附录A截面特征附录B影响线

附录A 截面特征
一、毛截面、净截面、有效截面、换算截面
所谓毛截面，就是在计算截面特征时不扣除孔洞引起的削弱。

钢结构中，稳定计算用毛截面特征。

净截面（通常截面特征下角标记作“n ”，例如n A 、n I ）则是在计算截面特征时要扣除孔洞引起的削弱，钢结构中，强度计算通常用净截面特征（抗剪验算采用毛截面特征是一个例外）。

有效截面（通常截面特征下角标记作“e ”）、有效净截面的概念明确出现在《冷弯薄壁型钢结构技术规范》（GB50018-2002）中，《钢结构设计规范》（GB50017-2003）中也用到了
有效截面的概念（例如，5.4.6条中规定取翼缘两侧20t 如图A-1所示，阴影部分为有效截面）。

之所以强调“有效截面”，是因为组成截面的板件宽厚比可能过大，导致局部失稳首先发生，从而降低了构件整体的承载力。

图A-1 腹板屈曲后的有效截面
需要注意的是，腹板允许高厚比超限，翼缘不允许高厚比超限。

其原因是，腹板属于“加劲单元”（即stiffened element ，指板的四边有支承）而翼缘属于“非加劲单元”（unstiffened element ）。

欧洲钢结构规范EC3、美国钢结构规范2005版中，均是先对截面加以分类，然后在计算承载力时区别对待。

我国《钢结构设计规范》（GB50017-2003）中通常．．
是要求板件的宽厚比必须要保证的，这是验算构件的整体稳定的前提条件（5.4.6条是一个例外），换句话说，如果板件宽厚比不满足要求，就无法计算出构件的承载力。

换算截面用在混凝土结构中。

由于钢筋与混凝土为不同性质的材料，所以，在计算应力需要换算成同一种材料，通常的做法是将钢筋换算成混凝土。

换算截面又可以分成开裂截面换算截面和全截面换算截面，在预应力混凝土中，则是分成净截面和换算截面，注意，这里所谓的“净截面”实际上也是一种换算截面，只不过扣除了孔洞（后张法中为穿预应力筋而预留）而已。

二、面积矩（静矩）与截面形心
面积矩也称作静矩。

对于如图A-2所示任意形状的平面图形，微面积d A 的坐标分别为
y 、z ，d y A 、d z A 分别为微面积d A 对其对z 轴和y 轴的面积矩（因为若将d A 视为力，则d y A 、d z A 就相当于力矩，故称作面积矩）。

整个截面的面积矩按下列计算公式确定：
d z A S x A =⎰，d y A
S z A =⎰
图A-2 面积矩与形心计算简图
面积矩的常用单位为mm 3。

对于由规则图形组成的截面，可以采用将截面积分块分别计算再求和的方法求得，即 x i i S A y =∑
式中，i y 为第i 个面积i A 的形心至x 轴的距离。

在材料力学中，梁的剪应力计算公式为：
VS Ib
τ= 式中，S 为所求剪应力作用层以下（或以上）部分的横截面面积对中和轴的面积矩。

这里，到底应该取“以下部分”还是“以上部分”视所求的位置确定：若求解的是中和轴以上某点处的剪应力，则取以上部分；否则，取以下部分。

截面形心的公式为
c d d A A y A y A =⎰⎰，c
d d A
A
z A z A =⎰⎰ 当图形为匀质板时，截面形心即为截面的重心。

显然，若截面对于某一轴的面积矩等于零，则该轴必通过截面的形心；截面对通过其形心的坐标轴的面积矩恒等于零。

力学分析中，通常认为力作用于形心轴，这就形成了轴心受力构件。

混凝土结构中，由于截面中钢筋可能多排布置，这时，需要求出钢筋的合力点位置（由于这些钢筋常为同一等级，故简化为求钢筋的重心位置）。

该合力点至混凝土截面边缘的距离记作s a （或's a ）。

二、惯性矩、极惯性矩与抵抗矩
对于图A-1，该平面图形绕x 轴、z 轴的惯性矩分别为：
2d x A I z A =⎰，2d z A
I y A =⎰ 显然，同一截面对不同坐标轴的惯性矩不相同。

为了计算方便，通常可采用先计算出截面绕形心轴的惯性矩，然后，再用“移轴公式”计算绕任一轴的惯性矩（图A-3），公式如下：
21x x I I a A =+
图A-3 轴公式计算简图
极惯性矩通常分记作p I ， p x y I I I =+。

在构件受扭计算时要用到p I 。

截面抵抗矩也称作截面模量。

受弯构件计算最大正应力时，公式为：
max max x x
M y I σ==max /x x x x M M I y W = 式中，x 轴为截面中和轴（也称中性轴，是受拉区与受压区的分界轴，依据受拉区域受压区面积矩相等确定，所以，实际上也是截面的形心轴）；max /x x W I y =称作截面抵抗矩
（模量）。

为使用方便，表A-1给出了常用平面图形的惯性矩。

表A-1 常用平面图形的几何性质
四、形心主轴
在截面上，存在一对坐标轴，会使平面图形对它的惯性积为零（d xy A I xy A =⎰=0），这
一对坐标轴就叫做平面图形的主惯性轴，简称主轴。

平面图形对主轴的惯性矩称作主惯性矩。

五、回转半径
截面绕x 轴、y 轴的回转半径按照下式计算：
/x x i I A =，/y y i I A =
受压构件的计算长度记作0l l μ=（μ为计算长度系数，与杆件两端约束情况有关；l 为构件几何长度），长细比0/l i λ=，显然，长细比也区分绕x 轴和y 轴，分别记作x λ、y λ。

对于单角钢，其形心主轴如图A-4所示，其中，绕v 轴具有最小回转半径
图A-4 角钢的形心主轴
正是因为角钢的形心主轴与其分肢边不平行（垂直），所以，在钢结构的桁架中，需要考虑斜平面的情况。

六、扇性惯性矩与剪切中心
1.与扇性坐标有关的概念
如图A-5所示，扇性坐标被定义为：
0d s
r s ω=⎰ 式中，r 为B 点至M 点的切线的垂距；d s 为沿截面中心线的微长度。

图A-5 角钢的形心主轴
扇性坐标的物理意义为：从BM 0旋转至BM 所得阴影部分面积的2倍。

正、负号规定为：按右手螺旋，以沿Z 轴正向为正。

令
d S A ωω=⎰
d x I y A ωω=⎰，d y I x A ωω=⎰
2d I A ωω=⎰
则称S ω为扇性面积矩；x I ω、y I ω为扇性惯性积；I ω为扇性惯性矩。

以上式中，d d A t s =，t 为截面厚度。

如果适当选取极点B 以及扇性零点M0的位置，可以使以下三个条件同时成立：
S ω=0，x I ω=0，y I ω=0
则此时的极点B 称作主扇性极点，M 0称作主扇性零点，ω称作主扇性面积，I ω称为主扇性惯性矩。

主扇性极点也被称作扭转中心、剪切中心（简称“剪心”）、弯曲中心。

2. 主扇性惯性矩I ω的计算
计算主扇性惯性矩I ω的步骤如下：
（1）确定主扇性极点。

截面的剪心就是主扇性极点。

（2）以主扇性极点为参考点，任一M 0点作为扇性零点，计算各点的扇形坐标，记作M0ω。

（3）利用下式计算得到主扇性坐标，以n ω表示。

n ω=M0M01d A
A A ωω-⎰ （4）利用下式求I ω，或者，采用图乘法。

2n 0d s
I t s ωω=⎰ 3. 截面的剪心位置与主扇性惯性矩I ω
剪心是截面的一个特征，仅与截面的形状、尺寸有关，与荷载无关。

截面剪心的位置具有以下规律：
（1）有对称轴的截面，剪心一定在对称轴上；
（2）双轴对称截面，剪心与形心重合；
（3）由矩形薄板相交于一点组成的截面，剪心必在交点上。

几种常见截面的剪心位置与主扇性惯性矩I ω如表A-2所示。

表A-2 剪心位置与主扇性惯性矩I ω
下面以一个算例说明I ω的计算过程。

例题：如图A-6所示工字形截面，求主扇性坐标以及主扇性惯性矩I ω。

（a ）
+
-+-44
44
（b ） （c ）
图A-6 例题的图示
解：（1）求主扇性坐标
O 点为剪心。

选腹板与翼缘的交点E 作为扇性零点，则
①腹板EF 上各点，ω=0；
②取翼缘EA 上任一点，记作M （图A-6（b ）），则M 点的扇性坐标为
OEM 2A ω∆=-⨯=M 12()22h
y -⨯⨯⨯=M 2
hy - 之所以有一个负号是因为从E 到M 转动按照右手螺旋是沿z 轴的负方向，或者说是顺
时针，而图中从x 轴正向转动到y 轴正向是逆时针。

显然，EB 段扇性坐标则为正值。

③由于E 点到F 点之间的点扇性坐标均为零，故F 点也可视为扇性零点。

于是，翼缘FD 上任一点N 的扇性坐标为
OFN 2A ω∆=⨯=N 12()22h
y ⨯⨯⨯=N 2
hy 显然，FC 段扇性坐标则为负值。

得到的扇性坐标如图A-6（c ）所示。

由于图中扇性坐标对称且只差一个正负号，翼缘厚度又不变，所以，必然有M01d A A A
ω⎰=0，故该扇性坐标即为主扇性坐标。

（2）求主扇性惯性矩I ω
对图A-6（c ）应用图乘法，则可以得到
2
n
0d s s ω⎰=124()()24234bh b bh ⨯⨯⨯⨯⨯=32
24b h 再考虑厚度均为t ，则
2
n
0d s I t s ωω=⎰=3224b h t
附录B 影响线
一、影响线的概念
当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下的）沿结构移动时，表示某一量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。

例如，如图B-1所示的简支梁，当荷载P ＝1分别移动到A 、1、2、3、B 各等分点时，反力A R 的数值分别为1、34、12、14
、0。

如果以横坐标表示荷载P ＝1的位置，以纵坐标表示A R 的数值，则可将以上数值在水平的基线上用竖标绘出，再把它们的顶点相连，这就形成了A R 的影响线。

图B-1 影响线概念图
应注意区分影响线与内力图的区别。

影响线表示的是单位力在结构上移动所导致的某一
个截面的内力，而内力图表示的是在荷载的作用下结构上所有截面位置的内力。

二、影响线的绘制
可以有两种方法：静力法和机动法。

1．静力法
用静力法绘制影响线，就是依据影响线的定义，将集中单位荷载P ＝1作用于任意位置，并选定一坐标系，以横坐标x 表示荷载作用点位置，然后依据平衡条件求出所求量值与x 的函数关系，这种关系式称作影响线方程，再根据方程作图。

【例B-1】 绘制简支梁截面C 的弯矩影响线和剪力影响线（静力法）
图B-2 例B-1的图示
如图B-2所示，令集中单位荷载P ＝1与A 点距离为x ，弯矩以截面下缘受拉为正，则截面C 的弯矩可按下式求得：
c B x M R b b l
== (0)x a ≤≤ c A l x M R b a l
-== ()a x l ≤≤ 可见，c M 的影响线在C 点以左和以右均为直线形式，在C 点处为
ab l 。

剪力以绕隔离体顺时针旋转为正，截面C 的剪力可按下式求得：
c B x Q R l
=-=
(0)x a ≤≤ c A l x Q R l -== ()a x l ≤≤ 于是，c Q 的影响线在C 点以左和以右均为直线形式，在C 点处会发生突变：从左侧逼近C 点时，为a l ；从右侧逼近C 点时，l a l -＝b l。

2．机动法
用机动法绘制影响线的依据是理论力学中的虚位移原理，即刚体体系在力系作用下处于平衡的充要条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和为零。

今举例说明。

如图B-3简支梁，欲求支反力A R 的影响线，首先去掉A 支座处的链杆，代之以正向的反力A R ，此时原结构变成具有一个自由度的几何可变体系。

然后施以微小虚
位移，A R 和P 作用点沿力作用方向的虚位移为A δ、P δ，则虚功方程为：
A A P 0R P δδ+=
因P ＝1，故 P A A
R δδ=- 令A δ＝1，则上式变为A P R δ=-，也就是说，A R 在数值上等于P δ。

之所以出现负号，是由于P δ是以与力P 方向一致为正，即以向下为正，于是可知：当P 向下时，A R 负负为正；当P 向上时，A R 为负。

图B-3 机动法绘制影响线原理 图B-4 例题B-2的图示
例2 绘制简支梁截面C 的弯矩影响线和剪力影响线（机动法）
如图B-4所示，解除与c M 相应的联系，即将截面C 改为铰接，并用一对力偶代替原有联系的作用，然后使AC 、BC 两个刚片沿c M 的正向发生虚位移，则可写出虚功方程：
c P ()M P αβδ++＝0
于是可得 P
c M δαβ=-+
其中αβ+是AC 与BC 两刚片的相对转角。

若令αβ+＝1，则所得竖向虚位移图就表
示c M 的影响线。

解除与c Q 相应的联系，即将截面C 改为两根水平链杆两联系（这样，此处便不能抵抗剪力仍能承受轴力和弯矩），同时加上一对正向剪力c Q 代替原有联系的作用。

然后使此体系沿c Q 正向发生虚位移，写出虚功方程：
c 12P ()0Q CC CC P δ++=
于是 P
c 12Q CC CC δ=-+
式中，12CC CC +为截面C 左右两侧的相对竖向位移。

若令12CC CC +＝1，则所得竖向虚位移图就表示c Q 的影响线。

三、影响线的应用
1．利用影响线求量值
若某量值的影响线已经绘出，当有若干个集中荷载作用时，根据叠加原理，所产生的S 值为：
1122n n S P y P y P y =+++…
式中，12n y y y 、、…、分别对应于12n P P P 、、…、作用点处的影响线竖标。

当为分布荷载时，如图2-5(a)所示，可将分布荷载沿长度分为无穷小的微段，则每一微段dx 上的荷载x q dx 可视为集中荷载，故在ab 区段内的分布荷载所产生的量值S 为
b
x a S q ydx =⎰ 若为均布荷载，则上式成为
b
a S q ydx q ω==⎰ 式中，ω为影响线在均布荷载范围a
b 内的面积。

若该范围内影响线有正有负，则ω应为正负面积的代数和。

如图B-5(b)所示。

（a ） （b ）
图B-5 利用影响线计算量值
2．利用影响线求最不利荷载位置
（1）均布荷载的情况
由于在均布荷载下，量值S 等于q ω，故将均布荷载全部布置在正的影响线面积范围内，将得到最大的量值；全部布置在负的影响线面积范围内，将得到最小的量值。

一个典型的例子就是，多跨连续梁确定最不利均布活载布置。

利用机动法，得到多跨连续梁的k M 、k Q 、0R 影响线如图B-6所示，相应的最不利均布活载位置亦在图中示出。

图B-6 多跨连续梁确定最不利均布活载布置
（2）移动集中荷载的情况
设S 的影响线为折线形，各段直线的倾角为12n ααα、、…、。

坐标轴x 轴向右为正，y 轴向上为正，倾角α以逆时针方向为正。

则有
1122n n S R y R y R y =+++…
对其求导数，可得，
1122tg tg tg n n dS R R R dx
ααα=+++…＝tg i i R α∑ 令上式等于零，从数学上讲，则可求得极值。

为求最大值，则在极值点左侧，应有tg i i R α∑>0，而在极值点右侧，应有tg i i
R α∑<0。

若欲求最小值，应为相反。

由于倾角为常量不会变化，故只能是i R 引起变号。

显然，这只能是当某一个集中荷载恰好作用于影响线的某一个顶点（转折点）处时，才有可能。

这个能使tg i i R α∑变号的集中荷载称为临界荷载，此时的荷载位置称为临界位置。

临界位置一般通过试算确定。

对于经常遇到的较为简单的三角形影响线，临界荷载的确
定可以简化。

如图B-7，设临界荷载K P 处于三角形影响线的顶点，则可写出如下两个不等式：
()tg tg 0a K b R P R αβ+->
tg ()tg 0a K b R P R αβ-+<
上式还可以写成
a K
b R P R a b
+> a b K R R P a b
+< 对这两个不等式可以理解为：把临界荷载K P 算入影响线顶点的哪一边，则哪一边上的“平均荷载”就大些。

图2-7 三角形影响线时的临界荷载
4．简支梁的绝对最大弯矩
在对钢结构中的吊车梁进行设计时，会遇到简支梁的绝对最大弯矩计算问题。

由于移动荷载的作用位置不同，对于每个截面而言，都存在一个最大弯矩。

在所有截面的最大弯矩中最大的那个，就是“绝对最大弯矩”。

对于这个问题，可以使用计算机方法很容易求出，步骤是：
（1）根据精度要求将梁分成微段，例如每微段长度为1cm ，于是可得到节点12n x x x 、、…、。

（2）做出节点1x 位置处截面的弯矩影响线。

（3）以梁的左支座作为起点，将这组集中荷载从左向右移动，每移动1个微段长度，计算一次i i Py ∑，直到这组集中荷载的最后一个到达梁的右支座位置。

这样，得到1x 截面弯矩的一个序列，求出这个序列的最大值，就是1x 截面在该移动荷载作用下的弯矩最大值。

（4）用同样方法，得到其他节点位置的最大弯矩。

（5）对所有节点位置的最大弯矩取最大者，这就是梁的绝对最大弯矩。

如果用手工方式计算，则应是下面的步骤：
（1）确定使梁中点截面发生最大弯矩的临界荷载k P ；
（2）求该简支梁上可以布置的集中荷载的合力
i
P ∑；
（3）使k P 与i P ∑对称于梁的中点，此时，k
P 作用点截面的弯矩，为梁绝对最大弯矩。

需要注意的是，以上只是正向行驶的情况。

若考虑到荷载可能会反向行驶，则需要将这组集中荷载排列的先后顺序颠倒，用上述同样的步骤，得到荷载反向行驶时的绝对最大弯矩。

最后，取正向时和反向时的较大者，作为最终的绝对最大弯矩。

《钢结构设计手册》中给出了吊车梁绝对最大弯矩的计算公式，思路即为上面所述的手工方式。

笔者研究发现，对于6个轮子作用于梁上的情况（如图B-8所示），《钢结构设计手册》中给出的公式值得商榷。

图B-8 吊车梁计算简图（六轮）
《钢结构设计手册》（中国建筑工业出版社，1989年版）以及《钢结构设计手册》（上册，第三版，中国建筑工业出版社，2004年）给出的最大弯矩点（C 点）的位置为：
34512632212a a a a a a ++--=
最大弯矩为：
26max 12()2(2)c l P a M P a a l
-=-+∑ 最大弯矩处的相应剪力为：
6()22c l
P a V P l -=-∑
为说明问题，今对1989版《钢结构设计手册》中一个算例计算如下：
已知吊车轮压如图B-9所示，i P ＝P ＝611.6kN （k ＝1，2, ……6），l ＝12m ，1a ＝840mm ，
2a ＝3960mm ，3a ＝840mm ，4a ＝3560mm ，5a ＝840mm ，求吊车梁的绝对最大弯矩。

A B
A B
（a ） （b ）
图B-9 6轮吊车的算例
解：3P 作用于影响线顶点时，C 点位置：
3451232212
a a a a a a ++--= ＝12
39602840840356028403⨯--+⨯+⨯＝143mm )96.3281.0(6.61112
)143.06(6.611623
max ⨯+⨯--⨯⨯=M ＝5133kNm 反向行驶，4P 作用于影响线顶点时，C 点位置：
=a 12
35602840840396028403⨯--+⨯+⨯＝27.7mm )56.3281.0(6.61112
)277.06(6.611624
max ⨯+⨯--⨯⨯=M ＝5147kNm 可见，依据《钢结构设计手册》中的公式，只能得到5133kNm ，而实际最大弯矩为5147kNm 。

事实上，分析可知，只要24a a <，“手册”给出的公式就会失效。

解决的办法是：把125a a a 、、…、改为541a a a 、、…、，仍旧代入手册公式，再计算一遍反向行驶的情况，取二者所得弯矩的较大者。

附录C 连续梁的内力与调幅
8.2.1 塑性铰与内力重分布
1. 塑性铰的概念
以受纯弯矩作用的简支钢梁，随着外弯矩的增大，在梁的某一位置处，其截面应力经历了图8-2-1所示的过程，当截面正应力全部达到y f 时，对应的弯矩称作全塑性弯矩p M ，此时，梁的曲率可以任意增长而弯矩维持p M ，称作形成了塑性铰。

当足够多的塑性铰出现以
致形成机构时，意味着承载能力的丧失（简支梁一旦出现一个塑性铰形成三铰机构即破坏）。

2. 内力重分布
今以图8-2-2所示的两端固定梁为例说明。

按照弹性状态分析时，其弯矩图如图8-2-2b 所示，两端弯矩最大，为2/12ql ，依据叠加原理，跨中弯矩为22/8/12ql ql -=2/24ql 。

随着外荷载的增大，塑性铰首先在弯矩较大的两端出现，表现为弯矩达到塑性铰弯矩p M ，此时，外荷载仍然能够增大，直到跨中也出现塑性铰（弯矩达到p M ）形成三铰机构。

依据叠加原理可知，此时应有2p p ()/8M M ql --=，故最终的弯矩图如图8-2-2c 所示。

此时，梁的最大弯矩为2/16ql ，小于弹性分析的2/12ql 。

可见，由于塑性铰的出现，使得受力模型发生变化，从而内力发生重分布。

对于钢筋混凝土结构，内力重分布需要考虑以下几个因素：
（1）塑性铰的转动能力。

这与纵筋配筋率、钢筋种类、混凝土的极限压应变值有关；
（2）斜截面承载能力。

即在形成机构前，不能因斜截面承载能力不足而破坏；（3）正常使用条件。

为了保证裂缝不能过宽、挠度不致过大，必须对允许转动量加以控制。

考虑塑性铰引起的内力重分布，在钢结构中，是采用塑性设计；在混凝土结构中，采用调幅法。

B 2121616(a)
(b)(c)
图8-2-2 两端固定梁的内力重分布
3. 连续梁的内力调幅
下面先介绍按照弹性阶段连续梁的内力计算，再介绍调幅法。

（1）连续梁的内力计算（弹性方法）
连续梁属于超静定结构，手工计算时，大多采用查表来实现。

今以三跨连续梁为例，其计算表格如表8-2-1所示（通常的文献中该表格荷载情况更多，今只是为了说明问题，故从简）。

三校合编中册P334
这时，在均布荷载作用下，有：
M =表中系数*2ql ，V =表中系数*ql
例如，三跨满布均布荷载时，边跨最大弯矩为2210.080.018
ql ql ⨯=，支座B 处弯矩
为22B 1
10.100880
M ql ql =-⨯=-，B 支座左侧剪力值为B 0.6l V ql =-。

由于弹性阶段叠加原理可以适用，所以，对于需要考虑活荷载最不利布置的情况，也可方便处理。

（2）弯矩调幅
以下依据《钢筋混凝土连续梁和框架考虑内力重分布设计规程》CECS51：93阐述。

所谓弯矩调幅，就是对结构按照弹性理论算得的弯矩值进行适当调整。

弯矩调幅系数用β表示，其定义式为
e a e
M M M β-= 式中，e M 为按弹性理论算得的弯矩值；a M 为调幅后的弯矩值。

调幅法按照下列步骤进行：
（1）考虑荷载的最不利布置，按线弹性方法计算弯矩值；
（2）当连续梁搁置在墙上时，各支座截面弯矩值按照下式计算（4.1.6.3条）：
e (1)M M β=-
对于β的取值，“规程” 规定，在弹性分析的基础上，降低连续梁（板）各支座截面的弯矩，其调幅系数不宜超过0.20（见4.1.6.2条、4.2.4.2条）。

（3）结构的跨中弯矩，应取按照弹性分析所得的最不利弯矩和按照下式计算所得值的较大者（4.1.6.4条）：
r a a 01.022
l M M M M +=- 式中，0M 为按照简支梁计算的跨中弯矩设计值；a l M 、r a M 分别为连续梁左、右支座经调
整后的弯矩设计值。

（4）弯矩调整后，各控制截面的弯矩值不宜小于简支弯矩值的1/3（3.0.3.3条）。

（5）各控制截面的剪力设计值按照荷载最不利布置和调幅后的支座弯矩由静力平衡条件确定。

8.3 反弯点法与D 值法
8.3.1反弯点法
框架所受的水平力主要是地震力和风力，它们都可以化为框架结点上的水平集中力。

这时，如果框架层数不多，梁的线刚度比柱大许多（通常要求梁、柱的线刚度比≥3），而且比较规则，可以采用反弯点法进行内力计算。

反弯点法采用下述的基本假定：
（1）横梁刚度无穷大。

这样，各层总剪力按照同层各柱的侧移刚度比例分配，分配时柱两端不发生角位移，
（2）各层柱的反弯点位置，除底层位于距离柱底2h /3处，其他层位于距离柱底h /2处。

所谓刚度，就是发生单位位移所需要的外力值。

据此，框架结构中柱的侧移刚度就是梁端无转角但是水平位移为1时所需要的剪力，为c 212i d h
=，式中，c i 为柱的线刚度，h 为柱高。

所谓反弯点，是指杆件的弯矩图中竖标为零的点，在该点，弯矩被分为正弯矩和负弯矩两部分。

反弯点法的计算步骤如下：
（1）计算各柱侧移刚度，并把该层总剪力分配到各柱。

i ji j i
d V V d =
∑ 式中 ji V ——第j 层第i 根柱子的剪力； j V ——第j 层的层剪力，即第j 层以上所有水平荷载总和；
i d ——第j 层第i 根柱子的侧移刚度
（2）根据各柱分配到的剪力及反弯点位置，计算柱端弯矩。

底层柱：
上端弯矩 i /3i M V h =⋅上
下端弯矩 2/3i M V h =⋅i 下
其他柱：上、下端弯矩相等
/2i M M V h ==⋅i 下i 上
（3）根据结点平衡计算梁端弯矩，如图8-3-1所示。

对于边柱（图8-3-1a ）
i M M M =+i 下i 上
对于中柱（图8-3-1b ），设梁的端弯矩与梁的线刚度成正比，则有
b b b i i M M M i i =+左i 下左i 上左右
（）＋ b b b i i M M M i i =+右i 下右i 上左右
（）＋ （4）由梁端弯矩，根据平衡条件，可求得梁端剪力；再根据梁端剪力，由结点平衡求得柱的轴力。

i 上
i i 右i 上
i
（a ） （b ）
图8-3-1 结点力矩平衡
8.2.2 D 值法
D 值法是对反弯点法的改进。

对于层数较多的框架，由于柱轴力大，柱截面也随着增大，梁、柱线刚度比就较接近，不再符合反弯点法的假定（1）；另外，反弯点的位置与柱上下端的转角大小有关（转角大小取决于约束条件），将各柱的反弯点高度统一取为定值会造成误差。

1．柱侧移刚度的修正
D 值法对柱的侧移刚度采用下式计算：
c 212i D h
α= 修正系数α按照表8-3-1取值。

柱侧移刚度系数修正系数α 表8-3-1
2．反弯点高度
反弯点到柱下端的距离与柱高的比值，称作反弯点高度比，记作y ，y 可按照下式求得：
0123y y y y y =+++
式中，0y 为标准反弯点高度比，是在各层等高、各跨相等、各层梁柱与线刚度不变的情况下的反弯点高度比；1y 为考虑到柱上、下端相连的梁刚度不等时的反弯点高度比修正值，对于底层，不考虑1y 。

将上层层高与本层层高之比2/h h α=上，由2α查表得到2y 。

同理，令下层层高与本层层高之比3/h h α=下，由3α查表得到3y 。

最上层不考虑2y 修正，最下层不考虑3y 修正。

文献中通常都给出了以上0y 、1y 、2y 、3y 的表格，为节省篇幅，这里从略。

在确定了D值（侧移刚度）与反弯点高度之后，即可按照与反弯点法相同的步骤进行下面的计算。