，试画出切应力流的方向。

答：弯曲中心A 以及切应力流方向如图示
25. 注明以下薄壁截面杆弯曲中心的大致位置。

答：弯曲中心的大致位置如图中点A 所示
26. 图示薄壁截面梁
（1）若剪力S F 方向向下，试画出各截面上切应力流的方向； （2）标出各截面弯曲中心点A 的大致位置。

答：图中点A 为弯曲中心
27.
心A
28. 解：
S O
029. 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力的变化将有4种答案：
(A)不变； (B)增大一倍； (C)减小一半； (D)增大三倍。

答：B
30. 图示矩形截面采用两种放置方式，从弯曲正应力强度条件，承载能力(b)是(a)的多少倍？ (A)2；
(B)4； (C)6； (D)8。

答：A
31. 图示梁，采用加副梁的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度有4种答案： (A)3/l ； (B)4/l ； (C)5/l ； (D)2/l 。

答：D
(a)
(b)
32. 梁的截面形状如图示，圆截面上半部分有一圆孔。

在xz 平面内作用有正弯矩M ，绝对值最大的正应力位置有4种答案：
(A)点a ； (B)点b ； (C)点c ； (D)点d 。

答：A
33. 图示三种截面梁，材质、截面内max max σ、M 全相同，试求三梁的重量比，并指出哪种截面最经济。

解：233
(2)π6632
b b a d ==
2
222
2123π 2, 2.52, 2.824
d a d A b A a b A b =======
123::1:1.26:1.41
A A A = 矩形截面梁最经济。

34. 当载荷F 直接作用在AB 梁中点时，梁内最大应力超过许用应力的30%，为消除这一过载现象，配置辅助梁CD 。

已知 6 m l =，试求辅助梁的最小跨度a 。

解：原梁：max 1.3[4M Pl W W
σ==] 辅助梁：max [, 2.31 m 2M Px
x W W σ==]=
2 1.38 m a l x =-= 35. 矩形截面梁顶面与底面受有大小相等方向相反的均布载荷kN/m)(q 作用。

若梁截面的正应力公式I My /=σ和关于切应力沿截面宽度方向均匀分布的假设仍成立，试证明梁横截面上的切应力公式为：b q bI qhS z z /)/(-=τ。

证：***
1N 1d d d z
A A A z z z
MS My M
F A A y A I I I σ===
=⎰⎰⎰ **2N 2(d )d d d z A A z z M M S M M
F A y A I I σ++===
⎰⎰ 由∑=0x F 得
21N N S d d 0F F F q x ---=
利用τ互等定理，S d d d F A b x ττ'== 又考虑qh x M
qxh M ==d d
,代入平衡方程，整理得横截面上τ公式：z z qhS q I b b
τ=-
36. 图示矩形截面叠层梁材料相同，若不计梁间的摩擦力，试求梁中最大切应力。

解：121
1
1
1
, ,
z z M
I I M M EI
ρρρ
1
2
==
=
=由得又Smax 12S1S2S1S2d d , d d 2F M M F F F F x x =
====得
S11max 2max 13324F ql
A bh
ττ==
= 37. 自由叠合梁尺寸及受力如图，材料的弹性模量均为E ，已测得在力偶e M 作用下，上、下梁在交界面AB 处的纵向变形后的长度之差为δ，若不计梁间的摩擦力，试求力偶e M 的大小。

解：设上下梁的弯矩分别为1M 和2M
e
121211
, , 2
M I I M M ρρ12
====
两梁上下边缘应变为
m a x e
2M E E W σε=±=±
上梁下边缘：e 11
2M l l l EW ε∆=-=-
下梁上边缘：22
2e M l
l l EW ε∆==
2
e e 211212max , 2224
M l M l I bh l l W W EW EW y δ=∆-∆=+===
又 代入上式得：2e 24Ebh M l
δ
=
38. 材料相同的自由叠置梁尺寸及受力如图，已知材料的弹性模量E ，许用应力[σ]。

试求： (1) 许可载荷[]F ；
(2) 在[]F 作用下，两梁在交界面AB 处的纵向长度之差δ（不计梁间摩擦） 解：（1）121
1
,
, I I ρρ1
2
==
则1max 2max 2
Fl
M M ==
1max 1max 2max
2112[M Fl
W bh σσσ===≤] 2[[]12bh F l
σ]= /2/2
（2）1122
112, 222M M Fx Fx
M M E EW Ebh σε1==
==== 2
22 0 0126d d l
l
F Fl x x x Ebh Ebh δεδ12====-⎰⎰ 22
12[|||Fl l Ebh E
σδδδ12]=|+== 39. 矩形截面简支梁如图所示。

梁上缘的温度为0t ，下缘的温度为1t 。

12001=-t t ℃且沿梁的高度按线性规律变化，
材料线膨胀系数为/-610⨯12=l α℃，试求由温度场引起的梁的曲率半径ρ。

解：
1010
1
d d d l l l l t t x h x h
ααθρ
∆-∆-=
== 得 10694)
l h
h t t ρα=
=(-
40. 图示简支梁。

若横截面高度h 保持不变，试根据等强度的观点确定截面宽度()b x 的变化规律。

为了保证剪切强度，该梁的最小宽度min b 应为多少？（假设材料的[σ]、[τ]为已知） 解：AC 段 max 2()3(), ()[2()()Fx M x Fx M x x W x b x h σσ=
===] ，23()[Fx
b x h σ=]
BC 段与AC 段对称，()b x 相同。

S max min 3()33()[, (), 2()4[4[F x F F x b x b A x h h ττττ=
≤]≥=]]
41. 图示圆截面梁，已知材料的许用应力[σ]及许用切应力[τ]，试按等强度梁决定梁的形状。

解：AB 段
3111111max 13
11|()|32π
(), ()[d()], ()[()πd()]
M x aFx a M x Fx W x x x l W x l x σσ=-====]32[
1()d x =
BC 段：22
22max 23
22|()|32(), ()[()πd()]M x Fx M x Fx x W x x σσ=-=
==][同理
2()d x =
当1x l =或2x a =时
m a x B d d ==端面A
：S1max 2
1416[ 33π[d()]A F aF d A l x ττ=
=≤],≥端面C
：S2max 22416()[ 33π[d()]c
F l a F d A l x ττ+=
=≤],≥42. 矩形截面木梁，200 mm b =，300 mm h =，因强度不足，在梁顶与梁底各加
200 mm 10 mm ⨯的钢板加固，木材与钢材的弹性模量之比20/1/21==E E n ，木材的许用应力[ MPa σ]=10，钢的许用应力[ MPa σ]=140，试求梁能承受的最大弯矩。

解：复合梁分区线性变化。

1212, , E y
E y
y
εσσρ
ρ
ρ
=
=
=
由M I E I E A y A y A A =+
=
+⎰⎰22
11
212
1
d d ρ
ρ
σσ
中性层曲率
2
2111
I E I E M
+=
ρ
得1max
1max 1max 11122[], 158.1 kN m E y ME y M E I E I σσρ
=
=≤≤⋅+
2max
2max
2max 21122
[], 103.8 kN m E y ME y M E I E I σσρ
=
=
≤≤⋅+取max 103.8 kN m M =⋅
43. 理想弹塑性材料梁，在极限弯矩作用下，截面上的中性轴位置有4种答案： (A) 不存在； (B) 不过截面形心；
(C) 过截面形心； (D) 将截面分成面积相等的两部分。

答：D
44. 矩形截面悬臂梁受均布载荷q 的作用，跨度为l ，材料的许用应力为[]σ，截面宽度b 不变，为使此梁为等强度梁，高度 h 的变化规律为()h x = 。

答：()h x =45. 变截面梁的主要优点是 ；等强度梁的条件是 。

答：在一定的强度、刚度条件下，节省材料，减轻自重。

max ()
[]()
M x W x σσ=
= 46. 图示悬臂梁截面有两种构成方式(A)、(B)，若材料相同，从强度观点出发，梁的均布许可载荷之比
[]/[]A B q q = 。

答：n 。

47. 梁的截面如图示。

材料为理想弹塑性材料，屈服极限为s σ，则此梁的极限弯矩u M = 。

答：s
u ()2
bh h b M σ+=。

48. 图示由木、钢两种材料组成的矩形截面弯曲梁，木、钢的弹性模量分别为110 GPa E =，2210 GPa E =，则木材
与钢材所受弯矩之比12:M M = 。

答：4.2。

49. 梁受力如图所示。

当载荷增大时，可能出现塑性铰的截面为 。

答：截面A ，B 。

50. 由理想弹塑性材料制成的梁，当截面B 各点全部处于屈服状态时，A 处支反
力为 ,(设, , , F l b h ，屈服极限s σ为已知)。

答：
2
s
24bh F l
σ-。

x
)
51. 纯弯曲梁，由二种弹性模量不同(12E E >)的材料粘成一整体，横截面如图所示，变形仍符合平截面假定，试证明中性轴不通过形心C 。

证：设中性轴通过形心，则横截面轴力N 0F =
而 12
121122N ()d ()d A A E y E y E S E S
F A A ρρρρ
=+=+⎰⎰
因 12S S =-, 而 12E E ≠
则 11220E S E S
ρρ
+≠
即 N 0F =不满足，中性轴必不通过形心。

52. 某矩形截面梁，其材料的应力应变关系在弹性范围内为n E σε=，设平面假
定成立，试证明该梁横截面上的最大正应力公式为：max 22(21)n M
n bh
σ+=⨯。

证：设弯曲时的曲率为k ，则
, ky εσ== 故
d d A
M y A A σ==⎰
(21)2n M
nb
+=
故
m a x 22(21)n M
nbh
σ+==
53. 自由叠合梁尺寸及受力如图所示，材料的许用应力[]8 MPa σ=，若不考虑两梁之间的摩擦，问许用载荷[]q 为多大？
解：因
121122
11
M M EI EI ρρ=≈=， 故 11221
8
M I M I ==， 又 12M M M +=
得 118, 99
M M
M M ==
上梁 m a x 1m a x m a x 1
11()()9M M M W σ== 下梁 m a x 2m a x m a x 2
22
()8()9M M M W σ== max 1max 2()1
()2
σσ=
max 1max 2222
()()[]
3[]
[]12 kN/m
2bh q l σσσσ=≤==
=50
54. 梁由上、中、下三层牢固粘合而成，上下层材料的弹性模量为2E ，中间层的弹性模量为1E ，推导此梁在纯弯曲时，横截面上正应力的计算公式。

解：对各层均有 y
ερ
=
中间层中 1
11yE E σερ
==
上下层中 2
22yE E σερ
==
由 3
21212 0
22()d 2()d (7)3h h
h
bh M yb y yb y E E σσρ
=+=+⎰⎰
⇒
113122231232(7)
32(7)
ME y bh E E ME y
bh E E σσ=
+=
+
55. 纯弯曲矩形截面梁，用应力应变关系为n B σε=的材料制成，其中B 、n 均为常数。

若平面假设成立，且中性轴仍过截面形心，试导出n 为奇数时正应力的计算公式。

解：由 y
ερ
=
, 得 ()n y
B σρ=
又 12 2
d d h
n h n
A
Bb
M y A y y σρ+-==
⎰⎰
当n 为奇数时，2
2[(2)](/2)
n n Bb
M n h ρ+=
+ 2
2
(2)2()2(2)2()2n n n
n B
M n b h
M n y b h
ρσ+++=
+=
56. 某材料拉伸时的应力应变曲线为：2
1212, 、B B B B σεε=-是材料常数，压缩时的应力应变曲线与拉伸相同。

若平面假设成立，最大线应变为
1ε，试导出矩形截面梁所受弯矩M 的公式。

解：因 y
ερ
=
， 当 2
h
y =
时，有 max 11, 22h h εερρε===
221212121 0d 2()d (
)68h
A
B B M A y b B B y y bh εσεεε=⋅=-=-⎰⎰
e
σ
1
57. 一简支梁跨度 4 m l =，中间承受集中力F ，截面为矩形，高100 mm h =，宽50 m m b =，设材料为理想弹塑性，其屈服极限s 240 MPa σ=，试问：
(1) 梁中间截面完全屈服时F 是多大； (2) 若将F 卸至零，梁内残余最大正应力和边缘正应力各为多少。

解：(1) 由 2s
44bh Fl σ⋅=， 得 2s 30 kN bh F l
σ== (2) 弹性卸载30 kN m M =⋅ (边缘)2s s
max 2
/43/62
bh bh σσσ== (中间)0σ= 两图相减
最大残余应力在中性轴处 m a x s
||240 M P a σσ== 边缘残余应力 s ||120 M
P a 2σ
σ== 58. 一T 形截面梁，设t
a 。

梁材料为理想塑性其屈服极限为s σ，试求此梁的
极限弯矩s M 与刚出现塑性变形时的弯矩s M 之比。

解：由 222
C a t at at y at ⋅-⋅=⋅， 略去2
t 项，得 4
C a y ≈ 322
5()()1244224z ta a a t I at at ta =+++≈又由 s s 33/45/24M a ta σ= 得 2s s 518M ta σ=极限状态，中性轴在翼腹交界处， 由 2s s s
u 222
at a at t a t M σσσ⋅⋅⋅⋅=+≈(略去2t 项) 得 u s 11818
1.82510
M M =⋅==
59. 图示矩形截面简支梁，材料为理想弹塑性，在外力F 作用达到极限弯矩时，中间形成塑性铰，试求塑性区半长C ，其、、、b h l F 为已知。

解：跨中截面： u s 212M Fl
S S bh
σσ'==
=+ 距跨中为c 的截面：
s 2
3(0.5)
c M F l c W bh σσ-''==
=
因 σσ'''=, 得 6
l
c =
60. 图示矩形截面简支梁，已知理想弹塑性材料的屈服极限s 250 MPa σ=，试求使跨中截面顶部及底部的屈服深度达到10 mm 时的载荷值。

解：由 2
8
ql M =
2
p s p p (2)
[(2)]6
h h M b h h h σ-=-+
故 2
s p p p 2
8[()
()/6]118 k N m b h h h h h q l
σ-+-==⋅
61. 图示箱式截面梁，已知材料为理想弹塑性且屈服极限s 240 MPa σ=，试求： (1) 极限弯矩u M ； (2) 弹性最大弯矩e M ； (3) 二者的比值。

解：u max s 294.1 kN m M S σ==⋅
e s u
e
69.6 kN m
1.35M W M M σ==⋅= 6
2. 已知某材料为理想弹塑性材料，屈服极限s 240 MPa σ=，安全因数 1.5n =，
试按极限弯矩设计矩形截面尺寸。

设2h b =。

解：梁内 max 10 kN m M =⋅ 极限弯矩 2u s max 260M S bh σ==
由 u max , 2M
M h b n ==
得 40 mm, 80 mm b h ==
63. 矩形截面纯弯曲梁如图示。

已知材料的拉伸弹性模量为1E ，压缩弹性模量为
2E ，且124E E =。

设纯弯曲时平面
假设仍成立，已知梁截面宽度b ，高h ，受拉边高1h ，受压边高2h ，试导出中性轴位置及弯曲正应力公式。

e
解：几何关系：y
ερ
=
物理关系：12t 1c 2 (0), (0)E y E y
y h y h σσρ
ρ
=
<≤=
>≥-
由 0X =∑
1
2
d d 0A A A A σσ+-+=⎰⎰
解得 212h h = 122, 33h h
h h ==
由 0z M =∑ 1212()()z z E E
I I M ρρ
⋅+⋅=
而 33
128(), ()8181z z bh bh I I == 故 3
21274M E b h
ρ= 解得 1
133
2727 (0), (0)4My My y h y h bh bh σσ+-
=≤≤=≥≥-
64. 图示矩形纯弯曲梁是由两种材料牢固粘合而成，它们的弹性模量分别为1E 和
2E ，若以胶合面为中性层，试计算1h 和2h 的比值。

解：由N 0F = 1
2
112212 0
d d h h E y b
E y b
y y ρ
ρ
=⎰
⎰
故
1
2h h =
65. 一正方形截面梁，其水平对角线为中性轴，若削去顶和底的棱角，是否可以提高梁的强度？当α为何值时，其弯曲截面系数z W
解：小棱角对z 轴的惯性矩为
44
222
*(12/3)236
2
z
b b I ααα-=
+
削去顶和底的棱角后的面积对z 轴的惯性矩为
*
412212z z I b I =-
对应的弯曲截面系数 (1)
z
z W b α==
- 令d 0d z W α=，得 1
9
α=。