凸函数与严格凸函数的几个新判别准则
43凸函数与凸规则
例1、证明 f(x)=x12+x22为凸函数
证：只证x12为凸函数 任取a1 , a2∈R
若x12凸，则应有[a1+(1-)a2]2 a12+(1-)a22
整理得(2-)(a1 -a2)2 0 ∵ 0 1 ∴ 2- 0
∴ x12是, x12+x22也是凸函数
(3)、判定 定理1：(一阶条件) f(x)在某开凸集R上定义且可微，f(x)为凸函数
集合S ={xx∈R, f(x) }为凸集
证明： x1 , x2 ∈ S 由 f(x)为凸函数，有
f(x1)
f(x2 ) 0<<1
f( x1 +(1- )x2) f(x1 )+(1-) f(x2 )
+(1-)
= 又 ∵ x1 +(1- )x2∈R ∴ x1 +(1- )x2∈S
§4.3 凸函数与凸规则
(一)、凸函数 (1)、定义：设f(x)是定义在凸集R上的凸函数
∈(0, 1) x1 , x2∈R，有 f( x1 +(1- )x2) f(x1 )+(1-) f(x2 )
称f(x)为R上的凸函数 ﹡当x1 x2 f( x1+(1- )x2)< f(x1 )+(1-) f(x2 )
对任x1 , x2∈R, 有f(x2) f(x1)+ f(x1)T(x2-x1)
几何意义：过f(x)任一点切线，必在f(x)曲线 之下。
f
f(x1)+ f(x1)T(x2-x1)
x2
x1
f(x2 )
y=f(x1)+ f(x1)T(x-x1)
x
最优化方法(凸集与凸函数)
{ {
} }
{
}
+ D1 ⊂ H 0 = x ∈ R n | a T x > β
− D2 ⊂ H 0
{ = {x ∈ R
n
| aT
} x < β}
+ − 则称超平面 H 严格分离 D1 和 D2 ，其中 H 0 和 H 0 分别表示
H + 和 H − 的内部
7
点到凸集的投影
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集， y ∈ R n 但是 y ∉ D ，则 的距离最小， （1）存在唯一的点 x ∈ D ，使得集合 D 到点 y 的距离最小，即 x − y = inf { x − y , x ∈ D} （2） x ∈ D 是点 y 到集合 D 的最短距离点的充分必要条件为
α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) ――― α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) + α 3 x ( 3 )
α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) ――― α 1 x (1) + α 2 x ( 2 ) + α 3 x ( 3 )
4
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集，则任意 m 个点 x ( i ) ∈ D( i = 1,2,⋯ , m ) 的凸组合仍 即有： 属于 D ， 即有：
( x − x )T ( x − y ) ≥ 0 ， ∀x ∈ D
证明： （1） 证明： ） （ 令 S = x ∈ R n | x ≤ 1 则取充分大的 µ > 0 使得
Ds = D ∩ ( y + µS ) ≠ φ
因此连续函数 f ( x ) = x − y 在 D s 上必定可以取到极小点 存在性证明完毕
凸函数及其性质
凸函数及其性质1. 定义1.1 定义⼀如果对任意x1、x2总有f[αx1+(1−α)x2]≥αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0≤α≤1，则称f(x)为上凸函数如果对任意x1、x2且x1≠x2，总有f[αx1+(1−α)x2]>αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0<α<1，则称f(x)为严格上凸函数1.2 定义⼆如果对任意x1、x2总有f[αx1+(1−α)x2]≤αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0≤α≤1，则称f(x)为下凸函数如果对任意x1、x2且x1≠x2，总有f[αx1+(1−α)x2]<αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0<α<1，则称f(x)为严格下凸函数2. 琴⽣（Jenson）不等式对于上凸函数，f(E[X])≥E[f(x)]或q∑k=1λk f(x k)≤f(q∑k=1λk x k)，其中λ1,λ2,⋯,λq为正实数（或⾮负实数，后者去除⽆影响的λi=0的项即为前者，故⼆者等价）且q∑k=1λk=1；对于严格上凸函数，上述等号成⽴当且仅当x1=x2=⋯=x q。
对于下凸函数，f(E[X])≤E[f(x)]或q∑k=1λk f(x k)≥f(q∑k=1λk x k)，其中λ1,λ2,⋯,λq为正实数（或⾮负实数，后者去除⽆影响的λi=0的项即为前者，故⼆者等价）且q∑k=1λk=1；对于严格下凸函数，上述等号成⽴当且仅当x1=x2=⋯=x q。
↓证明过程如下↓2.1 上凸函数证明：因为λi均为正实数，故有 f(q ∑k=1λk x k)=f(λ1x1+q∑k=2λk∑q k=2λk x k∑q k=2λk)≥λ1f(x1)+q∑k=2λk⋅f(∑q k=2λk x k∑q k=2λk) =λ1f(x1)+q∑k=2λk⋅f(λ2∑q k=2λk x2+∑q k=3λk∑q k=2λk⋅∑q k=3λk x k∑q k=3λk) ≥λ1f(x1)+λ2f(x2)+q∑k=3λk⋅f(∑q k=3λk x k∑q k=3λk) ≥⋯≥q∑k=1λk f(x k)2.2 严格上凸函数证明：由定义可知，对于严格上凸函数，f[αx1+(1−α)x2]≥αf(x1)+(1−α)f(x2)等号成⽴时当且仅当x1=x2。
判断函数凸性的若干方法
JOURNAL OF COMMUNICATION UNIVERSITY OF CHINA （SCIENCE AND TECHNOLOGY ）中国传媒大学学报（自然科学版）第27卷，第6期Vol 27，No 62020年12月Dec ，2020判断函数凸性的若干方法吴菁菁，朱永贵（中国传媒大学数据科学与智能媒体学院，北京100024）摘要：凸函数和严格凸函数是线性规划和非线性规划都要涉及的基本概念，关于凸函数和严格凸函数的一些定理在凸分析以及最优化问题的理论证明中具有重要作用。
本文分别利用不等式方法及求解Hesse 矩阵方法判断多元二次函数的凸性。
关键词：凸函数；严格凸函数；Hesse 矩阵中图分类号：O174．13文献标识码：A文章编号：1673－4793（2020）06－0079－05Several methods for determining the convexity of a functionWU Jing-jing ，ZHU Yong-gui（College of Data Science and Intelligent Media ，Communication University of China ，Beijing 100024，China ）Abstract ：convex function and strictly convex function are the basic concepts involved in linear program-ming and nonlinear programming．Some theorems about convex function and strictly convex function play an important role in the theoretical proof of convex analysis and optimization problems．In this paper ，we use inequality method and Hesse matrix method to judge the convexity of quadratic functions．Key words ：convex function ；strictly convex functions ；Hesse matrix1引言凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用。
第3讲凸集凸函数凸规划
(b)凹函数
P41 2.37
凸函数
例：设
试证明
上是严格凸函数．
证明: 设
且
在 都有：
因此,
在
上是严格凸函数．
凸函数
例：试证线性函数是 上的凸函数．
证明: 设
则
故,
是凸函数．
类似可以证明
也是凹函数.
性质
定理1 设
凸函数
是凸集
上的凸函数充要条件
不等式应用: 设
詹生(Jensen)不等式 ，证明:
P41 2.36
性质
定理2
凸函数
正线性组合
凸函关于数 的水平集.
定理3
设 是凸集
上的凸函数，则对任意
，水平集
是凸集．
注：定理3 的逆命题不成立.
凸函数
下面的图形给出了凸函数
的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理
定理1: 设 是定义在凸集
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2)
f(αx1+(1-α)x2 ) f(X1)
X
X1
αx1+(1-α)x2 X2
f(X) f(X2) αf( x1 ) +(1- α) f( x2) f(αx1+(1-α)x2 )
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
(2) 若 是凸集
上的严格凸函数，
且凸规划问题
局部极小点x*存在，
则x*是唯一的全局极小点．
定理 凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。 证明：设x*是凸规划的一个局部解，则存在δ>0,使 如果x*不是整体最优解，则 又因为f是凸函数，所以
凸函数的几种定义
凸函数的几种定义凸函数在优化和数学分析中有广泛的应用，其有多种定义，本文将介绍凸函数的几种定义。
1. 凸函数的一阶定义凸函数的一阶定义是指，定义域上的任意两个点之间的割线上，函数值的下凸性。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果对于所有的x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，都有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，那么f(x)为凸函数。
2. 凸函数的二阶定义凸函数的二阶定义是指，定义域上的所有点都满足函数的二阶导数大于或等于零。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果f''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。
3. 凸函数的三阶定义凸函数的三阶定义是指，定义域上的所有点的曲率大于或等于零。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其曲率f'''(x)≥0，那么f(x)为凸函数。
4. 凸函数的凸集定义凸函数的凸集定义是指，函数图像的下方区间所形成的区间也是凸集。
即对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果其图像下方区间S={(x,y)| y≤f(x)}是凸集，并且S 在[a,b]上是凸的，那么f(x)为凸函数。
综上所述，凸函数的几种定义都指向了函数图像呈现的下凸性，即直线割过函数图像后位于函数图像下方的性质，其不同的定义方式体现了不同的性质和求解方法。
无论采用哪种定义方式，都需要考虑实际问题的特征和函数的定义域，以得到准确可靠的结果。
凸函数的性质有很多，例如在区间[a,b]上凸函数f(x)上，对于任意的x1,x2∈[a,b]和0≤λ≤1，都有f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)，即凸函数的凸组合仍为凸函数。
此外，凸函数也有一些应用，例如在最优化问题中，将问题转化为凸函数求解可以更优effective。
然而，有些函数仅在部分定义域内为凸函数，而在另一部分定义域内则不是，因此在实际应用中必须慎重选择凸函数进行求解。
强预不变凸函数的判别准则
６ 厂 ） 满足：３ ＂ （，， ， 若 ａ∈ Ｏ ） ∈Ｋ ｆ（ ＋Ｏｌ ）ｓ （） １ 有 ｙ ｔ ， ） ｒ
＋１ ， ． ／ 中间点 预不变 凸函数， 是 ， （ 一 ∽ 则称 是 称 的预 不
础 ， 过 研 究 了各 类 广 义 凸 函数 之 间 的 关 系， 出 了强 预 不 变 凸函 数 的 一 类 判 别 准 则 ： 一 定 条 件 下 ， 中 所给 出的 九 类 广 义 凸 通 给 在 文
函数 ． 当满 足 中 间点 强 预 不 变凸性 时 ， 以 成 为 强 预 不 变 凸 函数 。 可 关 键 词 ： 预 不 变 凸 函数 ； 不 变 凸函 数 ； 致 不 变 凸 函数 ： 件 ； 密性 定 理 强 预 一 条 稠
．
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ｌ ，＋ ｑｘｙ） ２／ ， ，（ ｙ ２／ ， ） （ ， ，） （ ＝ （ ｙ ， （ｙ 一 ７ ， （ ． 一 （一 （，） ， １ ） ｙｌ则称厂 关于 Ｂ ∈ 有 ｒｙｙ ２ （，） － ｒｘ ）７ ， 十 ｒｘ ）＝１ ） ．， ｌ 是 的强
中 图 分类 号 ： ｌ４１ Ｏ ７． ３
文 献标 识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ ５ ０ ３ （ ０２ ０ — １６ ０ ２９ — ４８ ２ １ ）２ ０ ８ — ４
一
、
定义及引理
５若 ｆ ） 满足： ０ ∈ｏ】 ｘｙ Ｋ有 ｆ（ 了 ＞ ， 【，， ， ￣ ｌＶ Ｙ＋２／ｘ ｙ ） ｒ ， ）≤ （
则称 满 足 条件 ｃ 删 ． 口
顶不变凸函数［Ｐ９ ” ａ２－ ： Ｒ２４ ２
ｆ 收稿 日期］０ ０ — ０ ２ １－ ９ ２ １
复杂函数的凸函数的判定方法
复杂函数的凸函数的判定方法1. 定义法呀！直接根据凸函数的定义来判断，就像判断一个人是不是好人，看他的行为符不符合好人的标准一样。
比如函数 f(x)=x^2，它的二阶导数恒大于等于 0，不就是明显的凸函数嘛！2. 一阶导数判别法也超实用！当函数的一阶导数单调递增时，嘿，大概率就是凸函数啦！就像跑步速度一直在加快，那肯定是在向上前进呀，比如函数 f(x)=e^x。
3. 二阶导数判别法可别小瞧！看到二阶导数恒大于等于 0，那差不多就是凸函数没跑啦！好比看到一个人总是笑眯眯的，那心情肯定不错呀，像f(x)=ln(x) 在定义域内就是这样。
4. 图像法很直观哦！直接瞅瞅函数图像是不是向上凸的，就一清二楚啦。
比如反比例函数，那图像一看就不是凸函数嘛！5. 割线法也很有趣呀！看看割线是不是都在函数曲线的上方，如果是，那就是凸函数啦！就像走在路上总是比路边的花草高一样明显，像函数f(x)=-x^2 就是典型的例子呀。
6. 琴生不等式法这个有点厉害哦！用它来判断凸函数也是一绝。
哎呀，就好像有个特别靠谱的标准来衡量一样，比如函数 f(x)=sin(x) 在一定区间内可以用这个方法呀。
7. 利用凸组合来判断也不错！看看满足凸组合的条件不，满足的话大概率就是啦！这就好像把不同的东西混在一起，看看是不是符合某种特征，就像 f(x)=x 就可以这样来瞧瞧。
8. 对比法也能行呀！和已知的凸函数做个比较，说不定就发现了。
这和找不同有点像呢，比如已知 f(x)=x^3 是凸函数，那和它类似的函数也可以试着判断呀。
9. 还可以用极限的思想呢！从极限的角度去分析函数的凸性。
哇，这就好像从很遥远的地方去观察一个东西一样，比如函数 f(x)=1/x 在某些区间上，用极限思想判断就很有意思呀！在我看来呀，这些方法都各有各的厉害之处，根据不同的函数特点去灵活运用，才能准确判断是不是凸函数呀！。
凸函数的知识点总结
凸函数的知识点总结一、凸函数的定义凸函数是一种具有很多重要性质的函数。
在数学上，凸函数的定义如下：设$f$是定义在实数集上的函数，如果对于任意的$x_1, x_2$和任意的$t \in [0,1]$，都有$f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$，则称$f$是凸函数。
凸函数的定义实际上描述了函数图像上两点之间的连线位于函数图像之上，即函数的下凹性。
二、凸函数的性质1. 一阶导数的非减性：凸函数在其定义域上是处处可导的，在其定义域上的各点处，函数的导数保持不减。
2. 二阶导数的非负性：凸函数在其定义域上是处处二阶可导的，并且在其定义域上的各点处，函数的二阶导数大于等于零。
3. 零阶条件：如果$f$是定义在实数集上的连续函数，那么$f$是凸函数当且仅当对于任意的$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
三、常见的凸函数1. 线性函数：$f(x) = ax + b$，其中$a, b \in \mathbb{R}$，且$a \geq 0$。
2. 指数函数：$f(x) = e^{ax}$，其中$a \geq 0$。
3. 幂函数：$f(x) = x^a$，其中$a \geq 1$或$0 \leq a \leq 1$。
4. 对数函数：$f(x) = \log(x)$，其中$x > 0$。
四、凸函数的应用1. 在优化领域中，凸函数是一类非常重要的函数。
因为凸函数具有许多良好的性质，比如局部最小值也是全局最小值、一阶导数大于零等等。
所以在优化问题中，可以采用凸函数作为目标函数或约束条件，从而使得问题更容易求解。
2. 在经济学中，凸函数通常被用来描述一些经济变量之间的关系。
比如成本函数、效用函数等都可以用凸函数来描述。
3. 在凸优化问题中，凸函数也是一种标准形式的函数。
第3讲凸集凸函数凸规划整理ppt
则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
超平面：H x Rn a1 x1 a2 x2 an xn b ,
H
半空间：
x Rn a1x1 a2 x2 L an xn b
= x Rn aT x b
凸集----举例
及 0, 有x0 x S, 则称S是
以x0为顶点的锥. 如果S又是凸集， 则称S为凸锥.
凸函数
严格凸函数
设 D Rn 是非空凸集， f x: S R,
若对任意的 x, y D (x y),及任意的 0,1
都有：f x 1 y f x 1 f y
则称函数 f x 为 D 上的严格凸函数．
注：定理3 的逆命题不成立.
凸函数
下面的图形给出了凸函数 f x, y x4 3x2 y4
y2 xy的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.
凸函数
凸函数
凸函数的判别定理 定理1: 设 f x是定义在凸集 D Rn 上，x, y D ,
令 t f tx 1 t y, t 0,1, 则:
注：将上述定义中的不等式反向，可以 得到严格凹函数的定义．
凸函数
几何性质
对一元函数 f x,在几何上 f x1 1 f x2 0 1 表示连接 x1, f x1 ,x2, f x2 的线段． f x1 1 x2 表示在点 x1 1 x2处的
函数值． 所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点 的线段总是位于曲线弧的上方．
f(X1)
X1
αx1+(1-α)x2
X2
X
f(X) 任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方 f(X2)αf( x1 ) +(1- α) f( x2)
(整理)经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
凸函数与严格凸函数的几个新判别准则
凸函数与严格凸函数的几个新判别准则凸函数是数学中一类非常重要的函数形式，它在优化理论、经济学、物理学等领域都有广泛的应用。
而严格凸函数则是凸函数中的一种特殊情况，具有更严格的性质。
在本文中，我们将讨论凸函数和严格凸函数的定义，并介绍凸函数与严格凸函数的几个新判别准则。
首先，我们来回顾一下凸函数的定义。
对于定义在实数集合上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2以及任意的t∈[0,1]，都有如下的不等式成立，那么f(x)是一个凸函数：f(tx1+(1-t)x2) ≤ tf(x1) + (1-t)f(x2)凸函数的定义可以解释为，对于函数上的任意两个点，连接这两个点的线段上的所有点的函数值都不大于这条线段的两个端点的函数值的加权平均。
也就是说，凸函数图像上的任意两点之间的线段上的所有点都位于图像的下方或者位于图像上。
接下来，我们来介绍凸函数的两个基本性质：1.凸函数的定义域必须是一个凸集。
这意味着，对于定义在一维空间上的凸函数，它的定义域必须是一个区间，对于定义在多维空间上的凸函数，它的定义域必须是一个凸集合。
2.凸函数的一阶导数是单调递增的。
这意味着，对于凸函数f(x)，它的导数f'(x)在定义域上必须是单调递增的，也就是说，对于任意的x1<x2，在x1和x2之间的任意一点x，都有f'(x1)≤f'(x)≤f'(x2)。
不过，仅仅通过这两个性质来判断一个函数是否是凸函数可能不够严格，因为它们仅仅是凸函数的充要条件而不是必要条件。
为此，我们引入了更严格的严格凸函数的定义。
对于定义在实数集合上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2(x1≠x2)，都有如下的不等式成立，那么f(x)是一个严格凸函数：f(tx1+(1-t)x2) < tf(x1) + (1-t)f(x2)严格凸函数的定义要求连接函数上任意两点的线段上的所有内点的函数值都严格小于连接这两个点的线段的两个端点的函数值的加权平均。
凸函数的几个充要条件
凸函数的几个充要条件
1、单调性：凸函数在定义域内单调递增或单调递减；
2、可导性：凸函数在定义域上可导，且其导数必须大于等于零，或者
小于等于零；
3、二次可微性：凸函数在定义域上具有二阶连续可微性；
4、反对称性：凸函数的一阶导数圆满趋于圆心反对称；
5、全局最优性：全局最优点在凸函数上仅有一个导数为0的点，且在
它上具有最值。
以上就是凸函数充要条件的详细说明，凸函数是一种常用的函数形式，函数表达式是十分复杂和多变的，其要求需要综合考虑各方面因素，
只有符合上述充要条件，凸函数才能够正常展示函数的特征。
比较典
型的例子就是一元二次函数，即 $$y=ax²+bx+c$$ 其中的 $$a$$ 要求小
于0，表示函数是凸函数，即函数的凹口处在y轴负半轴；如果
$$a$$ 大于0，表示函数是凹函数，其凹口在y轴正半轴。
由此可见，
凸函数的重要性已经不言而喻。
第三节 凸函数
f(x1+ λ (x2-x1))= f(x1) + λ▽f(x1)T(x2-x1)+o(λ) (1) 而由于f(x)是D上的凸函数，又有
f(x1+ λ (x2-x1))=f(λ x2+ (1-λ )x1)
≤ λ f(x2) + (1-λ ) f(x1)
(2)
两式联立，有
λ f(x2) + (1-λ ) f(x1) ≥ f(x1) + λ▽f(x1)T(x2-x1)+o(λ)
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)
则称f(x)是定义集D上的凸函数。
定义2 严格凸函数 f[λx1+(1-λ)x2]＜λf(x1)+(1-λ)f(x2)
则称f(x)是定义集D上的凸函数。 注：将上述定义中的不等式反向，可以得到
凹函数的定义。
凸函数的几何性质
对一元函数f(x),在几何上λf(x1)+(1-λ)f(x2) （0≤α≤1)表示连接(x1，f(x1))， (x2，f(x2))的 线段。
• 性质3 设D是内部非空的凸集，f(x)是定义 在D上的凸函数，则f(x)在D的内部连续。
注意：凸函数在定义域的边界有可能不连续。 例如，设f(x)的定义域是区间[1,4] x2,1<x<4
f(x)=
2,x=1 f(x)是区间[1,4]上的凸函数，但显然在边界点x=1处 不连续。
三、凸函数的判定
其中，x=λx1+(1-λ)x2 , 0≤λ≤1
(x2-xf1()x_ )
_
由于D是凸集，故x∈D,由已知条件，当然▽2
f(也x_ )是半正
定矩阵。于是有
函数的凸性及其判别的充要条件
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关键词 " 连续 % 可微 % 凸函数 % 充要条件 中图分类号 "Y " # ’ & !K ’ """ 文献标志码 "(" 文章编号 "’ ) & ’*+ ’ # # , # # & # "*# # , N*# "
’" 引言
凸函数是一类特殊的函数 $ 利用凸函数的性 质可以证明数学中的许多著名的不等式 $ 如詹森 " # 不等式 & 赫尔德 " # 不等式等 $ 凸函 S 1 2 4 7 2 0 8 = > 7 D 数的不同形式的定义在不同的场合使用各有方便 之处 $ 在同济大学 编 写 的 ’ 高 等 数 学( 教 材 中! 给 出 :" 在" 内是凸函数的定义 $ ,# /! 1# 定义 ’K 若 :" 在" 内 连 续! 并且对 ’) ,# /! 1# 有) , /! 1# 4, ’! ,5 "
’ 设 :! ,"在 ! /# 1"内 可 微 # ,"为 "" 定理 "6 :! @ ! 内的凸函数 8: ! 在! 内是单调不减 /# 1" ," /# 1" 的# 进而 # 若:! 在! 内二阶可导 # 则:! 在 ," /# 1" ," ; ! # " 内是凸函数 ! " /1 8: , & # 证明 % 定理 , 的 后 一 结 果 是 前 一 个 结 果 的 直 接推论 # 因而 # 只要证明定理的前一部分 $ 由 :! ,"在 ! /# 1"内 可 微 及 :! ,"是 ! /# 1"内
凸函数的性质及判定
2008年9月第28卷第5期天水师范学院学报J our nal of Ti ans h ui N or m al U ni ve r si t yS e p．，2008V01．28N o．5凸函数的性质及判定刘开生，王贵军(天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741001)摘要：给出了凸函数的一些重要性质及判定定理，研究了函数的凸性与函数奇偶性、单调性之问的关系。
关t词：凸函数；性质；关系中图分类号：0174．6文献标识码：A文章编号：1671—1351(2008)05—0012—021预备知识文献【1】中给出凸函数的定义如下：设触)为定义在区间I上的函数，若对任意两点菇I，X2和实数O<A<I，总军￡“A戈l+(1一A)z2)≤。
讹1)+(1一A批2)，则镌触)为定义在I上的凸函数。
若锹从，+(10k：)≥讹1)+(1_A掀2)，则镌舷)为定义在I上的凹函数。
其次，文献还给出了判别触)为I上的凸函数的四个等价命题；同时也给出了利用二阶导数判别厂0)为I上凸(凹)函数的判断命题。
定理1．1设，b)为定义在区间I上的可导函数。
则下述命题等价(1)．肭为I上的凸函数；(2)厂0)为I上的增函数；(3)对I上任意两点名，，互：有m2)≥触，)矿@t)02．略t)；(4)．尸@)≥0，茗∈I．定理1．2f11设M为定义在区间I上的二阶可导函数，则在I上触)为凸(凹)函数的充要条件是厂0)≥O(尸G)≤0)，茗∈I定理1．掣l若触)为区间I上的凸函数．则慨。
，戈：∈I，欹华)≤世屿监2主要结果及其证明定理2．1勘∞石@)均为【a，b】上的凸函数，贝岍G)坼仁)也是【a'b】上的凸函数。
定理2．2蝴∽为【a，bl上的凸函数，j}为正常数，则坼)也为【a，b】上的凸函数。
注2．1：定理2．1和定理2．2利用文献f11中所给的定义可直接证明。
定理2．3设u吡)为[a，hi I-I拘凸函数，g(∞在【a，bl t-单调递增，且也为[a，b】上的凸函数，则复合函数的讧))也是【a，b】上的凸函数。
严格凸函数的充要条件
严格凸函数的充要条件
杜江;吴洁
【期刊名称】《石油天然气学报》
【年(卷),期】1995(000)003
【摘要】严格凸性是函数的各种凸性中最强的一种，严格凸函数有着许多其他广义凸函数所没有的独特性质，应用研究广义凸函数的方法，对Ｒ＾ｎ中的严格凸函数作了进一步研究，给出了严格凸函数的一些性质。
【总页数】1页(P126)
【作者】杜江;吴洁
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O174.13
【相关文献】
1.凸函数与严格凸函数的几个新判别准则 [J], 杨丹;旷华武
2.T－拟凸函数与严格 T－拟凸函数的关系 [J], 胡芳
3.关于严格r-凸函数的一个充要条件 [J], 赵映雪;陆海龙
4.关于严格凸函数的一些充要条件 [J], 郭志芬;白占立
5.严格凸函数与半严格凸函数的几个性质 [J], 杨丹
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第35卷第1期2018年 2月贵州大学学报（自然科学版）J o u r n a l o f G u iz h o u U n iv e r s ity!N a t u r a l S c ie n c e s)Vol.35 No.1Feb.2018文早编号1000-5269 ( 2018 # 01-0015-06 D O I ：10.15958/ki.gdxbzrl〇.2018.01.04凸函数与严格凸函数的几个新判别准则杨丹，旷华(贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳550025)摘要:在较弱条件下，建立了凸函数与严格凸函数的几个新判别准则，所获结果比一些相应已 知结果更具一般性。
关键词：A函数;严格A函数;判别准则中图分类号:〇175 文献标识码：A凸函数或者广义凸函数的判别准则是凸分析 及其应用中的一个重要研究内容，这个研究内容可 简述为$在一定条件下，如何判断一个函数是凸函 数或特定类型的广义凸函数？一般地，设N是拓扑线性空间，=4N是一个 非空凸子集，以下函数类定义见[1-7]。
定义1如果V7V" =，#"" [0，1]，都有 /(入7 + (1 - A)y)&A/(7)+ (1 - A)/(y)，贝I J称 /(7为=上的凸函数。
定义 2 如果 V7V" =，7$V，V A" (〇，1)，都 有/(A7 + (1 - A)V)< A/(7)+ (1 - A)/(V)，则 称/(7为=上的严格凸函数。
定义 3 如果 V7V " =，/(7$/(V)，V A" (0，1)，都有/(A7 + (1 - A)V)< A/(7+ (1 - A)/(V)，则称/(7为=上的半严格凸函数。
定义4 如果V7V" =，VA" (0，1)，都有 /(A7 + (1 - A)v)&m ax j/(7)，/(v) +，则称/(7)为=上的拟凸函数。
定义 5 如果 V7V" =，7$V，V A" (0，1)，都 有/(A7 + (1 - A)v)< max j/(7)，/(v) +，则称 /(7为=上的严格拟凸函数。
定义 6 如果 V7V " =，/(7$/(V)，V A" (o，1)，都有/(A7 + (1 - A)V)< max j/(7, /(v) +，则称/(7为=上的半严格拟凸函数。
为建立凸函数的判别准则，下面的条件被经常 使用：(A J5A" (0，1)，V7V "=，成立/(V + A(7 - V)) &A/(7)+ (1 - A)/(v)。
例如，文献[1]在条件（A J之下，研究了该条 件相关集合的稠密性及凸函数与半连续函数的关 系，建立了凸函数的一些判别准则。
文献[2 ]利用 条件（[1)，给出了凸函数的一个判别准则。
文献[3]将文献[2]中条件半严格凸放宽为半严格拟 凸，给出了凸函数的另一个判别准则。
文献[4 ]给 出了凸函数另一个特征性质$—个实值函数是凸函 数的充分必要条件是它为拟凸函数和满足条件([1)。
本文目的之一是减弱条件（A J，在条件（A2)之下建 数的判别准 ，其(A2)5[a，5] — (0，1)，V7V" =，5A " [$，5]，/(V+ A(7-V)) &A/(7 + (1 -A)/(V)。
「0，7 6 G例1设/(7 = |2二，则/(7满足条件[X ，7 " G(A2)，但不满足条件（A J。
为建立严格凸函数的判别准则，下面的条件被 经常 用(B J5A " (0，1)，V7V" =，7$V，成立 /(V + A(7 - V)) < A/(7+ (1 - A)/(V)。
文献[1，6]分别在上半连续、下半连续、凸性、半严格凸性条件下，利用条件（B J，得到了严格 数的判别准 。
本文目的之二是减弱条件（B1)，在条件（B2)收稿日期：2〇17-06-16基金项目：国家自然科学基金资助项目（11271098)作者简介:杨丹（1992-),女，在读硕士，研究方向：运筹学与控制论,Email $ 1371657265@qq.cm. !通讯作者：旷华武，Email :hwkuang@.-16 -贵州大学学报（自然科学版)第35卷之下建立严格凸函数的判别准则，其中(B *) 3[$，5] - (0，1) #V #5" " [a ，5]，使2 # 1 " W ，V ，且存在 2 " [ 21，2 ]，2 " W ，V 。
我 们令 2,0 # 0,2,2 # #，2，1 #2,则 2，' " W ，V ，' = 0,1，2,满足/(V + "(7 - V ) ) < "/(7) + (1 - ")/(V )。
.( 21#2-2,0) & 21，1 - 2,0& @(2,221 0) #「1，7 — 0例2设/(7)- { 2 A ，则/(7)满足条件（B 2)，.( 21#2_ 2,0) & 21，2 - 21，1& @(2,221 0) #U 2,7 $ 0.&211 — 2,0 & @，. &(1，2 一（1，1& @。
不 条件 (B 1)。
(1)1凸函数的判别准则当！，一2时，再利用引理1，令2，。
=1#0# 2#4引理1设/$=—及满足条件（A2)，记M = m i {5，1#2# 2#221 1"W ，v ，由 2,0 "]n >7V ，乙2,2 E W ,v ，必存1 -a ( ，.= min ) a ，1 -5+，5P 么又士 #7，v "=， V 2，2 " W ，V ，2 >21，5 2 " [21，2 ]使 2 " W ，V ，且 .(2 —2 " & 2 —21 & @( 2 —2 "，.(2 —2 " & 2 —2 & @( 2 —2 "，其中 W ，V = U " [0，1] 1 /(V + 27-V )) & 2(7) + (1 -0/(v )+。
证明:显然 0 " W ，V ，1 " W ，V ，对 V+2(7-V )，V + 2(7-v )，由已知存在2 " [$，5]，使/(V + 2(7-V ) +2(V + 2(7-V )- (V +2(7—v )))& 2(V +2(7-V )) + (1-〇/(V +2(7-V )) &2/(V ) +2(/(7) -/(V ))) +(1-2(/(V ) +2(/(7) -/(V )))= /(V ) + (汀2 + (1 -22)(/(7) -/(V ))，即 /(V + (汀2 + (1 -22)(7-V ))&/(V ) + (汀2 + (1 -22)(/(7) -/(V ))。
令 2 — =2 + ( 1 - 2 2，则 2 " W ，V 。
由 t " [ $，5 ]知 2 +$ (2 -2) & 2 & 2 +5 (2 -2)，贝峨们 得到 $(2 -2) & 2 -2 & 5(2 -2)，（1 -5)(2-2) & 2 -2 & (1-$)(2 -2)，且成立.(2 —2) & 2 —21 & @(2 —2)，.(2 —2) & 2 —2 & @(2 —2)。
注 1: 0 8$ <5< 1 易知0 8. <@ < 1，且 .+@= 1。
引理1事实上也证明了 W ，v 是弱近似凸集，关于弱近似凸集在广义凸性研究中的应用见[5]等。
引理2设/:=*没满足条件（>2)，那么#7，V " =，W ，V 在[0，1]中稠密。
证明：首先用数学归纳法证明2，' " W ，V ，' = 0，1， …，2!，！ = 1，2,3,…，且满足0 =2,0 <2，：l <2,2 < …<2,2! = I &2，'+1 —2，' &@!，' = 0，1，*，2! — 1。
当！ - 1时，由引理1可知2 — 0 " W v ，在 22，1 " [2,0,2,2]且 22，1 " W ，v ，问理必存在 22，:[2,2，2,4 ]且 22，〔7V 0# 22'亡 7，y # '— 0 #1 #*，4,并且满足以下不等式$.(2,2 — 2,0) & 22,1 — 2,0 & @(2,2 — 2,0)， .(2,2 — 2,0) & 2,2 — 22,1 & @(2,2 — 2,0)， .(2,4 — 2,2) & 22,3 — 22,2 & @(2,4 — 2,2)， .(2,4 — 2,2) & 2,4 — 22,3 & @(2,4 — 2,2)。
再由（1)式可得.2 &2,'+1 -2,' &@2，' = 0,1，2,3。
假设！ - ！ - 1时结论成立，也即存在21，'" W ,v ，' = 0，1，…，1，使.“ &2_1，'+1 -2_1，' &@“，' = 0，1，…，2“ — 1。
(2)当！- ！时，我们令^!，2'1，'，'一0，1，…，2!—，由假设条件及引理1可知2!，2'"rpA#在2!，2'+1 "2,2'，2!，2' + 2 ] ，2rpA，2' + 1 ^ 7，y ，'—0，1，…，2"—1 - 1，使.(2,2' + 2-2!，2' ) & 2,2' + 1 -■2,2' &@(2#2'+2_ 2!,2')，.(2,2' + 2-2,2')&2,2' + 2-2!，2' + 1 & @G !，2'+2；_ 2n ,2')，'—0,1，…'，2!-1 — 1。