普通高中示范校2015届高三数学3月零模试卷 理

北京市东城区普通高中示范校2015届高三3月零模数学（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、复数1z i =在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()0,1- B ．()0,1 C ．()1,0- D ．()1,0
2、sin3的取值所在的范围是（ ）
A ．2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．2,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
D ．21,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝
⎭ 3、在极坐标系中，圆2cos ρθ=的半径为（ ）
A ．12
B ．1
C ．2
D ．4 4、执行如图所示的程序框图，那么输出的n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5、已知直线1:l 1ax y +=和直线2:l 42x ay +=，则
“20a +=”是“12//l l ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6、已知数列{}n a 满足11a =，且12n n n a a +=，则数列{}n a 的前20项的和为（ ）
A ．11323⨯-
B ．11321⨯-
C ．10322⨯-
D ．10
323⨯-
7、已知向量a ，b 是夹角为60的单位向量．当实数1λ≤-时，向量a 与向量a b λ+的夹角范围是（ ） A ．)
0,60⎡⎣ B ．)60,120
⎡⎣
C ．)120,180⎡⎣
D ．)60,180⎡⎣ 8、某几何体的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对
数是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 9、双曲线C :2
2
13y x -=的离心率为 ． 10、已知()5
234501234521x a a x a x a x a x a x +=+++++，则01a a += ． 11、如图，AB 是半圆O 的直径，D B 与C A 相交于点E ，且C OE ⊥A ．若
3D 3BE =E =，则C A 的长为 ． 12、某门选修课共有9名学生参加，其中男生3人，教师上课时想把9人平均分成三个小组进行讨论．若要求每个小组中既有男生也有女生，则符合要求的分组方案共有 种．
13、已知函数x y ae =（其中0a >）经过不等式组010
x x y <⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域，则实数
a 的取值范围是 ．
14、已知两个电流瞬时值的函数表达式唯爱()1sin t t I =，
()()2sin t t ϕI =+，2π
ϕ<，它们合成后的电流瞬时值的函数
()()()12t t t I =I +I 的部分图象如图所示，则()t I = ，
ϕ= ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15、（本小题满分13分）如图，在锐角三角形C AB 中，2AB =，点D 在C B 边上，且D 6A =，DC 135∠A =．
()I 求角B 的大小；
()II 若C 7A =，求边C B 的长．
16、（本小题满分13分）在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场），并规定小组积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由于某些特殊原因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为14
，乙队胜、平、负丁队的概率均为13，且四个队之间比赛结果相互独立． ()I 求在整个小组赛中，乙队最后积4分的概率；
()II 设随机变量X 为整个小组比赛结束后乙队的积分，求随机变量X 的分布列与数学期望； ()III 在目前的积分情况下，M 同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N 同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）
17、（本小题满分14分）已知三棱柱111C C AB -A B 中，C ∆AB 是以C A 为斜边的等腰直角三角形，且111C C 2B A =B =B B =A =．
()I 求证：平面1C B A ⊥底面C AB ；
()II 求1C B 与平面11ABB A 所成角的正弦值；
()III 若E ，F 分别是线段11C A ，1C C 的中点，问在线段1F B 上是
否存在点P ，使得//EP 平面11ABB A ．
18、（本小题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-．
()I 若直线y x b =+与()f x 在1x =处相切，求实数a ，b 的值；
()II 若0a >，求证：()f x 存在唯一极小值．
19、（本小题满分14分）已知椭圆1C 过点2,12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，且其右顶点与椭圆2C :2224x y +=的右焦点重合．
()I 求椭圆1C 的标准方程； ()II 设O 为原点，若点A 在椭圆1C 上，点B 在椭圆2C 上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆22
1x y +=的位置关系，并证明你的结论．
20、（本小题满分13分）已知无穷整数数集{}123,,,,,n a a a a A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（123n a a a a <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅）具有性质P ：对任意互不相等的正整数i ，j ，k ，总有i k j a a a +-∈A ．
()I 若{}1,21⊆A 且5∉A ，判断13是否属于A ，并说明理由；
()II 求证：1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，n a ，⋅⋅⋅是等差数列；
()III 已知x ，y ∈N 且0y x >>，记M 是满足{}0,,x y ⊆A 的数集A 中的一个，且是满足{}0,,x y ⊆A 的所有数集A 的子集，求证：x ，y 互质是M =N 的充要条件．。