用“两角相等”证三角形相似

用“两角相等”证三角形相似
摘要在应用相似三角形判定时，我们经常用到“两个三角形中，有两个角对应相等，则这两个三角形相似”这一判定。

下面我就用这一判定，来探究下列问题。

关键词三角形相似；两角相等；中学教育
如图，B、P、C在一直线上，若∠B=∠C=∠DPE，DP交AB（或AB延长线）于点F，PE交CA或其延长线于E，则△BPE～△CEP。

证明：∵∠B=∠C=∠DPA
则∠1+∠2=∠1+∠3，∴∠2=∠3
∴△BPF∽△CEP
举例说明：
例1：（2012，成都）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，OB=2OA，点A的坐标（-1，2），求点B的坐标。

解：分别过A、B作X轴的垂线，垂足分别为C、D，
易得到△AOC～△OBD，很容易求得B（4，2）。

例2：如图，△ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=900，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q。

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证△BPE≌△CQE。

（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE～△CQE；并求当BP=a，CQ=a时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）。

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=450，AB=AC，
∵AP=AQ，∴BP=CQ
∵E是BC的中点∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵BE=CE∠B=∠C
∴△BPE≌△CQE
BP=CQ
（2）∵△ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=450，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C
∴∠BEP=∠EQC
∴△BPE∽△CEQ，∴=
∵BP=a，CQ=a，BE=CE=a，
∴AB=AC=BC·sin的450=3a
∴AQ=CQ-AC=a，BA-BP=2a，
连接PQ，在Rt△APQ中，PQ==a
练习：
（2012夏门）△ABC中，AB=AC，D为BC边中点，以D为顶点作∠MDN=∠B。

（1）如图①，当射线DM经过点A时，DN交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；
（2）如图②得∠MDN绕点N沿逆时针方向旋转，DM、DN分别交线段AC、AB于E、F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论。

（3）在图③中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC面积的时，求线段EF的长。

利用上述条件证明两三角形相似，在近几年中考试题中经常见到，在今后的学习中再见到此类的题目，我们就应该想到用相似的知识来解决此类问题。