二次函数知识点

一、二次函数的概念
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
二、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-
=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

三、二次函数图像的画法--------五点作图法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线c bx ax y ++=2
与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

四、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

2
3.()2
y a x h
=-的性质：左加右减。

4.()2
y a x h k
=-+的性质：
y=3(x+4)2
(x-2)2
y=3x2
2
2-3
2
5、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的性质
2、二次函数)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a <0时，抛物线开口向下
b 与对称轴有关：对称轴为x=a
b
2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：
（0，c ） 3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2
-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

【例1】抛物线y=x 2
-2x -3的顶点坐标是. 【例2】二次函数有( )
A ． 最大值
B ． 最小值
C ．最大值
D ． 最小值 【例3】由二次函数，可知（ ）
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线
C ．其最小值为1
D ．当时，y 随x 的增大而增大
【例4】已知函数的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A.
B.
C.且
D.且
【例5】下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（ ）． A ．y = x 2
B ．y = x －１
C ． y = 3
4
x
D ．y = 1
x
【例6】若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范
围是（ ）
A ．=l
B ．>l
C ．≥l
D ．≤l
五、二次函数的解析式
二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写
成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
522
-+=x x y 5-5-6-6-1)3(22+-=x y 3-=x 3<x 12)3(2++-=x x k y 4<k 4≤k 4<k 3≠k 4≤k 3≠k 2
()1y x m =--x y x m m m m m
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
【例1】、抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，且过（-1，16），求抛物线的解析式。

【例2】、如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc0 （＞或＜或=） （2）a 的取值范围是
【例3】、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x − 2)2
+ 1 B ．y = (x + 2)2
+ 1 C ．y = (x − 2)2
− 3 D ．y = (x + 2)2
− 3
六、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
a b x 2-=时，a
b a
c y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a
b a
c y 442
-=最值；若不在此范围内，则
需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当
2x x =时，c bx ax y ++=22
2最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，
c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最小。

【例1】、已知二次函数的图像（0≤x ≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1,有最大值0 C ．有最小值－1,有最大值3 D ．有最小值－1,无最大值
【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每
天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)．（1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（2）设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?
七、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
【例1】将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A ． B ．C ． D ．
【例2】将抛物线y=x 2
－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.
【例3】抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是
( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
【补】抛物线y=2x 2
-3x-7在x 轴上截得的线段的长度为______________ 【公式】抛物线y=ax 2+bx+c 在x 轴上截得的线段的长度为______________
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2
y x =-2(2)y x =-+22y x =-+2(2)y x =--2
2y x =--2
y x =()2
23y x =+-
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a
-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c
⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
总之，只要a b c ，
，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
【例1】、如图为抛物线的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是( ) A ．a ＋b=－1 B ．a －b=－1C ．b<2a D ．ac<0
2
y ax bx c =++
【例2】、已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A ．a>0
B ．b ＜0
C ．c ＜0
D ．a ＋b ＋c>0
【例3】、如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c >1；（3）2a －
b <0；（4）a +b +
c <0。

你认为其中错误．．
的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个
【例4】、如图，二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【例5】、如图，是二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2
+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）
【例6】、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）
A ．m ＝n ，k ＞h
B ．m ＝n ，k ＜h
C ．m ＞n ，k ＝h
D ．m ＜n ，k ＝h
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2
y ax bx c =++2
40b ac ->1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，对称
()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12
x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离
21AB x x =-= ②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；
③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，
b ，
c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩
刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少。