2016年高联-答案

p 11. 设抛物线为 y 2 2 px ，则 F , 0 ，记 P a, b ，OP 的倾斜角为 ． 2
于是两圆半径平方和为：
2 sin 2 r12 r22 OP cot OP tan 2OP 2 2 a 2 b2 2 2 2 sin
AB BE AC CE
三、所求最大值为 15。 考虑每个角的两个端点组成的两点组，由无四边形可知所有这些两点组互不相同．再考虑每条边的两 个端点组成的两点组，由无三角形可知这些两点组与前面的两点组也互不相同．设 10 个点所连的边
2 2 e C10 数分别为 a1 , a2 , , a10 ，总边数为 e，计算所有这两类两点组的个数，可得： Ca （*） i i 1 10





要使得乘积最大，只需考虑 a2016 a12 0 的情况． 由均值不等式：
a1 a
2 2
a2 a a2016
2 3
2 a1 a2 a2 a32 a2016 a12 a 2016 2 1 2
而 cos C
a b c 2ab 7 ． 3
2
2
2
a 2 b2
1 2 2 1 2 2 1 2 a 2b 2 2 a b 3 3 3 2 3 3 2ab 2ab 2 3
故 sin C 最大为
1 1 10. 我们归纳证明 n 2 时， f n n 1!
x 当 n 2 时，由 f xf x ，令 x 1 ，可得 x 1 1 1 f f 1 f 1 1 ． 1! 2
若 n k 成立，考虑 n k 1 时．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 x ． 由f f f xf x ，令 x ，可得 f k k k k k k 1! k ! k x 1 k 1
即 k 1 bk 1 kbk pbk ，从而 bk 1
2 p 1 k p k 2 p 1 k 1 kp bk Ck p 1 Ck p ． k 1 p p 2 k 1 p p 2
1 再由 Ckk p
综上，命题成立．
1 1 而 f 1 f f 100 2 1 1 f f 99 50 1 1 1 1 1 f 51 99! 1! 98! 49! 50!

1 1 1 0 298 0 1 49 1 99 C C C C C C 99 99 99 99 99 99 99! 99! 2 99!
k p ! ，注意 k 1 3 ，故 p p 2 | k p ! k 1! p 1!
同时由 k 1 p 1 ，p 与 p 2 为质数，可知 p p 2 与 k 1! p 1! 互质．
1 故 k 1 ! p 1 !| Ckk p ，即 bk 1 为整数．
注意 b2
p 1 ． 2p 1 ， b3 3 2
2
当 n 3 时，由 p 与 p 2 为质数，且均大于 3 知 3 | p 1 ，故 b3 为整数． 当 n k 时成立， n k 1 时：
pa 由 ak ak 1 k 1 ，且 n | pak 1 1 ，可得 pak 1 pak 1 1 n pa 1 p k 1 ． n
2
2
2
b2 2 2 2 2 a 2 b2 2 a b 2a b b2 b2 a 2 b2
而由切线方程 PQ : by p x a ，可得 Q a,0 ，从而由 PQ 2 得 4a 2 b 2 4
3 1 2 1 b 2 2 b 2 4 2 即求 的最小值． 2 b 1 3 1 x 2 x 2 3 2 3 4 4 2 考虑 f x x 2 2 x 2 2 3 ，当 x 3 时取到等号． 3 x x 8 x 8 3 b2 4 此时有 b ，p 3 ，于是 a 2 1 3 3 2a
检验 a1 a2 a2016
二、设两圆的另一交点为 D，AD 交 BC 于 E 则 XE EC AE ED BE EY 即 XB BE EC BE EC CY 于是 BX CE CY BE ，结合条件可知 从而 AE 为角平分线 而 O1O2 ⊥AE，故 AU AV ．
2016 高中联赛试题解答
一试部分
一、填空题 1.
2 3 10 3 ,.
9 35
5.
arctan
2 3
6.
16
7.
7 1
8.
40
二、解答题 9. 由向量内积定义，条件可转化为 bc cos A 2ac cos B 3ab cos C 带入余弦定理，整理可得 a 2 2b 2 3c 2 要使得 sin C 尽可能大，即 cos C 尽可能小．
由 ai 2e 可得 ai2
i 1
i 1
10
10
1 10 2 ai e 2 ，结合（*）即得 e 15 ． 10 5 i 1
2
构造如图（任意一种即可） ：
四、令 bn
2 p 1 n pan 1 1 ，下面归纳证明当 p 1 n 3 时， bn Cn p 1 且 bn 为整数． n p p 2
2
4 3 3 2 1 3 3

1 ．于是 F 的坐标为 , 0 ． 3 3 3 3 2
加试部分
一、由 9ai 11ai21 9ai21 ，可得 ai ai21 0 （ i 1, 2,, 2015 ）
2 2 2 a2 a3 a2015 a2016 a2016 a12 中前 2015 个括号内均为正数． 故 a1 a2
综上，原命题得证．
2016
1 2016
2016
a k a 2k k 1
2016
而 f x x x2
1 1 1 1 2 2 x ．故 a1 a2 a2 a3 a2016 a12 2016 4 4 2 4 1 1 满足题意并使得等号成立，故最大值为 2016 ． 2 4