2024全国卷真题分类汇编(教师版)(数列)

2024全国卷真题分类汇编（教师版）-数列
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.
【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩
，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952
S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.
2．（2024年高考全国甲卷数学（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（
）A ．2-B ．7
3C ．1D ．2
【详解】由10567891085
0S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -=
=-，故151741433
a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.3．（2024年高考全国甲卷数学（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．
(1)求{}n a 的通项公式；
(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
【详解】（1）当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．
当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，
而140a =≠，故0n a ≠，故1
3n n a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，
所以()143n n a -=⋅-.
（2）111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,
所以123n n T b b b b =++++ 0211
438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343
n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅
所以1212443434343
n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅ ()1
313444313n n n --=+⋅-⋅-()
14233143n n n -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，
(21)31n n T n ∴=-⋅+.
4．（2024年新课标全国Ⅰ卷）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．
(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；
(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；
(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的
概率为m P ，证明：18
m P >．【详解】（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k k a a a k m d
-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)
a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.
所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.
（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：
①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；
②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.
（如果30m -=，则忽略②）
故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.
（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，
{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.
下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，
则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：
命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；
命题2：3j i -≠.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.
此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.
则由i j <可知124142k k +<+，即2114
k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，
剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：
①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；
②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；
③
{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.
（如果某一部分的组数为0，则忽略之）
故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.
第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.
此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.
则由i j <可知124241k k +<+，即2114
k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：
①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；
②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；
③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④
{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.
（如果某一部分的组数为0，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：
{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，
{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列
1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.
然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.
首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()2
1m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.
所以这()2
1m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()
()()424121412m m m m ++=++.
而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.
所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足
()()()()()()()()()2
2221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++.这就证明了结论.。