八年级数学下册第十七章勾股定理17-1勾股定理第1课时认识勾股定理新版新人教版

②如图②，AD在△ABC外部.
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得DB＝16，
∴CB＝BD－CD＝16－5＝11，


∴S△ABC＝ ·
BC·
AD＝ ×11×12＝66.


综上所述，△ABC的面积为66或126.
利用勾股定理求作图中线段的长
9.[2023·天津]如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，
若AC＝3，BC＝4，则CD的长为( A )
(第2题)
A.2.4
B.2.5
C.4.8
D.5
【点拨】
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，∴AB＝5.


∵CD⊥AB，∴S△ABC＝ AB·
CD＝ AC·
BC.


∴CD＝
· ×
＝ ＝2.4.
∵BD＝CD，
∴BD＝AD.
∴∠B＝∠BAD.
∵∠B＋∠BAD＋∠C＋∠DAC＝180°，
∴2∠BAD＋2∠DAC＝180°.
∴∠BAD＋∠DAC＝90°.
∴∠BAC＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝BD＋CD＝2AD＝10，AC＝8，
∴AB＝ − ＝ − ＝6.
故选D.


3.[2023·随州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD
＝
5
.
(第3题)
【点拨】
如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴CD＝DE.
在Rt△BCD和Rt△BED中，ቊ
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL).
利用勾股定理求图形面积
10. 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ 30 ， BC ＝ 28 ， AC ＝ 26 ， 求
△ABC的面积.某学习小组经过合作交流给出了下面的解题
思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
如图，作AD⊥ BC
根据勾股定理，利
利用勾股定理
于 点 D ， 设 BD ＝

∴S阴影＝S正方形ABCD－S△ABE＝100－ ×6×8＝76.

6.[2023·日照 新考法·计算比较法]已知直角三角形的三边a，
b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，剪
下这三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形
内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠
部分的面积为S2，则( C )
n2，整理得a2＋b2－c2＝－2bn.
∵2bn＞0，∴－2bn＜0，∴a2＋b2＜c2.
(3)图②中，若AB的长为140 m，AC的长为130 m，BC的长为
150 m，请你求出△ABC的面积.
【解】(3)如图②，设CD＝x，同(2)可得a2＋b2＝c2＋2ax.
∵a＝150 m，b＝130 m，c＝140 m，∴x＝66 m，
由勾股定理得AD2＝AC2－CD2＝262－(28－x)2，
所以302－x2＝262－(28－x)2，解得x＝18.
所以AD2＝302－x2＝302－182＝242.所以AD＝24.


所以S△ABC＝ BC·AD＝ ×28×24＝336.


利用勾股定理求线段长
11.[新考向传承数学文化]《西江月》中描述：平
地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人
齐，五尺人高曾记……翻译成现代文如下：
如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺
(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EB＝10尺)，
此时踏板升高，离地五尺(BD＝5尺)，求秋千
绳索OB的长度.
Hale Waihona Puke 解】设OA＝OB＝x尺.∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)，

大于 AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧

相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点
D，E，连接AD，若BD＝DC，AE＝4，
AD＝5，则AB的长为( D )
A.9
B.8
C.7
D.6
【点拨】
由题意得MN是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8，DA＝DC.
∴∠DAC＝∠C.
人教版八年级下
第 十 七 章
17.1
勾股定理
第1课时
认识勾股定理
勾 股 定 理
勾股定理的适用条件：直角三角形.勾股定理反映了
直角三角形三边的关系，即已知直角三角形两边长可求
第三边长.对于非直角三角形问题，可根据图形特征构造
直角三角形；运用时要分清直角边和斜边，在Rt△ABC
中，斜边不一定是c.
知识点1勾股定理
c.若∠C＝90°，如图①，根据勾股定理，有a2＋b2＝c2；
若△ABC不是直角三角形，而是图②③所示的锐角三角形
和钝角三角形.
(1)请你类比勾股定理，猜想a2＋b2与c2的关系：图②中，a2
＋b2
“＝”)
＞
c2；图③中，a2＋b2
＜
c2.(填“＞”“＜”或
(2)说明你在(1)中猜想的结论的正确性.
∴OE＝OA－AE＝(x－4)尺.
在Rt△OEB中，OE＝(x－4)尺，OB＝x尺，EB＝10尺.
根据勾股定理得x2＝(x－4)2＋102，整理得8x＝116，解得x＝
14.5.
答：秋千绳索OB的长度为14.5尺.
利用作差法探究图形中线段关系
12.[新考法 猜想验证法]在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝
用 AD 作 为 “ 桥
求 出 AD 的
x，用含x的代数
梁”，建立方程模
长，再计算三
式表示CD.
型，求出x的值.
角形的面积.
【解】过点A作AD⊥BC，垂足为D.
设BD＝x，则CD＝28－x.
在Rt△ABD中，AB＝30，BD＝x，
由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝302－x2.
在Rt△ACD中，AC＝26，CD＝28－x，
∴S1＝S2.
故选C.
7.[2023·扬州 新考向·文化传承]我国汉代数学家赵爽证明勾股
定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦
图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成
的，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，
若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为
96 .
【点拨】
＝，
＝，
∴BC＝BE＝6.
在Rt△ABC中，AB＝ ＋ ＝ ＋ ＝10.
∴AE＝AB－BE＝10－6＝4.
设CD＝DE＝x，则AD＝AC－CD＝8－x.
在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，
∴42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.
∴AD＝8－x＝5.
知识点2勾股定理与图形的面积
积为( D )
A.66
B.126
C.55或44
D.126或66
【点拨】
由题意知，分两种情况求解：
①如图①，AD在△ABC内部.
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得DB＝16，
∴CB＝CD＋DB＝5＋16＝21，


∴S△ABC＝ ·
BC·
AD＝ ×21×12＝126.
∴AD2＝AC2－CD2＝1302－662＝1122，
∴AD＝112 m，




∴△ABC的面积为 BC·AD＝ ×150×112＝8 400(m2).
∵正方形A，C，D的面积依次为4，6，18，
∴S正方形B＋4＝18－6，即S正方形B＝8.
5.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝
6，BE＝8，则阴影部分的面积是( C )
A.48
B.60
(第5题)
C.76
D.80
【点拨】
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB＝10，
∴S正方形ABCD＝102＝100.
A.S1＞S2
B.S1＜S2
C.S1＝S2
D.S1，S2的大小无法确定
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，
∴该直角三角形的斜边为c，
∴c2＝a2＋b2.
∴c2－a2－b2＝0.
∴S1＝c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc.
∵S2＝b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc，
1.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是
a，b，c，则下列式子成立的是( A )
A.a2＋b2＝c2
B.a2＋c2＝b2
C.a2－b2＝c2
D.a＋b＝c
【点拨】
∵∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是
a，b，c，∴a2＋b2＝c2.故选A.
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，
由题意可得a2＋b2＝c2，
∴a2＋b2＝202，即(a－b)2＋2ab＝400.
∴2ab＝400－(a－b)2＝400－42＝384，
∴ab＝192.


∴每个直角三角形的面积为 ab＝ ×192＝96.


易错点三角形高的位置不明确，因考虑问题不全面而导致出
错(分类讨论思想)
8.△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面
【解】如图②，作BC边上的高AD，则∠ADC＝∠ADB＝
90°.设CD＝m.
在Rt△ACD和Rt△ABD中，有b2－m2
＝AD2＝c2－(a－m)2，
整理得a2＋b2－c2＝2am.
∵2am＞0，∴a2＋b2＞c2.
如图③，作AC边上的高BD，则∠D＝90°.设CD＝n.
在Rt△ABD和Rt△BDC中，有c2－(b＋n)2＝BD2＝a2－
4.(母题：教材P24练习T2)如图，所有阴影部分四边形都是正
方形，所有三角形都是直角三角形.若正方形 A，C，D 的
面积依次为 4，6，18，则正方形B的面积为( A )
A.8
B.9
(第4题)
C.10
D.12
【点拨】
如图，
由题意得S正方形A＋S正方形B＝S正方形E，S正方形D－S正方形C
＝S正方形E，∴S正方形A＋S正方形B＝S正方形D－S正方形C.