相似三角形章末重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)

专题1.4 相似三角形章末重难点题型
【浙教版】
【考点1 比例线段】
【方法点拨】对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【例1】下面四组线段中，成比例的是（）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10D．a=√2，b=√3，c＝3，d=√2
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、2×5≠3×4，故选项错误；
B、1×4＝2×2，故选项正确；
C、4×10≠5×6，故选项错误；
D、√3×3≠√2×√2，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
【变式1-1】已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm
【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．
【解答】解：因为a，b，c，d是成比例线段，
可得：d=2×6
3
=4cm，
故选：A．
【点评】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．【变式1-2】若a是2，4，6的第四比例项，则a＝；若x是4和16的比例中项，则x＝．【分析】根据第四比例项的概念，得2：4＝6：a，则a可求；
根据比例中项的概念，得x2＝4×16，则x可求．
【解答】解：∵a是2，4，6的第四比例项，
∴2：4＝6：a，
∴a＝12；
∵x是4和16的比例中项，
∴x2＝4×16，解得x＝±8．
故答案为：12；±8．
【点评】考查了比例线段，此题的重点是理解第四比例项、比例中项的概念，根据概念正确写出比例式．【变式1-3】已知四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为．
【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【解答】解：∵四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，
∴a：3＝（a+1）：4
即3（a+1）＝4a
解得a ＝3． 故答案为3．
【点评】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义． 【考点2 黄金分割】
【方法点拨】黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =
√5−1
2
AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．
【例2】在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果
AC
AB
=
BC AC
，那么点C 叫做线段AB 的
黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点，当MN ＝1时，PM 的长是 ． 【分析】分PM ＞PN 和PM ＜PN 两种情况，根据黄金比值计算． 【解答】解：当PM ＞PN 时，PM =√5−1
2
MN =√5−1
2
，
当PM ＜PN 时，PM ＝MN −√5−1
2
MN =3−√52
， 故答案为：
√5−12或3−√5
2
． 【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是
√5−1
2
是解题的关键． 【变式2-1】如果点C 是线段AB 的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是√5−1
2
的为（ ）
A ．
AC BC
B ．
BC AC
C ．
BC AB
D ．
AB
BC
【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（
√5−1
2
）叫做黄金比作出判断． 【解答】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点， ∴AC 2＝AB •BC （AC ＞BC ）， 则
AC AB
=
BC AC
=
√5−1
2
； 或BC 2＝AB •AC （AC ＜BC ）， 则
AC BC
=
BC AB
=
√5−1
2
． 故只有
AB BC
的值不可能是
√5−1
2
． 故选：D ．
【点评】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
【变式2-2】如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ，若S 1表示AE 为边长的正方形面积，S 2表示以BC 为长，BE 为宽的矩形面积，S 3表示正方形ABCD 除去S 1和S 2剩余的面积，则S 3：S 2的值为（ ）
A ．
√5−1
2
B ．
√5+1
2
C ．
3−√52
D ．
3+√5
2
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =√5−1
2
AB ，进行计算
即可．
【解答】解：如图，设AB ＝1，
∵点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点，且AE ＞EB ， ∴AE ＝GF =
√5−1
2
，
∴BE ＝FH ＝AB ﹣AE =
3−√5
2
， ∴S 3：S 2＝（GF •FH ）：（BC •BE ） ＝（√5−12×3−√52
）：（1×3−√5
2） =
√5−1
2
．
故选：A ．
【点评】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义． 【变式2-3】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即
满足
MG
MN
=
GN MG
=
√5−12，后人把√5−1
2
这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）
A ．10﹣4√5
B ．3√5−5
C ．
5−2√5
2
D ．20﹣8√5
【分析】作AH ⊥BC 于H ，如图，根据等腰三角形的性质得到BH ＝CH =1
2BC ＝2，则根据勾股定理可计算出AH =√5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE =√5−1
2
BC ＝2√5−2，则计算出HE ＝2√5−4，
然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：作AH ⊥BC 于H ，如图， ∵AB ＝AC ，
∴BH ＝CH =1
2
BC ＝2，
在Rt △ABH 中，AH =√32−22=√5， ∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点， ∴BE =
√5−1
2
BC ＝2（√5−1）＝2√5−2，
∴HE ＝BE ﹣BH ＝2√5−2﹣2＝2√5−4， ∴DE ＝2HE ＝4√5−8
∴S △ADE =1
2×（4√5−8）×√5=10﹣4√5． 故选：A ．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC ＝AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中AC =
√5−1
2
AB ≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．
【考点3 比例的基本性质】
【方法点拨】解决此类问题通常利用设k 法即可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用. 【例3】已知：a ：b ：c ＝2：3：5 （1）求代数式
3a−b+c 2a+3b−c
的值；
（2）如果3a ﹣b +c ＝24，求a ，b ，c 的值．
【分析】（1）根据比例设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k （k ≠0），然后代入比例式进行计算即可得解； （2）先设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k （k ≠0），然后将其代入3a ﹣b +c ＝24，即可求得a 、b 、c 的值． 【解答】解：（1）∵a ：b ：c ＝2：3：5， ∴设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k （k ≠0）， 则
3a−b+c 2a+3b−c
=
6k−3k+5k 4k+9k−5k
=1；
（2）设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k （k ≠0），则 6k ﹣3k +5k ＝24， 解得k ＝3． 则a ＝2k ＝6， b ＝3k ＝9， c ＝5k ＝15．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k 法”求解更简便． 【变式3-1】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a+43
=
b+32
=
c+84
，且a +b +c ＝12，请你探索△ABC
的形状．
【分析】令第一个等式等于k ，表示出a ，b ，c ，代入第二个等式求出k 的值，即可作出判断． 【解答】解：设
a+43
=
b+32
=
c+84
=k ，
可得a ＝3k ﹣4，b ＝2k ﹣3，c ＝4k ﹣8， 代入a +b +c ＝12得：9k ﹣15＝12， 解得：k ＝3， ∴a ＝5，b ＝3，c ＝4， 则△ABC 为直角三角形．
【点评】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 【变式3-2】已知
2a b+c+d
=
2b a+c+d
=
2c a+b+d
=
2d a+b+c
=k ，求k 值．
【分析】依据等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)
=k ，分两种情况讨论，即可得到k 的值． 【解答】解：∵
2a
b+c+d
=
2b a+c+d
=
2c
a+b+d
=
2d a+b+c
=k ，
∴由等比性质可得，
2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)
=k ，
当a +b +c +d ≠0时，k =2(a+b+c+d)
3(a+b+c+d)=2
3； 当a +b +c +d ＝0时，b +c +d ＝﹣a ， ∴k =
2a b+c+d =2a
−a
=−2；
综上所述，k 的值为23
或﹣2．
【点评】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 【变式3-3】已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a+b−c c
=
a−b+c b
=
−a+b+c
a
，求
(a+b)(b+c)(c+a)
abc
的
值．
【分析】已知等式利用比例的性质化简表示出a +b ，a +c ，b +c ，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：当a +b +c ≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：
a+b−c c =
a−b+c b
=
−a+b+c
a
=
a+b−c+a−b+c−a+b+c
a+b+c
=
a+b+c a+b+c
=1，
即a +b ﹣c ＝c ，a ﹣b +c ＝b ，﹣a +b +c ＝a ， 整理得：a +b ＝2c ，a +c ＝2b ，b +c ＝2a ， 此时原式=8abc
abc =8；
当a +b +c ＝0时，可得：a +b ＝﹣c ，a +c ＝﹣b ，b +c ＝﹣a ， 则原式＝﹣1． 综上可知，
(a+b)(b+c)(c+a)
abc
的值为8或﹣1．
【点评】此题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点4 平行线分线段成比例】
【方法点拨】平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【例4】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ；AC 与DF 交于点O ．已知DE ＝3，EF ＝6，AB ＝4．
（1）求AC 的长；
（2）若BE ：CF ＝1：3，求OB ：AB ．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可． （2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可． 【解答】解：（1）∵l 1∥l 2∥l 3， ∴DE DF =
AB AC
， 即
33+6
=
4AC
，
解得：AC ＝12； （2）∵l 1∥l 2∥l 3， ∴
BE CF
=
OB OC
=1
3
，
∵AB ＝4，AC ＝12， ∴BC ＝8， ∴OB ＝2， ∴
OB AB
=
24
=1
2
．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【变式4-1】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于（ ）
A ．
103
B ．
203
C ．5
2
D ．
152
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AD DF
=
BC CE
=3，则BC ＝3CE ，然后利用BC +CE ＝BE ＝10可
计算出CE 的长．
【解答】解：∵AB ∥CD ∥EF ， ∴
AD DF
=
BC CE
=3，
∴BC ＝3CE ， ∵BC +CE ＝BE ， ∴3CE +CE ＝10， ∴CE =5
2． 故选：C ．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【变式4-2】如图，在△ABC 中，AD ∥BC ，点E 在AB 边上，EF ∥BC ，交AC 边于点F ，DE 交AC 边于 点G ，则下列结论中错误的是（ ）
A ．
AE BE
=
AF CF
B ．
AG GF
=
DG EG
C ．
AG GF
=
AE EB
D ．
AE
AB
=
AF AC
【分析】由AD ∥EF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理可得出对应线段成比例，逐一检查每个选项即可得出正确答案． 【解答】解：∵EF ∥BC ∴
AE BE
=
AF CF
，∴答案A 正确；
根据合比性质，则有
AE AE+BE
=AF AF+CF
即：
AE
AB
=
AF AC
，∴答案D 正确；
又∵AD ∥EF
∴AG GF =DG EG ，∴答案B 正确； 而
AG GF
=
DG EG
=
AD EF
，∴答案C 错误．
故选：C ．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，把握定理中对应线段成比例的“对应”两个字是解决本题的关键．
【变式4-3】已知，在△ABC 中，点D 为AB 上一点，过点D 作DE ∥BC ，DH ∥AC 分别交AC 、BC 于点E 、H ，点F 是BC 延长线上一点，连接FD 交AC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ）
A ．
AD DB
=
AE DH
B ．
CF
DE
=
DH CG
C ．
FD FG
=
EC CG
D ．
CH BC
=
AE AC
【分析】首先证明四边形DECH 是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可． 【解答】解：∵DE ∥BC ，DH ∥AC ， ∴四边形DECH 是平行四边形， ∴DH ＝CE ，DE ＝CH ， ∵DE ∥BC ， ∴
AD DB
=
AE EC
=
AE DH
，故选项A 正确，不符合题意，
∵DH ∥CG ， ∴
DF FG
=
DH GC
=
EC CG
，故C 正确，不符合题意，
∵DE ∥BC ， ∴DE BC =AE AC ，
∴
CH BC
=
AE AC
，故D 正确，不符合题意，
故选：B ．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
【考点5 相似三角形的判定】
【方法点拨】相似三角形的判定方法汇总：
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似
【例5】如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（）
A．B．
C．D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AC=√12+22=√5，AB=√12+12=√2，BC＝1，
∴BC：AB：AC＝1：√2：√5，
A、三边之比为1：√2：√5，选项A符合题意；
B、三边之比√2：√5：3，选项B不符合题意；
C、三边之比为2：√5：√17，选项C不符合题意；
D、三边之比为√5：√5：4，选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
【变式5-1】在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是
（）
A．B．
C．D．
【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【解答】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【变式5-2】如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（）
A ．②④
B ．②⑤
C ．③④
D ．④⑤
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【解答】解：由题意：①②④中，∠ABC ＝∠ADE ＝∠AFH ＝135°， 又∵AB BC
=
AD DE
=
FH AF
=
√22
， ∴
AB AD
=
BC DE
，AB FH
=BC AF
，
∴△ABC ∽△ADE ∽△HF A ， 故选：A ．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式5-3】如图，点A 、B 、C 、D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是（ ）
A ．（4，2）
B ．（6，0）
C ．（6，3）
D ．（6，5）
【分析】利用A 、B 、C 的坐标得到AB ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
【解答】解：∵点A 、B 、C 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1）， ∴AB ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，
当E 点坐标为（4，2），而D （6，1），则CE ＝1，CD ＝2，∠ECD ＝90°， ∵
AB CD
=
BC EC
=3，∠ABC ＝∠ECD ，
∴△ABC ∽△DCE ；
当E 点坐标为（6，0），而D （6，1），则ED ＝1，CD ＝2，∠EDC ＝90°， ∵
AB CD
=
BC ED
=3，∠ABC ＝∠EDC ，
∴△ABC ∽△EDC ；
当E 点坐标为（6，3），而D （6，1），则ED ＝2，CD ＝2，∠EDC ＝90°， ∵
AB CD
≠
BC ED
，∠ABC ＝∠EDC ，
∴△ABC 与△ECD 不相似；
当E 点坐标为（6，5），而D （6，1），则ED ＝4，CD ＝2，∠EDC ＝90°， ∵
AB ED
=
BC CD
=3
2
，∠ABC ＝∠EDC ，
∴△ABC ∽△EDC ． 故选：C ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了坐标与图形性质．
【考点6 相似三角形的性质（周长）】
【方法点拨】掌握相似三角形周长比等于对应边的比是解题关键.
【例6】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 在AD 上，如果∠ABE ＝∠C ，AE ＝2ED ，那么△ABE 与△ADC 的周长比为（ ）
A ．1：2
B ．2：3
C ．1：4
D ．4：9
【分析】根据已知条件先求得S △ABE ：S △BED ＝2：1，再根据三角形相似求得S △ACD =9
4
S △ABE 即可求得． 【解答】解：∵AD ：ED ＝3：1， ∴AE ：AD ＝2：3，
∵∠ABE ＝∠C ，∠BAE ＝∠CAD ， ∴△ABE ∽△ACD ， ∴L △ABE ：L △ACD ＝2：3，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．
【变式6-1】如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）
A．16B．17C．24D．25
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，
∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG=√AB2−BG2=√102−82=6，
∴AE＝2AG＝12，
∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，
∴△CEF的周长为16．
故选：A．
【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大． 【变式6-2】如图，点E 是▱ABCD 的边AD 上的一点，且DE AE
=1
2
，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，
若DE ＝3，DF ＝4，则▱ABCD 的周长为（ ）
A ．21
B ．28
C ．34
D ．42
【分析】根据平行四边形的性质得AB ∥CD ，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB ，AE ，进而根据平行四边形的周长公式求得结果． 【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CF ，AB ＝CD ， ∴△ABE ∽△DFE ， ∴
DE AE
=
FD AB
=1
2
，
∵DE ＝3，DF ＝4， ∴AE ＝6，AB ＝8， ∴AD ＝AE +DE ＝6+3＝9，
∴平行四边形ABCD 的周长为：（8+9）×2＝34． 故选：C ．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答
【变式6-3】如图，已知平行四边形ABCD ，点E 在DC 上，DE ：EC ＝2：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的周长之比为（ ）
A．4：9B．1：3C．1：2D．2：3
【分析】可证明△DFE∽△BF A，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BF A，
∵DE：EC＝2：1，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∴C△DFE：C△BF A＝2：3．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
【考点7 相似三角形的性质（面积）】
【方法点拨】掌握相似三角形面积比是对应边比的平方的性质是解题关键.
【例7】如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（）
A．1：3B．1：8C．1：9D．1：4
【分析】易证△DEF∽△CBF同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解题．
【解答】解：∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE ∥BC ， ∴△DEF ∽△CBF ， ∴DE ：BC ＝DF ：FC ＝1：3 同理△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE ：S △ABC ＝1：9， 故选：C ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面积比是对应边比例的平方的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式7-1】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在DA 的延长线上，且AE =1
3
AD ，连接CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ，则S △BGC ：S 四边形ADCG 的值是（ ）
A ．3
5
B ．5
3
C ．5
7
D ．3
4
【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，再证明△AEG ∽△BCG ，利用相似的性质得到
S △AEG S △BCG
=1
9
，证明△EAG ∽△EDC ，利用相似比得到
S △EAG S △EDC
=
1
16
，所以S 四边形ADCG ＝15S △EAG ，
然后计算S △BGC ：S 四边形ADCG 的值．
【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，AB ∥CD ， ∵AE ∥BC ， ∴△AEG ∽△BCG ， ∴
S △AEG S △BCG
=（
AE BC
）2＝（
AE
AD
）2＝（1
3
）2=1
9
，
即S △BCG ＝9S △AEG ， ∵AG ∥CD ， ∴△EAG ∽△EDC ， ∴
S △EAG S △EDC
=（
EA
ED
）2＝（
EA
EA+AD
）2＝（1
4
）2=1
16，
即S △EDC ＝16S △EAG ， ∴S 四边形ADCG ＝15S △EAG ，
∴S △BGC ：S 四边形ADCG ＝9S △AEG ：15S △EAG ＝3：5． 故选：A ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质． 【变式7-2】如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE ：S △COA ＝1：25，则S △DOE 与S △COE 的比是（ ）
A ．1：25
B ．1：5
C ．1：4
D ．1：3
【分析】通过证明△DOE ∽△COA ，可得S △DOE S △COA =（OD OC ）2=125，可求OD OC =1
5
，即可求解．
【解答】解：∵DE ∥AC ， ∴△DOE ∽△COA ， ∴S △DOE S △COA =（OD OC ）2=1
25，
∴
OD OC
=1
5
，
∴S △DOE 与S △COE 的比为1：5， 故选：B ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
【变式7-3】已知如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么S △CPE ：S △ABC ＝ ．
【分析】连结AP并延长交BC于点F，则S△CPE＝S△AEP，S△AEP＝S△ADP，可得S△CPE：S△ADE＝1：2，由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，可得S△ADE：S△ABC＝1：4，则S△CPE：S△ABC＝1：8．
【解答】解：连结AP并延长交BC于点F，
∵DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴S△CPE＝S△AEP，
∵点P是DE的中点，
∴S△AEP＝S△ADP，
∴S△CPE：S△ADE＝1：2，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∴S△CPE：S△ABC＝1：8．
故答案为：1：8．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
【考点8 相似基本模型（A字型）】
【方法点拨】基础模型：
A字型（平行）反A字型（不平行）
【例8】已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF •CA ． （1）求证：EF ∥BD ；
（2）如果AC •CF ＝BC •CE ，求证：BD 2＝DE •BA ．
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CD AC
=
CE CB
，由CD 2＝CF •CA ，可得
CF
CD
=
CE CB
，可证EF ∥BD ；
（2）通过证明△BAD ∽△DBE ，可得BA
BD
=
BD DE
，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵DE ∥AB ， ∴
CD AC
=
CE CB
，
∵CD 2＝CF •CA ． ∴CD AC =CF CD ，
∴
CF CD
=
CE CB
，
∴EF ∥BD ； （2）∵EF ∥BD ， ∴∠CEF ＝∠CBD ， ∵AC •CF ＝BC •CE ， ∴
AC BC
=
CE CF
，且∠C ＝∠C ，
∴△CEF ∽△CAB ， ∴∠CEF ＝∠A ， ∴∠DBE ＝∠A ， ∵DE ∥AB ，
∴∠EDB ＝∠DBA ，且∠DBE ＝∠A ， ∴△BAD ∽△DBE ，
∴
BA BD
=
BD DE
∴BD 2＝BA •DE
【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式8-1】如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 交DB 于点F ，已知AD ＝6，BC ＝8，AE ＝6，EF ＝2． （1）求EB 的长； （2）求FG 的长．
【分析】（1）由EG ∥AD 可得出△BAD ∽△BEF ，利用相似三角形的性质可求出EB 的长；
（2）由EG ∥∥BC 可得出△AEG ∽△ABC ，利用相似三角形的性质可求出EG 的长，再结合FG ＝EG ﹣EF 可求出FG 的长．
【解答】解：（1）∵EG ∥AD ， ∴△BAD ∽△BEF ， ∴
BE BA
=
EF AD
，即
BE
BE+6
=2
6
，
∴EB ＝3．
（2）∵EG ∥∥BC ， ∴△AEG ∽△ABC ， ∴
EG BC
=
AE AB
，即
EG 8
=
66+3
，
∴EG =
16
3
， ∴FG ＝EG ﹣EF =10
3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质，求出EB 的长；（2）利用相似三角形的性质，求出EG 的长．
【变式8-2】如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3． （1）求CE 的长．
（2）在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别是AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．小明认为DP BQ
=
PE QC
，
你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．
【分析】（1）证明△ADE ∽△ABC ，所以
AD AD+BD
=
AE AE+EC
，代入数据即可求出CE 的长度．
（2）在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ，所以△ADP ∽△ABQ ，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】解：（1）由DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴
AD AD+BD
=
AE AE+EC
，
∵AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3， ∴CE ＝6．
（2）结论正确，理由如下， 在△ABQ 中，由于DP ∥BQ ， ∴△ADP ∽△ABQ ， ∴
DP BQ
=
AP AQ
， 同理可得：
EP
CQ
=
AP AQ
，
∴
DP BQ
=
EP CQ
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 【变式8-3】如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且
AD AC
=
DF CG
．
（1）求证：△ADF ∽△ACG ； （2）若
AD AC
=37
，求
AF FG
的值．
【分析】（1）由∠AED ＝∠B 、∠DAE ＝∠CAB 利用相似三角形的判定即可证出△ADE ∽△ACB ；根据相似三角形的性质再得出∠ADF ＝∠C ，即可证出△ADF ∽△ACG ； （2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ， ∴△AED ∽△ABC ， ∴∠ADF ＝∠C ， 又∵
AD AC
=
DF CG
，
∴△ADF ∽△ACG ；
（2）解：∵△ADF ∽△ACG ， ∴AD AC =
AF AG ，
∵AD AC =37
， ∴AF AG =3
7，
∴
AF FG
=3
4
．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题．
【考点9 相似基本模型（X 字型）】
【方法点拨】基础模型：
X 字型（平行） 反X 字型（不平行）
【例9】如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =3
2，DO =92
．
（1）求证：∠A ＝∠D ．
（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．
【分析】（1）证明△OAB ∽△ODC ，可得出结论； （2）证得AB ∥CD ，可得
AE DF
=OE OF
，BE CF
=OE OF
，则结论得证．
【解答】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =3
2
，DO =9
2
． ∴
OB OC
=
AO DO
，
∵∠AOB ＝∠COD ， ∴△OAB ∽△ODC ， ∴∠A ＝∠D ． （2）∵∠A ＝∠D ， ∴AB ∥CD ， ∴AE DF =OE OF ，
BE CF
=
OE OF
，
∴
AE DF
=
BE CF
．
∵AE ＝BE ， ∴CF ＝DF ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．熟练掌握定理内容是解题的关键．
【变式9-1】如图：已知▱ABCD ，过点A 的直线交BC 的延长线于E ，交BD 、CD 于F 、G ． （1）若AB ＝3，BC ＝4，CE ＝2，求CG 的长； （2）证明：AF 2＝FG ×FE ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，证明△EGC ∽△EAB ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（2）分别证明△DFG ∽△BF A ，△AFD ∽△EFB ，根据相似三角形的性质证明． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴△EGC ∽△EAB ， ∴
CG AB
=
EC EB
，即
CG 3
=
22+4
，
解得，CG ＝1；
（2）证明：∴AB ∥CD ， ∴△DFG ∽△BF A ， ∴
FG FA
=
DF FB
，
∴AD ∥CB ， ∴△AFD ∽△EFB ， ∴AF FE =DF FB ，
∴
FG FA
=
AF FE
，即AF 2＝FG ×FE ．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式9-2】如图，AG ∥BD ，AF ：FB ＝1：2，BC ：CD ＝2：1，求
GE ED
的值
【分析】证明△AFG ∽△BFD ，可得AG BD
=
AF BF
=1
2
，由AG ∥BD ，可得△AEG ∽△CED ，则结论得出．
【解答】解：∵AG ∥BD ， ∴△AFG ∽△BFD ， ∴AG BD =
AF BF
=1
2
，
∵
BC CD
=2，
∴CD =1
3BD ， ∴
AG CD
=3
2
，
∵AG ∥BD ， ∴△AEG ∽△CED ， ∴
GE ED
=
AG CD
=3
2
．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【变式9-3】如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA •BC ＝BD •BE ． （1）求证：△ABD ∽△EBC ； （2）求证：AD 2＝BD •DE ．
【分析】（1）根据相似三角形的判定证明△ABD ∽△EBC 即可；
（2）由相似三角形的判定证明△ABD ∽△EBC ，△ADE ∽△BEC ，△AED ∽△ABD ，再利用相似三角形的性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠EBC ， ∵BA •BC ＝BD •BE ．
即
AB BC
=
BD BE
，
∴△ABD ∽△EBC ； （2）∵△ABD ∽△EBC ，
∴∠BAD ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠BCE ， ∵∠AED ＝∠BEC ， ∴∠BAD ＝∠AED ， ∴△ADE ∽△BEC ， ∴△AED ∽△ABD ， ∴
AD BD
=
DE AD
，
即AD 2＝BD •DE ．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定方法解答． 【考点10 相似基本模型（AX 型）】
【方法点拨】A 字型及X 字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【例10】如图，△ABC 中，D ．E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE ． （1）求证：△ADE ∽△ABC ； （2）若DF ＝2，求FC 的长度．
【分析】（1）由BD ＝2AD ，CE ＝2AE 可得出
AD AB
=
AE AC
，结合∠DAE ＝∠BAC 可证出△ADE ∽△ABC ；
（2）由△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质可得出DE BC
=1
3
及∠ADE ＝∠ABC ，利用“同位角相等，
两直线平行”可得出DE ∥BC ，进而可得出△DEF ∽△CBF ，再利用相似三角形的性质可求出FC 的长． 【解答】（1）证明：∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ， ∴
AD AB
=
AE AC
=1
3
，
又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC ；
（2）解：∵△ADE ∽△ABC ， ∴
DE BC
=
AD AB
=1
3
，∠ADE ＝∠ABC ，
∴DE ∥BC ， ∴△DEF ∽△CBF ， ∴
DF CF
=
DE CB
，即
2
CF
=1
3
，
∴FC ＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是：（1）利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证出△ADE ∽△ABC ；（2）利用相似三角形的性质及平行线的判定定理，找出DE ∥BC ．
【变式10-1】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果
CE BE
=23
，求
FE EG
的值．
【分析】由平行四边形的性质可得出AD ∥BC ，AD ＝BC ，由AD ∥BE 可得出△BEF ∽△DAF ，利用相似三角形的性质结合
CE BE
=23
可得出AE =8
3
EF ，由CE ∥AD 可得出△CEG ∽DAG ，利用相似三角形的性质
可得出GE =2
5GA =23AE ，代入AE =8
3EF 即可得出FE
EG
=
916
．
【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ． ∵AD ∥BE ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴
EF AF
=
BE DA
．
又∵BC ＝BE +CE ，
CE
BE
=2
3
，
∴BE =35BC =3
5DA ， ∴EF =3
5AF ，
∴AE =
3+53EF =8
3
EF ． ∵CE ∥AD ， △CEG ∽DAG ， ∴
GE GA
=
CE DA
=
2
2+3
，
∴GE =2
5GA ，
∴GE =2
5−2AE =2
3×8
3EF =16
9EF ， ∴
FE EG
=
9
16
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用相似三角形的性质，找出AE =
83EF 及GE =2
3
AE 是解题的关键． 【变式10-2】已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ． （1）求证：△AFG ∽△CMG ； （2）求证：
GF GM
=
EF EM
．
【分析】（1）可得出∠F AG ＝∠MCG ，又∠AGF ＝∠CGM ，则结论得证； （2）由（1）可得出
GF GM
=
AF CM
，证明△AEF ∽△BEM ，可得出
AF BM
=
EF EM
，由BM ＝CM ，则结论得出．
【解答】（1）证明：∵AD ∥BC ， ∴∠F AG ＝∠MCG ， ∵∠AGF ＝∠CGM ， ∴△AFG ∽△CMG ；
（2）证明：∵△AFG ∽△CMG ， ∴
GF GM
=
AF CM
∴△AEF ∽△BEM ， ∴
AF BM
=
EF EM
又∵CM ＝BM ， ∴AF CM =EF EM ， ∴
GF GM
=
EF
EM
．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式10-3】如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，AB CD
=12
，
BF CF
=1
2
．
（1）求证：AB ∥EF ；
（2）求S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ．
【分析】（1）只要证明
BE ED
=
BF FC
=1
2
，即可推出EF ∥CD 解决问题；
（2）设△ABE 的面积为m ．利用相似三角形的性质，等高模型求出△BCE ，△ECD 的面积即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AB ∥CD ， ∴AB CD =
BE ED =1
2
，
∵BF CF =12
， ∴
BE ED
=
BF FC
，
∴EF ∥CD ， ∴AB ∥EF ．
（2）解：设△ABE 的面积为m ．。