湖北省黄冈市黄梅县第二中学2017届高三数学上学期期中试题文【word版】.doc

黄梅二中2017年秋季高三年级期中考试
文科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{}0,1,A a =，{}22,B a =，若{}0,1,2,3,9A B =U ,则a 的值为（ ）
A ．3
B ．1
C ．2
D ．0 2．复数z 满足21i
z i
-=
-，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．如果命题" ()"p q ⌝∨为假命题，则（ ）
A ．,p q 均为真命题
B ．,p q 中至少有一个为真命题
C ．,p q 均为假命题
D ．,p q 中至多有一个真命题 4．设1.05.0=a ,1.0log 4=b ，1.04.0=c ,则( )
A. a c b >> B ．a c b >> C ．c a b >> D. c a b >> 5. 若
sin cos 1
sin cos 2
αααα-=+，则tan 2α的值为（ ）
A ．
34 B ．35 C.3
4
- D ．3 6．定义在R 上的函数()f x 在)(6,+∞上为减函数，
且函数()6+=x f y 为偶函数，则（ ）
A ．()()54f f >
B ．()()74f f >
C ．()()75f f >
D ．()()85f f > 7．一个五面体的三视图如右图，正视图是等腰直角三角形，
侧视图是直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
8．函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,
2
π
ωϕπ>≤≤)的部分图象如右图所
示，其中,A B 两点之间的距离为5， 则=)1(f ( ) A ．3 B ． 3- C ．1 D ．1- 9．已知数列}{n a 为等差数列，若
11
10
1,a a <-且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的n 的最大值为（ ）
A.11
B.21
C.20
D.19 10．在ABC ∆中，90C =o ，且3CA CB ==，点M 满足MA 2BM =，
则CB CM ⋅等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈,都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，
则不等式()x f x e >的解是（ ）
A ．1x >
B ．01x <<
C ．ln 2x >
D . 0ln 2x << 12．已知方程|lnx|=kx+1在（0，e 3）上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．3232,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．3221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3
221,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数21,0
(),0
x
x f x x x -⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则[(2)]f f -=
14．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，且对任意正整数n
都有
3523n n S n T n +=+，则77
a
b = ． 15．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域2,
1,2,x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
上一
个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r
的取值范围是____________
16．已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切
线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为____________
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知命题p ：函数()
212
log 2y x x a =++的定义域R ，命题q ：函数
()250,a y x -=+∞在上是减函数.若p q ∧⌝为真命题，求实数a 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有3
24
n n a S =+成立． （1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）设1
1
n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
19．（本小题满分12分）
已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且
sin sin 1sin sin sin sin B C
A C A B
+=++．
（1）求角A ；
（2
）若a =b c +的取值范围．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△ABC 为正三角形，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，PA=AC ，PA ⊥平面ABCD ．
（1）若E 为棱PC 的中点，求证PD ⊥平面ABE ； （2）若AB=3，求点B 到平面PCD 的距离．
21.（本小题满分12分） 已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈． （1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数1()()a
h x f x x
+=+，求函数()h x 的单调区间； （3）若1()a
g x x
+=-
，在[]()1 2.71828e e =⋯，上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立，求a 的取值范围．
请考生在22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．(本小题满分10分)
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2
sin cos θ
ρθ
=
． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）过点P （0，2）作斜率为1直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求
11PA PB
+的值．
23．(本小题满分10分)
已知函数|32||1|)(+--=x x x f . （I ）解不等式2)(>x f ；
（II ）若关于x 的不等式a a x f -≤22
3)(的解集为R ，求正数a 的取值范围.
黄梅二中2017年秋季高三年级期中考试
文科数学答案
1.A
2.A
3.B
4. B
5.C
6.D
7. B
8. D
9.D 10. A 11.C 12. C 13.
14.
44
29
15.[]0,2 16． 2
17.解：对于命题p ：因其定义域为R ，故220x x a ++>恒成立， 所以440a ∆=-<，∴1a >．
对于命题q ：因其在()0,+∞上是减函数，故250a -<，则5
2a <
．
……6分 ∵p q ∧⌝为真命题， ∴p 真q 假，则1,52
a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩，则5
2a ≥，
故实数a 的取值范围为5
[,)2+∞． …………………………12分
18.解：（1）在
中令n=1得a 1=8，
因为对任意正整数n ，都有
成立，所以
，
两式相减得a n+1﹣a n =a n+1，所以a n+1=4a n ， 又a 1≠0，所以数列{a n }为等比数列，
所以a n =8•4n ﹣1=22n+1，所以b n =log 2a n =2n+1，……6分 （2）c n =
=
=（
﹣
）所以
(12)
分
19.解：（1）∵=1．
∴由正弦定理可得： =1，整理可得：b 2+c 2﹣a 2=bc ，
∴由余弦定理可得：cosA=
=
=，
∵A∈（0，π），∴A=．……6分
（2）∵A=，a=4，
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc，可得：48=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，解得：bc≤48，当且仅当b=c=4时等号成立，
又∵48=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2=48+3bc≤192，
∴可得：b+c≤8，
又∵b+c＞a=4，∴b+c∈（4，8]．…………12分
20.（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵AC=PA，E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，
又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．……6分
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，
由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，
∵AC⊥CD，∴
设点B的平面PCD的距离为d，则．
在△BCD中，∠BCD=150°，
∴．
∴，
∵V B﹣PCD=V P﹣BCD，∴，解得，
即点B到平面PCD的距离为．………12分
21.
………3分
………7分
………12分
22．解：（I ）∵ρ=
，∴ρ2cos 2θ=ρsinθ，
∴曲线C 的直角坐标方程是x 2=y ，即y=x 2．……4分
（II ）直线l 的参数方程为（t 为参数）．
将（t 为参数）代入y=x 2得t 2﹣﹣4=0． ∴t 1+t 2=，t 1t 2=﹣4．
∴+====． (10)
分
23.解：（1）函数⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
≥--<<----≤+=+--=1,4123,2323,4|32||1|)(x x x x x x x x x f ，
当23-≤x 时，由24>+x 解得2->x ，即2
3
2-≤<-x ；
当123<<-
x 时，由223>--x 解得2<x ，即3
423-<<-x ； 当1≥x 时，由24>--x 解得6-<x ，无解；
所以原不等式的解集为}3
4
2|{-<<-x x .……5分
（2）由（1）知函数)(x f 在23-=x 处取函数的最大值2
5
)23(=-f ，
要使关于x 的不等式a a x f -≤
223)(的解集为R ，只需25232≥-a a ，
即05232≥--a a ，解得1-≤a 或35≥a .又a 为正数，则3
5
≥a .……10分。