电磁场与电磁波第四版第三章部分答案

电磁场与电磁波第三章
无限大导体平板分别置于k = 0和x - d处，板间充满电荷，其体
电荷密度为p =-:极板间的电位分别为0和如图所示，求两d
级板之间的电位和电场强度。

解：由泊松定理得
d2* _ 1
dx2电o d
3
解得二:
6«od
|在久=0处* * = 0,故B = 0
在X二d处，"二％故U。

二-页j亠Ad
证明：同轴线单位长度的静电储能$二巴。

式中山为单位长度上的电
臼2C|
6 c od +
荷量，C为单位长度上的电容。

解：由高斯定理可知：
故内外导体间的电压为
qj Qi h
------- d P = ---- ------ ln-
则电容为
有一半径为a,带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为
5和F.汕勺两种介质的分界面上，该分界面为无限大平面。

试求：（1）导体球的电容；（2）总的静电常量解：根据边界条件则Eit = E2t,故有□二E?二日，由于
I ■ I _■_ _,所以一- I |_ 1 1;
l）iSi I P2S2 = q
即 2 n r2 f ]E 十2^r2- Q
n q
E =-------- ---------------
2 n r2（ e 1 + e 2）
导体球的电位为“（日）二J’Edr二N77：+ 二心
电容为「二為=2肌（£ 1亠5）』
⑵总的静能量为1I | I
在一块厚度为d的导电板上，由两个半径分别为卜汇4的圆弧和夹角为u 的两半径割出的一块扇形体，如图所示。

试求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；（3）沿方向的两电极间的电阻。

设导电板的电导率为。

&
解：（1）设沿厚度方向的两电极的电压为
f U1
则El 二7
aUi
J1二晌二〒
11 = JiSi =晋-7（ra2一n2）
故得到沿厚度方向的电阻为
无限长直线电流I 垂直于磁导率分别为
「1和叫的两种磁介质的分界 鸟 1
辺 应rd (3)设沿 . 一―一 J 厂頁 i'2 u dU 3
------- d r
… a r ri 1 0 dU 3 r 2 ------ 1 n — a n
u 3 a Rj =—= h o din — ri 2d
Il a O (r 22 - \'\
(2)设内外两圆弧面电极之间的电流为
1 [
2 I 2 J2肓
a rd
12
比 12 匚2
E^dr = -------In 一
F L
CL rd V] 故两圆弧面之间的电阻为
<1
K^rd® o 沿d 方向的电阻为
1
_ (u - jio)l
7 _ U 憑_ H _ 五u 叶 心—T ；'=0
以z 轴为中心, 为半径做一个圆形回路C,由安培环路定理得
其厚度可忽略不计。

内外导体间填充有磁导率为
■两种不同的 面，如图所示，试求： （1）两种磁介质中的磁感应强度Bi 和比;⑵ 磁化电流分布。

解：（1）由安培环路定理可知一 一
> —
B]
Ul
(2)磁介质的磁化强度
—1 d <
，- >
(M - wo)I I d / 了二 R x M 二 e.-JpMo)二 e h =
l)l /
在磁介质表面，磁化电流面密度为
■
（口 - *）1 —* 二一*XT 二 E D -----------------------------------------------
J"5 H 无4 = 0 2 皿口 0 P
同轴线的内导体是半径为a 的圆柱，外导体是半径为b 的薄圆柱面, 磁介质，如题所示，设同轴线中通过的电流为 I,试求：（1）同轴线 中单位长度所存储的磁场能量；（2）单位长度的自感。

了
J dl
解：由边界条件可知，两种磁介质中的磁感应强度
（1）利用安培环路定理，
当P〈八吋，有2"pBo 二一n p2
n a
r oo qE (x) dr =
co
1 八盼
1 f b B
2 1 p B 2 W rn - - I —2 n p <] p + - I —TT pdp +二| —K pdp -J (i do -J 注2J a 1^2 Mfll 2 U 1 U 2]2 b
二 77~ + 二—； ------------ l n -
lb 2 JT ( u 1 -•■ u 2) a
(2)由汕二扣I 笃则单位长度的自感为
2Wn ) A 0 U1 u 2 b L = — = -— + —: -------------------- ln- ]2 8 Ji n ( U t -F U 2) a
一个点电荷q 与无限大导体平面的距离为d,如果把它移到无穷远处,
需要做多少功 解：利用镜像法求解。

当点电荷 q 移到到距离导体平面为x 的点 p （x,0,0）时，其像电荷 q 二-q,位于点（-x, 0,0）处，橡电荷在点p 处产主的电场为
*
u h ： (x) =
将点电荷q 移到无穷远处时，电场所做的功为
2 2 -q f q ------------------------- x — ------------- d 4n t ()(2x)2 ----------- 疋刃 e o d
一个半径为R 的导体球带有的电荷量为 Q,在球体外距离球心D 处有 一个点电荷q 。

（ 1）求点电荷q 与导体球之间的静电力；（2）证明: 当q 与Q 同号且曽 < 眉丙行成立时，F 表现为吸引力。

解：
(1)本题用点电荷对不接地导体球面的镜像来求解
像电荷d 和q"的大小和位置为
.R • R 2
W —一 1 ir -
<
外力所做的功为
q =沪d二万
4 !> * R 1 !>
q = - q = -q ,d 二0
导体球自身所带的电荷Q用位于球心的点电荷Q等效，故点电荷q受到的静电力为
F - qq + q（Q 亠q ） 4n £0（D - d ）24H粧
(2)
证明：当q与Q同号，且F表现为吸引力，即 '
厕
由此可得
An 二—J'sinf —) a J o \ ) 2Ub
dx^—(1-cosnn)
Q RD 3 R
Q (b 2 - R 2)2 $
如图所示的导体槽，地面保持电位U°,其余两面电位为零，求槽内的 电位的解。

解：由题可知，导体槽沿z 方向为无限长，贝S ■汀絢门汽陆秤总㈣ 方程。

即：
Wd(x,y)二 d
电位满足的边界条件为 ① ©(Or)二 0
③ 4> 仇())U G
④ y)—O(yf 8)
根据条件①②④，通解为
8
叫y)二»胆-叫讪晋
n - I '
由条件③，有
co
苍r (W 兀X\
S 二 —J
n ■ 1
,并从0到a 对x 积分，得到
f4U 0
1 、 n — ], 3, 5…
in 兀
b °， n = 2? 4’ 6…
故得到槽内的电位分布为
£^e_nny/a sin fn x * (x, y)。