11.5.2 坐标平面上的直线拓展(几何变换II轴对称 )
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对称的直线方程. (选做)4.求证：点 P( x0 , y0 ) 关于直线 y x b, b R 的对称点 P ' 的坐标是：
( y0 b, x0 b)
课堂练习答案 1.(1) (0, 3) (2) (3, 2)
2. x 7 y 22 0 3. x 2 y 11 0
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程.
续解：因为 P( x0 , y0 ) 在直线 l1 上，因此有
x0 7 y0 4 0 ②
把①代入②中化简，得直线 l2 的方程为：
x y2 0
x3 y5 解：设 P '( x, y), PP ' 的中点 M ( , ) 2 2 dl (3,1) ，于是有：
3 ( x 3) 1 ( y 5) 0 x 5 解得 1 3 y 1 ( x 3) ( y 5) 2 0 2 2
P 关于l 的 解：设直线 l1 上任意一点 P( x0 , y0 ) ，
对称点 P ' 的坐标为 ( x, y ) ，则有
2( x x0 ) ( y y0 ) 0 1 1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 1 0 2 2
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程.
2( x x0 ) ( y y0 ) 0 续解： 1 1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 1 0 2 2
解关于 x0 , y0 的方程组，解得 1 x (3 x 4 y 2) 0 5 ① y 1 (4 x 3 y 4) 0 5
解法三(略解)：点 (3, 1) 在直线 l1 上， 点 (3, 1) 关于直线 l 的对称点为 (3, 1)
设直线 l2 : y 1 k ( x 3) 即 kx y 3k 1 0
|11 7 2 | | k 2| 2 50 5 k 1 5
解得 k 1 ，因此 l2 : x y 2 0
P '与 P 关于直线 l 对称的几何条件是： 分析：
① PP ' l ② 线段 PP '被 l 所平分 将上述条件代数化，即有 ① PP ' dl 0
② 设 PP ' 的中点为 M ，则 M 在 l 上.
注意：条件①有时也可用kPP ' kl 1 替换.
例1.求点 P(3,5) 关于直线 l : x 3 y 2 0 对称的 点 P ' 的坐标.
课堂练习 1.求点P(2,3) 关于下列直线的对称点P ' 的坐标： (1) l : x 3 y 1 0 (2) l : y x 2.已知直线 l : x 2 y 2 0 ，求直线
x y 2 0 关于 l 对称的直线方程. 3.求直线 x 2 y 1 0 关于直线 x 2 y 5 0
x 3 y (1) 因此直线 l2 的方程为 2 3 4 (1) 即 l2 : x y 2 0
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程. 分析:(2)可以发现 l 是 l1 , l2 交角的角平分线
因此点 P ' 的坐标为 (5, 1)
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程.
分析：把直线 l1 看成是动点 P( x0 , y0 ) 的轨迹， 转化为求 l1 上的点 P( x0 , y0 ) 关于 l 的对称点.
课外阅读材料
利用直线参数方程求对称点 (感谢罗晋楠同学提供方法) 求点 A( x0 , y0 ) 关于直线 l : Ax By C 0
x x0 At 算法：设直线 l AB 的参数方程为： ① y y0 Bt 又利用 A, B 到直线 l 的有向距离满足 B A
第十一章 坐标平面上的直线
11.4.2 点到直线的距离
11.5.2 坐标平面上的直线拓展
几何变换II 轴对称
回顾
什么叫做点 A, B 关于直线 l 对称？
l
A
B
答：线段 AB 被直线 l 垂直平分 此时，直线 l 称为对称轴，点 B 也叫做点 A 关于l 的对称点.
例1.求点 P(3,5) 关于直线 l : x 3 y 2 0 对称的 点 P ' 的坐标.
思考 能否利用几何特点来求对称直线的 直线方程？
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程. 分析:(1)可以利用两点确定一条直线，求 l1 上任 意两点关于直线 l 的对称点，再求直线 l2
解法二(略解)：点 (4,0),(3, 1) 在直线 l1 上 点 (4, 0) 关于直线 l 的对称点为 (2, 4) 点 (3, 1) 关于直线 l 的对称点为 (3, 1)
P( x0 , y0 ), P '( y0 b, x0 b) 4.证：
PP ' dl ( y0 b x0 ) 1 ( x0 b y0 ) 1 0 因此 PP ' l y0 x0 b x0 y0 b 又 PP ' 中点满足 b 2 2 因此 PP ' 中点在直线 l 上. 证毕
( y0 b, x0 b)
课堂练习答案 1.(1) (0, 3) (2) (3, 2)
2. x 7 y 22 0 3. x 2 y 11 0
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程.
续解：因为 P( x0 , y0 ) 在直线 l1 上，因此有
x0 7 y0 4 0 ②
把①代入②中化简，得直线 l2 的方程为：
x y2 0
x3 y5 解：设 P '( x, y), PP ' 的中点 M ( , ) 2 2 dl (3,1) ，于是有：
3 ( x 3) 1 ( y 5) 0 x 5 解得 1 3 y 1 ( x 3) ( y 5) 2 0 2 2
P 关于l 的 解：设直线 l1 上任意一点 P( x0 , y0 ) ，
对称点 P ' 的坐标为 ( x, y ) ，则有
2( x x0 ) ( y y0 ) 0 1 1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 1 0 2 2
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程.
2( x x0 ) ( y y0 ) 0 续解： 1 1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 1 0 2 2
解关于 x0 , y0 的方程组，解得 1 x (3 x 4 y 2) 0 5 ① y 1 (4 x 3 y 4) 0 5
解法三(略解)：点 (3, 1) 在直线 l1 上， 点 (3, 1) 关于直线 l 的对称点为 (3, 1)
设直线 l2 : y 1 k ( x 3) 即 kx y 3k 1 0
|11 7 2 | | k 2| 2 50 5 k 1 5
解得 k 1 ，因此 l2 : x y 2 0
P '与 P 关于直线 l 对称的几何条件是： 分析：
① PP ' l ② 线段 PP '被 l 所平分 将上述条件代数化，即有 ① PP ' dl 0
② 设 PP ' 的中点为 M ，则 M 在 l 上.
注意：条件①有时也可用kPP ' kl 1 替换.
例1.求点 P(3,5) 关于直线 l : x 3 y 2 0 对称的 点 P ' 的坐标.
课堂练习 1.求点P(2,3) 关于下列直线的对称点P ' 的坐标： (1) l : x 3 y 1 0 (2) l : y x 2.已知直线 l : x 2 y 2 0 ，求直线
x y 2 0 关于 l 对称的直线方程. 3.求直线 x 2 y 1 0 关于直线 x 2 y 5 0
x 3 y (1) 因此直线 l2 的方程为 2 3 4 (1) 即 l2 : x y 2 0
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程. 分析:(2)可以发现 l 是 l1 , l2 交角的角平分线
因此点 P ' 的坐标为 (5, 1)
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程.
分析：把直线 l1 看成是动点 P( x0 , y0 ) 的轨迹， 转化为求 l1 上的点 P( x0 , y0 ) 关于 l 的对称点.
课外阅读材料
利用直线参数方程求对称点 (感谢罗晋楠同学提供方法) 求点 A( x0 , y0 ) 关于直线 l : Ax By C 0
x x0 At 算法：设直线 l AB 的参数方程为： ① y y0 Bt 又利用 A, B 到直线 l 的有向距离满足 B A
第十一章 坐标平面上的直线
11.4.2 点到直线的距离
11.5.2 坐标平面上的直线拓展
几何变换II 轴对称
回顾
什么叫做点 A, B 关于直线 l 对称？
l
A
B
答：线段 AB 被直线 l 垂直平分 此时，直线 l 称为对称轴，点 B 也叫做点 A 关于l 的对称点.
例1.求点 P(3,5) 关于直线 l : x 3 y 2 0 对称的 点 P ' 的坐标.
思考 能否利用几何特点来求对称直线的 直线方程？
例2.已知直线 l1 : x 7 y 4 0, l : x 2 y 1 0 求直线 l1 关于 l 对称的直线 l2 的方程. 分析:(1)可以利用两点确定一条直线，求 l1 上任 意两点关于直线 l 的对称点，再求直线 l2
解法二(略解)：点 (4,0),(3, 1) 在直线 l1 上 点 (4, 0) 关于直线 l 的对称点为 (2, 4) 点 (3, 1) 关于直线 l 的对称点为 (3, 1)
P( x0 , y0 ), P '( y0 b, x0 b) 4.证：
PP ' dl ( y0 b x0 ) 1 ( x0 b y0 ) 1 0 因此 PP ' l y0 x0 b x0 y0 b 又 PP ' 中点满足 b 2 2 因此 PP ' 中点在直线 l 上. 证毕