高中数学第三章 3.1.2空间向量的数乘运算学案含解析新人教A版选修2_1

3.1.2 空间向量的数乘运算
内容标准学科素养
1.掌握空间向量数乘运算的定义及运算律．
2.理解向量共线、向量共面的定义．
3.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、
四点共面.
提升逻辑推理
发展直观想象
授课提示：对应学生用书第54页
[基础认识]
知识点一空间向量的数乘运算
预习教材P86－87，思考并完成以下问题
平面向量的数乘运算是什么？满足哪些运算律？
提示：(1)实数λ和向量a的乘积仍是一个向量．
(2)|λa|＝|λ||a|.
(3)λa的方向．
当λ>0时，λa的方向与a方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
(4)数乘运算的运算律
λ(μa)＝(λμ)a；
λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识梳理空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系
λ的范围方向关系模的关系
λ>0方向相同
λa的模是a的模的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的
λ<0方向相反
若λ，μ是实数，a，b是空间向量，则有
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
知识点二共线向量与共面向量
思考并完成以下问题
(1)在学习平面向量时，共线向量是怎样定义的？如何规定0与任何向量的关系？
提示：方向相同或相反的两向量称为共线向量；0与任何向量是共线向量．
(2)对空间任意两个向量a与b，如果a＝λb，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb?
提示：类似于平面向量共线的充要条件，对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb(b≠0)．
(3)对空间任意两个不共线的向量a，b，如果p＝x a＋y b，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝x a＋y b?
提示：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.
知识梳理共线向量与共面向量
共线(平行)向量共面向量
定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行
或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一平面的向量叫做
共面向量
充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充
要条件是存在实数λ使a＝λb
若两个向量a，b不共线，则
向量p与a，b共面的充要条
件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使p＝x a＋y b
推论如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直
线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的
充要条件是存在实数t，使OP
→
＝OA
→
＋t a①，其中
a叫做直线l的方向向量，如图所示．
若在l上取AB
→
＝a，则①式可化为OP
→
＝OA
→
＋tAB
→
如图，空间一点P位于平面
MAB内的充要条件是存在有
序实数对(x，y)，使MP
→
＝xMA
→
＋yMB
→
或对空间任意一点O
来说，有OP
→
＝OM
→
＋xMA
→
＋
yMB →
1．已知空间四边形ABCD ，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，连接AM ，AG ，MG ，则AB →
＋12
(BD →＋BC →
)等于( ) A.AG →
B.CG →
C.BC →
D.12
BC → 答案：A
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC → C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →| 答案：C
3．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量
D ．既不共线也不共面的向量 答案：A
授课提示：对应学生用书第55页 探究一 空间向量的数乘运算
[教材P 89练习2]如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，点E ，F 分别是上底面A ′C ′和侧面CD ′的中心．求下列各式中x ，y 的值：
(1)AC ′→＝x (AB →＋BC →＋CC ′→
)； (2)AE →＝AA ′→＋xAB →＋yAD →；
(3)AF →＝AD →＋xAB →＋yAA ′→.
解析：(1)在正方体中，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→
， ∴x ＝1.
(2)AE →＝AA ′→＋12A ′C ′＝AA ′→＋12AC →＝AA ′→
＋12(AB →＋AD →)
∴x ＝y ＝1
2
.
(3)AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12DC ′→＝AD →＋12(DD ′→＋DC →)
＝AD →＋12AA ′→
＋12AB →，
∴x ＝y ＝1
2
.
[例1] 已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值．
(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.
[解析] (1)如图所示，OQ →＝PQ →＋OP →
，由向量加法的平行四边形
法则可得PO →＝12
(PC →＋P A →
)，
∴OP →
＝－12PC →－12P A →，
∴OQ →＝PQ →＋OP →
＝PQ →－12PC →－12P A →.
∴x ＝－12，y ＝－1
2
.
(2)∵P A →＝PD →＋DA →＝PD →＋2QO → ＝PD →＋2(PO →－PQ →)＝PD →＋2PO →－2PQ →. ∴x ＝2，y ＝－2.
方法技巧 1.对向量进行分解或对向量表达式进行化简时，要准确运用空间向量加法、减法的运算法则，要熟悉数乘向量运算的几何意义，同时还要注意将相关向量向选定的向量进
行转化．
2．在△ABC 中，若D 为BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →
)，这一结论可视为向量形式的
中点公式，应用非常广泛，应熟练掌握．
跟踪探究 1.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．
(1)化简：A 1O →－12AB →－12
AD →
；
(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→
，
试求实数x ，y ，z 的值．
解析：(1)A 1O →－12(AB →＋AD →
)
＝A 1O →－AO →＝A 1A →.
(2)EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→
＝12AB →－12AD →－23AA 1→
， 所以x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.
探究二 空间共线向量定理及其应用
[教材P 99习题3.1B 组2题改编]如图，已知空间四边形OABC 中，OA ＝OB ，CA ＝CB ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，BC ，
CA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形． 证明：∵E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，BC ，CA 的中点， ∴OE →＝12OA →，OF →＝12OB →，CG →＝12CB →，CH →＝12CA →
.
∵AB →＝OB →－OA →＝2OF →－2OE → ＝2(OF →－OE →)＝2EF →， ∴AB ∥EF ，且|AB →|＝2|EF →
|. 同理HG ∥AB ，且|AB →|＝2|HG →
|，
∴四边形EFGH 是平行四边形．
[例2] 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，点F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →
.求证：E ，F ，B 三
点共线．
[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→
＝c . 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，
所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25
A 1C →，
所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→
)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c .
所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝2
5a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →
＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，
所以EF →＝25
EB →
.
因为EF →与EB →
有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．
方法技巧 1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别．
2．判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
跟踪探究 2.如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →
是否共线．
解析：∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，
∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.
又MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →
＝－12CA →＋CE →－AF →－12
FB →，
∴2MN →＝12CA →＋AF →＋12FB →－12CA →＋CE →－AF →－12FB →＝CE →，即CE →＝2MN →.∴CE →与MN →
共线．
探究三 空间共面向量定理及其应用
[阅读教材P 88例1]如图，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OH
OD ＝k ，求证：
E ，
F ，
G ，
H 四点共面．
题型：空间四点共面的判定
方法步骤：(1)由数乘运算表示出向量OE →，OF →，OG →，OH →
. (2)由向量减法运算得出EG →
.
(3)由AB →、AC →、AD →的关系得出EG →、EF →、EH →
的关系，从而判定E ，F ，G ，H 四点共面． [例3] 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →
.
(1)判断MA →，MB →，MC →
三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解析] (1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →
，
所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →
，
所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)， 因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →. 故向量MA →，MB →，MC →
共面．
(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →
共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．
方法技巧 1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则向量a ，b ，c 共面；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
2．对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1)MP →＝xMA →＋yMB →；
(2)对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →
； (3)PM →∥AB →(或P A →∥MB →，或PB →∥AM →)．
跟踪探究 3.已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面．
(1)OM →＋OB →＝3OP →－OA →；(2)OP →＝4OA →－OB →－OM →. 解析：(1)∵OM →＋OB →＝3OP →－OA →
， ∴OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋P A →＋PB →， ∴OP →－OM →＝P A →＋PB →， ∴MP →＝P A →＋PB →，
∴MP →，P A →，PB →
为共面向量， ∴P 与A ，B ，M 共面．
(2)OP →＝2OA →＋(OA →－OB →)＋(OA →－OM →)＝2OA →＋BA →＋MA →，
根据空间向量共面的推论，点P 位于平面ABM 内的充要条件是OP →＝OA →＋xBA →＋yMA →
， ∴P 与A ，B ，M 不共面．
授课提示：对应学生用书第56页
[课后小结]
利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题．
[素养培优]
混淆共面向量与共线向量的相关结论致误
已知e 1，e 2是两个非零空间向量，如果AB →＝e 1－2e 2，AC →＝3e 1＋4e 2，AD →
＝－e 1－8e 2，则下列结论正确的是( )
A ．A ，
B ，
C ，
D 四点共线 B ．A ，B ，C ，D 四点共面
C ．A ，B ，C ，
D 不一定共面
D ．无法确定A ，B ，C ，D 四点的位置关系
易错分析 由已知条件，AC →与AD →不共线，且AC →＋AD →＝2e 1－4e 2＝2(e 1－2e 2)＝2AB →
，由此得(AC →＋AD →)∥AB →.
若设AC →＋AD →＝AE →
，则A ，B ，E 三点共线，并不是A ，B ，C ，D 四点共线．考查逻辑推理的学科素养．
自我纠正 因为AC →＋AD →＝2e 1－4e 2＝2(e 1－2e 2)＝2AB →，即AB →＝12AC →＋12AD →
，所以由共面向
量定理可知AB →，AC →，AD →
三个向量共面．
又因为A 是公共点，所以A ，B ，C ，D 四点共面，故选B. 答案：B。