3.4样本量的确定-3.5-3.6

Wh S h 2
h 1
V ( y st )

（2）当按最优分配时，
( Wh S h
h 1 L L
wh
Wh S h
ch
h
W S
h 1 h
L
ch
n
ch )( Wh S h /
h 1
ch ) (4)
V ( yst )
W
h 1
L
h
Sh 2
N
二、不同应用场合下的公式

（3）当按奈曼分配时，

常用方法：累积平方根法
累积平方根法：将分层变量Y（频数）分布的累积平方根进行
等分获得最优分层。
注：若Y未知，可通过用与Y高度相关的辅助变量X来代替。
（二） 层数的确定
1：一般地，若总样本量为n，则层数不能超
过n/2
2：当用辅助变量分层时，层数一般不超过6
层。
作业：

2 某企业有工人132人，技术人员92人，管理 人员27人。现欲通过抽样调查去年全年平均每 人请假天数，拟采用分层抽样。若已知工人请 假天数的方差为36，技术人员请假天数的方差 为25，管理人员请假天数的方差为9，设样本 量为30，(1)试用奈曼分配确定各层的样本量。 (2)另当置信度为95%,绝对误差不超过10%， 按比例分配层样本量时，总样本量应为多少？
( Wh S h )
h 1 L 2
wh
Wh S h
W S
h 1 h
L
h
n
V ( yst )
Wh S h 2
h 1
L
(5) N
例1（续3.2节的例1）若要求在95%置信度下，相对误差 不超过10%，则按比例分配和奈曼分配时，总样本量分 别为多少？
例1：调查某地区的家庭年收入，以居民户

划分层的问题
问题： 如何分层，分多少层，才能使得抽样的效率更高？
（一 ）层的界限 （二） 层数的确定
（一 ）层的界限
1：若分层的目的为了便于组织或估计子总体
的参数，则分层按自然或单元的类型来划分。
2：若分层的目的为了提高抽样效率，则分层
的主要原则为：层内方差尽量小，而层间方 差尽量大。
（一 ）分层抽样与简单随机抽样的效率比较 （二 ）分层抽样的设计效应 （三 ）比率分配与奈曼分配的效率比较
（一 ）分层抽样与简单随机抽样的效 率比较

定理1：
层随机抽样下总体均值估计量的方差为V prop ( yst ) ， 当Nh(h=1,2,…,L)都较大时，有
V 令简单随机抽样下总体均值估计量的为 srs ( y ) ，比例分配分
n W 2 h S h 2 wh
h 1 L
V ( yst )
Wh S h 2 N
h 1
(1)
若估计精度以误差限形式给出，则
n (
W
h 1
L
2
h Sh
2
wh
d 2 ) t
Wh S h 2 N
h 1
L

W 2 h S h 2 wh
h 1
L
rYst 2 ( ) t
为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户 划分为2层，每层按简单随机抽样抽取10户， 调查获得如下数据（单位：万元）：
居民户 层 总数 1 2 600 900 样本户家庭年收入
1
10 5
2
8 7
3
12 3
4
9 4
5
6 5
6
8
7
8 2
8
12 4
9
7 6
10
15 9
第五节
分层抽样的效率分析
问题：在相同的样本量下，比较其估计量的方差大小？
注：当总体方差和层的方差未知时，由相应的样本方差来代替。
（三 ）比率分配与奈曼分配的效率 比较


定理2：
记奈曼分配下总体均值估计量的方差为Vopt ( yst ) ，则
Vopt ( yst ) Vprop ( yst ) (5)
注： 当各层标准差Sh的差异越大，采用奈曼分配效果越好。
第六节
h 1
Vprop ( yst ) Vsrs ( y )
（二 ）分层抽样的设计效应
（1）设计效应
定义1： 某抽样方案确定的总体均值估计量的方差与相同样 本量下简单随机抽样下的均值估计量的方差之比， 称为该抽样方案的设计效应，记为Deff。

（2）分层抽样的设计效应
V（Yst ) Deff Vsrs ( y ) (4)
Wh S h 2 N
h 1
L
(2)
其中d为绝对误差限，r为相对误差限，t为标准正态分布的双侧

分位数。
二、不同应用场合下的公式

（1）当按比例分配时，wh=Wh，
n
W
h 1
L
h
Sh 2
h
V ( y st )
L
W
h 1
L
Sh 2
N
n0 1 n0 / N
(3)
其中n0
一一般公式二不同应用场合下的公式已经选定当方差给定时得确定总样本量的公式为其中d为绝对误差限r为相对误差限t为标准正态分布的双侧分位数
第四节
总样本量的确定
（一 ）一般公式 （二 ）不同应用场合下的公式
一、一般公式

已知nh=nwh，其中wh已经选定，当方差 V ( yst ) 给定 时，得确定总样本量的公式为 L

Vprop ( yst ) Vsrs ( y ) (1)
L 注： （1） Wh Sh 2 称为层内方差，记为S2内， h 1 L 2 Wh (Yh Y )2 称为层间方差，记为S 间
当层内方差小，而层间方差大时，分层抽样会提高估计精度。 （2）若条件“Nh(h=1,2,…,L)都较大”不满足时，可能出现