最新-上海市静安区2018届第二学期高三高考模拟文理科

静安区2018学年第二学期高三年级高考模拟
文理科数学试卷
（试卷满分150分 考试时间120分钟）
2018.4
考生注意：
本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应
在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.（文）已知全集U R =，集合
{}(1)(4)0A x x x =--≤，则集合A 的补集
U C A =
.
（理）计算：=+++∞
→7
12)
6(lim
3
2
n n n
n _.
2. （文）指数方程4
62160x
x -⨯-=的解
是 .
（理）设复数z 满足(34i)5z -=（i 为虚数单位），则z = .
3. （文）已知无穷等比数列{}n a 的首项118a =，公比12
q =-，则
无穷等比数列{}n a 各项的和是 .
（理）若原点(0,0)和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是 ．
4．函数[]π，，02cos ∈=x x y 的递增区间为 . 5．算法流程图如图所示，则输出的k 值是 . 6. 抛物线错误！未找到引用源。

上一点错误！未找到引用源。

到焦点的距离为1，则点错误！未找到引用源。

的横坐标是 ．
7. （文）设函数()23f x x =-，则不等式()5f x <的解集为 .
（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为 . 8.关于θ 的函数2()cos 2cos 1f x θθθ=--的最大值记为()M x ，则()
M x 的解析式为 .
9．（文）如图所示，是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图，若3,2==b a ，则该几何体的体积等于 ．
（理）如图，正四棱锥P ABCD -的底面边
长为，侧面积为
2
，则它的体积为 .
10. （文）圆心在直线2x -y -7=0上的圆C 与y 轴交于A(0, -4)、B(0, -2) 两点，则圆C 的方程为 .
（理）已知双曲线2
2
21(0)y x m m
-=>的渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公
共点， 则该双曲线的焦距的取值范围为 .
11.已知△ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2AB AC AO +=，
AB AO =，则CA CB ⋅= .
12. （文）若不等式组0,
34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域被直线
4
3
y k x
=+分为面积相等的两部分，则k 的值是 .
（理）若以过(0,0)
点的直线的倾斜角θ为参数，则圆2
20y x x +-=的
参数方程为 .
x
13. （文）掷两颗均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)(i 为虚数单位)为实数的概率为 .
（理）已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,
(*)3,
21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，
则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 .
（第12题）
侧视图
正视图
俯视图
（文9题）
14. 设关于x 的实系数不等式2
(3)()0ax x
b +-≤对任意[0,)x ∈+∞恒成
立，则2
a b = .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．（文）4(1)x +的展开式中2x 的系数为（ ）
A. 1
B. 4
C. 6
D. 12
（理）下列不等式一定成立的是 （ ）
A ．21lg()lg (0)4
x x x +>>
B ．1
sin 2(,)sin x x k k Z x
π+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈
D ．
2
1
1()1
x R x >∈+ 16. （文） 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积2221()4
S b c a =+-，∠A 的弧度数为
（ ） A. 3
π B.
6
π C.
2
π
D.
4
π （理）在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ） A ．=0()cos =2R θρρθ∈和
B ．=()cos =22
R πθρρθ∈和
C ．=()cos =12
R πθρρθ∈和
D ．=0()cos =1R θρρθ∈和
17. 若函数()()2F x f x x =+为奇函数，且g (x )= f (x )＋2，已知 f (1) =1，则g (－1)的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
18.
（文）已知实数,x y 满足20,
0,
3,x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩
则|4|z x y =+的最大值为（ ）
A. 17
B. 15
C. 9
D. 5
（理）袋中装有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5. 现从该袋内随机取出3个球，记被取出的球的最大号码数为ξ，则E ξ等于（ ）
A ． 4
B ．4.5
C ． 4.75
D ． 5
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（文）（本题满分12分）
如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
P —ABCDEF （底面正六边形ABCDEF 的中心为球心）.
求：正六棱锥P —ABCDEF 的体积和侧面积．
（理）（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知12,F F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=（其中0a b >>）的左、右
焦点，椭圆C
过点(且与抛物线28y x =-有一个公共的焦
点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点且斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求线段AB 的长度．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （文）题同理科第19题。

（理） 设点,E F 分别是棱长为2的正方体1
1
1
1
ABCD A B C D -的棱
1,AB AA 的中点．如图，以C 为坐标原点，射线CD 、CB 、1CC 分
别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． （1）求向量1D E 与1C F 的数量积；
（2）若点,M N 分别是线段1D E 与线段1C F 上的点，问是否存在
（文19题）
直线MN，MN⊥平面ABCD？若存在，求点,M N的坐标；若不存在，请说明理由．
1
D
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
如图，A、B
是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小
岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2k m．测得
t a n3
M O N
∠=
-，6k m
OA=．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正
半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以1k m /小时的
平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q
在第一象限，航线AB经过Q）．
（1）问游轮自码头A沿AB方向开往码头B共需多少分钟？
（2）海中有一处景点P（设点P在xoy平面内，PQ OM
⊥，且6km
PQ=），游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离
景点P最近的点C的坐标.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4
分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
20题）
M
已知函数()y f x =，若在区间I 内有且只有一个实数
c (c I ∈)，使得()0f c =成立，则称函数()y f x =在区间I
内具有
唯一零点.
(1) (文)判断函数()2log f x x =在定义域内是否具有唯一零点，并说明理由；
（理）判断函数
()22
1,01,log ,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨≥⎩在区间(0,)+∞内是否具
有唯一零点，并说明理由；
(2)已知向量31
(
)22
m
=，(sin 2,cos2)n x x =，(0,)x π∈，证明()1f x m n =⋅+在区间(0,)π内具有唯一零点；
(3)若函数2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-内具有唯一零点，求实数m 的取值范围.
23．(文) （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知各项为正的数列{}n a 是等比数列，且21=a ，532a =；数列{}n b 满足：对于任意*∈N n ，有n n b a b a b a +++ 2211=22)1(1+⋅-+n n . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式；
（3）在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1+k a 之间插入k 个k k b )1(-（k N *∈）后，得到一个新的数列{}n c . 求数列{}n c 的前2018项之和.
（理）（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知数列{}n a 满足n n n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2），首项31=a ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）数列{}n b 满足n
a b n n 3
log =，记数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
⋅+11n n b b 的前n 项和为n T ，A 是△ABC
的内角，若n T A A 4
3
cos sin >
对于任意n N *∈恒成立，求角A 的取值范围．
静安区2018年高考模拟考解答与评分细则 1．文：(,1)
(4,)-∞+∞；理：
12
1
； 2．文：3x =；理：345
5
i +
3．文：12；理：()0,2
4．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ππ,2
5．5
6．点错误！未找到引用源。

的横坐标为错误！未找到引用源。

．
7．文：{}14x x -<<；理：1112
；
8．20
()20x x M x x x ≥⎧=⎨-<⎩
9．文：3
13π；理：4
10．文：5)3()2(22=++-y x ；理：(2,4) 11．12
12．文：7
3
；理：R y x ∈⎩⎨⎧⋅==θθ
θθ
,sin cos cos 2
13．文：1
6；理：127
14．9 15．文理：C 16．文D 理B 17． A 18．文理B
19．文：
设底面中心为O ，AF 中点为M ，连结PO 、OM 、PM 、AO ，则PO ⊥OM ， …………2分
OM ⊥AF ，PM ⊥AF ，
∵OA ＝OP ＝2，∴OM ＝3，
∴S 底＝6×1
2
×2×3＝6 3.
∴V ＝13
×63×2＝4 3. …………6分
PM ＝4＋3＝7. …………8分
∴S 侧＝6×1
2×2×7＝67. …………12分
理：（1）抛物线28y x =-的焦点为(2,0)- ………1分
所以椭圆22
22:1x y C a b
+=的左焦点为(2,0)-，2c =
，224b a =-………
2分
又
2
231
1a b
+=，得428120a a -+=，解得26a =（22a =舍去）………4分
故椭圆C 的方程为22
162
x y +=。

(6)
分
（2）直线l 的方程为
2y x =-． …………………7分
联立方程组22
2
16
2y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得
22630x x -+=． …………………9分（文10分）
设11(,)A x y ，22(,)B x y ． 故123x x +=，
1232
x x =
． …………………10分（文
11分） 则]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+
==12
分（文
14分）
20．文题同理19，评分标准见上。

理：（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为
11(2,0,2),(1,2,0),(1,2,2)D E D E =-- …………2分
11(0,0,2),(2,2,1),(2,2,1)C F C F =-
…………4分
所以111222(2)(1)4D E C F ⋅=-⨯+⨯+-⨯-=。

…………6分
（2）存在唯一直线MN ，MN ⊥平面ABCD 。

…………8分 若MN ⊥平面ABCD ，则MN 与平面ABCD 的法向量(0,0,1)平行，所以，可设(,,),(,,),(0,0,),M a a m N a a n MN n m n m =-≠ …………10分 又因为点,M N 分别是线段1D E 与线段1C F 上的点，所以
1111//,//D M D E C N C F ，即1111,D M D E C N tC F λ==，
…………12分
(2,,2)(,2,2)a a m λλλ--=--，(,,2)(2,2,)a a n t t t -=-，
所以2,2,22a a m λλλ-=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩且2,2a t n t =⎧⎨
-=-⎩解得4,32,343a m n ⎧=⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
=⎪⎩
所以点,M N 的坐标分别是442(,,)333
M ，444(,,)333
N 。

…………14分
21．解：（1）由已知得： (6,0)A ，
直线ON 的方程为3y x =-， ………1分 设0
(,2)(0)Q x x
>
=
及图0
0x
>得04x =，
(4,2)Q ∴ ………3分
∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即
60x y +-=，
………5分
由3,60y x x y =-⎧⎨+-=⎩
得3,
9,
x y =-⎧⎨
=⎩
即(3,9B -， ………6分
AB ∴AB 的长为．
游轮在水上旅游线自码头A 沿AB 方向开往码头B 共航行30分钟时间． ………8分
（2）解法1：点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C 。

………10分
由（1）知直线AB 的方程为60x y +-=，(4,8)P ，则直线PC 的方程为40x y -+=， ………12分
所以解直线AB 和直线PC 的方程组，得点C 的坐标为（1，5）． ……14分
解法2：设游轮在线段AB 上的点C 处，
则
12A C t =，1
02
t ≤≤， ………
10分
(618,1C t t ∴-，
(4,8P ，则
2
22
(218)(188)
P C t t ∴=-+- 2
18(3620)68t t =-+，1
02
t ≤≤， (12)
分 1
2
t
∴≤≤时， 当51
182
t ∴=
<时，离景点P 最近，代入(6
18,1C t t -得离景点P 最近的点的坐标为（1，
5）． ………14分
22．文：（1）函数()2log f x x =在定义域内不具有唯一零点, ………2分
因为当1x =±时,都有()10f ±=； ………4分
理：（1）函数()221,01
log ,1
x x f x x x ⎧-≤<=⎨
≥⎩在区间(0,)+∞内具有唯一零点． …2分
理由：当1x =时，有()10f =，且当01x <<时，有()210f x x =-<；当1x >时, ()2log f x x =是增函数，有()22log log 10f x x =>=． …………4分
(2)
因为112cos 21sin(2)126
m n
x x x π
⋅+=
++=++,所以()sin(2)16
f x x π
=++, …………7分
()0f x =的解集为,3A x x k k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭
；因为23A I π⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭,所
以在区间(0,)π内有且只有一个实数23
π,使得2()03f π=成立,因
此()1f x m n =⋅+在开区间(0,)π内具有唯一零点； …………10分
(3) 函数2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-内具有唯一零点，
该二次函数的对称轴为x m =-．以下分-m 与区间(2,2)-的位置关系进行讨论．
1)当2m -≤-即2m ≥时, 2()22f x x mx m =++在开区间(2,2)-是增函数,只需(2)0,
(2)0
f f -<⎧⎨
>⎩解得2m >；
…………12分
2) 当22m -<-<即22m -<<时,若使函数在开区间(2,2)-内具有唯一零点，220m m -<，
所以0m <。

分三种情形讨论：当0m =时,符合题意；当02m <<时, 空集； 当20m -<<时, 只需
(2)0,(2)0
f f ->⎧⎨
≤⎩解得2
23m -<≤-； …………14分
3）当2m -≥即2m ≤-时, 2()22f x x mx m =++在区间(2,2)-是减
函数,只需(2)0,
(2)0
f f ->⎧⎨<⎩解得2m ≤-；
综上讨论，实数m 的取值范围是23
m ≤-或0m =或
2m >．
…………16分
23．文：(1)由532a =得，2=q 。

………2分
n n a 2=
………4分
(2)222
)11(2
11=+-=b a ，得11=b . ………5分
当2≥n 时，n n n n n n n n b a b a b a b a b a 2)()(111111⋅=++-++=-- . ………8分 于是n b n =. ………10分
（3）设数列{}n a 的第k 项是数列{}n c 的第k m 项，即k
m k c a =.
当2≥k 时，2
)1())1(21(+=-++++=k k k k m k . ………12分
19532
63
6262=⨯=
m ，201663=m ，632016a c =，62622015)1(b c ⋅-= (14)
分
设n S 表示数列{}n c 的前n 项之和.
则]62)1(2)1()1[()(6262221163212016b b b a a a S ⋅-++⋅-+-++++= . 其中22646321-=+++a a a ，2)1()1(n nb n n n -=-。

又
14)12()2(22-=--n n n ，则 626222162)1(2)1()1(b b b -++-+-
=26222262)1(2)1(1)1(-++-+-
=)6162(])12()2[()34()12(22222222-++--++-+- m m
=19532
)1314114(31)1314()14()124()114(=-⨯+-⨯=-⨯++-++-⨯+-⨯ n
因此，195121953)22(64642016+=+-=S . ………18分
理：（1）数列{}n a 满足n
n n a a 331
+=-（*∈≥N n n ,2） ∴n n n a a 331=--，∵03≠n ，∴1331
1
=---n n n n a a 为常数，…………2分
∴数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n n a 3是等差数列，首项为131=a ，公差为1…………4分
n a n
n
=3 ∴n n n a 3⋅=
)(*∈N n …………6分
（2）23413233343(1)33n n n S n n -=+⋅+⋅+⋅+
+-⋅+⋅
2345133233343(1)33n n n S n n +=+⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅
234112333333n n n S n -+-=++++
+-⋅
11
33
3
22
n n n S n ++=⋅-+…………10分
（3）数列{}n b 满足n
a b n n 3
log =，则n b n n ==3log 3，…………11分
11
n n b b +=
111(1)1
n n n n =-++ 因此有：
11111
11(1)()()()223341
n T n n =-+-+-+
+-+ =1
11+-
n …………13分
∴由题知△ABC 中，1sin cos sin 224
n A A A =>
恒成立，而对
于任意n N *∈，1n T <成立，所以1sin 22A ≥
2
32sin ≥
A ， …………16分
又),0(π∈A ，即)2,0(2π∈A ∴3
223
ππ
≤
≤A ，即⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈3,6ππA ． …………18分。