2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《导数的四则运算法则》课时同步练习及解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1
§4 导数的四则运算法则
课时目标 1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的导数．
导数的运算法则：
(1)[f(x)＋g(x)]′＝______________； (2)[f(x)－g(x)]′＝______________； (3)[f(x)·g(x)]′＝________________；
(4)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
f (x )
g (x )′＝____________________.
一、选择题
1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0
B ．若y ＝
1
2
x
，则y ′＝－
1
4x
C ．若y ＝－
x ，则y ′＝－
1
2
x
D ．若y ＝3x ，则y ′＝3
2．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.12e 2
B.94e 2 C ．2e 2D ．e 2
3．已知f(x)＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x)为( )
A ．3x 2＋3x
B ．3x 2＋3x ·ln 3＋13
C ．3x 2＋3x ·ln 3
D ．x 3＋3x ·ln 3
4．曲线y ＝xe x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x －2y ＋2＝0
5．已知函数f(x)＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－8
6．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
3π4，πB ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，3π4 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案
二、填空题
7．已知f(x)＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝___________________. 8．若函数y ＝f(x)满足f(x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x)＝________.
9．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t
(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第
4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.
三、解答题
10．求下列函数的导数． (1)y ＝10x ； (2)y ＝x ＋cos x x －cos x
；
(3)y ＝2x cos x －3xlog 2 009x ； (4)y ＝x ·tan x.
11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．
能力提升
12．设函数f(x)＝sin θ
3x 3＋
3cos θ2
x 2＋tan
θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，5π12，则导数f ′(1)的取值
范围是( ) A ．[－2,2]B ．[2，
3] C ．[
3，2] D ．[
2，2]
13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．
§4 导数的四则运算法则
知识梳理
(1)f ′(x)＋g ′(x) (2)f ′(x)－g ′(x) (3)f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)
(4)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g(x)≠0)
作业设计
1．B [y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ′＝(12
12x -)′＝－1432x - ＝－
14x
x .]
2．A [∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝y ′|x=2＝e 2. ∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为 y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2. 当x ＝0时，y ＝－e 2， 当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝1
2
e 2.]
3．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝1
3
的错误．]
4．A [y ′＝e x ＋xe x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.]
5．A [∵f ′(x)＝4x 3＋2ax －b ，
由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝13.
∴a ＋b ＝5＋13＝18.] 6．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．
∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，
∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34π，π.]
7．4
解析 ∵f ′(x)＝ax a －1，
∴f ′(－1)＝a(－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 8．2x
解析 ∵f(x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f(x)＝x 2，f ′(x)＝2x. 9.125
16
解析 ∵s ′＝2t －3
t 2，∴v ＝s ′(4)＝8－3
16＝125
16(m/s)．
10．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10. (2)y ′＝
(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′
(x －cos x )2
＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2
＝－2(cos x ＋xsin x )(x －cos x )2
.
(3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x)′2x －3[x ′log 2 009 x ＋(log 2 009x)′x]
＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 009 x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x log 2 009e x]
＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 009 x －3log 2 009e.
(4)y ′＝(xtan x)′＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
xsin x cos x ′
＝
(xsin x )′cos x －xsin x (cos x )′
(cos x )2
＝(sin x ＋xcos x )cos x ＋xsin 2x
(cos x )2
＝sin xcos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2
＝1
2sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x .
11．解 设P(x 0，y 0)为切点， 则切线斜率为k ＝3x 20－2.
故切线方程为y －y 0＝(3x 20
－2)(x －x 0)．① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30
－2x 0.② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得 －1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)． 解得x 0＝1或x 0＝－12.
故所求的切线方程为
y ＋1＝x －1或y ＋1＝－5
4(x －1)．
即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. 12．D [由已知f ′(x)＝sin θ·x 2＋
3cos θ·x ，
∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π3，
又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3
≤θ＋π3≤3π4，
∴2
2≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.] 13．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －
2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20
)． ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝
12
.
切点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，14.
∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪12－14－22
＝
72
8
.。