【最新】北师大版七年级数学下册第四章《认识三角形》导学案 (2)

新北师大版七年级数学下册第四章《认识三角形》导学案
学习目标、重点、难点
【学习目标】 1、理解三角形的概念 2、掌握三角形的三边关系 3、掌握并应用三角形的内角和
4、掌握三角形的主要线段：三角形的高、中线、角平分线
5、理解三角形的分类 【重点难点】 1、三角形的三边关系 2、三角形的内角和
3、三角形的主要线段：三角形的高、中线、角平分线
4、三角形的分类
知识概览图
新课导引
观察身边的各种图形，如手中的三角尺等，你还能举出三角形的例子吗? 【问题探究】 观察身边的这些三角形，你能发现这些三角形有什么特征吗? 【解析】它们的特征：①三条线段，②不在同一直线上，③首尾顺次相接． 教材精华
知识点1 三角形的概念
三角形
三角形的有关概念：顶点、边、角及表示法
三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 三角形的内角和：三角形的内角和等于180°
三角形的主要线段：三角形的高、中线、角平分线 三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
三角形：由不在同 一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
【知识拓展】(1)组成三角形的线段叫三角形的边． (2)相邻两边的公共点叫三角形的顶点．
(3)相邻两边组成的角叫三角形的内角(简称三角形的角)． 三角形的表示．
“三角形”可用符号“Δ”表示．
如图5—1所示，顶点为A ，B ，C 的三角形，记作“ΔABC ”，
ΔABC 的三边也可以用小写字母a ，b ，c 表示，一般情形下，顶点 A 所对的边BC 用a 表示，边AC 用b 表示，边AB 用c 表示．
知识点2 三角形的三边关系 三角形三边之间有如下关系： ①三角形两边之和大于第三边． ②三角形两边之差小于第三边．
如图5—2所示，AB+AC>BC ，AB-AC ＜BC ．
【知识拓展】(1)三角形两边之和大于第三边可以根据“连接两点的所有线中，线段最短”得出．
(2)这里的“两边”泛指三角形的任意两边．
(3)三角形两边之差小于第三边，可以根据“两边之和大于第三边”及不等式性质(移项)得到．
知识点3 三角形的内角和
三角形三个内角的和等于180°．这是同学们在小学就已经学习过的，这里并不是简单重复，而是既复习了小学的知识，又使我们对问题的认识得到提高．
我们经过本节的学习之后，不再只是通过撕、拼三角形纸片观察得到的直观的认识，而是利用这学期第二章所学的两直线平行的条件、平行线的特征等理论知识，从道理上对三角形的内角和是不是180°进行思考，有理有据地得到理性的认识，这样的认识比仅凭视觉观察得到的结果可靠得
三解形的特征 ① 三条线段，
② 不在同一直线上 ③ 首尾顺次相接.
多．
知识点4 三角形按角分类
三角形⎧
⎪
⎧
⎨
⎨
⎪
⎩
⎩
直角三角形
锐角三角形斜三角形
钝角三角形
把三角形按内角的情况分为三类，是为了研究问题方便、准确，如下表所示．图形
特征三个内角都是
锐角
有一个内角是
直角
有一个内角是
钝角
【拓展】如果没有这种三角形的分类，也就没有对直角三角形更深入的研究，不能认识其特殊性质，而直角三角形的应用价值是远远超过锐角三角形与钝角三角形的．在一个三角形中，如果有一个角是钝角(或直角)，这个三角形就是钝角(或直角)三角形，但是在知道三角形的一个角是锐角时，却不能断定它是锐角三角形，因为任何三角形，包括直角三角形和钝角三角形中都是有锐角的．知识点5 直角三角形的两个锐角之间的关系
直角三角形的两个锐角互余．
【知识拓展】直角三角形的这一特殊性质可以由“任何三角形内角的和都等于180°而推导出来．设ΔABC中，∠C＝90°，因为∠A+∠B+∠C=180°，也就是∠A+∠B+90°＝180°，所以∠A+∠B＝90°．这里利用了解方程的手段(移项)．将这个式子用文字加以叙述，就是直角三角形的两个锐角互余．
知识点6 三角形的三条主要线段
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图5—6所示，如果∠1＝∠2，则AD就是ΔABC的角平分线．
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．如图5—7所示，如果M是BC的中点，则线段AM就是ΔABC的中线．
三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图5—8所示，AH⊥BC，H为垂足，线段AH就是ΔABC的高线．
三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条高或高所在直线也交于一点．【拓展】(1)角平分线是射线，而三角形的角平分线，不论是其中哪个内角的平分线都是线段．
(2)任何三角形的角平分线都在三角形内部，高却不同．直角三角形和钝角三角形都有一条高在其内部，另外两条分别在边上和外部．
探究交流
如图5—4所示，如果∠ACD是ΔABC的外角，那么∠ACD与∠A，∠B的关系是什么样的呢?
因为∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，所以∠ACD+∠ACB＝∠A十∠B+∠
ACB，由此得到∠ACD=∠A+∠B.
不要只想到图5—4所画的情形，还要想到∠ACB是直角(如图5—5所示)或钝角时的情形也一样．
课堂检测
基本概念题
1、如图5-9所示，共有个三角形，其中ΔADE的内角是．
基础知识应用题
2、在一个三角形中，两条边的长分别为2和7，另一条边的长是奇数，符合这些条件的三角形 ( )
A ．不存在
B ．只有一个
C ．只有两个
D ．有三个
3、如图5-10所示，已知∠A =32°，∠ADC =110°，BE ⊥AC 于E ，求∠B 的
度数．
综合应用题
4、如图5—11所示，在ΔABC 中，AD 为角平分线，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE
相交于点F ．试说明∠AFE ＝
2
1
(∠ABC +∠C )．
5、周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?
体验中考
1、已知三角形的两边长分别为3 cm 和8 cm ，则此三角形的第三边的长可能是 ( ) A ．4 cm B ．5 cm C ．6 cm D ．13 cm
2、如图5—15所示，AB ∥CD ，AD 和BC 相交于点O ，∠A ＝25°，∠COD ＝80°，则∠C 等于 ( )
A．65°B．75°C．85°D．105°
学后反思
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析数三角形个数的方法一般有：①按大小顺序数，②从图中某一条线段开始沿着一定方向去数，③先固定一个顶点变换另两个顶点来数．但要特别注意，既要不重，又要不漏．在三角形中，边所对的是角，角所对的是边．
答案：6 ∠ADE，∠AED，∠DAE
【解题策略】数三角形的个数要按同一标准去数，做到不重、不漏．每一个三角形都有3个内角，注意角的表示方法．
2、【分析】这是关于三角形三边长的问题，目前只有三边关系可以利用．设另一边的长为x，则有2+7>x，x>7-2，由此得5<x<9在这个范围内的奇数只有一个．故选B．
【解题策略】上面分析中的2+7>x．和x>7-2是由“三角形任意两边之和大于第三边”和“三角形任意两边之差小于第三边”得出的．
3、【分析】由于∠B是ΔBCE的内角，且ΔBCE是直角三角形，只要求出∠C的度数就可求得∠B的度数．从题目已知条件来看，∠A与∠ADC的度数已知，它们都是ΔACD中的角，利用三角形的内角和为180°，可求出∠C的度数．
解：因为∠C +∠A +∠ADC ＝180°，
所以∠C ＝180°-∠A -∠ADC ＝180°-32°-110°＝38°． 由ΔBCE 是直角三角形和直角三角形的两个锐角互余， 得∠B ＝90°-38°＝52°．
【解题策略】 解此题的关键是利用三角形内角和求出∠C ，再利用直角三角形两锐角互余关系求出∠B ．
4、【分析】本题应用角平分线、垂线、直角三角形两锐角互余等知识进行解答． 解：因为BE ⊥AC ，所以∠AFE +∠2＝90°， 所以∠AFE ＝90°–∠2．
因为AD 平分∠BAC ；所以∠1＝∠2，∠2＝2
1
∠BAC ， 又因为∠BAC +∠ABC +∠C ＝180°，
所以90°＝
21
(∠BAC +∠ABC +∠C )， 所以∠AFE ＝21 (∠BAC +∠ABC +∠C )- 21∠BAC ＝21
(∠ABC +∠C )，
即∠AFE ＝2
1
(∠ABC +∠C )．
【解题策略】 此题考查角平分线、直角三角形等知识的综合运用．
5、【分析】为了缩小范围，先确定最长边，由条件及三角形的三边关系可以确定最长边的取值范围，因此可确定最长边的整数值．
解：不妨设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a<b<c ，则有a+b+c ＝24． 又知a+b>c ,a+b ＝24-c>c ，因此c <12．
又因为a+b+c <3c ，即3c >24．故c >8，所以8<c <12． 因为c 为整数，所以c ＝9，10，11． 当c ＝9时，a+b ＝15，a ＝7，b ＝8．
当c ＝10时，a+b ＝14，a ＝5，b ＝9或a ＝6，b ＝8．
当c ＝11时，a+b ＝13，a ＝3，b ＝10或a ＝4，b ＝9或a ＝5，b ＝8或a ＝6，b ＝7． 综上所述，满足条件的三角形共有7个．
体验中考
1、【分析】 设第三边长为x ，则由三角形三边关系可得8-3<x <8+3，即5<x <11．故选C.
2、【分析】因为AB ∥CD ，所以∠D ＝∠A ＝25°，又因为∠COD ＝80°，所以根据三 角形内角和定理得∠C ＝180°-∠COD-∠D ＝180°-80°-25°＝75°．故选B
4.2图形的全等
学习目标、重点、难点
【学习目标】理解全等图形的定义和性质；
【重点难点】全等图形的定义和性质
知识概览图
全等图形⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧⎩⎨⎧重合的角相等重合的边相等大小相等形状相同性质叫全等图形形能够完全重合的两个图
定义，： 新课导引
观察五星红旗上面的四个小五角星．
【问题探究】通过观察，我们发现这四个小五角星的形状和大小都相同，那么这样的图形称为什么图形呢?
【解析】能够完全重合(形状，大小都相同)的两个图形称为全等图形．
教材精华
知识点1 全等图形的定义
能够完全重合的两个图形称为全等图形．
这个定义告诉我们，两个图形只要能够完全重合就是全等图形．不论是经过旋转，还是翻折后才能重合，都是可以的．
“重合”的含义自然是完完全全的重合．一个图形与另一个图形的局部(哪怕占百
分之九十九)重合，也不能说这两个图形是完全重合的．
【拓展】全等图形，关注的是两个图形的形状和大小，而不关心图形所在的位置．
知识点2 全等图形的性质
全等图形的形状和大小都相同．
两个图形如果能够重合，它们的形状与大小自然都是相同的，所以说，全等图形的性质是由它的定义直接得出的．
对于两个全等的封闭图形，如三角形、正方形、圆等，它们的面积是相同的．全等图形的性质中所说的“大小相同”包含了这层含义，同时也包含了重合的线段的长短相同、角的度数相同等含义．
【拓展】全等的两个图形，形状和大小是相司的，而且面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形．
课堂检测
基本概念题
1、如图5—26所示，给出五对图形：
其中是全等图形的共有( )
A．1对D．2对C．3对D．4对
基础知识应用题
2、如图5—27所示，判断各组中的两个图形是不是全等图形．
综合应用题
3、如图5—28(1)所示，做四个全等的小“L”型纸片，将它们拼成一个与大“L”型全等的图案．
探索与创新题
4、(1)画一个长方形，然后从上面“割”下一部分“补”到另一位置(拼接)，改变长方形的形状，绘制成你喜欢的图案；
(2)把你在(1)中得到的图案复制n个，进行再次拼接，得到一个比较大的图案，并且为你的图案命名．
学后反思
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、【分析】考虑五对图形中，哪几对图形不仅形状相同，而且大小相等．(2)中的两个图形，不仅形状相同而且大小相等，所以它们是两个全等的图形；(4)中的两个图形，它们的形状相同，大小也相等，故它们也是全等的．而在(1)中的两个图形虽然形状相同，但大小不相等，故这两个图形不全等；在(3)，(5)这两对图形中，由于其形状不相同，故不是全等图形．因此，它们均不是全等图形．综上所述，在五对图形中有两对图形全等．故选B．
【解题策略】在判断两个图形是否全等时，只有当它们的形状和大小均相同时才全等．也就是说，当两个图形形状不同时，它们不全等；同样，当两个图形的大小不相等时，它们也不全等．
2、【分析】此题利用定义判断不太方便(把图形剪下，纸的透明度不大好也会给观察造成困难)，我们可以从每组图形的形状与大小是否都相同来进行判断．图甲中的两个图形形状不同．图丙中的两个图形大小不一样．图戊中的两个图形从整体看来都是由小圆圈组成的，都是用小圆圈摆成的接近于等边三角形的形状，外围轮廓的大小也相同，可是组成每个图的小圆圈的个数是不同的，所以是不可能实现完全重合的．图乙、图丁和图己中的两个图都符合全等图形的定义．解：图甲、图丙和图戊不是全等图形，图乙、图丁和图已是全等图形．
【解题策略】全等图形的定义和性质都是判断两个图形是否全等的工具，应用时看哪个方便利用哪个．
3、解：如图5—28(2)所示．
【解题策略】这是一个需要同学们发挥想象的例子，对培养空间想象思维很有好处．同学们可以通过想象寻找解决办法，再动手拐：作验证自己的想象．
4、【分析】“割”下的部分可以是三角形、梯形、长方形等，但不能完全在所画长方形的内部，而与边界没有公共部分．
解：(1)如图5—29(1)所示；
(2)如图5—29(2)所示．命名：新型轿车成批出厂．
三角形全等的判定方法边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）
【解题策略】此题具有开放性，考查运用全等图形的知识设计图形的能力．
4.3探索三角形全等的条件
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握三角形全等的判定方法.
【重点难点】
1、三角形全等的判定方法及其应用.
知识概览图
新课导引
我们知道每个三角形都有六个基本元素，即三个角和三条边．如果两个三角形全等，那么这六个元素就对应相等．反过来，我们从这六个元素中需要知道几个元素对应相等，就可以判断相应的
两个三角形全等呢?
要回答这个问题，我们可先试一试，只给一个条件，能作出一个与已知三角形全等的三角形吗?两个呢?三个呢?
【点拨】通过尝试可知六个元素中只给一个或两个元素对应相等，不能保证两个三角形全等，(以已知的一条线段为边或一个角为内角可以作无数个三角形；以已知的两条线为边或已知两角或一边一角作三角形不唯一)至少需要知道三个元素才有可能全等．
教材精华
知识点1 三角形全等的判定方法1：边边边(SSS)
已知三边画三角形．
边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)．
知识点2 三角形全等的判定方法2，3：角边角(ASA)及角角边（AAS）
已知两角和它们的夹边、两角和其中一角的对边画三角形．
角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或"ASA")．角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)．【拓展】这里的“两角夹一边”或“两角及其中一角的对边”对应相等，不能理解为“两角和任意一边”．
知识点3 三角形全等的判定方法4：边角边(SAS)
已知两边及其夹角画三角形．
边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或"SAS")．【拓展】这一判定方法反映的是“两边及其夹角”，绝不能认为是“两边和任意一角”．
知识点4 三角形的稳定性
不改变三角形三边的长度，则三角形的形状不会改变，这就是三角形的稳定性．这条性质产生于三条边对应相等的两个三角形全等．它的应用非常广泛，课本中已经举出了一些例子．此外，四边形、五边形等都不具有稳定性．
【拓展】两边一角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等．
[规律方法小结]1．说明角相等常用的方法：对顶角相等；同角(或等角)的余角(或补角)相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；全等三角形的对应角相等．2．说明线段相等的方法：中点定义；等式性质；全等三角形的对应边相等.
课堂检测
基础知识应用题
1、如图5—57所示，已知AE＝CF，AD∥BC，AD=BC，ΔADF与ΔCBE全等吗?为什么?
2、如图5—58所示，四边形ABCD是长方形纸片，冬梅为了便于思考几何中的问题，要把这张纸片分割为两个全等三角形．她想到只要沿对角线AC(或BD)剪开就行了．冬梅的想法正确吗?为什么?
综合应用题
3、如图5—62所示，直线a∥b，点A，Q分别在a，b上．
(1)在a，b上分别取点P，B，使AP＝QB，连接AB与PQ相交于
点O，观察图形，你有什么发现吗?(角的关系不用考虑)
(2)设点B在直线b上，O是AB的中点，QO的延长线交a于点
P，观察线段PQ与点O的关系，你能发现什么结论?请说明理由．
探索与创新题
4、问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下命题(如图5—63所示)：
①如图(1)所示，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；
②如图(2)所示，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了命题③；
③如图(3)所示，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM＝CN．
任务要求：
(1)请你从①，②，③三个命题中选择一个进行说明；
(2)请你继续完成下面的探索：
①如图(4)所示，在正n(n≥3)边形ABCDEF……中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN 相交于点O，则当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)?
②如图(5)所示，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，结论BM＝CN是否还成立?若成立，请给予说明；若不成立，请说明理由．
体验中考
1、如图5—67所示，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ΔABC ≌ΔADC的是( )
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
2、已知线段AC与BD相交于点O，连接AB，DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF(如图5—68所示)．
(1)添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，试说明AB=DC；
(2)分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为
②，“AB＝DC”记为③；添加条件①③，以②为结论构成命题
1¨添加条件②③，以①为结论构成命题2．试说明命题l是否
成立，命题2是否成立，
学后反思
解题方法及技巧小结
(1)灵活运用三角形全等条件判定三角形全等．在证明两个三角形全等时，要根据已有的条件，选择适当的方法，一般可按下面的思路进行：
已知两边找夹角→SAS 找第三边→SSS
已知一边一角边为角的对边→找任一角→AAS
边为角的邻边
找夹角的另一边→AAS
找夹角的另一角→ASA
找边的对角→AAS
已知两角找夹边→ASA
找其中一角的对边→AAS
(2)对于比较复杂的图形，要善于拆分，学会将复杂的图形简单化．
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、【分析】已知AE＝CF，根据线段的等量减等量差相等，有AE-EF＝CF-EF，即AF＝CE．再加上已知中AD＝BC，现只需说明夹角∠A＝∠C即可，而由AD∥BC便可得到．解：ΔADF≌ΔCBZ．
理由如下：
因为AD∥BC，所以∠A＝∠C。

又因为AE=CF，所以AE＝CE．
又因为AD＝BC，所以ΔADF≌ΔCBE(SAS)．
【解题策略】解此题的关键是说明“两边的夹角”∠A与∠C相等，再利用“边角边”的判定方法来解决问题．
2、【分析】方法1：解此题时要看分得的ΔABC与ΔCDA是否符合“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”的条件．方法2：我们把长方形中比较长的边称为“长”，比较短的边称为“宽”，这是因为长方形中两条较长的边和两条较短的边分别相等，另外，同学们在小学时就已经知道，长方形中的四个角都是直角，这些都是解本题时应该想到的．
解法1：正确．因为在长方形ABCD中，AB=CD，AD=BC，又由AC是ΔABC
与ΔCDA的公共边，知ΔABC与ΔCDA的三条边对应相等，从而符合
“SSS”，所以这两个三角形是全等的．
解法2：正确，因为在长方形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB与BC边的夹角
∠ABC是直角，AD与DC边的夹角∠ADC也是直角，所以ΔABC与
ΔADC符合“SAS”，这两个三角形是全等的．
【解题策略】解数学题应该联想有关知识，解几何题，既应该从要求的(或要说明的)展开联想，又应该从已知条件展开联想．如果联想到的知识少，就可能导致解不出题来，上面给出了两种解法，与联想到比较多的知识是分不开的．
3、【分析】(1)图中相等的角比较多，又有AP＝QB，猜想ΔAOP与ΔBOQ很可能全等，若确实全等，则还有线段间的相等关系存在．(2)与(1)的情况类似，首先应该由a与b的平行关系想到有相等的角．
解：(1)ΔAOB≌ΔBOQ，AO＝BO，PO＝QO，
即线段AB与PQ互相平分．
(2)PO＝QO．理由如下：
由于a∥b，所以∠PAB=∠ABQ．
由对顶角相等知，∠AOP＝∠BOQ．又由O是AB的中点知，AO＝BO。

在ΔAOP中，AO是∠PAO与∠AOP所夹的边，
在ΔBOQ中，BO是∠QBO与∠BOQ所夹的边，恰好符合“ASA”，
所以ΔAOP≌ΔBOQ．
由全等三角形的对应边相等知，PO＝QO．
【解题策略】(1)本题与例4类似，也是在观察的基础上形成猜想，观察与猜想对发现数学规律、探索解题方法等都有非常重要的作用．(2)此题的解答过程是本学期第二章与本章知识的综合运用．
4、【分析】开发探究能力，积极思索．
解：(1)①如图5—64所示，在图(1)中，
因为∠BON＝60°，所以∠1+∠2＝60°．
因为∠3+∠2＝60°，所以∠1＝∠3．
又因为BC＝CA，∠BCM＝∠CAN＝60°，所以ΔBCM≌ΔCAN，所以BM＝CN．
②在图(2)中，
因为∠BON＝90°，所以∠l+∠2＝90°．
因为∠3+∠2＝90°，所以∠1＝∠3．
又因为BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，所以ΔBCM≌ΔCDN，所以BM＝CN．
③在图(3)中，
因为∠BON＝108°，所以∠l+∠2＝108°．因为∠2+∠3＝108°，所以∠1＝∠3．
又因为BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，所以ΔBCA≌ΔCDN，所以BM＝CN．
(2)①在图(4)中，当∠BON＝
2180
)2
(︒
⨯
-
n
时，结论BM＝CN成立．
②当∠BON＝108°时，BM＝CN还成立．理由如下：
在图(5)中，连接BD，CE．
在ΔBCD和ΔCDE中，
因为BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，
所以ΔBCD≌ΔCDE，所以BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．因为∠CDE＝∠DEN＝108°，所以∠BDM＝∠CEN．
因为∠MBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠NCD＝108°，
所以∠MBC＝∠NCD.
又因为∠DBC＝∠ECD，所以∠DBM=∠ECN．
在ΔBDM和ΔCEN中，BD＝CE，∠DBM＝∠ECN，∠CEN＝∠BDM，所以ΔBDM≌ΔCEN，所以BM=CN．
【解题策略】认真观察图形、加强分析与探索是解本题的关键
体验中考
1、【分析】 若添加A 中的条件，为SSS ；添加B 中的条件为SAS ；添加D 中的条件为HL(第7节学习)．均可判定ΔABC ≌ΔADC ，而添加C 中的条件，则为SSA ，无法判定两三角形全等，故选C ．
2、解：(1)因为∠OEF ＝∠OFE ，所以OE ＝OF ，2OE ＝2OF ， 即OB ＝OC 又因为∠A ＝∠D ，∠AOB ＝∠DOC ， 所以ΔABO ≌ΔDCO ，所以AB ＝DC ．
(2)因为∠AOB ＝∠DOC ，∠A ＝∠D ，AB ＝DC ， 所以ΔAOB ≌ΔDOC ，所以OB ＝OC ，
21OB ＝2
1
OC ， 即OE ＝OF ，则∠OEF ＝∠OFE ．故命题l 成立．
命题2不成立．因为两边及其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等， 所以无法说明ΔAOB 与ΔDOC 全等，则∠A ＝∠D 不一定成立．
4.4用尺规作三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握已知三角形的两边及其夹角，作三角形
2、已知三角形的两角及其夹边，作三角形
3、已知三角形的三条边，作三角形 【重点难点】
1、掌握已知三角形的两边及其夹角，作三角形
2、已知三角形的两角及其夹边，作三角形
3、已知三角形的三条边，作三角形
知识概览图
用尺规作三角形
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
作三角形
已知三边
作三角形
已知两角及夹边
作三角形
已知两边及夹角
，
，
，
新课导引
作一个三角形需要几个基本元素?
【解析】作一个三角形需要三角形中三个元素，在说明三角形全等时也需要有三组元素对应相等．那么，三角形的作图与三角形全等的判定条件有什么联系?
教材精华
知识点1 已知三角形的两边及其夹角，作三角形
实际上，这就是一个作一个角与已知角相等，再作两条线段分别与两条已知线段相等的过程，只不过两条线段的位置特殊，分别在所作的角的两条边上，且各有一个端点在所作角的顶点处．把握了上述实质，就不用再死记课本介绍的步骤．
例如：如图5—77所示，已知线段a，b和∠α，求作三角形ABC，使其中的两边长
分别等于a，b，它们的夹角等于∠α．我们可以按下面的步骤完成作图．
(1)作∠MAN＝∠α。

(如图5—78(1)所示)；
(2)在射线AM上截取线段AB＝a，在射线AN上截取线段AC＝b(如图5—78(2)所示)；
(3)连接BC，ΔABC就是所求作的三角形(如图5—78(3)所示)．
知识点2 已知三角形的两角及其夹边，作三角形
与知识点1一样，对课本的步骤并非不可越雷池半步．
按如下步骤进行也是可以的．如图5—79所示，已知∠α，∠β和线段a，求作ΔABC，使其中两角分别等于∠α，∠β，它们的夹边等于a．
(1)作一条线段BC＝a(如图5—80所示)；
(2)作∠CBP＝∠α(如图5—81(1)所示)；
(3)作∠BCQ=∠β，射线BP，CQ相交于点A(如图5—81(2)所示)．ΔABC就是所求作的三角形．
知识点3 已知三角形的三条边，作三角形
同学们回顾一下在本书“探索三角形全等的条件”一节中，画三边之长都已确定的三角形的方法，就一定能顺利完成这个知识点的怍图，这里就不再多讲了．
【拓展】作图时常先假设图形已作出，再分析图形中哪一部分图形可以先作出来，然后再找出余下部分图形的作图方法．
课堂检测
基础知识应用题
1、用尺规作图，下列条件中不能作出唯一一个三角形的是( )
A．已知两边和夹角B．已知两边及其中一边的对角
C．已知两角和夹边D．已知三边
2、如图5—82所示，ΔABC中，a＝5厘米，b＝3厘米，c＝3．5厘米，∠B＝36°，∠C＝44°，请你从中选择适当的数据，画与ΔABC全等的三角形．把你能画的三角形全部画出，不写画法，但要在所画的三角形中标出用到的数据．。