17.5一元二次方程的应用

当χ＝２时，５－χ＝３，符合题意，原来的两位数是２３；
当χ＝３时，５－χ＝２，符合题意，原来的两位数是３２；
答：原来的两位数为２３或３２.
练一练
1、已知两个数的差是8，积是209，求 这两个数.
解：设较小的数为x，则较大的数为(x+8)， 根据题意，得 x(x8) 209 整理，得 x28x-2090 解得 x111, x219 当x=11时，x819； 当x19时，x811.都符合题意. 答：这两个数分别11和19，或19和11.
解：设这种台灯的售价上涨χ元，则每台利润为 （40+χ－30）元，销售量为（600－10χ）个，根 据题意，得 （40+χ－30） （600－10χ）=10000 整理，得 χ2－50χ+400=0 解得 χ1=10，χ2=40 ∴ 当χ=10时，售价为50元；应进台灯为：600－ 10×10=500个；
练一练
1.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售 出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场 决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫 的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商 场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价 多少元?
解 : 设每件衬衫应降价x元, 根据题意, 得 (40 x)(20 2 x ) 1200. 1
作业：
1.课本p45 习题 17.5第2、3题； 2.同步训练17.3（一）
理由.
解:设这个矩形的长为xcm,则宽为(20 x) cm,
x(20 x) 30 2
即
2
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 4130 20 0
∴此方程无解. ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
练习：
2.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂 直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?
例1. 某市市政府计划两年后实现市财政净收入
翻一番，那么这两年中市财政净收入的平
均年增长率应为多少？(精确到0.1%)
分析：若记今年市财政净收入为a,市财政净收入 的平均年增长率为x，则 明年（一年后）市财政净收入为aaxa(1x); 后年（两年后）市财政净收入为a(1x) a(1x) xa(1x)2.
a(1+30%)(1-χ)2=a(1+10%) 整理，得 (1-χ)2=11/13 解这个方程，得 χ1≈1.92，χ2≈0.08 χ1≈1.92不合题意，所以χ2≈0.08. 即这两次降价的平均率约是8%.
自学课 本p41 例2
1、平均增长（降低）率公式:
a(1 x)2 b
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般
解 : 设每件商品的售价应为x元, 根据题意, 得 (x 21)(350 10x) 400.
整理得: x2 56x 775 0. 解这个方程, 得
x1 25, x2 31.
x 31 211 20% 25.2,x 31不合题意,舍去.
答 : 每件商品的售价应为25元.
探究 有一人患了流感,经过两轮传染后
当χ=40时，售价为80元，应进台灯为：600－ 10×40=200个.
答：要实现每月10000元的销售利润，售价为50元， 进台灯500个；或售价为80元，进台灯200个.
例2．家乐福销售核桃，其进价每千克40元， 按每千克60元出售，平均每天可售出100千克， 后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则 平均每天的销售量可增加20千克。若该专卖 店销售这种核桃要想平均每天获利2240元， 请回答：
解:设道路宽为x米，则
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学
楼后墙平行的那条边长为
(352x)米，根据题意，得
四、市场营销问题
常用到的数量关系: 单价 X 数量=总价. 单位盈利 X 数量=总盈利.
例1：淮中超市将进货价为30元的台灯以 40元售出，平均每月能售出600个，调查 表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售 量就将减少10个.为了实现平均每月10000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多 少？这时应进台灯多少个？
整理得: x2 30x 200 0.
解这个方程,得 x1 20, x2 10.
20 2x 60,或20 2x 40.
答 : 为了尽快减少库存, 应降价20元.
2. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批 商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出 (350-10x)件,但物价局限定每件商品加价不能 超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖 出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?
第五步：在检查求得的答数是否符合应用题 的实际意义后，写出答案（及单位名称）。
与一元二次方程有关的应用题， 主要有以下四类：
（1）几何问题；（2）变化率问题；
(3)数字问题；（4）市场营销问题.
一、几何问题:
例1（求宽度问题）如图，在一幅矩 形地毯的四周镶有宽度相同的花边.地 毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整 个地毯的面积是40平方米.求花边的宽.
（1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可 能让利于顾客，赢得市场，该店应按原价的几 折出售？
解（：60(1﹣)设x﹣每4千0）克（核1桃00应+降x价×x元20,）根=据2题24意0．，得 2
化简，得 x2 ﹣10x+24=0 解得 x1=4，x2=6． 答：每千克核桃应降价4元或6元． （2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元， 因为要尽可能让利于顾客， 此答时 ：所， 该以售 店每价应千为按克：原核售6桃0价﹣应的6降=九价54折6（元出元．售）．，5640 100% 90%
如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流感?
121+121×10 =1331人
课时小结
•列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似，
即审、设、列、解、检、答．
这里要特别注意:在列一元二次方 程解应用题时，由于所得的根一 般有两个，所以要检验这两个根 是否符合实际问题的要求．
解：设今年某市市财政净收入为a， 这两年中市财政净收入的平均年增长率为x， 根据题意，得 a(1x)22a
1 x 2
x 1 2 x1 1 2 0.414 41.4% , 符合题意. x2 1 2 0 不合题意，舍去. 答：这两年中市财政净收入的平均年增长率约为41.4%.
例2、惠众大药房将原来每盒盈利30%的某种 药品先后两次降价，经两次降价后每盒仍能盈 利10%.求这两次降价的平均降价率是多少？ （精确到1%） 解：设某种药品进价是a元/盒，设两次平均降价率为χ， 根据题意，得
练一练
2、三个连续偶数，已知最大数与最 小数的平方和比中间一个数的平方 大332，求这三个连续偶数.
解：设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别
为(x2)和 (x2),根据题意，得 (x2)2+(x2)2 x2 332
整理，得 x2 324 解得 x18 当x18时，x2 16, x2 20； 当x= 18时，x2= 20, x2 16. 答：这三个连续偶数分别为16、18和20， 或20、 18和16.
实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
三、数字问题
例1、两个连续的整数的平方和是145，
求这两个整数.
解:设较小的整数为χ,则较大的整数为χ+1,
根据题意,得
χ2 + (χ+1)2 =145
整理,得
χ２＋χ－７２＝０
解得
χ１＝８，χ２＝－９
当χ＝８时，χ＋１＝９
当χ＝－９时，χ＋１＝－８
答：这两个整数为８和９或－９和－８.
6 3
解：设花边的宽为χ米，则地毯的长为（2χ+6） 米，地毯的宽为（2χ+3）米，根据题意，得
（2χ+6）（2χ+3）=40
x x
整理，得2χ2+9χ－11=0
3
6
解得χ1=1，χ2=－11／2（不合题意，舍去） 答：花边的宽为1米.
例2、如图所示，一块长方形铁皮的长是 宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成 高是5cm，容积是500cm3的无盖长方体 容器.求这块铁皮的长和宽.
用 直接开平方法
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B )
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明
两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在
x
x(352x)150
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解得
x1
15 2
,
x2
10.
35-2x
当 x 15 时，352x2018 不合题意，舍去；
2
当x10时，352x15. 符合题意.
答：自行车棚的长和宽分别为15米和10米.
二、变化率问题
解决这类问题的关键是推导出关系式.
第一次增长后的所得量=原来的量×（1+增长率）； 第二次增长后的所得量=原来的量×（1+平均增长率）2； 第三次增长后的所得量=原来的量×（1+平均增长率）3； …… 第n次增长后的所得量=原来的量×（1+平均增长率）n；
共有121人患了流感,每轮传染中平均一
个人传染了几个人?
分 析
1 第一轮传染后 1+x 第二轮传染后
1+x+x(1+x)
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得
1+x+x(1+x)=121
解方程,得
x x __1_0__, __-1_2___. (不合题意,舍去)
1
2
答:平均一个人传染了___1__0___个人.
17.5一元二次方程的应用
一、复习
解一元一次方程应用题的一般步骤？
第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知 数，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相 等关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数 式（简称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值；
分析：设这块铁皮的宽为χ，则 长为2χ，无盖长方体容器的长 为（2χ－5×2），宽为（χ－ 5×2）；
长方体的容积=长×宽×高.
解：设这块铁皮的宽为χ，则长为2χ.根据 题意，得
(2χ－10）（χ－10）×5=500 2x
整理，得
x2-15x=0
x
解得 x1=0, x2=15
∵x=0不合题意，舍去，∴x=15 , 则2x=30 .
答：设这块铁皮的宽为15cm，则长为30cm.
[例3] 学校要建一个面积为150平方米的长 方形自行车棚，为节约经费，一边利用18 米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35 米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.
练习：
1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2
的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明
例2 一个两位数,十位数字与个位数字之
和是5，把这个数的个位数字与十位数字对
调后，所得的两位数与原来的两位数的乘
积为736，求原来的两位数. 解:设原来两位数的十位数字为χ,则个位数字为5－χ，
根据题意，得
［１０χ＋（５－χ）］［１０（５－χ）＋χ］＝７３６
整理，得
χ２－５χ＋６＝０
解得
χ１＝２，χ２＝３