河北唐山市数学高三上期中经典练习题(专题培优)

一、选择题
1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程
2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2016
D ．2017
2．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
3．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810
B ．840
C ．870
D ．900
4．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
5．已知关于x 的不等式()22
4300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212
a x x x x ++
的最大值是（ ） A
．
3
B
．
3
C
．
3
D
．3
-
6．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e =；
③(
)f x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则
313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．10
B ．12
C ．31log 5+
D ．32log 5+
8．已知数列{}n a 的通项公式为()*21
log N 2
n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )
A ．有最小值63
B ．有最大值63
C ．有最小值31
D ．有最大值31
9．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和
n S =（ ）
A ．2744n n
+
B ．2533n n
+
C ．2324
n n
+
D ．2n n +
10．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018
B ．2019
C ．4036
D ．4037
11．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7
B ．5
C ．5-
D ．7-
12．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A +=
()
2224
S b a c =+-，则B ∠=
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9
B ．22
C ．36
D ．66
14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2
cos 22A b c c
+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
15．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3
x y
+的最大值为 A ．
13
B ．38
C ．
37
D ．1
二、填空题
16．设数列{}(
)1,n a n n N
*
≥∈满足1
22,6a
a ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若
[]x 表示不超过x 的最大整数，则12
2019
20192019
2019
[
]a a a +++
=____________． 17．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.
18．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
则2z x y =-的最大值是____．
19．在平面内，已知直线12l l ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点
是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小
值为____．
20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}
n b 满足2
n n a b n =-920n +-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为________．
21．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{
1
ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．
22．数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．
23．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5
10119122a a a a e +=，则
1220ln ln ln a a a +++等于__________．
24．已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ，y ，都有
22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为______．
25．在ΔABC 中，若sinA:sinB:sinC =7:8:13，则C =__________．
三、解答题
26．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且2
2
2,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；
（2）若2
2
sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 27．已知数列{}n a 的首项12
3a =
，且当2n ≥时，满足12313
12
n n a a a a a -++++=-．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2
n n n
b a =
，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 28．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；
(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
29．D 为ABC 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；
（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE
S
．
30．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.
（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．C 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．A 8．A 9．A 10．C 11．D 12．D 13．D 14．A 15．A
二、填空题
16．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an＝2n+2再利用累加求和方法可得an＝n（n+1）利
17．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的
18．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC及其内部其中A（53）B（﹣13）C（20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x﹣y有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画
19．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
20．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足
21．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用
22．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1
23．50【解析】由题意可得=填50
24．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax﹣ay+1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a的取值范围【详解】因为正实数xy 满足而4x
25．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a：b：c=7：8：13令a=7kb=8kc=1 3k（k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<
，
数列的首项为正数，
()()1201610081009100810092016
201620160,0,02
2
a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==
，
()1201720171009
2017201702
a a S a
+⨯=
=⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是
2016，故选C.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角
形，由
，得21
2121
2
{2
2
A A
B B
C C πππ=
-=
-=
-，那么，2222
A B C π
++=，矛
盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.
3．B
解析：B
【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为
10(3165)
8402
+= ，选B. 4．B
解析：B 【解析】 【分析】
先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,3
3
B A
C π
π
=
+=
,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23
sin sin sin 4
B A
C =⋅=，整理计算即可得出答案.
【详解】
因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，
所以2,3
3
B A
C π
π=
+=
, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以2
3sin sin sin 4
B A
C =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛
⎫⋅-=⋅-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2111113
2sin 2cos 2sin 2424442344
A A A A A π⎛⎫=
+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
又因为203
A π<< 所以3
A π
=
故选B 【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,3
3
B A
C π
π
=+=
，再利用三角公式转化，属于中档题.
5．D
解析：D 【解析】
：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），
根据韦达定理，可得：2
123x x a =，x 1+x 2=4a ，
那么：1212a x x x x ++=4a +13a
． ∵a ＜0， ∴-（4a +
13a ）
，即4a +
13a ≤
故1212a x x x x ++
的最大值为． 故选D ．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3
f x x =，
()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数(
)f x =()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
列函数”；
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能
力，属于中等题.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

【详解】
因为313233
310log log log log a a a a ++=()312310log a a a a =()5
3110log a a ,
又4756110a a a a a a ⋅=⋅=⋅，由475618a a a a ⋅+⋅=得1109a a ⋅=，所以
313233
310log log log log a a a a ++=53log 9=10，故选A 。

【点睛】
本题考查了对数运算及利用等比数列{}n a 的性质，利用等比数列的性质：当
,(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时，m n p q a a a a ⋅=⋅，
特别地2,(,,)m n k m n k N *
+=∈时，2m n k a a a ⋅=，套用性质得解，运算较大。

8．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*2
1
log N 2
n n a n n +=∈+， ∴1232
2223log log log 31
42
n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++2223
12log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪
++⎝⎭
， 又因为2
121
5log 6232232
n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】
本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
【详解】 设公差为d 则
解得
，故选A.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】
由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且
20182019
00a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802
240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩
，所以使前n 项和
0n S >成立的最大正整数n 是4036.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2
417
a a a =可得解.
【详解】
56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.
由等比数列性质可知
2274101478,1a a a a a a ==-==或22
7410147
1,8a a a a a a ====-
1107a a ∴+=-
故选D.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
222S b a c =
+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,
整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
13．D
解析：D 【解析】
分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.
14．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2
cos
22A b c
c
+=，所以1cosA 22b c
c
++=,()
ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此
cosC 0C 2
π
==
，,选A.
【点睛】
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】 分析题意，取3x y +倒数进而求3
x y
+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。

【详解】
因为40x y xy +-=，化简可得4x y xy +=，左右两边同时除以xy 得
14
1y x
+= 求3x y +的最大值，即求
333
x y x y
+=+ 的最小值 所以1413333x y x y y x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+⨯=+⨯+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4143333
x y y x =
+++
1433
≥+ 3≥，当且仅当
433x y y x
=时取等号 所以
3x y +的最大值为1
3
所以选A 【点睛】
本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题。

二、填空题
16．2018【解析】【分析】数列{an}满足a1＝2a2＝6且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an ）＝2利用等差数列的通项公式可得：an+1﹣an ＝2n+2再利用累加求和方法可得an ＝n （n+1）利
解析：2018 【解析】 【分析】
数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝6，且（a n +2﹣a n +1）﹣（a n +1﹣a n ）＝2，利用等差数列的通项公式可得：a n +1﹣a n ＝2n +2．再利用累加求和方法可得a n ＝n （n +1）．利用裂项求和方法即可得出． 【详解】
∵()()2112n n n n a a a a +++---=，
∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列，首项为4，公差为2． ∴a n +1﹣a n ＝4+2（n ﹣1）＝2n +2．
∴a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 ＝2n +2（n ﹣1）+…+2×2+2
()122
n n +=⨯
=n （n +1）．
∴12
201911
11111
1111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
++
=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． ∴][][1
2201920192019
2019201912019201820202020a a a ⎡⎤
+++
=-=+⎢
⎥⎣⎦
＝2018． 故答案为：2018． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的
解析：300 【解析】
试题分析：由条件，
,所以
,
,
,所以
,
,这样在
中，,在
中，
，解得
,
中，
，故填：300.
考点：解斜三角形
【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.
18．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大
值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画
解析：7
【解析】
试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC及其内部，其中A（5，3），B（﹣1，3），C（2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x﹣y有最大值，并且可以得到这个最大值．
详解：
根据约束条件
2,
2,
03,
x y
x y
y
+≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪≤≤
⎩
画出可行域如图，
得到△ABC及其内部，其中A（5，3），B（﹣1，3），C（2，0）
平移直线l：z=2x﹣y，得当l经过点A（5，3）时，
∴Z最大为2×5﹣3=7．
故答案为7．
点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．19．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
解析：6
【解析】
【分析】
【详解】
如图所示，
设BF x =，由题意知3,2AE AF ==
ABF ∆与CAE ∆相似，所以
AB BF CA AE =
,所以3
AC AB x
=,所以2
11322ABC S AB AC AB x
∆=
=⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632x
x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.
20．【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足 解析：{5,6}
【解析】 【分析】
利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到
12n n
a ，进而得到n
b ；利用1
0n
n
b b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的
取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】
当1n =时，1111a S a λ==- 11λ∴-=，解得：2λ=
21n n S a ∴=-
当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-
1
122n n n
n n a S S a a ，即：12n n a a -=
∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列
12n n
a
2
920n n a b n n =-+- 21
920
2
n n n n b --+-∴= ()()2
2211191209201128
0222
n n n n n
n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=<
20n > ()()2
1128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<
又n *∈N 5n ∴=或6
∴满足条件的n 的取值集合为5,6
本题正确结果：5,6 【点睛】
本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.
21．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 解析：(2,)+∞
【解析】
试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且
1a b ≠≠．又a ，b 为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是
(2,)+∞．
考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．
22．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1
解析：1830 【解析】 【分析】
由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结
构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】
解：1(1)n n a ++- 21n a n =-，
∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，
504997a a -=，
∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，
{}n a 的前60项和为1514
152(15816)18302
⨯⨯+⨯+
⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】
本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．
23．50【解析】由题意可得=填50
解析：50 【解析】
由题意可得5
1011912a a a a e ==，
1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===，填50.
24．（﹣∞【解析】【分析】由正实数xy 满足可求得x+y≥5由x2+2xy+y2﹣ax ﹣ay +1≥0恒成立可求得a≤x+y+恒成立利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围【详解】因为正实数xy 满足而4x
解析：（﹣∞，265
] 【解析】 【分析】
由正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，可求得x +y≥5，由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0恒成立可求得a ≤x+y+1
x y
+恒成立，利用对勾函数的性质即可求得实数a 的取值范围． 【详解】
因为正实数x ，y 满足4454x y xy ++=，而4xy ≤（x+y ）2，
代入原式得（x +y ）2﹣4（x+y ）﹣5≥0，解得x +y≥5或x +y≤﹣1（舍去）， 由x 2+2xy+y 2﹣ax ﹣ay+1≥0可得a （x +y ）≤（x+y ）2+1，
即a ≤x+y+1
x y
+，令t=x +y ∈[5，+∞），
则问题转化为a ≤t+1t
，
因为函数y=t +1t
在[5，+∞）递增， 所以y min =5+15=265
， 所以a ≤
265
， 故答案为（﹣∞，265
] 【点睛】
本题考查基本不等式，考查对勾函数的单调性质，求得x +y≥5是关键，考查综合分析与运
算的能力，属于中档题．
25．2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a：b ：c=7：8：13令a=7kb=8kc=13k （k>0）利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析：2π
3
【解析】
∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC =7:8:13，∴a ：b ：c =7：8：13，令a =7k ，b =8k ，c =13k （k >0），利用余弦定理有cosC =a 2+b 2−c 2
2ab
=49k 2+64k 2−169k 2
112k 2
=−12
，∵
0°<C <180°，∴C =120∘，故答案为120∘.
三、解答题 26．
（1）3
C π
=（2 【解析】
试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得
a =
，b =2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得
ABC 的面积．
试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221
222
a b ab ab ab +-==，
又()0,C π∈，所以3
C π
=
．
（2）由()2
2
sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-， 得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=， 得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，
再由正弦定理得2
2
2
4cos b c a ac A +-=，所以222
cos 4b c a A ac
+-=．①
又由余弦定理，得222
cos 2b c a A bc
+-=，②
由①②，得222222
42b c a b c a bc bc
+-+-=
，得42ac bc =，得2a b =，
联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩
，得3a =，3b =．
所以222b a c =+．所以2
B π
=
．
所以ABC
的面积1122233
S ac =
=⨯=
． 27．
（1）23n n
a =（2）3231443
n n n T +=-⋅ 【解析】 【分析】
（1）由题可得12313
12n n a a a a a ++++
+=-,与已知作差可得13322
n n n a a a +-=-+,整
理可得11
3
n n a a +=,进而利用等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得23
n n n n n
b a =⋅=,利用错位相减法求和即可. 【详解】
解:（1）当2n ≥时,由12313
12
n n a a a a a -++++=-,
则12313
12
n n a a a a a ++++
+=-,
两式相减得133
22
n n n a a a +-=-
+, 即
113
22n n a a +=, ∴11
3
n n a a +=, 当2n =时,由12312a a =-,得22
9
a =, ∴
211
3
a a =, 综上,对任意1n ≥,11
3
n n a a +=, ∴{}n a 是以2
3为首项,13
为公比的等比数列, ∴23
n n a =
. （2）由（1）23
n n n n n
b a =⋅=, ∴231111
23333
3n n
T n =
+⋅+⋅++⋅
,
231
11111
12(1)333
33n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅, ∴
231
2111
11333333n n x T n +=++++
-⋅ 1111233
n
n n +⎛⎫=
--
⎪⎝⎭, 则3231
443n n n T +=
-⋅ 【点睛】
本题考查了根据数列的递推公式求解数列通项,考查等比数列通项公式的应用,考查利用错位相消求解数列前n 项和.
28．
（Ⅰ）2n
n a =.（Ⅱ）25
52n n
n T +=-
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.
试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22
111(1)6,a q a q a q +==.
又0n a >， 解得：12,2==a q ，
所以2n
n a =.
（Ⅱ）由题意知：121211(21)()
(21)2
n n n n b b S n b +++++=
=+，
又2111,0,n n n n S b b b +++=≠ 所以21n b n =+, 令n
n n
b c a =, 则21
2
n n
n c +=， 因此
1223
13572121
22222
n n n n n n T c c c --+=++
+=
++++
+, 又
23411357
2121
222222
n n n n n T +-+=++++
+, 两式相减得2111311
121
2222
22
n n n n T -++⎛⎫=++++
- ⎪⎝⎭ 所以25
52
n n
n T +=-
.
【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.
【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 29．
（1）=
BC 2【解析】
【分析】
（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE 中，由正弦定理，角平分线的性质
可得AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．
在ADB 与ADC 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．
即：212cos 4m m ADB +-∠=，①
212cos 1m m ADB ++∠=．②
由①+②，得：232m =
，
所以m =BC = （2）在ACE 与BCE 中，由正弦定理得：
,sin sin sin sin AE EC BE EC ACE EAC BCE CBE
==∠∠∠∠， 由于ACE BCE ∠=∠，且
sin sin BC AC BAC CBA =∠∠，
所以AE AC BE BC ==
所以BE =， 所以2
15
AE =（）．
又2
22222121cos 22214
AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，
所以sin 4BAC ∠=
，
所以11211225ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=（）． 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 30．
⑴见证明；⑵()11222n n n ++-+
【解析】
【分析】
（1）由递推公式计算可得12n n
b b +=，且1112b a =-=，据此可得数列{}n b 是等比数列. （2）由（1）可得2n n b =，则2n n a n =+，分组求和可得()
11222n n n n S ++=-+.
【详解】
（1）()()()11121122n n n n n n n n a n a n n a n b b a n a n a n
++-+-+-+-====---， 又111312b a =-=-=
{}n b ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2）由（1）得2n n b =，2n n a n ∴=+，
()()()()
()12122122...222...2123...n n n S n n ∴=++++++=++++++++ ()()()1212112212
22
n n n n n n +-++=+=-+-. 【点睛】 数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。