课时规范练4 基本不等式-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

课时规范练4基本不等式
基础巩固练
1.(2024·贵州黔西检测)函数y=x+4-1在区间(0,+∞)内的最小值是()
A.-2
B.1
C.2
D.3
2.(2024·广西柳州模拟)若a>0,b>0,a+b=2,则r B的最小值为()
B.2
C.1
D.2
3.(2024·陕西榆林模拟)已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为()
A.14
B.12
C.1
D.2
4.(2024·福建宁德模拟)已知a>1,b>1,a=b3,则lg a+3log b10的最小值为()
A.4
B.6
C.8
D.10
5.(2024·湖北宜昌模拟)若正数x,y满足x+2y=2,则+1的最小值为()
A.2+1
B.22+1
C.2
D.52
6.(2024·广东韶关模拟)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面为矩形,AB=2A1B1,高为3,且该棱台的体积为63,则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是()
A.15
B.14
C.13
D.12
7.(多选题)(2024·海南海口模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=2,则()
A.ab的最大值为12
B.a+4的最小值为4
C.a2+4b2的最小值为2
D.2+1的最大值为4
8.(2024·山东菏泽模拟)已知θ∈(0,π),则12sin2-cos2θ的最小值为.
9.(2024·河北邢台联考)已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,则a+b的最小值为.
10.(2024·河北石家庄模拟)若a>0,b>0,c>0,且(a+b)(a+c)=4-23,则2a+b+c的最小值为.
综合提升练
11.(2024·广东佛山模拟)最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于22,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为()
A.2
B.1
C.2
D.6
12.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则4a+2b的最小值是()
A.5
B.9
C.13
D.18
13.(多选题)(2024·浙江金华检测)已知a>0,b>0,a+b=2ab-32,则()
A.a>34
B.a+b≥3
C.ab≥94
D.1+1≥43
14.(2024·天津红桥模拟)已知x,y为正实数,则+4r的最小值为.
创新应用练
15.(2024·山东济南模拟)若a>0,b>0,则
2+4+2的最小值为()
A.2
B.2
C.22
D.4
16.(2024·山东日照模拟)设x>-1,y>0且x+2y=1,则1r1+1的最小值为.
课时规范练4基本不等式
1.D解析因为x∈(0,+∞),所以y=x+4-1=3,当且仅当x=4,即x=2时,等号成立,所以y=x+4-1在区间(0,+∞)上的最小值是3,故选D.
2.D解析由已知可得r B=2B,因为a>0,b>0,由基本不等式知B≤r2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以0<ab≤1,所以1B≥1,所以r B=2B≥2,故r B的最小值为2.
3.A解析因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥24B=4B,可得ab≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab的最大值为14,故选A.
4.B解析由b>1知log b10>0,所以lg a+3log b10=lg
b3+3log b10=log3log10+3log b10=3log10+3log b6,当且仅当3log10=3log b10,即log b10=1,b=10时,等号成立,故lg a+3log b10的最小值为6,故选B.
5.A解析由x+2y=2,得r22=1,所以+1=+r22=+2+1=2+1,当且仅当2=22,+2=2,即x=22-2,y=2-2时,等号成立,所以+1的最小值为2+1,故选A.
6.D解析设棱台的上底面矩形边长分别为a,b,则下底面矩形边长分别为2a,2b,则棱台的体积为V=13×3×(ab+B·4B+4ab)=63,∴ab=9,∴棱台的上底面的周长为2(a+b)≥4B=12,当且仅当a=b=3时,等号成立,即上底面的周长最小值为12,故选D.
7.AC解析对于A项,因为a>0,b>0,a+2b=2,由基本不等式可得a+2b≥22B,当且仅当
a=2b=1时,等号成立,所以ab
2=12,故A正确;对于B项,根据基本不等式可得
a+4≥4,当且仅当a=2时,等号成立,此时b=0,故B错误;对于C项,a2+4b2≥(r2)22=2,当且仅当a=2b=1时,等号成立,故C正确;对于D项,根据基本不等式可得2+1=r2B=2B≥4,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以2+1的最小值为4,故D错误,故选AC.
8.2-1解析θ∈(0,π),0<sinθ≤1,12sin2-cos2θ=12sin2+sin2θ-2sin1=2-1,当且仅当12sin2=sin2θ,即sinθ=2-14时,等号成立,所以12sin2-cos2θ的最小值为2-1.
9.22解析由ab=a-b+3,得b=r3r1=1+2r1,则a+b=a+1+2r1≥22,当且仅当a=2-1,b=2+1时,等号成立,故a+b的最小值为2 2.
10.23-2解析由a>0,b>0,c>0及(a+b)(a+c)=4-23,可得4-23=(a+b)(a+c)≤(rrr2)2,当且仅当b=c时,等号成立,所以(2a+b+c)2≥4(3-1)2,即2a+b+c≥2(3-1),所以2a+b+c的最小值为23-2.
11.C解析设斜边c=22,直角边分别为a,b,则a2+b2=8,因为2ab≤a2+b2,所以
a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b=2时,等号成立,此时a+b取最大值,则这个直角三角形周长取最大值,此时面积为12×2×2=2,故选C.
12.D解析由题意,正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则ab=a+2b,所以2+1=1,故
4a+2b=(4a+2b)(2+1)=10+4+4≥10+18,当且仅当4=4,结合2+1=1,即a=b=3时,等号成立,即4a+2b的最小值是18,故选D.
13.BCD解析对于A,取a=34,b=92,满足a+b=2ab-32,但不满足a>34,A错误;对于B,因为a+b=2ab-32,所以2ab=a+b+32≤(r)22,即[(a+b)-3][(a+b)+1]≥0,所以a+b≥3,当且仅当a=b=32时,等号成立,B 正确;对于C,a+b=2ab-32≥2B,令B=t(t>0),所以4t2-4t-3≥0,即(2t+1)(2t-3)≥0,所以t≥32,即B≥32,所以ab≥94,当且仅当a=b=32时,等号成立,C正确;对于D,1+1=r B=2B-32B=2-32B,令ab=m,由C选项可知,m≥94,而函数y=2-32在区间[94,+∞)上单调递增,所以2-32≥43,当且仅当m=94,即a=b=32时,等号成立,所以1+1≥43,即D正确,故选BCD.
14.3解析+4r=r-+4r=r+4r-1=3,当且仅当r=4r,即y=x时,等号成立.
15.C解析因为a>0,b>0,所以2+4+2≥2=4+2≥22,当且仅当2a=b=42,即a=22,b=42时,等号成立,所以2+4+2的最小值为22,故选C.
16解析因为x>-1,y>0,所以x+1>0,2r1>0,r1>0,因为x+2y=1,所以x+1+2y=2,所以1r1+1=12(1r11)(x+1+2y)=12(3+2r1+r1)≥12(3+22),当且仅当2r1=r1,即x=22-3,y=2-2时取得最小。