2017-2018学年最新四川省自贡市中考数学模拟试题及答案解析
四川省自贡市2018年中考数学试题(含答案)
四川省自贡市初2018届毕业生学业考试 数学试题考点分析及解答一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算31-+的结果是（ ）A.2-B.4-C.4D.2 考点：有理数的加减运算.分析：根有理数的加减运算法则计算312-+=-. 故选A . 2.下列计算正确的是（ ）A.()222a b a b -=- B.x 2y 3xy += C.18320-= D.()236a a -=-考点：整式的运算、二次根式的加减运算.分析：计算183232320-=-=. 故选C.3.2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（ ）A..7445810⨯ B..8445810⨯ C..9445810⨯ D..100445810⨯考点：科学记数法.分析：..84458000004458100000000445810=⨯=⨯. 故选B .4.在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若155∠=，则2∠ 的度数是 （ ）A.50°B.45°C.40°D.35°考点：平行线的性质、互余角.分析： 根据平行线的性质可得：,1324∠=∠∠=∠∵+=,3490155∠∠∠= ∴4905535∠=-= ∴235∠= 故选D .21435.下面几何体的主视图是 （ ）\考点：几何体的三视图.分析：几何体的三视图是从正面、左面和从上面看几何体得到的平面图形，主视图是从正面几何体得到的平面图形，本题从正面看几何体得到的是. 故选B .6.如图，在⊿ABC 中，点D E 、 分别是AB AC 、的中点，若⊿ADE 的面积 为4，则是⊿ABC 的面积为 （ ）A. 8B. 12C. 14D. 16考点：三角形的中位线定理、相似三角形的性质等.分析：本题关键是抓住点D E 、 分别是AB AC 、的中点，根据三角形的中位线定理可以推出DE ∥BC 且1DE BC 2=；∵DE ∥BC ∴⊿ADE ∽⊿ABC ∴S ⊿ADE :S ⊿ABC = ()::2DE BC 14= ；又∵⊿ADE 的面积为4 ∴⊿ABC 的面积为16. 故选D .7.在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）A.众数是98B.平均数是90C.中位数是91D.方差是56 考点：平均数、中位数、众数以及方差.分析：本可以先确定平均数、中位数、众数分别为909198、、 .所以用“排除法”就可以得出答案，直接计算()().⎡⎤=-++-=⎣⎦2221S 809091905565，D 是错误的 . 故选D .8.回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）A.数形结合B.类比C.演绎D.公理化12131A E DBA考点：函数的表示法、函数的图象及其性质.分析：函数的解析式和函数的图象都是函数的不同表示方法，从“函数解析式到函数图象”是数形结合起来研究函数的性质，所以体现的是“数形结合”的数学思想. 故选A . 9.如图，若⊿ABC 内接于半径为R 的⊙O ,且A 60∠=,连接OB OC 、，则边BC 的长为 （ ） A.2R B.3R 2 C.2R 2D.3R 考点：圆周角定理、垂径定理、等腰三角形性质以及勾股定理等.分析：本题可以可以根据垂径定理把问题转化在直角三角形，然后再利用勾股定理能使问题可以获得解决.略解：过⊙O 的圆心O 作OE BC ⊥于点D .由垂径定理可得BC 2CD = . ∵弧BC BC = ∴BOC 2A 260120∠=∠=⨯= ∵,OB OC OD BC =⊥ ∴1DOC BOC 602∠=∠= ∴OCD 906030∠=-= 在Rt ⊿ODC 中，==11OD OC R 22根据勾股定理计算：222213CD OC OD R R R 22⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴1BC 2CD 23R 3R 2==⨯=. 故选D . 10.从1236--、、、这四个数中任取两数，分别记为m n 、，那么点()m,n 在函数6y x=图象的概率是 （ ）A.12 B.13 C.14D.18考点：概率、函数的图象及其性质. 分析：要使点()m,n 在函数6y x=的图象上，则需满足mn 6=.利用列举法（列表法或画树状图）列举所有等可能的总数，再找出满足mn 6=的情况数，根据“概率”的计算公式可使问题得以解决. 略解： OBCA1-236-21-36-31-26-6-1-23画出树状图为：所有等可能的总数为12种，要关注的mn 6=的情况数有4种；==41P 123. 故选B . 11.已知圆锥的侧面积是28cm π，若圆锥底面半径为()R cm ，母线长为()l cm ，则R 关于l 的函数图象大致是 （ ）考点：圆锥的侧面展开图、扇形的面积、反比例函数的图象及其性质.分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长为底圆的周长π2R ，扇形的半径为圆锥的母线长()l cm .根据扇形的面积公式有：π=⨯18l 2R 2 即()π=>8R l 0l；根据反比例函数的图象及其性质，选择支A 符合；故选A .12.如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BM ,连接AM 并延长交CD 于N ,连接MC ,则⊿MNC 的面积为（ ）A.231a 2- B.221a 2- C.231a 4- D.221a 4- 考点：正方形的性质、等腰、等边三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等. 分析：本题用正方的面积来减去其它三个三角形的面积来得到⊿MNC 的面积比较麻烦.若我们抓住要正方形的性质、等腰、等边三角形的性质计算出在⊿MNC 的∠∠34、是特殊角，再通过添加边MC 的高线，把问题先转化到直角三角形中后可以逐一解决.略解：过N 作⊥NE MC 于点E .如图根据正方形的性质、等腰、等边三角形的性质可以得到：====MC BC MB AB a ，,∠=-=∠=-=19060304906030.lRO AlROBlROClRODNMDABC)-=1803075∴*∠=-∠-∠=--=3180BMC 2180607545 ∴∠=-=MNE 904545 ∴=NE ME若设=NE x ，则=ME x .∵在Rt ⊿NEC 中，∠=430 ∴==NC 2NE 2x∴S ⊿MNC 故选C. 点评：本题求⊿MNC 的面积抓住图形是由特殊四边形和特殊三角形搭建起来的所以，比较容易通过找出求⊿MNC 内角中的特殊角作为突破口，然后通过作高线转化在直角三角形中解决问题，是一道高质量的中考题！二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)13. 分解因式：22ax 2axy ay ++= .考点：因式分解.分析：本题先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式略解：()()++=++=+22222ax 2axy ay a x 2xy y a x y . 14.化简212x 1x 1++-的结果是 . 考点：分式的运算.分析：先通分，再加减，最后化简.()()()()-+=+==+-+---22x 121x 1x 1x 1x 1x 1x 1. 15.若函数2y x 2x m =+-的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 .考点：二次函数的图象及其性质、二次综合问题.分析：二次函数2y x 2x m =+-的图象与x 轴有且只有一个交点，这个交点就是二次函数图象的顶点；当令y 0=时，对于方程2x 2x m 0+-=有两个相等的实数根，即△ = 0，可保证图象与x轴有且只有一个交点.所以()2241m 0-⨯⨯-= ，解得:m 1=-. 故应填-1.16.六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 、 个. 考点：列方程（组）解应用题.分析：本题可以总费用和总个数建立方程则解决问题.略解：设该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为x 个和y 个，根据题意列：x y 302x 4y 100+=⎧⎨+=⎩解得：x 10y 20=⎧⎨=⎩；经检验，符合题意. 故应填10、20.17.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有 个○.考点：寻找规律、求代数式的值. 分析：观察图形的排列：第一个图（+31个○开始，第二个图（⨯+321）个○ …… 后面每个图在前面一个图形的基础上增加3个○，故第n 个图形是+3n 1 ； 故当n 2018=时。
2018年四川自贡市中考数学模拟试题(一)含答案
四川省自贡市2018年初中毕业生学业考试模拟试卷1（满分：150分考试时间：120分钟）第I卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．2sin45°的值等于（）A．1 B．C．D．22．两个相似三角形对应中线的比2：3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（）A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和143．已知a为锐角，且sin（a﹣10°）=，则a等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°4．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）第4题A．B．C．D．5．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB=（）A．B．C．D．6．如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）第6题A．B．C．D．7．函数y=kx+b（k≠0）与y=（k≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．下面右边的图形是由8个棱长为1个单位的小立方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）第8题A．B．C．D．9．在△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则AC的长为（）第10题A．B．2C．3D．第II卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在题中的横线上）11．在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D．BC=3，AB=5，写出其中的一对相似三角形是和；并写出它的面积比．第11题第12题12．如图，已知DE∥BC，AD=5，DB=3，BC=9.9，∠B=50°，则∠ADE=度，DE=，=．13．已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=2，则y与x的函数关系式为．14．在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点都在y=﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．三、解答题（本大题共9小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）计算：cos260°﹣+tan245°﹣sin245°．17．（8分）计算：．18．（8分）由物理学知识我们知道：物体在力F的方向上发生位移S做的功为W，即W=FS，若W=100焦耳，求：（1）F与S的关系式；（2）当F=4牛顿时，求S的值．19．（8分）一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的北偏东30°方向上有一灯塔B，船继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在北偏东60°方向上，求此船与灯塔的距离．第19题20．（10分）根据下列条件，求出Rt△ABC（∠C=90°）中未知的边和锐角．（1）BC=8，∠B=60°；（2）∠B=45°，AC=．21．（10分）小军利用一张圆心角为90°，半径为20cm的扇形皮纸制作了一顶圆锥形纸帽（如下面的示意图），按照1：5的比例尺画出纸帽的三视图并标注数据．第21题22．（12分）如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的关系式；（2）求△AOB的面积．第22题23．（12分）已知如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，D是⊙O上的一点，且AD∥OC．（1）求证：△ADB∽△OBC；（2）若AO=2，BC=2，求AD的长．第23题24．（14分）如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处；此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A，B之间的距离；（2）若在A处背的旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 的长；（3）求风筝C的垂直高度．第24题四川省自贡市2018年初中毕业生学业考试模拟试卷1（参考答案）一、1．B解析：2sin45°=2×=．故选B．2．A解析：∵两个相似三角形对应中线的比2：3，∴两个相似三角形的周长的比为2：3，设这两个三角形的周长分别为2x，3x，则2x+3x=20，解得x=4，∴2x=8，3x=12，即两个三角形的周长分别8和12．故选A．3．C解析：∵sin60°=，∴a﹣10°=60°，即a=70°．故选C．4．B解析：原三角形的边长为：，2，．A中三角形的边长为：1，，．B中三角形的边长为：1，，．在，即相似；C中三角形的边长为：，，3．D中三角形的边长为：2，，．故选B．5．D解析：在△ABC中，∠C=90°，∵tanA=，∴设BC=x，则AC=3x．故AB=x．sinB===．故选D．6．A解析：由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25，∴AC=5．∵AC2+BC2=169=AB2，∴△CBA是直角三角形．∴sinB==．故选A．7．A解析：在函数y=kx+b（k≠0）与y=（k≠0）中，当k＞0时，图象都应过一、三象限；当k＜0时，图象都应过二、四象限．故选A．8．C解析：从正面看第一层是四个小正方形，第二层中间有两个小正方形，第三层中间一个小正方形．故选C．9．C解析：∵△ABC中，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，∴sinA=，tanB=1．∴∠A=60°，∠B=45°．∴∠C=180°﹣60°﹣45°=75°．故选C．10．A解析：设CD=x，则AC===x．∵AC2+BC2=AB2，AC2+（CD+BD）2=AB2，∴（x）2+（x+2）2=（2）2，解得x=1，∴AC=．故选A．二、11．9：16解析：∵∠C=90°，CD⊥AB，∴△CDB∽△ADC，∴BC：AC=3：4，∴面积比为9：16．（答案不唯一，也可以填：①△CDB∽△ACB，面积比为9：25；②△ACD∽△ABC，面积比为16：25．）12．25：64解析：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=50°，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC，∴AD：（AD+DB）=DE：BC，即5：8=DE：9.9，∴DE=6.1875，∴△ADE与△ABC 的面积比是52：82=25：64．13．y=解析：设反比例函数的解析式为y=（k≠0），因为x=3时，y=2，∴2=，得k=6，∴反比例函数解析式为y=．14．k＞3解析：根据题意，在反比例函数y=图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，即可得k﹣3＞0，解得k＞3．15．y1＜y2＜y3解析：k=﹣1＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y1＜y2＜y3．三、16．解：原式=（）2﹣+1﹣=﹣．17．解：原式=﹣4+（﹣1）+4+1﹣2+=﹣4+3﹣+3+=2．18．解：（1）∵W=FS，W=100焦耳，∴F=，∴F与S的函数关系式为F=；（2）当F=4牛顿时，S==25，所以S的值是25．19．解：∵∠PCB=∠A+∠B=60°，∠A=30°，∴∠B=30°，∴∠A=∠B=30°，∴BC=AC．∵AC=36×=24，∴BC=AC=24（海里）．即此船与灯塔的距离是24海里．20．解：（1）∵∠B=60°，∴∠A=30°，在Rt△ABC中，AB===16，∴AC=ABsin∠B=16×=8；（2）∵∠B=45°，∴∠A=45°，∴BC=AC=AB==2．21．解：由题意，得2πr=，解得r=5，即圆锥的底面半径为5cm，其高为：=5（cm），如图所示：．22．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=﹣2，y2=﹣2，把x1=y2=﹣2分别代入y=得y1=x2=4，∴A（﹣2，4），B（4，﹣2）．把A（﹣2，4）和B（4，﹣2）分别代入y=kx+b，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2．得，解得，（2）如图，∵y=﹣x+2与y轴交点为C（0，2）∴OC=2，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×OC×|x1|+×OC×|x2|=×2×2+×2×4=6．23．解：（1）∵AD∥OC，∴∠A=∠COB．AB是直径，∴∠D=∠OBC=90°，∴△ADB∽△OBC．（2）∵AO=2，BC=2，∴OC=2，又∵△ADB∽△OBC，∴=，即=，OC=2，∴AD=．24．解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，∴∠BPQ=90°﹣30°=60°，则BQ=tan60°×PQ=10，又在Rt△APQ中，∠PAB=∠APQ=45°，则AQ=tan45°×PQ=10，即AB=10+10（米）；（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=10+10，∴AE=sin30°×AB= （10+10）=5+5（米）．∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴∠C=45°，在Rt△CAE中，sin45°=，∴AC===5+5（米）；（3）过点C作CF⊥BD于点F，∵BE===15+5（米），CE=AE=5+5（米），∴BC=15+5+5+5=20+10（米），∴CF=BCsin30°=10+5（米）．即风筝的垂直高度为（10+5）米．。
2018年四川省自贡市中考数学试卷(带解析)
【考点】N3：作图—复杂作图；ME：切线的判定与性质．菁优网版权所有 【解答】解：（1）⊙O 如图所示；
（2）作 OH⊥BC 于 H．
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n 2 3 ﹣6 ﹣1 3 ﹣6 ﹣1 2 ﹣6 ﹣1 2 3 mn ﹣2 ﹣3 6 ﹣2 6 ﹣12 ﹣3 6 ﹣18 6 ﹣12 ﹣18 mn 的值为 6 的概率是 = ． 故选：B．
11．（4 分）已知圆锥的侧面积是 8πcm2，若圆锥底面半径为 R（cm），母线长为 l（cm），则 R 关于 l 的函数图象大致是（ ）
5．（4 分）下面几何的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【解答】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，2．故选 B．
6．（4 分）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若△ADE 的面积 为 4，则△ABC 的面积为（ ）
10．（4 分）从﹣1、2、3、﹣6 这四个数中任取两数，分别记为 m、n，那么点 （m，n）在函数 y= 图象的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
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【解答】解：∵点（m，n）在函数 y= 的图象上， ∴mn=6． 列表如下： m ﹣1 ﹣1 ﹣1 2 2 2 3 3 3 ﹣6 ﹣6 ﹣6
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体现了数形结合的数学思想． 故选：A．
9．（4 分）如图，若△ABC 内接于半径为 R 的⊙O，且∠A=60°，连接 OB、OC， 则边 BC 的长为（ ）
A． B．
C．
D．
2018年四川省自贡市中考数学试卷(含答案解析版)
2018年四川省自贡市中考数学试卷一。
选择题（共12个小题,每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（4分）（2018•自贡）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2B．﹣4C．4D．22．（4分）(2018•自贡)下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．x+2y=3xy C．√18−3√2=0D．（﹣a3）2=﹣a6 3．（4分)（2018•自贡）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（)A．44。
58×107B．4。
458×108C．4。
458×109D．0。
4458×10104．（4分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上;若∠1=55°,则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°5．(4分)（2018•自贡）下面几何的主视图是（)A．B．C．D．6．（4分）(2018•自贡）如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．167．(4分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3)班5名学生的成绩(单位:分）如下:80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ )A ．众数是98B ．平均数是90C ．中位数是91D ．方差是568．（4分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象,再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ )A ．数形结合B ．类比C ．演绎D ．公理化9．（4分）（2018•自贡）如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且∠A=60°，连接OB 、OC ，则边BC 的长为（ ）A ．√2RB ．√32RC ．√22R D ．√3R 10．（4分）(2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m 、n,那么点(m ，n ）在函数y=6x图象的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．1811．（4分)（2018•自贡)已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是( ） A ． B ． C ． D ．12．(4分）（2018•自贡）如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60°,得到线段BM ，连接AM 并延长交CD 于N,连接MC,则△MNC 的面积为（ ）A ．√3−12a 2B ．√2−12a 2C ．√3−14a 2D ．√2−14a 2二.填空题(共6个小题，每题4分,共24分）13．(4分)（2018•自贡）分解因式：ax 2+2axy +ay 2= ．14．（4分）（2018•自贡）化简1x+1+2x 2−1结果是 ． 15．(4分)(2018•自贡）若函数y=x 2+2x ﹣m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 ．16．（4分）（2018•自贡)六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 、 个．17．（4分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律,第2018个图形共有 个○．18．(4分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中,AC=BC=2，AB=1，将它沿AB 翻折得到△ABD ，则四边形ADBC 的形状是 形，点P 、E 、F 分别为线段AB 、AD 、DB 的任意点，则PE +PF 的最小值是 ．三、解答题(共8个题，共78分)19．（8分)(2018•自贡）计算：|﹣√2｜+（12）﹣1﹣2cos45°． 20．（8分)（2018•自贡）解不等式组：{3x −5≤1①13−x 3＜4x②,并在数轴上表示其解集． 21．（8分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了 名学生;（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有 人;（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛,用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 ．22．（8分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，BC=12，tanA=34,∠B=30°;求AC 和AB 的长．23．(10分）(2018•自贡）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B ，圆心O 在斜边AB 上且与边AC 相切于点E 的⊙O （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)（2)设(1）中所作的⊙O 与边AB 交于异于点B 的另外一点D ，若⊙O 的直径为5，BC=4；求DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问)24．（10分）(2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x =N(a ＞0，a ≠1）,那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x=log a N ．比如指数式24=16可以转化为4=log 216，对数式2=log 525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a (M•N)=log a M +log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)；理由如下:设log a M=m ，log a N=n,则M=a m ,N=a n∴M•N=a m •a n =a m +n ,由对数的定义得m +n=log a （M•N ）又∵m +n=log a M +log a N∴log a （M•N ）=log a M +log a N解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式 ；（2）证明log a M N=log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0） （3）拓展运用:计算log 32+log 36﹣log 34= ．25．(12分)（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA 、OB 相交于点D 、E ．(1)当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1）,请猜想OE +OD 与OC 的数量关系,并说明理由;(2)当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，(1）中的结论是否成立？并说明理由；（3)当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立?请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立,线段OD 、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．26．（14分）（2018•自贡）如图,抛物线y=ax 2+bx ﹣3过A （1，0）、B （﹣3，0）,直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为﹣2，点P （m ，n)是线段AD 上的动点．(1)求直线AD 及抛物线的解析式；(2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式,m 为何值时，PQ 最长？（3)在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R,使得P 、Q 、D 、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．2018年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12个小题,每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．（4分）(2018•自贡）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2B．﹣4C．4D．2【考点】19：有理数的加法．【专题】51：数与式．【分析】利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．【解答】解:﹣3+1=﹣2;故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2．(4分）（2018•自贡）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．x+2y=3xy C．√18−3√2=0D．（﹣a3）2=﹣a6【考点】78:二次根式的加减法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方;4C：完全平方公式．【专题】11 ：计算题．【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=a2﹣2ab+b2，故A错误;（B）原式=x+2y，故B错误；（D）原式=a6，故D错误；故选：C．【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3．（4分）（2018•自贡）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为(）A．44。
2018年自贡市中考数学试卷(含答案解析版)
2018年四川省自贡市中考数学试卷一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2018•自贡）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2B．﹣4C．4D．22．（4分）（2018•自贡）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．x+2y=3xy C．√18−3√2=0D．（﹣a3）2=﹣a6 3．（4分）（2018•自贡）20XX年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（）A．44.58×107B．4.458×108C．4.458×109D．0.4458×10104．（4分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°5．（4分）（2018•自贡）下面几何的主视图是（）A．B．C．D．6．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．167．（4分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）A ．众数是98B ．平均数是90C ．中位数是91D ．方差是568．（4分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）A ．数形结合B ．类比C ．演绎D ．公理化9．（4分）（2018•自贡）如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且∠A=60°，连接OB 、OC ，则边BC 的长为（ ）A ．√2RB ．√32RC ．√22R D ．√3R 10．（4分）（2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m 、n ，那么点（m ，n ）在函数y=6x图象的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．1811．（4分）（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．12．（4分）（2018•自贡）如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BM ，连接AM 并延长交CD 于N ，连接MC ，则△MNC 的面积为（ ）A ．√3−12a 2B ．√2−12a 2C ．√3−14a 2D ．√2−14a 2二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）13．（4分）（2018•自贡）分解因式：ax 2+2axy +ay 2= ．14．（4分）（2018•自贡）化简1x+1+2x 2−1结果是 ． 15．（4分）（2018•自贡）若函数y=x 2+2x ﹣m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 ．16．（4分）（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 、 个．17．（4分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有 个○．18．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB 翻折得到△ABD ，则四边形ADBC 的形状是 形，点P 、E 、F 分别为线段AB 、AD 、DB 的任意点，则PE +PF 的最小值是 ．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2018•自贡）计算：|﹣√2|+（12）﹣1﹣2cos45°． 20．（8分）（2018•自贡）解不等式组：{3x −5≤1①13−x 3＜4x②，并在数轴上表示其解集． 21．（8分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有 人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 ．22．（8分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，BC=12，tanA=34，∠B=30°；求AC 和AB 的长．23．（10分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B ，圆心O 在斜边AB 上且与边AC 相切于点E 的⊙O （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O 与边AB 交于异于点B 的另外一点D ，若⊙O 的直径为5，BC=4；求DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）24．（10分）（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x =N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x=log a N ．比如指数式24=16可以转化为4=log 216，对数式2=log 525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M•N ）=log a M +log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；理由如下：设log a M=m ，log a N=n ，则M=a m ，N=a n∴M•N=a m •a n =a m +n ，由对数的定义得m +n=log a （M•N ）又∵m +n=log a M +log a N∴log a （M•N ）=log a M +log a N解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式 ；（2）证明log a M N=log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0） （3）拓展运用：计算log 32+log 36﹣log 34= ．25．（12分）（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA 、OB 相交于点D 、E ．（1）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE +OD 与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD 、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．26．（14分）（2018•自贡）如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣3过A （1，0）、B （﹣3，0），直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为﹣2，点P （m ，n ）是线段AD 上的动点．（1）求直线AD 及抛物线的解析式；（2）过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R ，使得P 、Q 、D 、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．2018年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2018•自贡）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2B．﹣4C．4D．2【考点】19：有理数的加法．【专题】51：数与式．【分析】利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．【解答】解：﹣3+1=﹣2；故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2．（4分）（2018•自贡）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．x+2y=3xy C．√18−3√2=0D．（﹣a3）2=﹣a6【考点】78：二次根式的加减法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．【专题】11 ：计算题．【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=a2﹣2ab+b2，故A错误；（B）原式=x+2y，故B错误；（D）原式=a6，故D错误；故选：C．【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3．（4分）（2018•自贡）20XX年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（）A．44.58×107B．4.458×108C．4.458×109D．0.4458×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：445800000=4.458×108，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°【考点】JA：平行线的性质．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数．【解答】解：由题意可得：∠1=∠3=55°，∠2=∠4=90°﹣55°=35°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．5．（4分）（2018•自贡）下面几何的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】16 ：压轴题．【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．【解答】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，2．故选B ．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．6．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．14D ．16【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX ：三角形中位线定理．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE ∥BC ，DE=12BC ，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∵DE BC =12，∴S △ADE S △ABC =14， ∵△ADE 的面积为4，∴△ABC 的面积为：16，故选：D ．【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE ∽△ABC 是解题关键．7．（4分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）A ．众数是98B ．平均数是90C ．中位数是91D ．方差是56【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【专题】11 ：计算题．【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．【解答】解：98出现的次数最多，∴这组数据的众数是98，A 说法正确； x =15（80+98+98+83+91）=90，B 说法正确； 这组数据的中位数是91，C 说法正确；S 2=15[（80﹣90）2+（98﹣90）2+（98﹣90）2+（83﹣90）2+（91﹣90）2] =15×278 =55.6，D 说法错误；故选：D ．【点评】本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式s 12=1n [（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]是解题的关键．8．（4分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）A ．数形结合B ．类比C ．演绎D ．公理化【考点】E6：函数的图象．【专题】1 ：常规题型；532：函数及其图像．【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．【解答】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．故选：A．【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．9．（4分）（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．√2R B．√32R C．√22R D．√3R【考点】MA：三角形的外接圆与外心．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=√3R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=√3R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．10．（4分）（2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m 、n ，那么点（m ，n ）在函数y=6x图象的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．18【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．【专题】534：反比例函数及其应用；543：概率及其应用．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn=6，列表找出所有mn 的值，根据表格中mn=6所占比例即可得出结论．【解答】解：∵点（m ，n ）在函数y=6x的图象上， ∴mn=6．列表如下：m﹣1 ﹣1 ﹣1 2 2 2 3 3 3 ﹣6 ﹣6 ﹣6 n 2 3 ﹣6 ﹣1 3﹣6 ﹣1 2 ﹣6 ﹣1 2 3 mn ﹣2 ﹣3 6 ﹣2 6 ﹣12 ﹣3 6 ﹣18 6 ﹣12 ﹣18mn 的值为6的概率是412=13． 故选：B ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出mn=6的概率是解题的关键．11．（4分）（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】MP ：圆锥的计算；E6：函数的图象．【专题】11 ：计算题．【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断即可．【解答】解：由题意得，12×2πR ×l=8π， 则R=8πl， 故选：A ．【点评】本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．12．（4分）（2018•自贡）如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BM ，连接AM 并延长交CD 于N ，连接MC ，则△MNC 的面积为（ ）A ．√3−12a 2B ．√2−12a 2C ．√3−14a 2D ．√2−14a 2 【考点】R2：旋转的性质；LE ：正方形的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】作MG ⊥BC 于G ，MH ⊥CD 于H ，根据旋转变换的性质得到△MBC 是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH 、CH ，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作MG ⊥BC 于G ，MH ⊥CD 于H ，则BG=GC ，AB ∥MG ∥CD ，∴AM=MN ，∵MH ⊥CD ，∠D=90°，∴MH ∥AD ，∴NH=HD ，由旋转变换的性质可知，△MBC 是等边三角形，∴MC=BC=a ，由题意得，∠MCD=30°，∴MH=12MC=12a ，CH=√32a ， ∴DH=a ﹣√32a ， ∴CN=CH ﹣NH=√32a ﹣（a ﹣√32a ）=（√3﹣1）a ， ∴△MNC 的面积=12×a 2×（√3﹣1）a=√3−14a 2， 故选：C ．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）13．（4分）（2018•自贡）分解因式：ax 2+2axy +ay 2= a （x +y ）2 ．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a ，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2．【解答】解：原式=a （x 2+2xy +y 2）…（提取公因式）=a （x +y ）2．…（完全平方公式）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要分解要彻底．14．（4分）（2018•自贡）化简1x+1+2x−1结果是1x−1．【考点】6B：分式的加减法．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=x−1(x+1)(x−1)+2x−1=1 x−1故答案为：1x−1【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型．15．（4分）（2018•自贡）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为﹣1．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【专题】536：二次函数的应用．【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．16．（4分）（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为10、20个．【考点】9A ：二元一次方程组的应用．【专题】521：一次方程（组）及应用．【分析】根据二元一次方程组，可得答案．【解答】解：设甲玩具购买x 个，乙玩具购买y 个，由题意，得{x +y =302x +4y =100， 解得{x =10y =20，甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，故答案为：10，20．【点评】本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．17．（4分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有 6055 个○．【考点】38：规律型：图形的变化类．【专题】2A ：规律型．【分析】每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．【解答】解：观察图形可知：第1个图形共有：1+1×3，第2个图形共有：1+2×3，第3个图形共有：1+3×3，…，第n 个图形共有：1+3n ，∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，故答案为：6055．【点评】本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化．18．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是菱形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是√154．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KH：等腰三角形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．【专题】15 ：综合题．【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=AD，BC=BD，∵AC=BC，∴AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F 关于AB 的对称点M ，再过M 作ME ⊥AD ，交ABA 于点P ，此时PE +PF 最小，此时PE +PF=ME ，过点A 作AN ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴ME=AN ，作CH ⊥AB ，∵AC=BC ，∴AH=12， 由勾股定理可得，CH=√152， ∵12×AB ×CH =12×BC ×AN ， 可得，AN=√154， ∴ME=AN=√154， ∴PE +PF 最小为√154， 故答案为√154． 【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2018•自贡）计算：|﹣√2|+（12）﹣1﹣2cos45°．【考点】2C ：实数的运算；6F ：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=√2+2﹣2×√22=√2+2﹣√2=2．故答案为2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．20．（8分）（2018•自贡）解不等式组：{3x −5≤1①13−x 3＜4x②，并在数轴上表示其解集． 【考点】CB ：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别解不等式①、②求出x 的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．【解答】解：解不等式①，得：x ≤2；解不等式②，得：x ＞1，∴不等式组的解集为：1＜x ≤2．将其表示在数轴上，如图所示．【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x 的取值范围是解题的关键．21．（8分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了100名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有600人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是25．【考点】X8：利用频率估计概率；V2：全面调查与抽样调查；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【专题】54：统计与概率．【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．（4）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．【解答】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动所占的百分比为40%，∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为310故答案为：（1）100；（3）600；（4）310【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．22．（8分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，BC=12，tanA=34，∠B=30°；求AC 和AB 的长．【考点】T7：解直角三角形．【专题】552：三角形．【分析】如图作CH ⊥AB 于H ．在Rt △求出CH 、BH ，这种Rt △ACH 中求出AH 、AC 即可解决问题；【解答】解：如图作CH ⊥AB 于H ．在Rt △BCH 中，∵BC=12，∠B=30°，∴CH=12BC=6，BH=√BC 2−CH 2=6√3， 在Rt △ACH 中，tanA=34=CH AH， ∴AH=8，∴AC=√AH 2+CH 2=10，∴AB=AH +BH=8+6√3．【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B ，圆心O 在斜边AB 上且与边AC 相切于点E 的⊙O （要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O 与边AB 交于异于点B 的另外一点D ，若⊙O 的直径为5，BC=4；求DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）【考点】N3：作图—复杂作图；ME ：切线的判定与性质．【专题】13 ：作图题；559：圆的有关概念及性质．【分析】（1）作∠ABC 的角平分线交AC 于E ，作EO ⊥AC 交AB 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径画圆即可解决问题；（2）作OH ⊥BC 于H ．首先求出OH 、EC 、BE ，利用△BCE ∽△BED ，可得DE EC =BD BE，解决问题；【解答】解：（1）⊙O 如图所示；（2）作OH ⊥BC 于H ．∵AC 是⊙O 的切线，∴OE ⊥AC ，∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，∴四边形ECHO 是矩形，∴OE=CH=52，BH=BC ﹣CH=32， 在Rt △OBH 中，OH=√(52)2−(32)2=2，∴EC=OH=2，BE=√EC 2+BC 2=2√5，∵∠EBC=∠EBD ，∠BED=∠C=90°，∴△BCE ∽△BED ，∴DE EC =BD BE ， ∴DE 2=2√5， ∴DE=√5．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（10分）（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x =N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x=log a N ．比如指数式24=16可以转化为4=log 216，对数式2=log 525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M•N ）=log a M +log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；理由如下：设log a M=m ，log a N=n ，则M=a m ，N=a n∴M•N=a m •a n =a m +n ，由对数的定义得m +n=log a （M•N ）又∵m +n=log a M +log a N∴log a （M•N ）=log a M +log a N解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式 3=log 464 ；（2）证明log a M N=log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0） （3）拓展运用：计算log 32+log 36﹣log 34= 1 ．【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法．【专题】21 ：阅读型；23 ：新定义．【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；（2）先设log a M=m ，log a N=n ，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m ，N=a n ，计算M N的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：log a （M•N ）=log a M +log a N 和log a M N=log a M ﹣log a N 的逆用，将所求式子表示为：log 3（2×6÷4），计算可得结论．【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log 464， 故答案为：3=log 464；（2）设log a M=m ，log a N=n ，则M=a m ，N=a n ，∴M N =a ma n =a m ﹣n ，由对数的定义得m ﹣n=log a M N， 又∵m ﹣n=log a M ﹣log a N ，∴log a M N=log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）； （3）log 32+log 36﹣log 34，=log 3（2×6÷4），=log 33，=1，故答案为：1．【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．25．（12分）（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA 、OB 相交于点D 、E ．（1）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE +OD 与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD 、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【考点】RB ：几何变换综合题．【专题】15 ：综合题． 【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=√32OC ，同OE=√32OC ，即可得出结论； （2）同（1）的方法得OF +OG=√3OC ，再判断出△CFD ≌△CGE ，得出DF=EG ，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵OM 是∠AOB 的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=30°， ∵CD ⊥OA ，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE ﹣∠OCD=60°，在Rt △OCD 中，OD=OC•cos30°=√32OC ， 同理：OE=√32OC ， ∴OD +OE=√3OC ；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C 作CF ⊥OA 于F ，CG ⊥OB 于G ，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=√32OC ，OG=√32OC ， ∴OF +OG=√3OC ，∵CF ⊥OA ，CG ⊥OB ，且点C 是∠AOB 的平分线OM 上一点，∴CF=CG ，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG ，∴△CFD ≌△CGE ，∴DF=EG ，∴OF=OD +DF=OD +EG ，OG=OE ﹣EG ，∴OF +OG=OD +EG +OE ﹣EG=OD +OE ，∴OD +OE=√3OC ；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=√3OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=√32OC，OG=√32OC，∴OF+OG=√3OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=√3OC．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．26．（14分）（2018•自贡）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R ，使得P 、Q 、D 、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D 点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；（2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据PQ 的长是正整数，可得PQ ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR 的长，根据点的坐标表示方法，可得答案．【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得{a +b −3=09a −3b −3=0，解得{a =1b =2， 抛物线的解析式为y=x 2+2x ﹣3；当x=﹣2时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3，即D （﹣2，﹣3）．设AD 的解析式为y=kx +b ，将A （1，0），D （﹣2，﹣3）代入，得{k +b =0−2k +b =−3， 解得{k =1b =−1， 直线AD 的解析式为y=x ﹣1；（2）设P 点坐标为（m ，m ﹣1），Q （m ，m 2+2m ﹣3），l=（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）化简，得l=﹣m2﹣m+2配方，得l=﹣（m+12）2+94，当m=﹣12时，l最大=94；（3）DR∥PQ且DR=PQ时，PQDR是平行四边形，由（2）得0＜PQ≤94，又PQ是正整数，∴PQ=1，或PQ=2．当PQ=1时，DR=1，﹣3+1=﹣2，即R（﹣2，﹣2），﹣3﹣1=﹣4，即R（﹣2，﹣4）；当PQ=2时，DR=2，﹣3+2=﹣1，即R（﹣2，﹣1），﹣3﹣2=﹣5，即R（﹣2，﹣5），综上所述：R点的坐标为（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣2，﹣1）（﹣2，﹣5），使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用DR=PQ且是正整数得出DR 的长．。
2018年四川自贡市中考数学试卷(含解析)
2018年四川省自贡市初中毕业、升学考试数学（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2018四川自贡，1，4分） 计算31-+的结果是（ ）【答案】A【解析】根据有理数的加法法则：绝对值不相等的两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，∴213-=+-.【知识点】有理数的加法法则2．（2018四川自贡，2，4分）下列计算正确的是（ ）A.()222a b a b -=-B.x 2y 3xy +=C.18320-=D.()236a a -=-【答案】C【解析】2222)(b ab a b a +-=-Θ，∴A 选项错误；x Θ与y 2不是同类项，x ∴与y 2不能合并同类项； 023232318=-=-Θ，∴C 选项正确；6232323)()(a a a a ===-⨯Θ，∴D 选项错误；故选择C.【知识点】完全平方公式，合并同类项，二次根式的减法，积的乘方与幂的乘方3．（2018四川自贡，3，4分） 2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（ ）A..7445810⨯B..8445810⨯C..9445810⨯D..100445810⨯【答案】B 【解析】用科学记数法表示较大的数时，其形式为n a 10⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，且n 比原数的所有的整数位数少1．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．445800000中，整数位数有9位，8104.458445800000⨯=∴，故选择B.【知识点】科学记数法——表示较大的数4．（2018四川自贡，4，4分） 在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若155∠=o，则2∠ 的度数是（ ）A.50°B.45°C.40°D.35° 21【答案】D【解析】如图所示，b a //Θ，ο551=∠=∠∴α，οο3590=∠-=∠∴αβ，又c b //Θ，ο352=∠=∠∴β，故选择D.【知识点】平行线的性质5．（2018四川自贡，5，4分）下面几何体的主视图是（ ）【答案】B【解析】主视图表示从正面看到的图形，故选择B.【知识点】几何体的三视图6．（2018四川自贡，6，4分）如图，在⊿ABC 中，点D E 、 分别是AB AC 、的中点，若⊿ADE 的面积为4，则是⊿ABC 的面积为（ ）A. 8B. 12C. 14D. 16E D B C A【答案】D【解析】∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴21==AC AE AB AD ，又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ，且相似比为1:2，∴面积比为1:4，∵△ADE 的面积为4，∴△ABC 的面积为16，故选择D.【知识点】相似三角形的性质与判定7．（2018四川自贡，7，4分） 在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）A.众数是98B.平均数是90C.中位数是91D.方差是56【答案】D【解析】将数据80、98、98、83、91按大小排序为：80、83、91、98、98，∴这组数据的中位数是91，众数为98，∴A 、C 选项正确. 又∵9059898918380_=++++=x ，∴这组数据的平均数是90，∴B 选项正确. 6.555)9098()9098()9091()9083()9080(222222=-+-+-+-+-=S ，∴D 选项错误. 【知识点】众数，平均数，中位数，方差8．（2018四川自贡，8，4分）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）A.数形结合B.类比C.演绎D.公理化A B C D【答案】A【解析】“数形结合”是我们研究函数的重要方法，画函数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能．同学们在学习中要养成画图的习惯，并会利用函数的图象来理解函数的性质．【知识点】数形结合9．（2018四川自贡，9，4分）如图，若⊿ABC 内接于半径为R 的⊙O ,且A 60∠=o ,连接OB OC 、，则 边BC 的长为（ ）A.2RB.3R 2 C.2R 2D.3ROB CA【答案】A 【解析】如图所示，延长CO 交⊙O 于点D ，连接BD ，∵ο60=∠A ，∴ο60=∠=∠A D .∵CD 是直径，∴ο90=∠CBD .在Rt △BCD 中，2360sin 2sin ====∠οR BC CD BC D ，∴R BC 3=，故选择D. 【知识点】圆周角定理，解直角三角形10．（2018四川自贡，10，4分）从1236--、、、这四个数中任取两数，分别记为m n 、，那么点()m,n 在函数6y x =图象的概率是（ ） A.12 B.13 C.14D.18【答案】B【解析】从-1、2、3、-6这四个数中任取两数，记为m 、n ，则点（m ，n ）的可能情况如图：共12种情况，其中在函数x y 6=图象上的有（-1,6）、（2,3）、（3,2）、（-6，-1）四种情况，占31124=，故选择B.【知识点】反比例函数，求简单随机事件的概率11．（2018四川自贡，11，4分）已知圆锥的侧面积是28cm π，若圆锥底面半径为()R cm ，母线长为()l cm ，则R 关于l 的函数图象大致是（ ）【答案】A【解析】∵圆锥的侧面积公式为ππ8=Rl ，∴8=Rl ，)0(8>=ll R ，故选择A. 【知识点】圆锥的侧面积，反比例函数的图象12．（2018四川自贡，12，4分）如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BM ,连接AM 并延长交CD 于N ,连接MC ,则⊿MNC 的面积为（ ）A.231a 2- B.221a 2- C. 231a 4- D.221a 4- N M DAB C【答案】C【解析】如图所示，过点N 作CM NE ⊥交CM 于点E ，根据旋转的性质，ο60=∠CBM ，a AB BM BC ===∴BCM ∆是等边三角形，且ο30=∠=∠DCM ABM ,οο75)180(21=∠-=∠=∠ABM BMA BAM ∴οοοοο456075180180=--=∠-∠-=∠BMC BMA CMN∴EMN ∆是等腰直角三角形设x EM EN ==，则x EC 3=， ∴a x x =+3，解得2)13(a x -=，即2)13(a EN -= ∴24132)13(2121a a a EN CM S CMN -=-⋅=⋅⋅=∆ lR O A lR O B lR O C lRO D【知识点】旋转的性质，三角形的面积，解直角三角形，等腰三角形，等边三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．（2018四川自贡，13，4分）分解因式：22ax 2axy ay ++= .【答案】2)(y x a +【解析】22222)()2(2y x a y xy x a ay axy ax +=++=++【知识点】提公因式法因式分解、公式法因式分解14．（2018四川自贡，14，4分）化简212x 1x 1++-的结果是 . 【答案】11-x 【解析】11)1)(1(1)1)(1(2)1)(1(112112-=-++=-++-+-=-++x x x x x x x x x x x 【知识点】分式的加减运算15．（2018四川自贡，15，4分）若函数2y x 2x m =+-的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 .【答案】－1【解析】∵函数m x x y -+=22的图象与x 轴有且只有一个交点，∴一元二次方程022=-+m x x 有两个相等的实根，即044)(1422=+=-⨯⨯-=∆m m ，∴1-=m .【知识点】函数与方程，一元二次方程根与系数的关系16．（2018四川自贡，16，4分）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 、 个.【答案】10，20【解析】设该幼儿园购买了甲种玩具x 个，乙种玩具y 个，根据题意，有⎩⎨⎧=+=+1004230y x y x ，解得⎩⎨⎧==2010y x ，∴该幼儿园购买了甲种玩具10个，乙种玩具20个. 【知识点】二元一次方程组的应用17．（2018四川自贡，17，4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有 个○.【答案】6055【解析】第1个图形有○：4个，第2个图形有○：4+3=7个，第3个图形有○：4+3+3=10个，第4个图形有○：第1个第2个第3个第4个4+3+3+3=13，∴第n 个图形有○：4+3(n-1)=3n+1个，∴第2018个图形有○：6055120183=+⨯个．【知识点】规律型：图形的变化类18．（2018四川自贡，18，4分）如图，在⊿ABC 中，AC BC 2,AB 1===,将它沿AB 翻折得到⊿ABD ,则 四边形ADBC 的形状是 形，点P E F 、、分别为线段AB AD DB 、、的任意点，则PE PF +的最小值是 .D CAB P E F【答案】菱形415 【解析】∵BC AC =，∴ABC ∆是等腰三角形将ABC ∆沿AB 翻折得到ABD ∆，∴BD AD BC AC ===，∴四边形ADBC 是菱形ABC ∆沿AB 翻折得到ABD ∆，∴ABC ∆与ABD ∆关于AB 成轴对称 如图所示，作点E 关于AB 的对称点'E ，根据轴对称的基本性质，AB 垂直平分'EE ，∴'PE PE =，∴PF PE PF PE +=+'，∴要求PF PE +的最小值，即在线段AC 、AB 、BD 上分别找点'E 、P 、F ，使PF PE +'值最小，根据“两点之间，线段最短”即''FE PF PE =+最小，'FE 最小值即为平行线AC 与BD 间的距离.由题知2==BC AC ，1=AB ，BAD CAB ∠=∠∴BAD CAB ∠=∠cos cos ,即1221AG ==，41=AG , 在ABG Rt ∆中，415161122=-=-=AG AB BG ∴''FE PF PE PF PE =+=+的最小值为415.【知识点】菱形的判定，轴对称的基本性质，平行线间距离，解直角三角形三、解答题（本大题共8小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2018四川自贡，19，8分）计算：1122cos 452-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭o . 【思路分析】负数的绝对值是它的相反数，)0(1≠=-a a a p ，2245cos =ο 【解题过程】222245cos 221|2|1=-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--ο【知识点】求绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角比20．（2018四川自贡，20，8分）解不等式组：3x 5113x 4x 3⎧-≤⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩L L L L ，并在数轴上表示其解集.【思路分析】求解不等式组，就是求不等式组中各个不等式的解集的公共部分，所以需要先求解各个一元一次不等式，再取公共部分．【解题过程】解不等式j 得：2≤x ，解不等式k 得：1>x ，∴不等式组的解集为：21≤<x在数轴上表示为：【知识点】不等式组的解法，数轴与实数21．（2018四川自贡，21，8分）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：20％40％10％上网运动娱乐阅读【思路分析】（1）利用爱好运动的学生人数除以爱好运动的学生数所占的百分比可得共调查的学生数.（2）根据爱好上网的学生占所调查学生的百分比，求出爱好上网的学生数，用调查的学生数减去爱好运动的、娱乐的、上网的，剩下的就是爱好阅读的学生数，补全条形统计图.（3）用样本估计总体，用学校总人数乘爱好运动的百分比.（4）利用爱好阅读的学生数除以调查的总学生数得爱好阅读的学生的百分比.【解题过程】（1）从图中可知，爱好运动的学生有40人，所占的百分比是40%，所以共调查的学生数是100%4040=÷.（2）调查学生中爱好上网的人数为：10%10100=⨯，则爱好阅读的人数为：100-40-20-10=30.从而补全条形统计图为：（3）该校爱好运动的学生人数：600%401500=⨯.（4）该校爱好阅读的学生所占百分比为：%3010030=÷，∴在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是30%.【知识点】统计与概率综合，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体22．（2018四川自贡，22，8分）如图，在⊿ABC 中，3BC 12,tan A ,B 304==∠=o ；求AC 和AB 的长. BC A【思路分析】通过作高构造直角三角形，在Rt △BCD 和Rt △ACD 中利用特殊角的三角比和勾股定理即可求解.【解题过程】如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，在Rt △BCD 中，ο30=∠B ，12=BC ，∴2130sin 12sin ====οCD BC CD B ，∴6=CD . 2330cos 12cos ====οBD BC BD B ，∴36=BD . 在Rt △ACD 中，43tan =A ,6=CD ， ∴436tan ===AD AD CD A ，∴8=AD . 10682222=+=+=CD AD AC ，36+8=BD +AD =AB综上所述，AC 长为10，AB 长为36+8.【知识点】解直角三角形23．（2018四川自贡，23，10分）如图，在⊿ABC 中，ACB 90∠=o .⑴.作出经过点B ,圆心O 在斜边AB 上且与边AC 相切于点E 的⊙O ；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）⑵.设⑴中所作的⊙O 与边AB 交于异于点B 的另外一点D ,若⊙O 的直径为5，BC 4=；求DE 的长.（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成⑵问） C A B【思路分析】 （1）作出的⊙O 与边AC 相切于点E ，∴AC OE ⊥，BC OE //，连接弦BE ，有OBE EBC OEB ∠=∠=∠，∴BE 是ABC ∠的角平分线．根据垂径定理，∴圆心O 在弦BE 的垂直平分线上．（2）BE 平分ABC ∠，∴BCE ∆∽BED ∆，根据对应边成比例，求出BE 长，在BED Rt ∆中，应用勾股定理即可求DE 长.【解题过程】（1）如图，作B ∠的平分线交AC 于点E ，作线段BE 的垂直平分线交AB 于点O ．以点O 为圆心，以OB 为半径作圆O ，图中即为所求．（2）∵BD 是⊙O 的直径，∴ο90=∠BED .∵BE 平分ABC ∠，∴EBD CBE ∠=∠. 在BCE ∆与BED ∆中，EBD CBE ∠=∠，BED BCE ∠=∠∴BCE ∆∽BED ∆，∴DD BE BE BC =，即54BE BE =，解得52=BE . 在BED Rt ∆中，5)52(52222=-=-=BE BD DE 综上所述，DE 长为5.【知识点】尺规作图，切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形24．（2018四川自贡，24，10分）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr,1550 – 1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr,1707 – 1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若()xa N a 0,a 1=>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：a x log N = .比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：()()a a a log M N log M log N a 0,a 1,M 0,N 0⋅=+>≠>>；理由如下：设a a log M m,log N n == ，则m n M a ,N a ==∴m n m n M N a a a +⋅=⋅= ，由对数的定义得()a m n log M N +=⋅又∵a a m n log M log N +=+∴()log M N log M log N ⋅=+解决以下问题：⑴.将指数3464= 转化为对数式 ； ⑵.证明()aa a M log log M log N a 0,a 1,M 0,N 0N=->≠>> ⑶.拓展运用：计算333log 2log 6log 4+- = . 【思路分析】（1）根据题干中定义的新运算)1,0(≠>=a a N a x ，则N x a log =可得结果．（2）模仿)0,0,1,0(log log )(log >>≠>+=⋅N M a a N M N M a a a 的证明过程，结合同底数幂的除法即可证明．（3）利用N M N M a a a log log )(log +=⋅和)0,0,1,0(log log log >>≠>-=N M a a N M NM a a a 即可计算． 【解题过程】（1）若)1,0(≠>=a a N a x ，则N x a log =，∴指数6443=转化为对数式为：64log 34=.（2）设m M a =log ，n N a =log ，则m a M =，n a N =，∴n m n m a a a N M -==，由对数的定义得N M n m a log =- 又∵N M n m a a log log -=-∴)0,0,1,0(log log log >>≠>-=N M a a N M NM a a a 得证. （3）13log 412log 4log 12log 4log )62(log 4log 6log 2log 333333333===-=-⨯=-+ 【知识点】定义新运算，同底数幂的乘法、除法25．（2018四川自贡，25，12分）如图，已知AOB 60∠=o ,在AOB ∠的平分线OM 上有一点C ,将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA OB 、相交于点D E 、 .⑴.当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE OD +与OC 的数量关系，并说明理由； ⑵.当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，⑴中的结论是否成立？并说明理由； ⑶.当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD OE 、与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【思路分析】（1）先证明CDO ∆≌CEO ∆，得到OE OD =，然后在CDO Rt ∆中利用特殊角的三角比即可得到OC OD OE 与+的数量关系；（2）通过作高构造CFD Rt ∆和CGE Rt ∆，通过证明CFD ∆≌CGE ∆，得到GE FD =，将OC OD OE 与+的数量关系转化为OC OF OG 与+的数量关系，利用（1）中的结论即可得证；（3）通过作高构造CFD Rt ∆和CGE Rt ∆，通过证明CFD ∆≌CGE ∆，得到GE FD =，∴OF OG OD OE +=-，从而得到OC OD OE 与-的数量关系．【解题过程】（1）OC OD OE 与+的数量关系为：OC OD OE 3=+，理由如下：∵OA CD ⊥，OB CE ⊥，∴ο90=∠=∠OEC ODC∵OM 平分AOB ∠，∴ο3021=∠=∠=∠AOB EOC DOC 且CE CD = 在CDO ∆与CEO ∆中，EOC DOC ∠=∠，OEC ODC ∠=∠，CE CD =∴CDO ∆≌CEO ∆（AAS ）∴OE OD =在CDO Rt ∆中，2330cos ==OC OD ο，∴OD OE OC OD +==32 ∴OC OD OE 3=+（2）当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，⑴中的结论仍然成立.理由如下： 如图所示，过点C 作OA CF ⊥于点F ，作OB CG ⊥于点G ，∵OM 平分AOB ∠，∴ο3021=∠=∠=∠AOB BOC AOC ，CG CF = ∴ο60=∠=∠OCG OCF ，D E A O B M C 图2A O BM C 图3DE AO B M C图1∵οο12060=∠++∠=∠+∠+∠=∠GCE OCD GCE OCG OCD DCE∴ο60=∠+∠GCE OCD又∵ο60=∠+∠FCD OCD∴GCE FCD ∠=∠在CFD ∆与CGE ∆中，GCE FCD ∠=∠，EGC DFC ∠=∠，CG CF =∴CFD ∆≌CGE ∆（ASA ）∴GE FD =∴OF OG OD DF OG OD GE OG OD OE +=++=++=+由（1）得，OC OF OG 3=+∴OC OD OE 3=+得证.（3）当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论不成立．此时，OC OD OE 3=-. 如图所示：分析：过点C 作OA CF ⊥于点F ，作OB CG ⊥于点G ，CD 与OB 相交于点H ，由题意得ο120=∠=∠DCE DOE ，CHE OHD ∠=∠OHD OHD DOE FDC ∠-=∠-∠-=∠οο60180，CHE CHE DCE GEC ∠-=∠-∠-=∠οο60180∴GEC FDC ∠=∠∵OM 平分AOB ∠，∴CG CF =在CFD ∆与CGE ∆中，GEC FDC ∠=∠，EGC DFC ∠=∠，CG CF =∴CFD ∆≌CGE ∆（AAS ）∴GE FD =∴OF OG OD DF OG OD GE OG OD OE +=-+=-+=-由（1）得，OC OF OG 3=+∴OC OD OE 3=-.【知识点】全等三角形的判定与性质，等量代换，锐角三角比的应用26．（2018四川自贡，26，12分）如图，抛物线2y ax bx 3=+-过()(),,A 10B 30-、，直线AD 交抛物线于点D ,点D 的横坐标为2- ，点()P m,n 是线段AD 上的动点.⑴.求直线AD 及抛物线的解析式；⑵.过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ,求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？ ⑶.在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R ,使得P Q D R 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由.x yCQ DB A O P【思路分析】（1）由A 、B 两点的坐标，求抛物线的解析式；将点D 横坐标代入抛物线解析式，从而求出点D 的纵坐标，再利用待定系数法可求得直线AD 解析式；（2）点P 在直线AD 上，点Q 在抛物线上，从而用m 表示出点P 、点Q 的坐标，进而表示线段PQ 的长l ；再利用配方求l 的最值；（3）以R D Q P 、、、为顶点的四边形是平行四边形，可分①PD 是平行四边形的对角线，②QD 是平行四边形的对角线，③PQ 是平行四边形的对角线这三种情况讨论，结合平行四边形的性质和m 的取值范围即可求解．【解题过程】（1）∵抛物线32-+=bx ax y 过)0,1(A 、)0,3(-B ，∴⎩⎨⎧=--=-+033903b a b a ，解得⎩⎨⎧==21b a ∴该抛物线的解析式为：322-+=x x y当2-=x 时，33)2(2)2(2-=--⨯+-=y ，∴)3,2(--D设直线AD 的解析式为b kx y +=，∴⎩⎨⎧-=+-=+320b k b k ，解得⎩⎨⎧-==11b k ∴直线AD 的解析式为1-=x y综上所述，直线AD 的解析式为：1-=x y ，抛物线的解析式为：322-+=x x y ．（2）由题意得：)1,(-m m P ，)32,(2-+m m m Q ，12<<-m∴49)21(2)32()1(222++-=+--=-+--=-=m m m m m m y y l Q P ∵1212<<-，∴当21-=m 时，PQ 最长. 综上所述，线段PQ 的长度l 与m 的关系式为：49)21(222++-=+--=m m m l ，当21-=m 时，PQ 最长. （3）在平面内存在整点R ,使得R D Q P 、、、为顶点的四边形是平行四边形，点R 的坐标为：）（1,2--，）（2,2--，）（4,2--，）（5,2--，）（3,0-或）（1,2- 以R D Q P 、、、为顶点的四边形是平行四边形，可分如下情况讨论： ①PD 是平行四边形的对角线，此时RD PQ //且RD PQ =，点R 在点D 上方，∵)3,2(--D ，要使R 为整点，∴线段RD 长必须是整数， 又∵RD PQ =，∴线段PQ 长必须是整数由（2）知：49)21(222++-=+--=m m m PQ ，49≤PQ ∴21或=PQ∴此时），（22--R 或），（12--R ②QD 是平行四边形的对角线，此时RD PQ //且RD PQ =，点R 在点D 下方，∴此时），（42--R 或），（52--R ③PQ 是平行四边形的对角线，)3,2(--D ,)1,(-m m P ，)32,(2-+m m m Q ，12<<-m 设),(R R y x R ，根据中点坐标公式：m x x R D =+2，22Q P R Dy y y y +=+,解得22+=m x R ，132-+=m m y R ∴)13,22(2-++m m m R∵12<<-m ，要使R 为整点，∴01或-=m∴此时），（30-R 或），（12-R 综上所述，在平面内存在整点R ,点R 的坐标为：）（1,2--，）（2,2--，）（4,2--，）（5,2--，）（3,0-或）（1,2-【知识点】一次函数与二次函数综合，平行四边形性质与判定。
四川省自贡市2017年中考数学真题试题(含答案)
4 y x 的图象是
；
x
3
（ 3）对于函数 y
x
4 ，当 x＞ 0 时，求 y 的取值范围．
x
解：∵ x＞ 0，∴ y x 4 ( x )2 ( 2 ) 2 ( x
x
x
2 )2 x
∵ ( x 2 )2 ≥0，∴ y≥
．
x
[ 拓展运用 ]
（ 4）若函数 y
x2
5x 9 ，则 y 的取值范围是
．
x
25．（ 12 分）如图 1，在平面直角坐标系中， O为坐标原点，点 A( － 1， 0) ，点 B(0 ， 3 ) ．
（ 1）求∠ BAO的度数； （ 2）如图 1，将△ AOB绕点 O 顺时针旋转得△ A′OB′，当点 A′恰好落在 AB边上时，设△ AB′O的
面积为 S2， S1 与 S2 有何关系？为什么？ （ 3）若将△ AOB绕点 O 顺时针旋转到如图 2 所示的位置时， S1 与 S2的关系发生变化了吗？证明
22．（8 分）两个城镇 A、B与一条公路 CD，一条河流 CE位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要 求该山庄到 A、 B 的距离必须相等，到 CD和 CE的距离也距离也必须相等，且在∠ DCE的内部， 请画出该山庄的位置 P．（不要求写作法，保留作图痕迹）
2
23．（ 10 分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：
．
15．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”
意思是： 有 100 个和尚分 100 个馒头， 正好分完， 如果大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分一
个， 试问大、 小和尚和有几人？设大、 小和尚各有 x、y 人，则可列方程组
2018年四川省自贡市中考数学试卷(含答案解析版)
2018年四川省自贡市中考数学试卷一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2018•自贡）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．22．（4分）（2018•自贡）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C．√18−3√2=0D．（﹣a3）2=﹣a63．（4分）（2018•自贡）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（）A．44.58×107B．4.458×108C．4.458×109D．0.4458×10104．（4分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°5．（4分）（2018•自贡）下面几何的主视图是（）A．B．C．D．6．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．167．（4分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）A ．众数是98B ．平均数是90C ．中位数是91D ．方差是568．（4分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）A ．数形结合B ．类比C ．演绎D ．公理化9．（4分）（2018•自贡）如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且∠A=60°，连接OB 、OC ，则边BC 的长为（ ）A ．√2RB ．√32RC ．√22R D ．√3R 10．（4分）（2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m 、n ，那么点（m ，n ）在函数y=6x图象的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．1811．（4分）（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．12．（4分）（2018•自贡）如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BM ，连接AM 并延长交CD 于N ，连接MC ，则△MNC 的面积为（ ）A ．√3−12a 2B ．√2−12a 2C ．√3−14a 2D ．√2−14a 2二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）13．（4分）（2018•自贡）分解因式：ax 2+2axy+ay 2= ．14．（4分）（2018•自贡）化简1x+1+2x 2−1结果是 ． 15．（4分）（2018•自贡）若函数y=x 2+2x ﹣m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 ．16．（4分）（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 、 个．17．（4分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有 个○．18．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB 翻折得到△ABD ，则四边形ADBC 的形状是 形，点P 、E 、F 分别为线段AB 、AD 、DB 的任意点，则PE+PF 的最小值是 ．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2018•自贡）计算：|﹣√2|+（12）﹣1﹣2cos45°． 20．（8分）（2018•自贡）解不等式组：{3x −5≤1①13−x 3＜4x②，并在数轴上表示其解集． 21．（8分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有 人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 ．22．（8分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=34，∠B=30°；求AC和AB的长．23．（10分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）24．（10分）（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=loga N．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga （M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设loga M=m，logaN=n，则M=a m，N=a n∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a（M•N）又∵m+n=loga M+logaN∴loga （M•N）=logaM+logaN解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式；（2）证明loga MN=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34= ．25．（12分）（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．26．（14分）（2018•自贡）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2018年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2018•自贡）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．2【考点】19：有理数的加法．【专题】51：数与式．【分析】利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．【解答】解：﹣3+1=﹣2；故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2．（4分）（2018•自贡）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C．√18−3√2=0D．（﹣a3）2=﹣a6【考点】78：二次根式的加减法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．【专题】11 ：计算题．【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=a2﹣2ab+b2，故A错误；（B）原式=x+2y，故B错误；（D）原式=a6，故D错误；故选：C．【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3．（4分）（2018•自贡）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（）A．44.58×107B．4.458×108C．4.458×109D．0.4458×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：445800000=4.458×108，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°【考点】JA：平行线的性质．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数．【解答】解：由题意可得：∠1=∠3=55°，∠2=∠4=90°﹣55°=35°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．5．（4分）（2018•自贡）下面几何的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】16 ：压轴题．【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．【解答】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，2．故选B ．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．6．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．14D ．16【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX ：三角形中位线定理．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE ∥BC ，DE=12BC ，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∵DE BC =12，∴S △ADE S △ABC =14， ∵△ADE 的面积为4，∴△ABC 的面积为：16，故选：D ．【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE ∽△ABC 是解题关键．7．（4分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）A ．众数是98B ．平均数是90C ．中位数是91D ．方差是56【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【专题】11 ：计算题．【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．【解答】解：98出现的次数最多，∴这组数据的众数是98，A 说法正确； x =15（80+98+98+83+91）=90，B 说法正确； 这组数据的中位数是91，C 说法正确；S 2=15[（80﹣90）2+（98﹣90）2+（98﹣90）2+（83﹣90）2+（91﹣90）2] =15×278 =55.6，D 说法错误；故选：D ．【点评】本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式s 12=1n[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]是解题的关键．8．（4分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）A ．数形结合B ．类比C ．演绎D ．公理化【考点】E6：函数的图象．【专题】1 ：常规题型；532：函数及其图像．【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．【解答】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．故选：A．【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．9．（4分）（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．√2R B．√32R C．√22R D．√3R【考点】MA：三角形的外接圆与外心．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=√3R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=√3R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．10．（4分）（2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m 、n ，那么点（m ，n ）在函数y=6x图象的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．18【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．【专题】534：反比例函数及其应用；543：概率及其应用．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn=6，列表找出所有mn 的值，根据表格中mn=6所占比例即可得出结论．【解答】解：∵点（m ，n ）在函数y=6x的图象上， ∴mn=6．列表如下：m﹣1 ﹣1 ﹣1 2 2 2 3 3 3 ﹣6 ﹣6 ﹣6 n 2 3 ﹣6 ﹣1 3 ﹣6 ﹣1 2 ﹣6 ﹣12 3 mn ﹣2 ﹣3 6 ﹣2 6 ﹣12 ﹣3 6 ﹣18 6 ﹣12 ﹣18mn 的值为6的概率是412=13． 故选：B ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出mn=6的概率是解题的关键．11．（4分）（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】MP ：圆锥的计算；E6：函数的图象．【专题】11 ：计算题．【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断即可．【解答】解：由题意得，12×2πR ×l=8π， 则R=8πl， 故选：A ．【点评】本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．12．（4分）（2018•自贡）如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BM ，连接AM 并延长交CD 于N ，连接MC ，则△MNC 的面积为（ ）A ．√3−12a 2B ．√2−12a 2C ．√3−14a 2D ．√2−14a 2 【考点】R2：旋转的性质；LE ：正方形的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】作MG ⊥BC 于G ，MH ⊥CD 于H ，根据旋转变换的性质得到△MBC 是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH 、CH ，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作MG ⊥BC 于G ，MH ⊥CD 于H ，则BG=GC，AB∥MG∥CD，∴AM=MN，∵MH⊥CD，∠D=90°，∴MH∥AD，∴NH=HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，由题意得，∠MCD=30°，∴MH=12MC=12a，CH=√32a，∴DH=a﹣√32a，∴CN=CH﹣NH=√32a﹣（a﹣√32a）=（√3﹣1）a，∴△MNC的面积=12×a2×（√3﹣1）a=√3−14a2，故选：C．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）13．（4分）（2018•自贡）分解因式：ax2+2axy+ay2= a（x+y）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．【解答】解：原式=a（x2+2xy+y2）…（提取公因式）=a（x+y）2．…（完全平方公式）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要分解要彻底．14．（4分）（2018•自贡）化简1x+1+2x−1结果是1x−1．【考点】6B：分式的加减法．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=x−1(x+1)(x−1)+2x−1=1 x−1故答案为：1x−1【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型．15．（4分）（2018•自贡）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为﹣1 ．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【专题】536：二次函数的应用．【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．16．（4分）（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为10 、20 个．【考点】9A ：二元一次方程组的应用．【专题】521：一次方程（组）及应用．【分析】根据二元一次方程组，可得答案．【解答】解：设甲玩具购买x 个，乙玩具购买y 个，由题意，得{x +y =302x +4y =100， 解得{x =10y =20，甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，故答案为：10，20．【点评】本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．17．（4分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有 6055 个○．【考点】38：规律型：图形的变化类．【专题】2A ：规律型．【分析】每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．【解答】解：观察图形可知：第1个图形共有：1+1×3，第2个图形共有：1+2×3，第3个图形共有：1+3×3，…，第n 个图形共有：1+3n ，∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，故答案为：6055．【点评】本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化．18．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是菱形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是√154．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KH：等腰三角形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．【专题】15 ：综合题．【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=AD，BC=BD，∵AC=BC，∴AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F 关于AB 的对称点M ，再过M 作ME ⊥AD ，交ABA 于点P ，此时PE+PF 最小，此时PE+PF=ME ，过点A 作AN ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴ME=AN ，作CH ⊥AB ，∵AC=BC ，∴AH=12， 由勾股定理可得，CH=√152， ∵12×AB ×CH =12×BC ×AN ， 可得，AN=√154， ∴ME=AN=√154， ∴PE+PF 最小为√154， 故答案为√154． 【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2018•自贡）计算：|﹣√2|+（12）﹣1﹣2cos45°．【考点】2C ：实数的运算；6F ：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=√2+2﹣2×√22=√2+2﹣√2=2．故答案为2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．20．（8分）（2018•自贡）解不等式组：{3x −5≤1①13−x 3＜4x②，并在数轴上表示其解集． 【考点】CB ：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别解不等式①、②求出x 的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．【解答】解：解不等式①，得：x ≤2；解不等式②，得：x ＞1，∴不等式组的解集为：1＜x ≤2．将其表示在数轴上，如图所示．【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x 的取值范围是解题的关键．21．（8分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了100 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有600 人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是25．【考点】X8：利用频率估计概率；V2：全面调查与抽样调查；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【专题】54：统计与概率．【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．（4）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．【解答】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动所占的百分比为40%，∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为3 10故答案为：（1）100；（3）600；（4）3 10【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．22．（8分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=34，∠B=30°；求AC和AB的长．【考点】T7：解直角三角形．【专题】552：三角形．【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC 即可解决问题；【解答】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，∴CH=12BC=6，BH=√BC2−CH2=6√3，在Rt△ACH中，tanA=34=CH AH，∴AH=8，∴AC=√AH2+CH2=10，∴AB=AH+BH=8+6√3．【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）【考点】N3：作图—复杂作图；ME：切线的判定与性质．【专题】13 ：作图题；559：圆的有关概念及性质．【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得DEEC=BDBE，解决问题；【解答】解：（1）⊙O如图所示；（2）作OH⊥BC于H．∵AC 是⊙O 的切线， ∴OE ⊥AC ，∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°， ∴四边形ECHO 是矩形，∴OE=CH=52，BH=BC ﹣CH=32，在Rt △OBH 中，OH=√(52)2−(32)2=2，∴EC=OH=2，BE=√EC 2+BC 2=2√5， ∵∠EBC=∠EBD ，∠BED=∠C=90°， ∴△BCE ∽△BED ，∴DE EC =BD BE ， ∴DE 2=2√5，∴DE=√5．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（10分）（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Nplcr ，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr ，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x =N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x=log a N ．比如指数式24=16可以转化为4=log 216，对数式2=log 525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M •N ）=log a M+log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；理由如下： 设log a M=m ，log a N=n ，则M=a m ，N=a n∴M •N=a m •a n =a m+n ，由对数的定义得m+n=log a （M •N ） 又∵m+n=log a M+log a N ∴log a （M •N ）=log a M+log a N 解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式 3=log 464 ；（2）证明log a MN=log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）（3）拓展运用：计算log 32+log 36﹣log 34= 1 ． 【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法． 【专题】21 ：阅读型；23 ：新定义．【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；（2）先设log a M=m ，log a N=n ，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m ，N=a n ，计算MN的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：log a （M •N ）=log a M+log a N 和log a MN=log a M ﹣log a N 的逆用，将所求式子表示为：log 3（2×6÷4），计算可得结论．【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log 464， 故答案为：3=log 464；（2）设log a M=m ，log a N=n ，则M=a m ，N=a n ，∴M N =a m a n =a m ﹣n ，由对数的定义得m ﹣n=log a M N， 又∵m ﹣n=log a M ﹣log a N ，∴log a MN =log a M ﹣log a N （a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）；（3）log 32+log 36﹣log 34， =log 3（2×6÷4）， =log 33， =1，故答案为：1．【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．25．（12分）（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个120°角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与直线OA 、OB 相交于点D 、E ．（1）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE+OD 与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD 、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【考点】RB ：几何变换综合题． 【专题】15 ：综合题．【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=√32OC ，同OE=√32OC ，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=√3OC ，再判断出△CFD ≌△CGE ，得出DF=EG ，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵OM 是∠AOB 的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=12∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=√32OC，同理：OE=√32OC，∴OD+OE=√3OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=√32OC，OG=√32OC，∴OF+OG=√3OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=√3OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=√3OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=√32OC，OG=√32OC，∴OF+OG=√3OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=√3OC．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．26．（14分）（2018•自贡）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m 为何值时，PQ 最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R ，使得P 、Q 、D 、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题． 【专题】537：函数的综合应用．【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D 点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；（2）根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据PQ 的长是正整数，可得PQ ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR 的长，根据点的坐标表示方法，可得答案． 【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得{a +b −3=09a −3b −3=0，解得{a =1b =2，抛物线的解析式为y=x 2+2x ﹣3；当x=﹣2时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3， 即D （﹣2，﹣3）．设AD 的解析式为y=kx+b ，将A （1，0），D （﹣2，﹣3）代入，得{k +b =0−2k +b =−3， 解得{k =1b =−1，直线AD 的解析式为y=x ﹣1；（2）设P 点坐标为（m ，m ﹣1），Q （m ，m 2+2m ﹣3）， l=（m ﹣1）﹣（m 2+2m ﹣3）化简，得l=﹣m2﹣m+2配方，得l=﹣（m+12）2+94，当m=﹣12时，l最大=94；（3）DR∥PQ且DR=PQ时，PQDR是平行四边形，由（2）得0＜PQ≤9 4，又PQ是正整数，∴PQ=1，或PQ=2．当PQ=1时，DR=1，﹣3+1=﹣2，即R（﹣2，﹣2），﹣3﹣1=﹣4，即R（﹣2，﹣4）；当PQ=2时，DR=2，﹣3+2=﹣1，即R（﹣2，﹣1），﹣3﹣2=﹣5，即R（﹣2，﹣5），综上所述：R点的坐标为（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣2，﹣1）（﹣2，﹣5），使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用DR=PQ且是正整数得出DR 的长．。
2018年四川省自贡市中考数学试卷(含答案解析版)
2018年四川省自贡市中考数学试卷一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2018•自贡）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．22．（4分）（2018•自贡）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．x+2y=3xy C．D．（﹣a3）2=﹣a63．（4分）（2018•自贡）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（）A．44.58×107B．4.458×108C． 4.458×109 D．0.4458×10104．（4分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°5．（4分）（2018•自贡）下面几何的主视图是（）A．B． C． D．6．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，点D、E 分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．167．（4分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91D．方差是568．（4分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合 B．类比C．演绎D．公理化9．（4分）（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC 的长为（）A．B． C． D．10．（4分）（2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（）A． B． C． D．11．（4分）（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R 关于l的函数图象大致是（）A．B． C． D．12．（4分）（2018•自贡）如图，在边长为a正方形ABCD 中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）13．（4分）（2018•自贡）分解因式：ax2+2axy+ay2= ．14．（4分）（2018•自贡）化简+结果是．15．（4分）（2018•自贡）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为．16．（4分）（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为、个．17．（4分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有个○．18．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC 的形状是形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2018•自贡）计算：|﹣|+（）﹣1﹣2cos45°．20．（8分）（2018•自贡）解不等式组：①＜②，并在数轴上表示其解集．21．（8分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是．22．（8分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．23．（10分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC 相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）24．（10分）（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x 叫做以a为底N的对数，记作：x=log a N．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M•N）=log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a（M•N）又∵m+n=log a M+log a N∴log a（M•N）=log a M+log a N解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式；（2）证明log a=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34= ．25．（12分）（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB 相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．26．（14分）（2018•自贡）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2018年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2018•自贡）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．2【考点】19：有理数的加法．【专题】51：数与式．【分析】利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．【解答】解：﹣3+1=﹣2；故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2．（4分）（2018•自贡）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．x+2y=3xy C．D．（﹣a3）2=﹣a6【考点】78：二次根式的加减法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．【专题】11 ：计算题．【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=a2﹣2ab+b2，故A错误；（B）原式=x+2y，故B错误；（D）原式=a6，故D错误；故选：C．【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3．（4分）（2018•自贡）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（）A．44.58×107B．4.458×108C． 4.458×109 D．0.4458×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：445800000=4.458×108，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°【考点】JA：平行线的性质．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数．【解答】解：由题意可得：∠1=∠3=55°，∠2=∠4=90°﹣55°=35°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．5．（4分）（2018•自贡）下面几何的主视图是（）A．B． C． D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】16 ：压轴题．【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．【解答】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，2．故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．6．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，点D、E 分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．7．（4分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【专题】11 ：计算题．【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．【解答】解：98出现的次数最多，∴这组数据的众数是98，A说法正确；=（80+98+98+83+91）=90，B说法正确；这组数据的中位数是91，C说法正确；S2=[（80﹣90）2+（98﹣90）2+（98﹣90）2+（83﹣90）2+（91﹣90）2]=×278=55.6，D说法错误；【点评】本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式s12=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]是解题的关键．8．（4分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合 B．类比C．演绎D．公理化【考点】E6：函数的图象．【专题】1 ：常规题型；532：函数及其图像．【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．【解答】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．9．（4分）（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC 的长为（）A．B． C． D．【考点】MA：三角形的外接圆与外心．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．10．（4分）（2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（）A． B． C． D．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．【专题】534：反比例函数及其应用；543：概率及其应用．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn=6，列表找出所有mn的值，根据表格中mn=6所占比例即可得出结论．【解答】解：∵点（m，n）在函数y=的图象上，∴mn=6．列表如下：mn的值为6的概率是=．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出mn=6的概率是解题的关键．11．（4分）（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R 关于l的函数图象大致是（）A．B． C． D．【考点】MP：圆锥的计算；E6：函数的图象．【专题】11 ：计算题．【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断即可．【解答】解：由题意得，×2πR×l=8π，则R=，故选：A．【点评】本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．12．（4分）（2018•自贡）如图，在边长为a正方形ABCD 中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据旋转变换的性质得到△MBC是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG=GC，AB∥MG∥CD，∴AM=MN，∵MH⊥CD，∠D=90°，∴MH∥AD，∴NH=HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，由题意得，∠MCD=30°，∴MH=MC=a，CH=a，∴DH=a﹣a，∴CN=CH﹣NH=a﹣（a﹣a）=（﹣1）a，∴△MNC的面积=××（﹣1）a=a2，故选：C．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）13．（4分）（2018•自贡）分解因式：ax2+2axy+ay2= a （x+y）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．【解答】解：原式=a（x2+2xy+y2）…（提取公因式）=a（x+y）2．…（完全平方公式）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要分解要彻底．14．（4分）（2018•自贡）化简+结果是．【考点】6B：分式的加减法．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=+=故答案为：【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型．15．（4分）（2018•自贡）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为﹣1 ．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【专题】536：二次函数的应用．【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．16．（4分）（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为10 、20 个．【考点】9A：二元一次方程组的应用．【专题】521：一次方程（组）及应用．【分析】根据二元一次方程组，可得答案．【解答】解：设甲玩具购买x个，乙玩具购买y个，由题意，得，解得，甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，故答案为：10，20．【点评】本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．17．（4分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有6055 个○．【考点】38：规律型：图形的变化类．【专题】2A ：规律型．【分析】每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．【解答】解：观察图形可知：第1个图形共有：1+1×3，第2个图形共有：1+2×3，第3个图形共有：1+3×3，…，第n个图形共有：1+3n，∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，故答案为：6055．【点评】本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化．18．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC 的形状是菱形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KH：等腰三角形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．【专题】15 ：综合题．【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA 于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=AD，BC=BD，∵AC=BC，∴AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF=ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME=AN，作CH⊥AB，∵AC=BC，∴AH=，由勾股定理可得，CH=，∵，可得，AN=，∴ME=AN=，∴PE+PF最小为，故答案为．【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2018•自贡）计算：|﹣|+（）﹣1﹣2cos45°．【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=+2﹣2×=+2﹣=2．故答案为2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．20．（8分）（2018•自贡）解不等式组：①＜②，并在数轴上表示其解集．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别解不等式①、②求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．【解答】解：解不等式①，得：x≤2；解不等式②，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x≤2．将其表示在数轴上，如图所示．【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键．21．（8分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了100 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有600 人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是．【考点】X8：利用频率估计概率；V2：全面调查与抽样调查；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【专题】54：统计与概率．【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．（4）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．【解答】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动所占的百分比为40%，∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600 （4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为故答案为：（1）100；（3）600；（4）【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．22．（8分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．【考点】T7：解直角三角形．【专题】552：三角形．【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；【解答】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，∴CH=BC=6，BH==6，在Rt△ACH中，tanA==，∴AH=8，∴AC==10，∴AB=AH+BH=8+6．【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC 相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）【考点】N3：作图—复杂作图；ME：切线的判定与性质．【专题】13 ：作图题；559：圆的有关概念及性质．【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO ⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解决问题；【解答】解：（1）⊙O如图所示；（2）作OH⊥BC于H．∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，∴四边形ECHO是矩形，∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，在Rt△OBH中，OH==2，∴EC=OH=2，BE==2，∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，∴△BCE∽△BED，∴=，∴=，∴DE=．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（10分）（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x 叫做以a为底N的对数，记作：x=log a N．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a （M•N）=log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a（M•N）又∵m+n=log a M+log a N∴log a（M•N）=log a M+log a N解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式3=log464 ；（2）证明log a=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34= 1 ．【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法．【专题】21 ：阅读型；23 ：新定义．【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；（2）先设log a M=m，log a N=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m，N=a n，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：log a（M•N）=log a M+log a N和log a=log a M ﹣log a N的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，故答案为：3=log464；（2）设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴==a m﹣n，由对数的定义得m﹣n=log a，又∵m﹣n=log a M﹣log a N，∴log a=log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）log32+log36﹣log34，=log3（2×6÷4），=log33，=1，故答案为：1．【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．25．（12分）（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB 相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【考点】RB：几何变换综合题．【专题】15 ：综合题．【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同OE=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM 上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM 上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．26．（14分）（2018•自贡）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案．【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；当x=﹣2时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3，即D（﹣2，﹣3）．设AD的解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得，解得，。
四川省自贡市中考数学试卷含答案解析版
2018年四川省自贡市中考数学试卷一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2018•自贡）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．22．（4分）（2018•自贡）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C． D．（﹣a3）2=﹣a6 3．（4分）（2018•自贡）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是0元，将0用科学记数法表示为（）A．×107B．×108C．×109D．×10104．（4分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°5．（4分）（2018•自贡）下面几何的主视图是（）A．B．C．D．6．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．167．（4分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是568．（4分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合B．类比C．演绎D．公理化9．（4分）（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A． B． C． D．10．（4分）（2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（）A．B．C．D．11．（4分）（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）（2018•自贡）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）13．（4分）（2018•自贡）分解因式：ax2+2axy+ay2= ．14．（4分）（2018•自贡）化简+结果是．15．（4分）（2018•自贡）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为．16．（4分）（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为、个．17．（4分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有个○．18．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2018•自贡）计算：|﹣|+（）﹣1﹣2cos45°．20．（8分）（2018•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．21．（8分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是．22．（8分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC 和AB的长．23．（10分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）24．（10分）（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=loga N．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga （M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设loga M=m，logaN=n，则M=a m，N=a n∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）又∵m+n=loga M+logaN∴loga （M•N）=logaM+logaN解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式；（2）证明loga =logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34= ．25．（12分）（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．26．（14分）（2018•自贡）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2018年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2018•自贡）计算﹣3+1的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．2【考点】19：有理数的加法．【专题】51：数与式．【分析】利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．【解答】解：﹣3+1=﹣2；故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2．（4分）（2018•自贡）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C． D．（﹣a3）2=﹣a6【考点】78：二次根式的加减法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．【专题】11 ：计算题．【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=a2﹣2ab+b2，故A错误；（B）原式=x+2y，故B错误；（D）原式=a6，故D错误；故选：C．【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3．（4分）（2018•自贡）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是0元，将0用科学记数法表示为（）A．×107B．×108C．×109D．×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：0=×108，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°【考点】JA：平行线的性质．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2的度数．【解答】解：由题意可得：∠1=∠3=55°，∠2=∠4=90°﹣55°=35°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．5．（4分）（2018•自贡）下面几何的主视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】16 ：压轴题．【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．【解答】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，2．故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．6．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．7．（4分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【专题】11 ：计算题．【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．【解答】解：98出现的次数最多，∴这组数据的众数是98，A说法正确；=（80+98+98+83+91）=90，B说法正确；这组数据的中位数是91，C说法正确；S2=[（80﹣90）2+（98﹣90）2+（98﹣90）2+（83﹣90）2+（91﹣90）2]=×278=，D说法错误；故选：D．【点评】本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式s12=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]是解题的关键．8．（4分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合B．类比C．演绎D．公理化【考点】E6：函数的图象．【专题】1 ：常规题型；532：函数及其图像．【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．【解答】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．故选：A．【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．9．（4分）（2018•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A． B． C． D．【考点】MA：三角形的外接圆与外心．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．10．（4分）（2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（）A．B．C．D．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．【专题】534：反比例函数及其应用；543：概率及其应用．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn=6，列表找出所有mn的值，根据表格中mn=6所占比例即可得出结论．【解答】解：∵点（m，n）在函数y=的图象上，∴mn=6．列表如下：m﹣1﹣1﹣1222333﹣6﹣6﹣6n23﹣6﹣13﹣6﹣12﹣6﹣123mn﹣2﹣36﹣26﹣12﹣36﹣186﹣12﹣18mn的值为6的概率是=．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出mn=6的概率是解题的关键．11．（4分）（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】MP：圆锥的计算；E6：函数的图象．【专题】11 ：计算题．【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断即可．【解答】解：由题意得，×2πR×l=8π，则R=，故选：A．【点评】本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．12．（4分）（2018•自贡）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（）A．B．C．D．【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据旋转变换的性质得到△MBC是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG=GC，AB∥MG∥CD，∴AM=MN，∵MH⊥CD，∠D=90°，∴MH∥AD，∴NH=HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC=BC=a，由题意得，∠MCD=30°，∴MH=MC=a，CH=a，∴DH=a﹣a，∴CN=CH﹣NH=a﹣（a﹣a）=（﹣1）a，∴△MNC的面积=××（﹣1）a=a2，故选：C．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）13．（4分）（2018•自贡）分解因式：ax2+2axy+ay2= a（x+y）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．【解答】解：原式=a（x2+2xy+y2）…（提取公因式）=a（x+y）2．…（完全平方公式）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要分解要彻底．14．（4分）（2018•自贡）化简+结果是．【考点】6B：分式的加减法．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=+=故答案为：【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型．15．（4分）（2018•自贡）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为﹣1 ．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【专题】536：二次函数的应用．【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．16．（4分）（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为10 、20 个．【考点】9A：二元一次方程组的应用．【专题】521：一次方程（组）及应用．【分析】根据二元一次方程组，可得答案．【解答】解：设甲玩具购买x个，乙玩具购买y个，由题意，得，解得，甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，故答案为：10，20．【点评】本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．17．（4分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有6055 个○．【考点】38：规律型：图形的变化类．【专题】2A ：规律型．【分析】每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．【解答】解：观察图形可知：第1个图形共有：1+1×3，第2个图形共有：1+2×3，第3个图形共有：1+3×3，…，第n个图形共有：1+3n，∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，故答案为：6055．【点评】本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化．18．（4分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是菱形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KH：等腰三角形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．【专题】15 ：综合题．【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=AD，BC=BD，∵AC=BC，∴AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF=ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME=AN，作CH⊥AB，∵AC=BC，∴AH=，由勾股定理可得，CH=，∵，可得，AN=，∴ME=AN=，∴PE+PF最小为，故答案为．【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2018•自贡）计算：|﹣|+（）﹣1﹣2cos45°．【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型．【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=+2﹣2×=+2﹣=2．故答案为2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．20．（8分）（2018•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【专题】524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】分别解不等式①、②求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．【解答】解：解不等式①，得：x≤2；解不等式②，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x≤2．将其表示在数轴上，如图所示．【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键．21．（8分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了100 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有600 人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是．【考点】X8：利用频率估计概率；V2：全面调查与抽样调查；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．【专题】54：统计与概率．【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．（4）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．【解答】解：（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%∴共调查人数为：40÷40%=100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%∴爱好上网人数为：100×10%=10，∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动所占的百分比为40%，∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为故答案为：（1）100；（3）600；（4）【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．22．（8分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC 和AB的长．【考点】T7：解直角三角形．【专题】552：三角形．【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC 即可解决问题；【解答】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，∴CH=BC=6，BH==6，在Rt△ACH中，tanA==，∴AH=8，∴AC==10，∴AB=AH+BH=8+6．【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）（2018•自贡）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）【考点】N3：作图—复杂作图；ME：切线的判定与性质．【专题】13 ：作图题；559：圆的有关概念及性质．【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解决问题；【解答】解：（1）⊙O如图所示；（2）作OH⊥BC于H．∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，∴四边形ECHO是矩形，∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，在Rt△OBH中，OH==2，∴EC=OH=2，BE==2，∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，∴△BCE∽△BED，∴=，∴=，∴DE=．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（10分）（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x=loga N．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga （M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设loga M=m，logaN=n，则M=a m，N=a n∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）又∵m+n=loga M+logaN∴loga （M•N）=logaM+logaN解决以下问题：（1）将指数43=64转化为对数式3=log464 ；（2）证明loga =logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34= 1 ．【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法．【专题】21 ：阅读型；23 ：新定义．【分析】（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；（2）先设loga M=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m，N=a n，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：loga （M•N）=logaM+logaN和loga=logaM﹣logaN的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：3=log464，故答案为：3=log464；（2）设loga M=m，logaN=n，则M=a m，N=a n，∴==a m﹣n，由对数的定义得m﹣n=loga，又∵m﹣n=loga M﹣logaN，∴loga =logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）log32+log36﹣log34，=log3（2×6÷4），=log33，=1，故答案为：1．【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．25．（12分）（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．【考点】RB：几何变换综合题．【专题】15 ：综合题．【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同OE=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．26．（14分）（2018•自贡）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案．【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；当x=﹣2时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3，即D（﹣2，﹣3）．设AD的解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得，解得，直线AD的解析式为y=x﹣1；（2）设P点坐标为（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3），l=（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）化简，得l=﹣m2﹣m+2配方，得l=﹣（m+）2+，=；当m=﹣时，l最大（3）DR∥PQ且DR=PQ时，PQDR是平行四边形，由（2）得0＜PQ≤，又PQ是正整数，∴PQ=1，或PQ=2．当PQ=1时，DR=1，﹣3+1=﹣2，即R（﹣2，﹣2），﹣3﹣1=﹣4，即R（﹣2，﹣4）；当PQ=2时，DR=2，﹣3+2=﹣1，即R（﹣2，﹣1），﹣3﹣2=﹣5，即R（﹣2，﹣5），综上所述：R点的坐标为（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣2，﹣1）（﹣2，﹣5），使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用DR=PQ且是正整数得出DR 的长．。
2018年自贡市中考数学试卷含答案解析-推荐
2018年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分）1.计算的结果是A. B. C. 4 D. 2【答案】A【解析】解：；故选：A．利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2.下列计算正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：原式，故A错误；原式，故B错误；原式，故D错误；故选：C．根据相关的运算法则即可求出答案．本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3.2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是0元，将0用科学记数法表示为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，故选：B．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是非负数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若，则的度数是5.6.A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得：，．故选：D．直接利用平行线的性质结合已知直角得出的度数．此题主要考查了平行线的性质，正确得出的度数是解题关键．7.下面几何的主视图是8.9.A. B. C. D.【答案】B【解析】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，故选B．主视图是从物体正面看所得到的图形．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．10.如图，在中，点D、E分别是AB、AC的中点，若的面积为4，则的面积为A. 8B. 12C. 14D. 16【答案】D【解析】解：在中，点D、E分别是AB、AC的中点，，，∽，，，的面积为4，的面积为：16，故选：D．直接利用三角形中位线定理得出，，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出∽是解题关键．11.在一次数学测试后，随机抽取九年级班5名学生的成绩单位：分如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是A. 众数是98B. 平均数是90C. 中位数是91D. 方差是56【答案】D【解析】解：98出现的次数最多，这组数据的众数是98，A说法正确；，B说法正确；这组数据的中位数是91，C说法正确；，D说法错误；故选：D．根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的关键．12.回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是A. 数形结合B. 类比C. 演绎D. 公理化【答案】A【解析】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．故选：A．从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．13.如图，若内接于半径为R的，且，连接OB、OC，则边BC 的长为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：延长BO交于D，连接CD，则，，，，，，故选：D．延长BO交圆于D，连接CD，则，；又，根据锐角三角函数的定义得此题综合运用了圆周角定理、直角三角形角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．14.从、2、3、这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点在函数图象的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：点在函数的图象上，．m222333n233223mn6666故选：B．根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，列表找出所有mn的值，根据表格中所占比例即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出的概率是解题的关键．15.已知圆锥的侧面积是，若圆锥底面半径为，母线长为，则R关于l的函数图象大致是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意得，，则，故选：A．根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判断即可．本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键．16.如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则的面积为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：作于G，于H，则，，，，，，，由旋转变换的性质可知，是等边三角形，，由题意得，，，，，，的面积，故选：C．作于G，于H，根据旋转变换的性质得到是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共24分）17.分解因式：______．【答案】【解析】解：原式提取公因式完全平方公式先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解完全平方公式：．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行两次分解，注意要分解要彻底．18.化简结果是______．【答案】【解析】解：原式故答案为：根据分式的运算法则即可求出答案．本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题属于基础题型．19.若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为______．【答案】【解析】解：函数的图象与x轴有且只有一个交点，，解得：．故答案为：．由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．20.六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为______、______个【答案】10；20【解析】解：设甲玩具购买x个，乙玩具购买y个，由题意，得，解得，甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，故答案为：10，20．根据二元一次方程组，可得答案．本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．21.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有______个．22.【答案】6055【解析】解：观察图形可知：第1个图形共有：，第2个图形共有：，第3个图形共有：，，第n个图形共有：，第2018个图形共有，故答案为：6055．每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化．23.如图，在中，，，将它沿AB翻折得到，则四边形ADBC的形状是______形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则的最小值是______．24.25.26.27.28.29.30.【答案】菱；【解析】解：沿AB翻折得到，，，，，四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作，交ABA于点P，此时最小，此时，过点A作，，，作，，，由勾股定理可得，，，可得，，，最小为，故答案为．根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作，交ABA于点P，此时最小，求出ME即可．此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共78分）31.计算：．【答案】解：原式．故答案为2．【解析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值3个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算．32.解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【答案】解：解不等式，得：；解不等式，得：，不等式组的解集为：．将其表示在数轴上，如图所示．【解析】分别解不等式、求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式组求出x的取值范围是解题的关键．33.某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：34.35.在这次调查中，一共调查了______名学生；36.补全条形统计图；37.若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有______人；38.在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是______．【答案】100；600；【解析】解：爱好运动的人数为40，所占百分比为共调查人数为：爱好上网的人数所占百分比为爱好上网人数为：，爱好阅读人数为：，补全条形统计图，如图所示，爱好运动所占的百分比为，估计爱好运用的学生人数为：爱好阅读的学生人数所占的百分比，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为故答案为：；；根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．39.如图，在中，，，；求AC和AB的长．40.41.【答案】解：如图作于H．在中，，，，，在中，，，，．【解析】如图作于在求出CH、BH，这种中求出AH、AC即可解决问题；本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．42.如图，在中，．43.作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明44.设中所作的与边AB交于异于点B的另外一点D，若的直径为5，；求DE的长如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成问【答案】解：如图所示；作于H．是的切线，，，四边形ECHO是矩形，，，在中，，，，，，∽，，，．【解析】作的角平分线交AC于E，作交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；作于首先求出OH、EC、BE，利用∽，可得，解决问题；本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．45.阅读以下材料：46.对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔年，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉年才发现指数与对数之间的联系．47.对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．48.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：49.设，，则，50.，由对数的定义得51.又52.53.解决以下问题：54.将指数转化为对数式______；55.证明56.拓展运用：计算______．【答案】；1【解析】解：由题意可得，指数式写成对数式为：，故答案为：；设，，则，，，由对数的定义得，又，；，，，，故答案为：1．根据题意可以把指数式写成对数式；先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；根据公式：和的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．57.如图，已知，在的平分线OM上有一点C，将一个角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．58.当绕点C旋转到CD与OA垂直时如图，请猜想与OC的数量关系，并说明理由；59.当绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，中的结论是否成立并说明理由；60.当绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．【答案】解：是的角平分线，，，，，，在中，，同理：，；中结论仍然成立，理由：过点C作于F，于G，，，，同的方法得，，，，，，且点C是的平分线OM上一点，，，，，≌，，，，，；中结论不成立，结论为：，理由：过点C作于F，于G，，，，同的方法得，，，，，，且点C是的平分线OM上一点，，，，，≌，，，，，．【解析】先判断出，再利用特殊角的三角函数得出，同，即可得出结论；同的方法得，再判断出≌，得出，最后等量代换即可得出结论；同的方法即可得出结论．此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．61.如图，抛物线过、，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为，点是线段AD上的动点．62.求直线AD及抛物线的解析式；63.过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长64.在平面内是否存在整点横、纵坐标都为整数，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：把，代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为；当时，，解得，即．设AD的解析式为，将，代入，得，解得，直线AD的解析式为；设P点坐标为，，化简，得配方，得，当时，；且时，PQDR是平行四边形，由得，又PQ是正整数，，或．当时，，，即，，即；当时，，，即，，即，综上所述：R点的坐标为，，，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形．【解析】根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案．本题考查了二次函数综合题，解的关键是待定系数法；解的关键是利用二次函数的性质；解的关键是利用且是正整数得出DR的长．。
自贡市中考数学试题及解答分析(2017、2018、2019年)
2019年自贡市中考数学试题解答全卷满分150分，时间120分钟第一卷 选择题(共48分)一、选择题(本小题共12小题，每小题4分，共48分)1. -2019的倒数是( D ) A .-2019 B .2019 C .20191 D .20191- 2. 近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在 中国高速铁路运营里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为( A )A .2.3×104B .23×103C .2.3×103D .0.23×1053.C )A.B.C. D.4. 在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩 方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是( B )A .甲的成绩比乙的成绩稳定B .乙的成绩比甲的成绩稳定C .甲、乙两人的成绩一样稳定D .无法确定甲、乙的成绩谁更稳定5. 下图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是( C )A.B. C. D.6. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为( C )A .7B .8C .9D .107. 实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( B )A .|m |＜1B .1-m ＞1C .mn ＞0D .m +1＞08. 关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0无实数根，则实数m 的取值范围是( D )A .m ＜1B .m ≥1C .m ≤1D .m ＞19.一次函数y =ax +b 与反比例函数xc y =的图象如右图所示， 则二次函数y =ax 2+bx +c 的大致图象是( A )A. B. C. D.10.均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h 与时间t 的函数关系如右图所示，则该容器是下列四个中的( D )A B C Dm 0 1 n ••••11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆)，正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近( C )A .54B .43C .32D .21 12.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(8,0)，(0,8).点C 、F 分别是直线x =-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E.当△ABE 面积取得最小值时， tan ∠BAD 的值是( B ) A .178 B .177 C .94 D .95 第二卷 非选择题(共102二、填空题(共6个小题，每小题4分，共24分) 13.如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，AB ∥CD ， ∠1=120º，则∠2= 60º . 14.在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、 90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2， 那么这组数据的众数是 90 分.15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AB=10，BC=6， CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ， 16.某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元.其中篮球的单价比足球的单 价多4元，求篮球的单价和足球的单价，设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元.依题意，可列方程组为 ⎩⎨⎧=-=+446654y x y x . 17. 分解因式：2x 2-2y 2= 2(x+y )(x -y ) .18. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)= 721 . 三、解答题(共8个题，共78分)19. (本题满分8分)计算：0)3(845sin 43-++︒--π 解：原式=1222243++⨯-=4 20.(本题满分8分)解方程：121=--xx x 解：去分母，得)1()1(22-=--x x x x 解得x =2经检验，x =2是原方程的解. ∴ x =2.21.(本题满分8分)如图,⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB=CD ，连接AD 、BC.求证：(1)AD=BC ；(2)AE=CE.证明：(1)∵AB=CD ，∴AB=CD ，即AC+BC=AC+AD ，∴BC=AD.(2)∵AD=BC ，∴AD=BC.∵∠A=∠C ，∠D=∠B ，∴△ADE ≌△CBE ，∴AE =CE. α β •D A BC O E某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛，收集数据：现随机地取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下(单位：分)：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97 88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据： (1)请将图表中空缺的部分补充完整；(2)学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学，根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；(3)“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章.她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 .解：(1)如图.(2)∵1203010360=⨯ ∴约有120人将获得表彰. (3)作树状图如右， 可得恰好有恐龙图案的概率是.31124= 23.(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx+b (k ≠0)的图象与反比例函数y 2=xm (m ≠0) 的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)、B(a ，-3)两点，与x 轴交于点C.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)在y 轴上找一点P ，使PB -PC 最大，求PB -PC 的最大值及点P 的坐标； (3)直接写出当y 1＞y 2时，x 的取值范围. 解：(1)由题意，将A(3，5)代入y 2=x m ，解得m =15， ∴该反比例函数的解析式为y 2=x 15. 再将B(a ，-3)代入y 2=x15，解得a =-5. 分别将A(3，5)、B(-5，-3)代入y 1=kx+b ，得⎩⎨⎧-=+-=+3553b k b k ，解得⎩⎨⎧==21b k ，∴该一次函数的解析式为y 1=x+2.(2)当点P 在直线AB 上时，PB -PC 最大，即为BC.在函数y=x+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2.∴点P 的坐标为(0，2)，BC=PB -PC=.23)20()02()23()05(2222=-+-----+--(3)当y 1＞y 2时，-5＜x ＜0或x ＞3.成绩/分 扇 纸 灯 龙 纸 灯 龙 扇 灯 龙 扇 纸 龙 扇 纸 灯阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+...+22017+22018的值，采用以下方法：设 S=1+2+22+...+22017+22018 ①则2S=2+22+23...+22018+22019 ②②-①得2S -S=S=22019-1∴S=1+2+22+...+22017+22018=22019-1.请仿照小明的方法解决以下问题：(1)1+2+22+...+29= 1023 ； (2)3+32+33+...+310= 23311- ； (3)求1+a +a 2+...+a n (a ＞0,n 是正整数，请写出计算过程)解：设 S=1+a +a 2+...+a n ① 则a S=a +a 2+a 3...+a n +1 ②②-①得(a -1)S=a n +1-1 ∴S=111--+a a n . 25.(本题满分12分)(1)如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转90º，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G.①线段DB 和DG 的数量关系是 DB=DG ；②写出线段BE 、BF 和DB 之间的数量关系.(2)当四边形ABCD 为菱形，∠ADC=60º，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转120º，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G.①如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M.若BE=1，AB=2，直接写出线段GM 的长度. 图1 图2 解：(1)②BE +BF=(AB -AE )+(BC +CF)=2AB=2DB . (2)①BE +BF=3BD .理由如下： ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB=BC=CD. ∵∠ADC=60º， ∴∠DBE=∠DBC=30º. ∵∠BDE 绕点D 逆时针旋转120º得到∠GDF ，∴∠DGF=180º-∠BDG -∠DBC=30º.∵∠DCG=∠ADC=60º， ∴∠GDC=90º，∴Rt △GDC 中，CG=2CD ，GD=3CD.连结AC ，交BD 于点O. 图3在Rt △BOC 中，OB=23BC ，则BD=3BC. ∵∠DGF=∠DBE ，∠GDF=∠BDE ，GD=BD ，∴△GDF ≌△BDE ， ∴GF=BE ，∴BE +BF=GF +BF=BG=3CD=3BD. ②GM=GC+CM=2CD+32CD=316238=⨯. O CGD AE BF MG FD C A BE FA EB DC G如图，已知直线AB 与抛物线C ：c x ax y ++=22相交于点A(-1，0)和点B(2，3).(1)求抛物线C 的函数表达式；(2)若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB.当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；(3)在抛物线C 的对称轴上是否存在点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到 直线417=y 的距离？若存在，求出定点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
2018年四川省自贡市中考数学试卷(含答案解析版)
2018 年四川省自贡市中考数学试卷一. 选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分；在每题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．（4 分）（2018•自贡）计算﹣3+1 的结果是（ ）A ．﹣2B ．﹣4C ．4D ．22．（4 分）（2018•自贡）下列计算正确的是（ ）A ．（ a ﹣b ）2=a 2﹣b 2B ．x +2y=3xyC ．√18 - 3√2 = 0D ．（﹣a 3）2=﹣a 63．（4 分）（2018•自贡）2017 年我市用于资助贫困学生的助学金总额是 445800000 元，将 445800000 用科学记数法表示为（ ）A ．44.58×107B ．4.458×108C ．4.458×109D ．0.4458×1010 4．（4 分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平 行线上；若∠1=55°，则∠2 的度数是（5．（4 分）（2018•自贡）下面几何的主视图是（ ）6．（4 分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别是 AB 、AC 的中点，若A ．8B ．12C ．14D ．16D ．35°A ．B ．C ．D ． 则△ABC 的面积为（7．（4 分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5 名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是568．（4 分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合B．类比C．演绎D．公理化9．（4 分）（2018•自贡）如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC 的长为（）A．√2 B．C．D．√3 2210．（4 分）（2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、6 n，那么点（m，n）在函数y= 图象的概率是（）1111A．B．C．D．234811．（4 分）（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R （cm），12．（4 分）（2018•自贡）如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD 于N，连接MC，则△MNC 的面积为（）二. 填空题（共 6 个小题，每题 4 分，共24分）13．（4 分）（2018•自贡）分解因式：ax 2+2axy +ay 2=．1214．（4 分）（2018•自贡）化简 + 结果是 ． +12-115．（4 分）（2018•自贡）若函数 y=x 2+2x ﹣m 的图象与 x 轴有且只有一个交点， 则 m 的值为 ． 16．（4 分）（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用 100 元钱给小朋友买了甲、 乙两种不同的玩具共 30个，单价分别为 2 元和 4 元，则该幼儿园购买了甲、乙 两种玩具分别为 、 个．17．（4 分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律 排列的，依照此规律，第 2018个图形共有 个○．18．（4 分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB 翻折 得到△ABD ，则四边形 ADBC 的形状是形，点 P 、E 、F 分别为线段 AB 、 AD 、DB 的任意点，则PE +PF 的最小值是 ．A ．√3-12B ． 2√2-1 2 C ． 2 √3-1 2 D ．4 √2-12 42）补全条形统计图； 3）若该校共有1500 名，估计爱好运动的学生有 人；4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出 的恰好是爱好阅读的学生的概率是 ．3三、解答题（共 8个题，共78分） 19． 20． 1 8 分）（2018• 自贡）计算：|﹣√2|+（ ）﹣1﹣2cos45°．3-5≤ 1① 8 分）（ 2018• 自贡）解不等式组：｛13-，并在数轴上表示其解集．3 <4② 8 分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方 法， 从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将 调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问名学生；22．（8 分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求AC423．（10 分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O 在斜边AB 上且与边AC 相切于点 E 的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O 与边AB 交于异于点 B 的另外一点D，若⊙O 的直径为5 ，BC=4 ；求DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）24．（10 分）（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617 年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18 世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783 年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N（a>0，a≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x=log a N．比如指数式24=16 可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）=log a M+log a N（a>0，a≠1，M>0，N>0）；理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n ∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a（M•N）又∵m+n=log a M+log a N∴log a（M•N）=log a M+log a N 解决以下问题：1）将指数43=64 转化为对数式；2）证明log a =log a M﹣log a N（a>0，a≠1，M>0，N>0）3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34= ．25．（12 分）（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE 绕点 C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE+OD 与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE 绕点 C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图 2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE 绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3 中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．26．（14 分）（2018•自贡）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3 过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD 交抛物线于点D，点D 的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD 上的动点．（1）求直线AD 及抛物线的解析式；（2）过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．2018 年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12个小题，每小题4 分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4 分）（2018•自贡）计算﹣3+1 的结果是（）A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．2 【考点】19：有理数的加法．【专题】51：数与式．【分析】利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．【解答】解：﹣3+1=﹣2；故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2．（4 分）（2018•自贡）下列计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C．√18 - 3√2 = 0 D．（﹣a3）2=﹣a6 【考点】78：二次根式的加减法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．【专题】11 ：计算题．【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式=a2﹣2ab+b2，故A错误；（B）原式=x+2y，故 B 错误；（D）原式=a6，故 D 错误；故选：C．【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．3．（4 分）（2018•自贡）2017 年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000 用科学记数法表示为（）A．44.58×107 B．4.458×108 C．4.458×109 D．0.4458×1010 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是非负数；当原数的绝对值<1 时，n 是负数．【解答】解：445800000=4.458×108，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n 的值．4．（4 分）（2018•自贡）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2 的度数是（D．35°考点】JA：平行线的性质．专题】1 ：常规题型．分析】直接利用平行线的性质结合已知直角得出∠2 的度数．解答】解：由题意可得：∠1=∠3=55°，∠2=∠4=90°﹣55°=35°．点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3 的度数是解题关键．1=25．（4 分）（2018•自贡）下面几何的主视图是（ ）【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】16 ：压轴题． 【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．【解答】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2，1，2．故选 B ． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答 时学生易将三种视图混淆而错误地选其它选项．6．（4 分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别是 AB 、AC 的中点，若【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX ：三角形中位线定理．【专题】1 ：常规题型．1 【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DE ∥BC ，DE=1BC ，再利用相似三角形 2的判定与性质得出答案． 【解答】解：∵在△ABC 中，点 D 、E 分别是AB 、AC 的中点，1∴DE ∥BC ，DE= BC ， 2∴△ADE ∽△ABC，A ．B ．C ．D ．则△ABC 的面积为（14 D ．16△1∴ = ，△4∵△ADE 的面积为4，∴△ABC 的面积为：16，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC 是解题关键．7．（4 分）（2018•自贡）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5 名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（）A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56 【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【专题】11 ：计算题．【分析】根据众数、中位数的概念、平均数、方差的计算公式计算．【解答】解：98出现的次数最多，∴这组数据的众数是98，A说法正确；1= （80+98+98+83+91）=90，B 说法正确；这组数据的中位数是91，C 说法正确；1S2= ［（80﹣90）2+（98﹣90）2+（98﹣90）2+（83﹣90）2+（91﹣90）2］1= × 2785=55.6，D 说法错误；故选：D．【点评】本题考查的是众数、中位数的概念、平均数和方差的计算，掌握方差的1计算公式s12= ［（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2］是解题的关键．8．（4 分）（2018•自贡）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．数形结合B．类比C．演绎D．公理化第11页（共30页）【考点】E6：函数的图象．【专题】1 ：常规题型；532：函数及其图像．【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．【解答】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．故选：A．【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．9．（4 分）（2018•自贡）如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC 的长为（）A．√2 B．C．D．√3 22【考点】MA：三角形的外接圆与外心．【专题】55C：与圆有关的计算．【分析】延长BO 交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=√3R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=√3R，故选：D．【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键．10．（4 分）（2018•自贡）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、6n，那么点（m，n）在函数y= 图象的概率是（）1111A．B．C．D．2348 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；X6：列表法与树状图法．【专题】534：反比例函数及其应用；543：概率及其应用．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn=6，列表找出所有mn 的值，根据表格中mn=6 所占比例即可得出结论．6 【解答】解：∵点（m，n）在函数y= 的图象上，∴mn=6．mn 的值为6 的概率是= ．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出mn=6 的概率是解题的关键．11．（4 分）（2018•自贡）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R （cm），母线长为l（cm），则R关于l 的函数图象大致是（）【考点】MP ：圆锥的计算；E6：函数的图象．【专题】11 ：计算题．【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例 函数图象判断即可．1【解答】解：由题意得， ×2πR ×l=8π， 2 8则 R= ， 故选：A ．【点评】本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算 公式是解题的关键．12．（4 分）（2018•自贡）如图，在边长为 a 正方形 ABCD 中，把边 BC 绕点 B 逆专题】11 ：计算题． 分析】作MG ⊥BC 于G ，MH ⊥CD 于 H ，根据旋转变换的性质得到△MBC 是等 边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出 MH 、CH ，根据三角形的 面积公式计算即可．【解答】解：作 MG ⊥BC 于 G ，MH ⊥CD 于 H ， 则 BG=GC ， AB ∥ MG ∥ CD ， ∴AM=MN ， ∵MH ⊥CD ，∠D=90°， ∴MH ∥AD ， ∴NH=HD ，由旋转变换的性质可知，△MBC 是等边三角形，得到线段 BM ，连接 AM 并延长交 CD 于 N ，连接 MC ，则△MNC2 C ．2 A ． 2 B ． 2 【考点】R2：旋转的性质；√2-1 2 4 √3-1 2 D ． 4LE ：正方形的性质． 时针旋转 60°，∴MC=BC=a，由题意得，∠MCD=30°，1 1 √3∴MH= MC= a，CH= a，2 2 2√3∴DH=a﹣a，2√3 √3∴CN=CH﹣NH= a﹣（a﹣a）=（√3﹣1）a，221 √3-1∴△MNC 的面积= × ×（√3﹣1）a= a2，2 2 4故选：C．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的关键．二.填空题（共 6 个小题，每题 4 分，共24分）13．（4 分）（2018•自贡）分解因式：ax2+2axy+ay2= a（x+y）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．【解答】解：原式=a（x2+2xy+y2）…（提取公因式）=a（x+y）2．…（完全平方公式）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运分式的运算法则，本题 属于基础题型． 15．（4 分）（2018•自贡）若函数 y=x 2+2x ﹣m 的图象与 x 轴有且只有一个交点， 则 m 的值为 ﹣ 1 ．【考点】HA ：抛物线与 x 轴的交点． 【专题】536：二次函数的应用．【分析】由抛物线与 x 轴只有一个交点，即可得出关于 m 的一元一次方程，解 之即可得出 m 的值．【解答】解：∵函数 y=x 2+2x ﹣m 的图象与 x 轴有且只有一个交点， ∴△=22﹣4×1×（﹣m ）=0，解得：m=﹣1． 故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，牢记“当△=b 2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点” 是解题的关键．16．（4 分）（2018•自贡）六一儿童节，某幼儿园用 100 元钱给小朋友买了甲、 乙两种不同的玩具共 30个，单价分别为 2 元和 4 元，则该幼儿园购买了甲、乙 两种玩具分别为 10 、 20 个．【考点】9A ：二元一次方程组的应用．【专题】521：一次方程（组）及应用．公式进行两次分解，注意要分解要彻底．1214．（4 分）（2018•自贡）化简+11+22-1结果是1 -1考点】6B ：分式的加减法．专题】1 ：常规题型．分析】根据分式的运算法则即可求出答案．解答】解： 1原式= -1 2 + (+1)(-1)2-1 -1故答案为： 1 -1【分析】根据二元一次方程组，可得答案．【解答】解：设甲玩具购买x 个，乙玩具购买y个，由题意，得+ = 30{2+4= 100，解得{==1200，甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，故答案为：10，20．【点评】本题考查了二次元一次方程组的应用，根据题意找出两个等量关系是解题关键．17．（4 分）（2018•自贡）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有6055 个○．【考点】38：规律型：图形的变化类．【专题】2A ：规律型．【分析】每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．【解答】解：观察图形可知：第1 个图形共有：1+1× 3 ，第2 个图形共有：1+2× 3 ，第3 个图形共有：1+3× 3 ，…，第n 个图形共有：1+3n，∴第2018 个图形共有1+3×2018=6055，故答案为：6055．【点评】本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化．18．（4 分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB 翻折得到△ABD，则四边形ADBC 的形状是菱形，点P、E、F 分别为线段AB、AD、√15DB的任意点，则PE+PF的最小值是√．4【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KH：等腰三角形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问题．【专题】15 ：综合题．【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M 作ME⊥AD，交ABA 于点P，此时PE+PF 最小，求出ME 即可．【解答】解：∵△ABC 沿AB 翻折得到△ABD，∴AC=AD，BC=BD，∵AC=BC，∴AC=AD=BC=BD，∴四边形ADBC 是菱形，故答案为菱；如图作出 F 关于 AB 的对称点 M ，再过 M 作 ME ⊥AD ，交 ABA 于点 P ，此时 PE +PF 最 小，此时 PE +PF=ME ，过点 A 作 AN ⊥BC ， ∵AD ∥BC ， ∴ME=AN ， 作 CH ⊥ AB ， ∵AC=BC ，1∴AH= ，2由勾股定理可得， 1 ∵ × × = × ×， 22√15可得，AN= ，4√15∴ME=AN= ，4 √15∴PE +PF 最小为 ，4 √15故答案为√15．4 【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短” 的基本事实分析出最短路径是解题的关键．三、解答题（共 8个题，共78分）119．（8 分）（2018•自贡）计算：|﹣√2|+（ ）﹣1﹣2cos45°．√15 CH= ， 2 1【考点】2C ：实数的运算；6F ：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【专题】1 ：常规题型． 【分析】本题涉及绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值 3 个考点．在计 算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=√2+2﹣2×√22=√2+2﹣√2=2．故答案为 2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题 型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对 值等考点的运算．考点】CB ：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．专题】524：一元一次不等式（组）及应用．【分析】分别解不等式①、②求出 x 的取值范围，取其公共部分即可得出不等式 组的解集，再将其表示在数轴上，此题得解．【解答】解：解不等式①，得：x ≤2；解不等式②，得：x >1，∴不等式组的解集为：1<x ≤2． 将其表示在数轴上，如图所示．【点评】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，通过 解不等式组求出 x 的取值范围是解题的关键．21．（8 分）（2018•自贡）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方 法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将20．（8 分）（2018•自贡）解不等式组： 3-5≤ 1①{133-<4②， 并在数轴上表示其解集．调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问若该校共有1500 名，估计爱好运动的学生有 600 人； 在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出 的恰好是爱好阅读的学生的概率是 2 ．【考点】X8：利用频率估计概率；V2：全面调查与抽样调查；VB ：扇形统计图； VC ：条形统计图．专题】54：统计与概率．分析（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．4）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的 学生的概率．解答】解：（1）爱好运动的人数为 40，所占百分比为 40%∴共调查人数为：40÷40%=1002）爱好上网的人数所占百分比为 10%∴爱好上网人数为：100×10%=10， ∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30， 补全条形统计图，如图所示，3）爱好运动所占的百分比为 40%，3）4）补全条形统计图； 2）名学生；100∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为1303故答案为：（1）100；（3）600；（4）130点评】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．322．（8 分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求AC4【专题】552：三角形．【分析】如图作CH⊥AB 于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH 中求出AH、AC 即可解决问题；【解答】解：如图作CH⊥AB 于H．在 Rt △BCH 中，∵BC=12 ，∠B=30°，∴CH=21BC=6，BH=√2-2=6√3，∴AH=8， ∴AC=√2 + 2=10， ∴AB=AH +BH=8+6√3． 【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（ 10 分）（2018•自贡）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．（1）作出经过点 B ，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的⊙O （要求： 用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D ，若⊙O 的直径 为 5 ，BC=4 ；求 DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2） 问）【考点】N3：作图—复杂作图；ME ：切线的判定与性质．【专题】13 ：作图题；559：圆的有关概念及性质．【分析 （1）作∠ABC 的角平分线交AC 于E ，作EO ⊥AC 交AB 于点O ，以O 为 圆心，OB 为半径画圆即可解决问题；（2）作OH ⊥BC 于 H ．首先求出 OH 、EC 、BE ，利用△BCE ∽△BED ，可得 = ，解决问题；解答】解：（1）⊙O 如图所示； 2）作 OH ⊥BC 于 H ．3 在Rt △ACH 中，tanA=4=，∴OE⊥AC，∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，∴四边形ECHO 是矩形，53∴OE=CH= ，BH=BC﹣CH= ，22在Rt△OBH 中，OH= √（5）2 - （3）2=2，∴EC=OH=2，BE=√2 + 2=2√5，∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，∴△BCE∽△BED，∴=，5∴2 =2√5 ，∴DE=√5．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（10 分）（2018•自贡）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617 年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18 世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783 年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N（a>0，a≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x=log a N．比如指数式24=16 可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）=log a M+log a N（a>0，a≠1，M>0，N>0）；理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n ∴M•N=a m•a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a（M•N）又∵m+n=log a M+log a N∴log a（M•N）=log a M+log a N 解决以下问题：1）将指数43=64 转化为对数式3=log464 ；2）证明log a =log a M﹣log a N（a>0，a≠1，M>0，N>0）3）拓展运用：计算log32+log36﹣log34= 1 ．考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法．专题】21 ：阅读型；23 ：新定义．分析（1）根据题意可以把指数式43=64 写成对数式；（2）先设log a M=m，log a N=n，根据对数的定义可表示为指数式为：M=a m，N=a n，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：log a（M•N）=log a M+log a N 和log a =log a M﹣log a N 的逆用，将所求式子表示为：log3（2×6÷4），计算可得结论．【解答】解：（1）由题意可得，指数式43=64 写成对数式为：3=log464，故答案为：3=log464；（2）设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴ = =a m ﹣n，由对数的定义得m﹣n=log a ，又∵ m﹣n=log a M﹣log a N，∴log a =log a M﹣log a N（a>0，a≠1，M>0，N>0）；（3）log32+log36﹣log34，=log3（2×6÷4），=log33，故答案为：1．【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．25．（12 分）（2018•自贡）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE 绕点 C 旋转到CD 与OA 垂直时（如图1），请猜想OE+OD 与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE 绕点 C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图 2 的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE 绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3 中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【考点】RB：几何变换综合题．【专题】15 ：综合题．√3【分析（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=√3OC，同2 √3OE=√3OC，即可得出结论；2（2）同（1）的方法得OF+OG=√3OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）∵OM 是∠AOB 的角平分线，1∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB=30°，2∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，√3在Rt△OCD 中，OD=OC•cos30°= OC，2√3同理：OE= OC，2∴OD+OE=√3OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点 C 作CF⊥OA 于F，CG⊥OB 于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，√3 √3 同（1）的方法得，OF= OC，OG= OC，∴OF+OG=√3OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点 C 是∠AOB 的平分线OM 上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=√3OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=√3OC，理由：过点C 作CF⊥OA 于F，CG⊥OB 于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，√3 √3同（1）的方法得，OF= OC，OG= OC，∴OF+OG=√3OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C 是∠AOB 的平分线OM 上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=√3OC．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．26．（14 分）（2018•自贡）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3 过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD 交抛物线于点D，点D 的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD 上的动点．（1）求直线AD 及抛物线的解析式；（2）过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q ，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关 系式，m 为何值时，PQ 最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R ，使得 P 、Q 、D 、R 为顶 点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题．【专题】537：函数的综合应用．【分析 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对 应关系，可得 D 点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；（2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可 得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据 PQ 的长是正整数，可得 PQ ，根据平行四边形的性质，对边平行且相 等，可得 DR 的长，根据点的坐标表示方法，可得答案．【解答】解：（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得+-3=0 ｛9-3-3= 0，解得｛ ==21，抛物线的解析式为 y=x 2+2x ﹣3；当 x=﹣2 时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得 y=﹣3，即 D （﹣2，﹣3 ）．设 AD 的解析式为 y=kx +b ，将 A （1，0）， D （﹣2，﹣3）代入，得 +=0 -2 + = -3直线 AD 的解析式为 y=x ﹣1；2）设 P 点坐标为（m ，m ﹣1）， Q （m ，m 2+2m ﹣3）， l=（m ﹣1）﹣解得｛ =1 = -1，（m2+2m﹣3）化简，得l=﹣m2﹣m+2配方，得19l=﹣（m+ ）2+ ，2419当m=﹣时，l 最大= ；24（3）DR∥PQ 且DR=PQ 时，PQDR 是平行四边形，9由（2）得0<PQ≤ ，4又PQ 是正整数，∴PQ=1，或PQ=2．当PQ=1 时，DR=1 ，﹣3+1=﹣2，即R（﹣2，﹣2），﹣3﹣1=﹣4，即R（﹣2，﹣4）；当PQ=2 时，DR=2 ，﹣3+2=﹣1，即R（﹣2，﹣1），﹣3﹣2=﹣5，即R（﹣2，﹣5），综上所述：R 点的坐标为（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣2，﹣1）（﹣2，﹣5），使得P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边形．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用二次函数的性质；解（3）的关键是利用DR=PQ 且是正整数得出DR 的长．第31页（共30页）。
【精编】四川省自贡市2018年中考数学试题(含答案)
四川省自贡市初2018届毕业生学业考试 数学试题考点分析及解答一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.计算31-+的结果是（ ）A.2-B.4-C.4D.2 考点：有理数的加减运算.分析：根有理数的加减运算法则计算312-+=-. 故选A . 2.下列计算正确的是（ ）A.()222a b a b -=- B.x 2y 3xy +=0= D.()236a a -=-考点：整式的运算、二次根式的加减运算.分析0==. 故选C.3.2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（ ）A..7445810⨯ B..8445810⨯ C..9445810⨯ D..100445810⨯考点：科学记数法.分析：..84458000004458100000000445810=⨯=⨯. 故选B .4.在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若155∠=，则2∠ 的度数是 （ ）A.50°B.45°C.40°D.35°考点：平行线的性质、互余角.分析： 根据平行线的性质可得：,1324∠=∠∠=∠∵+=,3490155∠∠∠=43∴4905535∠=-=∴235∠= 故选D .5.下面几何体的主视图是 （ ）\考点：几何体的三视图.分析：几何体的三视图是从正面、左面和从上面看几何体得到的平面图形，主视图是从正面几何体得到的平面图形，本题从正面看几何体得到的是. 故选B .6.如图，在⊿ABC 中，点D E 、 分别是AB AC 、的中点，若⊿ADE为4，则是⊿ABC 的面积为 （A. 8B. 12C. 14D. 16考点：三角形的中位线定理、相似三角形的性质等.分析：本题关键是抓住点D E 、 分别是AB AC 、的中点，根据三角形的中位线定理可以推出()::2DE BC 14= ；又∵⊿ADE 的面积为4 ∴⊿ABC 的面积为16. 故选D .7.在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：分）如下：80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）A.众数是98B.平均数是90C.中位数是91D.方差是56B考点：平均数、中位数、众数以及方差.分析：本可以先确定平均数、中位数、众数分别为909198、、 .所以用“排除法”就可以得出答案，(++-9190故选D .8.回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）A.数形结合B.类比C.演绎D.公理化 考点：函数的表示法、函数的图象及其性质.分析：函数的解析式和函数的图象都是函数的不同表示方法，从“函数解析式到函数图象”是数形结合起来研究函数的性质，所以体现的是“数形结合”的数学思想. 故选A . 9.如图，若⊿ABC 内接于半径为R 的⊙O ,且A 60∠=,连接OB OC 、，则边BC 的长为 （ ）C.R 2考点：圆周角定理、垂径定理、等腰三角形性质以及勾股定理等.分析：本题可以可以根据垂径定理把问题转化在直角三角形，然后再利用勾股定理能使问题可以获得解决.略解：过⊙O 的圆心O 作OE BC ⊥于点D .由垂径定理可得BC 2CD = . ∵弧BC BC = ∴BOC 2A 260120∠=∠=⨯= 60 ∴OCD 906030∠=-= 故选D .10.从1236--、、、这四个数中任取两数，分别记为m n 、，那么点()m,n 在函数6y x=图象的概率是 （ ）A.12 B.13 C.14D.18考点：概率、函数的图象及其性质. 分析：要使点()m,n 在函数6y x=的图象上，则需满足mn 6=.利用列举法（列表法或画树状图）列举所有等可能的总数，再找出满足mn 6=的情况数，根据“概率”的计算公式可使问题得以解决. 略解：画出树状图为：所有等可能的总数为12种，要关注的故选B . 11.已知圆锥的侧面积是28cm π，若圆锥底面半径为()R cm ，母线长为()l cm ，则R 关于l 的函数图象大致是 （ ）考点：圆锥的侧面展开图、扇形的面积、反比例函数的图象及其性质.分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长为底圆的周长π2R ，扇形的半径为圆锥的母线长()l cm .其性质，选择支A 符合；故选A .12.如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BM ,连接AMllll1-236-21-36-31-26-6-1-23并延长交CD 于N ,连接MC ,则⊿MNC 的面积为 （ ）A.2B.21a 2C.21a 4D.21a 4考点：正方形的性质、等腰、等边三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等. 分析：本题用正方的面积来减去其它三个三角形的面积来得到⊿MNC 的面积比较麻烦.若我们抓住要正方形的性质、等腰、等边三角形的性质计算出在⊿MNC 的∠∠34、是特殊角，再通过添加边MC 的高线，把问题先转化到直角三角形中后可以逐一解决.略解：过N 作⊥NE MC 于点E .如图根据正方形的性质、等腰、等边三角形的性质可以得到：====MC BC MB AB a ，,∠=-=∠=-=19060304906030.)-=1803075∴*∠=-∠-∠=--=3180BMC 2180607545∴∠=-=MNE 904545 ∴=NE ME若设=NE x ，则=ME x .∵在Rt ⊿NEC 中，∠=430 ∴==NC 2NE 2x∴S ⊿MNC 故选C. 点评：本题求⊿MNC 的面积抓住图形是由特殊四边形和特殊三角形搭建起来的所以，比较容易通过找出求⊿MNC 内角中的特殊角作为突破口，然后通过作高线转化在直角三角形中解决问题，是一道高质量的中考题！二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)13. 分解因式：22ax 2axy ay ++= .考点：因式分解.分析：本题先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式略解：()()++=++=+22222ax 2axy ay a x 2xy y a x y . 14.化简212x 1x 1++-的结果是 . 考点：分式的运算.分析：先通分，再加减，最后化简.()()()()-+=+==+-+---22x 121x 1x 1x 1x 1x 1x 1. 15.若函数2y x 2x m =+-的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 . 考点：二次函数的图象及其性质、二次综合问题.分析：二次函数2y x 2x m =+-的图象与x 轴有且只有一个交点，这个交点就是二次函数图象的顶点；当令y 0=时，对于方程2x 2x m 0+-=有两个相等的实数根，即△ = 0，可保证图象与x轴有且只有一个交点.所以()2241m 0-⨯⨯-= ，解得:m 1=-. 16.六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 、 个. 考点：列方程（组）解应用题.分析：本题可以总费用和总个数建立方程则解决问题.略解：设该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为x 个和y 个，根据题意列：x y 302x 4y 100+=⎧⎨+=⎩解得：x 10y 20=⎧⎨=⎩ ；经检验，符合题意. 17.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有 个○.第1个第2个第3个第4个考点：寻找规律、求代数式的值. 分析：观察图形的排列：第一个图（+31个○开始，第二个图（⨯+321）个○ …… 后面每个图在前面一个图形的基础上增加3个○，故第n 个图形是+3n 1 ； 故当n 2018=时。
自贡市中考数学试卷及答案解析
2018 年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，共 48 分）1. 计算的结果是A. B. C. 4 D. 2【答案】 A【分析】解：；应选： A．利用异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，而后用较大的绝对值减去较小的绝对值即可．本题考察了有理数的加法，比较简单，属于基础题．2.以下计算正确的选项是A. B. C.D.【答案】 C【分析】解：原式，故A错误；原式，故 B 错误；原式，故 D 错误；应选： C．依据有关的运算法例即可求出答案．本题考察学生的运算能力，解题的重点是娴熟运用运算法例，本题属于基础题型．3. 2017 年我市用于资助贫穷学生的助学金总数是445800000 元，将 445800000 用科学记数法表示为A. B. C. D.【答案】 B【分析】解：，应选： B．科学记数法的表示形式为的形式，此中，n为整数确立n的值时，要看把原数变为 a 时，小数点挪动了多少位，n 的绝对值与小数点挪动的位数同样当原数绝对值时， n 是非负数；当原数的绝对值时，n是负数．本题考察了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，此中， n 为整数，表示时重点要正确确立 a 的值以及n 的值．4.在平面内，将一个直角三角板按以下图摆放在一组平行线上；若，则的度数是A. B. C. D.【答案】 D【分析】解：由题意可得：，．应选： D．键．5.下边几何的主视图是A. B. C.D.【答案】 B【分析】解：从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：2， 1，应选B．主视图是从物体正面看所获得的图形．本题考察了三视图的知识，主视图是从物体的正面看获得的视图，解答时学生易将三种视图混杂而错误地选其余选项．6.如图，在中，点D、E分别是AB、AC的中点，若的面积为4，则的面积为A. 8B. 12C. 14D. 16【答案】 D【分析】解：在中，点 D 、 E 分别是 AB、 AC 的中点，，，∽，，，的面积为4，的面积为： 16，应选： D．直接利用三角形中位线定理得出，，再利用相像三角形的判断与性质得出答案．本题主要考察了三角形的中位线以及相像三角形的判断与性质，正确得出∽是解题重点．7. 在一次数学测试后，随机抽取九年级班5名学生的成绩单位：分以下：8098、、98、83、 91，对于这组数据的说法错误的选项是A. 众数是98B. 均匀数是90C. 中位数是91D. 方差是56，B 说法正确；这组数据的中位数是91，C 说法正确；，D 说法错误；应选： D．依据众数、中位数的观点、均匀数、方差的计算公式计算．本题考察的是众数、中位数的观点、均匀数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解题的重点．8.回首初中阶段函数的学习过程，从函数分析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这类研究方法主要表现的数学思想是A. 数形联合B. 类比C. 演绎D. 公义化【答案】 A【分析】解：学习了一次函数、二次函数和反比率函数，都是依据列表、描点、连线得到函数的图象，而后依据函数的图象研究函数的性质，这类研究方法主要表现了数形联合的数学思想．应选： A．从函数分析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形联合的数学思想的表现．本题考察了函数图象，解题的重点是掌握初中数学常用的数学思想．9. 如图，若内接于半径为R 的，且，连结OB、 OC，则边 BC 的长为A.B.C.D.【答案】 D【分析】解：延伸BO 交于D，连结CD，则，，，，，，应选： D．延伸 BO 交圆于 D ，连结 CD ，则，；又，依据锐角三角函数的定义得本题综合运用了圆周角定理、直角三角形角的性质、勾股定理，注意：作直径结构10.从、2、3、这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点在函数图象的概率是A. B. C. D.【答案】 B【分析】解：点在函数的图象上，．列表以下：m222333n233223mn6666mn 的值为 6 的概率是．应选： B．依据反比率函数图象上点的坐标特点可得出，列表找出全部mn 的值，依据表格中所占比率即可得出结论．本题考察了反比率函数图象上点的坐标特点以及列表法与树状图法，经过列表找出的概率是解题的重点．11.已知圆锥的侧面积是，若圆锥底面半径为，母线长为，则R对于l的函数图象大概是A. B. C. D.【答案】 A【分析】解：由题意得，，则，应选： A．依据圆锥的侧面睁开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，依据反比率函数图象判断即可．本题考察的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题的重点．12.如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转，获得线段 BM，连结 AM 并延伸交 CD 于 N，连结 MC ，则的面积为A.B.C.D.【答案】 C【分析】解：作于 G，于H，则，，，，，，，由旋转变换的性质可知，是等边三角形，，由题意得，，，，，，的面积，应选： C．作于 G，于H，依据旋转变换的性质获得是等边三角形，依据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH 、CH ，依据三角形的面积公式计算即可．本题考察的是旋转变换的性质、正方形的性质，掌握正方形的性质、平行线的性质是解题的重点．二、填空题（本大题共 6 小题，共24 分）13.分解因式：______ ．【答案】【分析】解：原式提取公因式完好平方公式先提取公因式a，再依据完好平方公式进行二次分解完好平方公式：．本题考察了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完好平方公式进行两次分解，注意要分解要完全．14.化简结果是______．【答案】【分析】解：原式故答案为：依据分式的运算法例即可求出答案．本题考察分式的运算法例，解题的重点是娴熟运分式的运算法例，本题属于基础题型．15.若函数的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 ______．【答案】【分析】解：函数的图象与x 轴有且只有一个交点，，解得：．故答案为：．由抛物线与x 轴只有一个交点，即可得出对于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．本题考察了抛物线与x 轴的交点，切记“当时，抛物线与x 轴有 1 个交点”是解题的重点．16.六一小孩节，某少儿园用100 元钱给小朋友买了甲、乙两种不一样的玩具共30 个，单价分别为 2 元和 4 元，则该少儿园购置了甲、乙两种玩具分别为______、______个【答案】 10； 20【分析】解：设甲玩具购置x 个，乙玩具购置y 个，由题意，得，解得，甲玩具购置10 个，乙玩具购置20 个，故答案为： 10， 20．依据二元一次方程组，可得答案．本题考察了二次元一次方程组的应用，依据题意找出两个等量关系是解题重点．17.察看以下图中所示的一系列图形，它们是按必定规律摆列的，依据此规律，第 2018 个图形共有 ______个．【答案】 6055【分析】解：察看图形可知：第 1 个图形共有：，第 2 个图形共有：，第 3 个图形共有：，第 2018 个图形共有，故答案为： 6055．每个图形的最下边一排都是1，此外三面跟着图形的增添，每面的个数也增添，据此可得出规律，则可求得答案．本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的重点，注意察看图形的变化．18.如图，在中，，，将它沿AB 翻折获得，则四边形ADBC 的形状是 ______形，点 P、 E、 F 分别为线段 AB 、AD、 DB 的随意点，则的最小值是______．【答案】菱；【分析】解：沿 AB 翻折获得，，，，，四边形 ADBC 是菱形，故答案为菱；如图作出 F 对于 AB 的对称点M，再过 M 作，交ABA于点P，此时最小，此时，过点 A 作，，，作，，，，可得，，，最小为，故答案为．依据题意证明四边相等即可得出菱形；作出 F 对于 AB 的对称点M，再过 M 作，交 ABA 于点 P，此时最小，求出ME 即可．本题主要考察路径和最短问题，会联合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本领实剖析出最短路径是解题的重点．三、解答题（本大题共8 小题，共78 分）19.计算：．【答案】解：原式．故答案为2．【分析】本题波及绝对值、负整数指数幂、特别角的三角函数值 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，而后依据实数的运算法例求得计算结果．本题主要考察了实数的综合运算能力，是各地中考题中常有的计算题型解决此类题目的重点是娴熟掌握负整数指数幂、特别角的三角函数值、绝对值等考点的运算．20.解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【答案】解：解不等式，得：；解不等式，得：，不等式组的解集为：．将其表示在数轴上，以下图．【分析】分别解不等式、求出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将其表示在数轴上，本题得解．本题考察认识一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，经过解不等式组求出x的取值范围是解题的重点．21.某校研究学生的课余喜好状况吧，采纳抽样检查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面检查了若干名学生的兴趣喜好，并将检查结果绘制成下边两幅不完好的统计图，请你依据图中供给的信息解答以下问题：在此次检查中，一共检查了______名学生；补全条形统计图；若该校共有1500 名，预计喜好运动的学生有______人；在全校同学中随机选用一名学生参加演讲竞赛，用频次预计概率，则选出的恰巧是喜好阅读的学生的概率是 ______．【答案】 100； 600；【分析】解：喜好运动的人数为40，所占百分比为共检查人数为：喜好上网的人数所占百分比为喜好上网人数为：，喜好阅读人数为：，补全条形统计图，以下图，喜好运动所占的百分比为，预计喜好运用的学生人数为：喜好阅读的学生人数所占的百分比，用频次预计概率，则选出的恰巧是喜好阅读的学生的概率为故答案为：；；依据喜好运感人数的百分比，以及运感人数即可求出共检查的人数；依据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，进而可补全图形．利用样本预计整体即可预计喜好运动的学生人数．依据喜好阅读的学生人数所占的百分比即可预计选出的恰巧是喜好阅读的学生的概率．本题考察统计与概率，解题的重点是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型．22.如图，在中，，，；求AC 和 AB 的长．【答案】解：如图作于 H．在中，，，，，在中，，，，．【分析】如图作于在求出CH、BH，这类中求出AH、AC即可解决问题；本题考察解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，结构直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.如图，在中，．作出经过点B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边AC相切于点 E 的要求：用尺规作图，保存作图印迹，不写作法和证明设中所作的与边AB交于异于点 B 的另外一点 D，若的直径为5，；求DE的长假如用尺规作图画不出图形，可画出草图达成问【答案】解：以下图；作于 H．是的切线，，，四边形 ECHO 是矩形，，，在中，，，，，，．【分析】作的角均分线交AC 于 E，作交AB于点O，以O为圆心，OB 为半径画圆即可解决问题；作于第一求出OH、EC、BE，利用∽，可得，解决问题；本题考察作图复杂作图，切线的判断和性质，相像三角形的判断和性质、勾股定理、角均分线的定义，等腰三角形的判断和性质等知识，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.阅读以下资料：对数的首创人是苏格兰数学家纳皮尔年，纳皮尔发明对数是在指数书写方式以前，直到18 世纪瑞士数学家欧拉年才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：比方指数式能够转变为，对数式能够转变为．我们依据对数的定义可获得对数的一个性质：；原因以下：设，，则，，由对数的定义得又解决以下问题：将指数转变为对数式 ______；证明拓展运用：计算______ ．【答案】； 1【分析】解：由题意可得，指数式写成对数式为：，故答案为：；设，，则，，，由对数的定义得，又，；，，，，故答案为： 1．依据题意能够把指数式写成对数式；先设，，依据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同原因所给资料的证明过程可得结论；依据公式：和的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．本题考察整式的混杂运算、对数与指数之间的关系与互相转变的关系，解题的重点是明确新定义，理解指数与对数之间的关系与互相转变关系．25.如图，已知，在的均分线OM 上有一点 C，将一个角的极点与点 C 重合，它的两条边分别与直线OA、 OB 订交于点D、 E．当绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时如图，请猜想与OC的数目关系，并说明原因；当绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，抵达图 2 的地点，中的结论能否建立？并说明原因；当绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延伸线订交时，上述结论能否建立？请在图 3 中画出图形，若建立，请给于证明；若不建立，线段OD 、OE 与 OC 之间又有如何的数目关系？请写出你的猜想，不需证明．【答案】解：是的角均分线，，，，，，在中，，同理：，；中结论仍旧建立，原因：过点 C 作于F，于G，，，，同的方法得，，，，，，且点 C 是的均分线OM 上一点，，，，，≌，，，，，；中结论不建立，结论为：，原因：过点 C 作于F，于G，，，，同的方法得，，，，，，且点 C 是的均分线OM 上一点，，，，，≌，，，，，．【分析】先判断出，再利用特别角的三角函数得出，同，即可得出结论；同的方法得，再判断出≌，得出，最后等量代换即可得出结论；同的方法即可得出结论．本题是几何变换综合题，主要考察了角均分线的定义和定理，全等三角形的判断和性质，特别角的三角函数直角三角形的性质，正确作出协助线是解本题的重点．26.如图，抛物线过、，直线 AD 交抛物线于点D，点 D 的横坐标为，点是线段 AD 上的动点．求直线 AD 及抛物线的分析式；过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式， m 为什么值时， PQ 最长？在平面内能否存在整点横、纵坐标都为整数，使得P、Q、D、R为极点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明原因．【答案】解：把，代入函数分析式，得，解得，抛物线的分析式为；当时，，解得，即．设 AD 的分析式为，将，代入，得，解得，直线 AD 的分析式为；设 P 点坐标为，，化简，得配方，得，当时，；且时， PQDR 是平行四边形，由得，又 PQ 是正整数，，或．当时，，，即，，即；当时，，，即，，即，综上所述： R 点的坐标为，，，使得P、Q、D 、R 为极点的四边形是平行四边形．【分析】依据待定系数法，可得抛物线的分析式；依据自变量与函数值的对应关系，可得 D 点坐标，再依据待定系数法，可得直线的分析式；依据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，依据二次函数的性质，可得答案；依据 PQ 的长是正整数，可得 PQ，依据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR 的长，依据点的坐标表示方法，可得答案．本题考察了二次函数综合题，解的重点是待定系数法；解的重点是利用二次函数的性质；解的重点是利用且是正整数得出DR 的长．。
2018年四川自贡市中考数学模拟试题(二)含答案
四川省自贡市2017年初中毕业生学业考试模拟试卷2（满分：150分考试时间：120分钟）第I卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．|﹣3|的相反数是（）A．﹣3 B．3C．D．﹣2．下列计算中，正确的是（）A．2x+5y=7xy B．（x﹣3）2=x2﹣9 C．（xy）2=xy2D．（x2）3=x63．将6.18×10﹣3化为小数的是（）A．0.000618 B．0.00618 C．0.0618 D．0.6184．五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（）A．19和20 B．20和19 C．20和20 D．20和215．如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）第5题A．B．C．D．6．如果一个多边形的内角和等于720度，那么这个多边形的边数为（）A．4 B．5C．6D．77．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0 8．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．B．C．D．第8题第9题9．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a，﹣b﹣1）C．（﹣a，﹣b+1）D．（﹣a，﹣b﹣2）10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过的正六边形的顶点是（）第10题A．C或E B．B或D C．A或C D．B或F第II卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在题中的横线上）11．已知方程x2﹣3x﹣5=0的两根为x1，x2，则x12+x22=．12．已知10m=3，10n=2，则102m﹣n的值为．13．二次函数y=ax2﹣2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+3=0的解为．14．甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点A、B、C、D处，每个人都以相同的速度沿着正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，那么甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的概率是．15．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为．第15题三、解答题（本大题共9小题，共90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）计算：．17．（8分）房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：（1）这次抽样调查中，共调查了名学生；（2）补全两幅统计图；（3）根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？第17题18．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．19．（8分）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△ECF；（2）若∠AFC=2∠ABC，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．第19题20．（10分）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到我渔船C在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C的距离最近？（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）第20题21．（10分）如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．第21题22．（12分）如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）求三角形DOE的面积；（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．第22题23．（12分）一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x小时，两车之间的距离为y千米，图中折线表示y与x之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：（1）甲乙两地之间的距离为千米；（2）求快车和慢车的速度；（3）求线段DE所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．第23题24．（14分）如图，直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A、C，经过点C且对称轴为x=1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点．（1）试求点A、C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度由点B向点A运动，同时，点N在线段OC上以相同的速度由点O向点C运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），又PN∥x轴，交AC于P，问在运动过程中，线段PM的长度是否存在最小值？若有，试求出最小值；若无，请说明理由．第24题四川省自贡市2018年初中毕业生学业考试模拟试卷2（参考答案）一、1．A解析：∵|﹣3|=3，∴3的相反数是﹣3．故选A．2．D解析：A、2x与5y不是同类项，不能合并，错误；B、（x﹣3）2=x2﹣6xy+9，错误；C、（xy）2=x2y2，错误；D、（x2）3=x6，正确；故选D．3．B解析：把数据“6.18×10﹣3中6.18的小数点向左移动3位就可以得到为0.00618．故选B．4．C解析：根据平均数定义可知：平均数=（18+20+21+22+19）=20；根据中位数的概念可知，排序后第3个数为中位数，即20．故选C．5．C解析：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选C．6．C解析：这个正多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=720°，解得n=6．则这个正多边形的边数是6．故选C．7．D解析：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．故选D．8．C解析：根据题意，得BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8﹣x．在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE2=BC2+CE2，即（8﹣x）2=62+x2，解得x=，∴tan∠CBE===．故选C．9．D解析：根据题意，知点A、A′关于点C对称，设点A的坐标是（x，y），则=0，=﹣1，解得x=﹣a，y=﹣b﹣2，∴点A的坐标是（﹣a，﹣b﹣2）．故选D．10．D解析：∵点A（1，0），B（2，0），∴OA=1，OB=2，∴正六边形的边长为：AB=1，∴当点D第一次落在x轴上时，OD=2+1+1=4，∴此时点D的坐标为：（4，0）；如图1所示：当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A′F′G=30°，∴A′G=A′F′=，同理可得：HD=，∴A′D=2，∴在运动过程中，点A的纵坐标的最大值是2；如图1，∵D（2，0）∴A′（2，2），OD=2，∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点（2，2）开始到点（2014，3）正好滚动2012个单位长度，∵=335…3，∴恰好滚动335周多3个，如图2所示，F′点纵坐标为：3，∴会过点（2014，3）的是点F，当点D还是在（2014，0）位置，则E点在（2015，0）位置，此时B点在D点的正上方，DB=3，所以B点符合题意．综上所示，经过（2014，3）的正六边形的顶点是B或F．故选D．二、11．19解析：∵方程x2﹣3x﹣5=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=3，x1x2=﹣5，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9+10=19．12．解析：102m=32=9，102m﹣n=102m÷10n=．13．x1=﹣1，x2=3解析：根据题意，得x=﹣1是ax2﹣2ax+3=0的根，∴a=﹣1，一元二次方程﹣x2+2x3=0的解为x1=﹣1，x2=3．14．解析：∵甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点A、B、C、D 处，每个人都以相同的速度沿着正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，共有2×2×2×2×2=16（种）等可能的结果，其中甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的有2种情况，∴甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的概率是：=．15．2解析：∵点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴设A（，m），则B（，m），∴AB==，∴S▱ABCD=•m=2，三、16．解：=9﹣2+8+4×（）2﹣3=9﹣2+8+4×﹣3=9﹣2+8+3﹣3=15．17．解：（1）这次抽样调查中，共调查的学生数是：=500（名）；故答案为：500．（2）小组合作学习所占的百分比是：×100%=30%，教师传授的人数是：500﹣300﹣150=50（人），教师传授所占的百分比是：×100%=10%；补图如下：（3）根据题意，得1000×30%=300（人）．答：该校1000名学生中大约有300人选择“小组合作学习”．18．解：原式=×=×=，∵x2﹣x﹣1=0，∴x2=x+1，将x2=x+1代入化简后的式子，得==1．19．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵EC=DC，∴AB=EC，在△ABF和△ECF中，，∴△ABF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ABF≌△ECF，∴AF=FE，BF=FC．∵∠AFC=2∠ABC，又∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF．∴AF=BF．∴AE=BC，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC．∴AE=AD．∵CE=DC，∴AC⊥ED，∴四边形ABEC是矩形．20．解：作CD⊥AB，交AB的延长线于D，则当渔政310船航行到D处时，离渔政船C 的距离最近，设CD长为x，在Rt△ACD中，∵∠ACD=60°，tan∠ACD=，∴AD=x，在Rt△BCD中，∵∠CBD=∠BCD=45°，∴BD=CD=x，∴AB=AD﹣BD=x﹣x=（﹣1）x，设渔政船从B航行到D需要t小时，则=，∴=，∴（﹣1）t=0.5，解得t=，∴t=，答：渔政310船再按原航向航行小时后，离渔船C的距离最近．21．（1）证明：连接CO，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OB=CO，∴∠B=∠OCB，∵∠FCA=∠B，∴∠BCO=∠ACF，∴∠OCA+∠ACF=90°，即∠OCF=90°，∴CF是⊙O的切线；（2）解：∵直径AB平分弦CD，∴AB⊥DC，∴=，∵AC=4，tan∠ACD=，∴tan∠B=tan∠ACD==，∴=，∴BC=8，∴在Rt△ABC中，AB===4，则⊙O的半径为：2．22．解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，∴点E的坐标为（2，1），∵代入反比例函数解析式得=1，解得k=2，∴反比例函数解析式为y=，∵点D在边BC上，∴点D的纵坐标为2，∴y=2时，=2，解得x=1，∴D的坐标为（1，2）；（2）∵D的坐标为（1，2），B（4，2），∴BD=3，OC=2．∵点E是OB的中点，∴S△DOE =S△OBD=××3×2=；（3）如图，设直线与x轴的交点为F，矩形OABC的面积=4×2=8，∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，∴梯形OFDC的面积为×8=3，或×8=5，∵点D的坐标为（1，2），∴若（1+OF）×2=3，解得OF=2，此时点F的坐标为（2，0），若（1+OF）×2=5，解得OF=4，此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，当D（1，2），F（2，0）时，，解得，此时，直线解析式为y=﹣2x+4，当D（1，2），F（4，0）时，，解得．此时，直线解析式为y=﹣x+，综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+．23．解：（1）由题意，得甲乙两地之间的距离为560千米；故答案为：560；（2）由题意，得慢车和快车经过4个小时后相遇，相遇后停留了1个小时，出发后两车之间的距离开始增大，快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：4，∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，∴（3x+4x）×4=560，x=20，∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．（3）由题意，得快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60=240km，当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240﹣3×60=60km，∴D（8，60），∵慢车往返各需4小时，∴E（9，0），设DE的解析式为：y=kx+b，∴，解得．∴线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为：y=﹣60x+540（8≤x≤9）．24．解：（1）∵y=﹣3x﹣3，∴当y=0时，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，∴A（﹣1，0）；∵当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，过点A（﹣1，0）、C（0，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（3）由对称性，得点B（3，0），设点M运动的时间为t秒（0≤t≤3），则M（3﹣t，0），N （0，﹣t），P（x P，﹣t）．∵PN∥OA，∴△CPN∽△CAO，∴=，即=，∴x P=﹣1．过点P作PD⊥x轴于点D，则D（﹣1，0），∴MD=（3﹣t）﹣（﹣1）=﹣+4，∴PM2=MD2+PD2=（﹣+4）2+（﹣t）2=（25t2﹣96t+144），又∵﹣=＜3，∴当t=时，PM2最小值为，故在运动过程中，线段PM的长度存在最小值．。
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四川省自贡市中考数学模拟试卷一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共4分1．计算1﹣（﹣1）的结果是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣22．将0.00025用科学记数法表示为（）A．2.5×104B．0.25×10﹣4C．2.5×10﹣4D．25×10﹣53．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣45．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°6．若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．27．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤18．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（）A．B．C．D．9．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2D．（4+16）πcm210．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx 在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题：共5个小题，每小题4分，共20分11．若代数式有意义，则x的取值范围是．12．若n边形内角和为900°，则边数n= ．13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是．14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为cm2．15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值= ，tan∠APD的值= ．三、解答题：共2个题，每小题8分，共16分16．计算：（）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+|﹣1|17．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得：；（2）解不等式②，得：；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）不等式组的解集为：．四、解答题：共2个体，每小题8分，共16分18．某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（2016•自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7）五、解答题：共2个题，每题10分，共20分20．我市开展“美丽自宫，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度？（3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC 的延长线于点E．（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．六、解答题：本题12分22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；（3）求△AOB的面积；（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．七、解答题23．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M 在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．八、解答题24．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共4分1．计算1﹣（﹣1）的结果是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【考点】有理数的减法．【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：1﹣（﹣1），=1+1，=2．故选A．【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．2．将0.00025用科学记数法表示为（）A．2.5×104B．0.25×10﹣4C．2.5×10﹣4D．25×10﹣5【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】根据用科学记数法表示较小的数的方法解答即可．【解答】解：0.00025=2.5×10﹣4，故选：C．【点评】本题考查的是用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：因为==2，因此不是最简二次根式．故选B．【点评】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．5．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°【考点】圆周角定理；三角形的外角性质．【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故选C．【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．6．若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．【分析】根据非负数的和为零，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．【解答】解：由+b2﹣4b+4=0，得a﹣1=0，b﹣2=0．解得a=1，b=2．ab=2．故选：D．【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出a、b的值是解题关键．7．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1【考点】根的判别式．【专题】探究型．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，可知△≥0，从而可以求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]≥0，解得m≥1，故选C．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0．8．如图是几何体的俯视图，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（）A．B．C．D．【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面看得到的图形即可．【解答】解：主视图，如图所示：．故选：B．【点评】此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图是从物体的正面看得到的图形；看到的正方体的个数为该方向最多的正方体的个数．9．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2D．（4+16）πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx 在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；正比例函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得a、b的值，根据a、b的值，可得相应的函数图象．【解答】解：由y=ax2+bx+c的图象开口向下，得a＜0．由图象，得﹣＞0．由不等式的性质，得b＞0．a＜0，y=图象位于二四象限，b＞0，y=bx图象位于一三象限，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出a、b的值是解题关键．二、填空题：共5个小题，每小题4分，共20分11．若代数式有意义，则x的取值范围是x≥1 ．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且x≠0，解得x≥1且x≠0，所以，x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．12．若n边形内角和为900°，则边数n= 7 ．【考点】多边形内角与外角．【分析】由n边形的内角和为：180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=900，解此方程即可求得答案．【解答】解：根据题意得：180（n﹣2）=900，解得：n=7．故答案为：7．【点评】此题考查了多边形内角和公式．此题比较简单，注意方程思想的应用是解此题的关键．13．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据树状图判断出蚂蚁一共有多少种路可以选择，有几种可能可以获取食物即可解决问题．【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为．【点评】本题考查树状图、概率等知识，记住概率的定义是解决问题的关键，考虑问题要全面，属于中考常考题型．14．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为16 cm2．【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC 的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x﹣6上时的横坐标即可．【解答】解：如图所示．∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3．∵∠CAB=90°，BC=5，∴AC=4．∴A′C′=4．∵点C′在直线y=2x﹣6上，∴2x﹣6=4，解得x=5．即OA′=5．∴CC′=5﹣1=4．∴S=4×4=16 （cm2）．▱BCC′B′即线段BC扫过的面积为16cm2．故答案为16．【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等．15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值= 3 ，tan∠APD的值= 2 ．【考点】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质．【专题】网格型．【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【解答】解：∵四边形BCED是正方形，∴DB∥AC，∴△DBP∽△CAP，∴==3，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2，故答案为：3，2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．三、解答题：共2个题，每小题8分，共16分16．计算：（）﹣1+（sin60°﹣1）0﹣2cos30°+|﹣1|【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的定义化简即可．【解答】解：原式=2+1﹣+﹣1=2．【点评】本题考查负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解决问题的关键，记住a﹣p=（a≠0），a0=1（a≠0），|a|=，属于中考常考题型．17．解不等式组．请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得：x＜3 ；（2）解不等式②，得：x≥2 ；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）不等式组的解集为：2≤x＜3 ．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：（1）不等式①，得x＜3；（2）不等式②，得x≥2；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，4）原不等式组的解集为2≤x＜3．故答案分别为：x＜3，x≥2，2≤x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．四、解答题：共2个体，每小题8分，共16分18．某校为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（2016•自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0，9，tan25°≈0.5，≈1.7）【考点】解直角三角形的应用．【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3．即生命迹象所在位置C的深度约为3米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．五、解答题：共2个题，每题10分，共20分20．我市开展“美丽自宫，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日在“花海”参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是多少度？（3）求抽查的学生劳动时间的众数、中位数．【考点】众数；扇形统计图；条形统计图；中位数．【专题】计算题；数据的收集与整理．【分析】（1）根据学生劳动“1小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，（2）进而求出劳动“1.5小时”的人数，以及占的百分比，乘以360即可得到结果；（3）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数与中位数即可．【解答】解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人），∴学生劳动时间为“1.5小时”的人数为100﹣（12+30+18）=40（人），补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：40%×360°=144°，则扇形图中的“1.5小时”部分圆心角是144°；（3）根据题意得：抽查的学生劳动时间的众数为1.5小时、中位数为1.5小时．【点评】此题考查了众数，扇形统计图，条形统计图，以及中位数，弄清题中的数据是解本题的关键．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC 的延长线于点E．（1）求证：∠1=∠BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；切线的判定．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；（2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；【解答】证明：（1）∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠1=∠BDA，∴∠1=∠BAD；（2）连接BO，∵∠ABC=90°，又∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BCO+∠BCD=180°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠CBO+∠BCD=180°，∴OB∥DE，∵BE⊥DE，∴EB⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．六、解答题：本题12分22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；（3）求△AOB的面积；（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质．【分析】（1）把B （2，﹣4）代入反比例函数y=得出m的值，再把A（﹣4，n）代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法分别求其解析式；（2）经过观察可发现所求方程的解应为所给函数的两个交点的横坐标；（3）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB =S△AOC+S△BOC进行计算；（4）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即使kx+b﹣＜0．【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为y=﹣．∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，∴n=2．∴A（﹣4，2）．∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴．解得：．∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．（2）：∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，∴方程kx+b﹣=0的解是x1=﹣4，x2=2．（3）∵当x=0时，y=﹣2．∴点C（0，﹣2）．∴OC=2．∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =×2×4+×2×2=6；（4）不等式kx+b ﹣＜0的解集为﹣4＜x ＜0或x ＞2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．七、解答题23．已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ．若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边CD 的长．（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO 、线段OP ，连接BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连接MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当动点M 、N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF 的长度．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP∽△PDA；根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB=，最后代入EF=PB 即可得出线段EF的长度不变【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF=QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB=，∴EF=PB=2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．八、解答题24．抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．（1）a=时，求抛物线的解析式和BC的长；（2）如图a＞1时，若AP⊥PC，求a的值．【考点】二次函数的性质；轴对称的性质．【分析】（1）根据抛物线经过原点b=0，把a=、b=0代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式，再求出B、C坐标，即可求出BC长．（2）利用△PCB∽△APM，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4ax+b（a＞0）经过原点O，∴b=0，∵a=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x，∵x=2时，y=8，∴点B坐标（2，8），∵对称轴x=3，B、C关于对称轴对称，∴点C坐标（4，8），∴BC=2．（2）∵AP⊥PC，∴∠APC=90°，∵∠CPB+∠APM=90°，∠APM+∠PAM=90°，∴∠CPB=∠PAM，∵∠PBC=∠PMA=90°，∴△PCB∽△APM，∴=，∴=，整理得a2﹣4a+2=0，解得a=2±，∵a＞0，∴a=2+．【点评】本题考查二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是利用相似三角形性质列出方程解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型．。