最新人教版高中数学选修1.7.1定积分在几何中的应用ppt课件

解析： 抛物线 y＝x－x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1＝0，x2＝1， 所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积 S＝10(x－x2)dx＝x22－13x3| 10＝16. 又yy＝＝xk－x，x2，
由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝ 0，x4＝1－k，所以，
20x2 dx＝2
2×23x32
|
2 0
＝136，
方法二：选y作为积分变量，
8
S2＝2
[4－x－ 将 则曲S＝(线－2－方4程4－写2y为x－)x]＝y2d2y2dx2y及＝x＝44－xy.－12x2＋2 3 2x32| 82＝338，
于是 S＝136＋＝3348y－＝y22－1y863.| 2－4
＝18.
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，
在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程 组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段， 然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上 被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可 以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．
＝12x2＋2x| 0－2＋2sin x| ＝0－12×－22＋2×－2＋2sin π2－2sin 0 ＝2＋2＝4.
用定积分求平面图形的面积
一般地，设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)以及直线 x＝a，x＝b 所
b
围成的平面图形(如图所示)的面积为 S，则 S＝___a[_f_(x_)_－__g_(x_)_]_d_x.
＝13x3＋2x－32x2|
10＋32x2－13x3－2x|
2 1
＝56＋16＝1.
定积分的综合应用
例 3.在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及
x 轴所围成的面积为112，试求：切点 A 的坐标以及在切点 A 的 切线方程． [思路点拨] 设切点坐标 → 切线方程 →
2．几种典型图形的面积的计算
由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b，y＝0(b>a)所围图形
的面积
b
b
①如图(1)所示，f(x)>0，af(x)dx>0，所以所求面积 S＝af(x)dx.
b
b
②如图(2)所示，f(x)<0，af(x)dx<0，所以所求面积 S＝－a
1．画草图，求出曲线的__________． 交点坐标
2．将曲边形面积转化为____________面积．
曲边梯形的
3．根据图形特点选择适当的__________．
4．确定__________和__________．
积分变量
5．计算定积分被，积求函数出面积． 积分区间
不分割图形面积的求解
求正弦曲线 y＝sin x，x∈0，32π和直线 x＝32π及 x
由方程组yy2＝＝42－x x 解出抛物线和直线的交点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
2．计算由曲线y＝x2＋2与直线y＝3x，x＝0，x＝2所围图形
的面积．
解析：
如图，由yy＝ ＝x32x＋ ，2，
可得xy＝ ＝13， 或xy＝ ＝26， .
所以曲线y＝x2＋2与直线y＝3x的交点坐标为(1,3)，(2,6)．
1
2
所以S＝0 (x2＋2－3x)dx＋1 (3x－x2－2)dx
2
B．|0 (x2－1)dx|
2
C．0|x2－1|dx
1
D．0(x2－1)dx＋21(x2－1)dx
解析： 分为两块，(0,1)为一块此时积分值为负，(1,2)对
应另一块，积分值为正，
1
2
2
∴有－ 0
(x2－1)dx＋1
(x2－1)dx＝0|x2－1|dx.
1.计算由曲线y2＝x，y＝x3围成的封闭图形面积．
解方程组yy＝2＝xx3，， 得
交点横坐标为 x＝0 或 x＝1.
因此，所求图形的面积
1
1
S＝0 xdx－0x3dx
＝23x32|
10－14x4|
1 0
＝23－14＝152.
分割图形面积的求解
求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积．
b
①如图(1)，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 S＝ [f(x)－g(x)]dx. a
②如图(2)所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积 S＝baf(x)dx＋abgxdx
b
＝
[f(x)－g(x)]dx.
a
解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：
解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：
1．画草图，求出曲线的__________． 交点坐标
2．将曲边形面积转化为____________面积．
曲边梯形的
3．根据图形特点选择适当的__________．
4．确定__________和__________．
积分变量
5．计算定积分被，积求函数出面积． 积分区间
轴所围成的平面图形的面积．
[思路点拨] 作图 ―→ 积分表达式 定 的 ―积 性 ―→ 分 质 分解 ―→ 求值

3
S sin xdx 2 sin xdx
0


3

cosx |
0
cosx |
2

(cos cos0) (cos3 cos )
2 21 3
利用定积分求面积 → 求切点 → 得切线方程
解析：由题意可设切点 A 的坐标为(x0，x20)， 则切线方程为 y＝2x0x－x20，可得切线与 x 轴的交点坐标为x20，0.画出草图，可得曲 线 y＝x2，直线 y＝2x0x－x20与 x 轴所围图 形如图所示．
3．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－ x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．
3
＝
(－x2＋3x)dx
0
＝－13x3＋32x2| 30＝92.
解析： 所求图形的面积是
答案： 3
谢谢观看！
4．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的 面积．
解析： 由yy＝ ＝xx2＋－32，x＋3， 从而所求图形的面积
解得 x＝0 或 x＝3.如图．
3
3
S＝ (x＋3)dx－ (x2－2x＋3)dx
0
0
3
＝0[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
f(x)dx.
c
③如图(3)所示，当a≤x≤c时，f(x)≥0，

a
f(x)dx≥0；当
b
c≤x≤b时，f(x)≤0，cf(x)dx≤0，
所以所求面积S＝caf(x)dx＋bcfxdx＝caf(x)dx－cbf(x)dx.
1．利用定积分求解平面图形的面积的技巧 由两曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(b>a)所围图形面积：
2
(2) xdx________ xdx(如图(2))；012 Nhomakorabea2
(3)0 4－x2dx________02dx(如图(3))．
x＋2，－2≤x<0，
问题
2.你能求出函数
f(x)＝ 2cos
x，0≤x≤π2
的图
象与 x 轴所围成的封闭图形的面积吗．
0
S＝－2 (x＋2)dx＋ 2cos xdx
1．7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用
学习目标
1．理解定积分的几何意义． 2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的平面图形的面积．
引入新课 问题1.不用计算，根据图形，你能比较下列定积分的大小吗？
1
1
(1)0xdx________0x2dx(如图(1))；
1
答案： C
2．由直线 x＝21，x＝2，曲线 y＝1x及 x 轴所围图形的面积
为(
)
A．145
B．147
C．21ln 2
D．2ln 2
解析： 如图，由图可知
＝ln 2－ln
1 2
＝ln 2－(－ln 2)＝2ln 2.
答案： D
3．由直线 x＝－π3，x＝π3，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的 封闭图形的面积为________．
1.用定积分求“曲边图形”面积的步骤： (1)先画出草图，确定所求面积是哪部分； (2)解方程组得交点坐标，确定被积函数及积分上、下限 (3)把所求的面积用定积分表示； (4)根据微积分基本定理求出面积．
2．注意事项： (1)准确地画图，并合理分割图形； (2)被积函数与积分上、下限要对应； (3)当面积在x轴的下方时，面积是定积分的相反数．
S2＝10－k(x－x2－kx)dx ＝1－ 2 kx2－13x3| 10－k＝16(1－k)3. 又知S＝16，所以(1－k)3＝12，
于是k＝1－ 3 12＝1－324.
1．由曲线 y＝x2－1，直线 x＝0，x＝2 和 x 轴围成的封闭
图形的面积(如图)是(
)
2
A．0 (x2－1)dx