安徽省安庆市2016届高三下学期第二次模拟考试(理科)数学试题 含答案

2016年安庆市高三模拟考试（二模）
数学(理科）试题 第Ⅰ卷(共60分）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给
出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1。

若集合{}3,x x x P =<∈Z
且，(){}Q 30,x x x x =-≤∈N 且,则Q P
等于( ）
A ．{}0,1,2
B ．{}1,2,3
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2,3
2。

设i 是虚数单位,如果复数2a i i
+-的实部与虚部相等，那么实数a 的值
为（ ）
A ．13
B ．13
- C ．3 D ．3-
4。

如图所示的算法框图中，e 是自然对数的底数，则输出的i 的值为（参考数值：ln 20167.609≈)（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5.数列{}n
a 满足：1
1n n a
a λ+=-（n *∈N ，R λ∈且0λ≠）
，若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于( )
A ．1
B ．1-
C ．12
D ．2
6。

已知函数()()sin f x x ωϕ=A +(0A >，0ω>，2
π
ϕ<
）的部分图象如图所示,则()f x 的递增区间为（ )
A ．52,
212
12k k π
πππ⎛⎫
-++
⎪⎝⎭
,k ∈Z B ．5,
12
12k k π
πππ⎛⎫
-++
⎪⎝⎭
,k ∈Z C ．52,26
6
k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
,k ∈Z D ．5,6
6
k k ππππ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
，k ∈Z
7。

给出定义:设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0
x ,则称点()()00
,x f x 为函数()y f x =的“拐点
"．已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()0
,x f x M ,则点M （ )
A ．在直线3y x =-上
B ．在直线3y x =上
C ．在直线4y x =-上
D ．在直线4y x =上
8。

已知向量AB 、C A 、D A 满足C D A =AB +A ，2AB =，D 1A =，E 、F 分别是线段C B 、CD 的中点．若5D F 4
E ⋅B =-，则向量AB 与向量D A 的夹角为
（ ）
A ．3
π B ．23
π C ．6
π D ．56
π
9。

如果点(),x y P 在平面区域220
21020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩
上，则()22
1x y ++的最大值和最小
值分别是( ）
A ．3，35
B ．9，95
C ．9，2
D ．3,
2
10。

设点A 、()F ,0c 分别是双曲线22
221x y a b
-=(0a >，0b >）的右顶点和右焦
点，直线2
a x c
=
交双曲线的一条渐近线于点P ．若F ∆PA 是等腰三角形,
则此双曲线的离心率为（ ) A ．
3
B ．3
C ．2
D ．2
11。

一个几何体的三视图如图所示,其体积为（ ）
A ．116
B ．1136
C ．32
D ．12
12。

设函数
()(),01
11,101x x f x x f x ≤<⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩
,()()4g x f x mx m =--,其中0m ≠．若函数()g x 在区间()1,1-上有且仅有一个零点,则实数m 的取值范围是（ )
A ．14
m ≥或1m =- B ．14
m ≥ C ．15
m ≥或1m =-
D ．15
m ≥
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上) 13。

若抛物线2
6y
x =的准线被圆心为()2,1-3该圆的半径为 ．
14.将3
44x x ⎛⎫
+- ⎪
⎝⎭
展开后，常数项是 ．
15.在平行四边形CD AB 中,D AB ⊥B ，
2
242D 1⋅AB +⋅B =．将此平行四边形沿D
B 折成直二面角，则三棱锥CD A -B 外接球的表面积为 ． 16.已知数列{}n
a 是各项均不为零的等差数列,n
S 为其前n 项和,且
21
n n a S -=（n *
∈N ）．若不等式8
n
n a n
λ
+≤
对任意n *∈N 恒成立，则实数λ的最大值为 ．
三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17。

（本小题满分12分）
如图，D 是直角C ∆AB 斜边C B 上一点,C 3DC A =．
（I)若D C 30∠A =，求角B 的大小;
(II ）若D 2DC B =，且D 22A =,求DC 的长．
18。

（本小题满分12分）
在如图所示的多面体CD FG AB E 中，面CD AB 是边长为2的菱形,D 120∠BA =，
D //CF//G
E B ,C
F ⊥面CD AB ，G//F A E ，且CF 2
G 4=B =．
（I ）证明:G//E 平面CD AB ;
（II ）求直线CF 与平面G AE 所成角的正弦值．
19。

(本小题满分12分)
近年来,全国很多地区出现了非常严重的雾霾天气，而燃放烟花爆竹会加重雾霾．是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题．一般来说,老年人（年满60周岁)从情感上不太支持禁放烟花爆竹，而中青年人(18周岁至60周岁以下）则相对理性一些．某市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹对400位老年人和中青年市民进行了随机
问卷调查，结果如下表：
(I)有多大的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关?请说明理由;
（II）从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构分层抽样出13人，再从这13人中随机的挑选2人，了解它们春节期间在烟花爆竹上消费的情况．假设老年人花费500元左右，中青年人花费1000元左右．用X表示它们在烟花爆竹上消费的总费用，求X的分布列和数学期望．
20.（本小题满分12分）
已知定圆:A ()
2
2316x y +
+=，动圆M 过点(
)3,0
B
,且和圆A 相切．
(I ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;
（II)设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P 、Q ，点()4,0N ．若P 、Q 、N 三点不共线，且Q ∠ONP =∠ON ．证明:动直线Q P 经过定点．
21。

（本小题满分12分）
设函数()()2
1f x x =-，()()2
ln g x a x =，其中R a ∈，且0a ≠．
（I ）若直线x e =（e 为自然对数的底数）与曲线()y f x =和()y g x =分别交于A 、B 两点，且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线互相平行，求a 的值；
（II)设()()ln h x f x m x =+（R m ∈,且0m ≠)有两个极值点1
x ,2
x ，且1
2x
x <，
证明：()212ln 2
4
h x ->
．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

解答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，以C ∆AB 的边AB 为直径作O ，O 与边C B 的交点D 恰为C B 边的中
点，过点D 作D C E ⊥A 于点E ． （I ）求证:D E 是
O 的切线；
（II ）若30∠B =，求DC
AE 的值．
23.(本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程
为2cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎨
=⎩(t 为参数,α为直线的倾斜角）．
（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; （II ）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小．
24。

(本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲 设函数()3f x x x a =--+，其中R a ∈． (I)当2a =时，解不等式()1f x <；
(II ）若对于任意实数x ，恒有()2f x a ≤成立，求a 的取值范围．
2016年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题(理科）参考答案及评分标准
一、选择题
1. 解析： {}21012P =--，，，，，{}012,3Q =，，, P Q ={}012，，。

2。

解析：
i 21(2)i
2i 5
a a a +-++=-,212a a -=+，3a =。

3。

解析： 若
C B A <+，则.2
π
>
C 但反之不然.
4。

解析： ∵609.72016ln ≈,∴8
e 2016>
∴
8i =时，符合2016a ≥,∴
输出的结果8i =。

5。

解析： 由11n n
a a λ+=-，得12
12()n n n a a a λλλ
+-=-=-。

由于数列{1}n a -是等比数列，所以21λ
=，得2λ=。

6。

解析： 由图象可知2A =，311341264
T πππ=-=，所以T π=，故2ω=.
由11()212f π=-，得23k πϕπ=-(Z k ∈）。

∵2πϕ= ∴3
πϕ-=
所以()2sin(2)3f x x π=-。

由2(22)322
x k k πππ
ππ-∈-+，(Z k ∈)， 得5()1212
x k k ππ
ππ∈-
+，(Z k ∈). 或:31134
12
6
4
T πππ=-=，所以T π=，6
4
6
4
12
T ππππ-=-=-，
56
46412
T π
πππ
+
=+=，所以()f x 的单增区间是5()1212
k k ππππ-+，(Z k ∈）。

7. 解析：()34cos sin f x x x '=++,()4sin cos 0f x x x ''=-+=，0
04sin cos 0x
x -=,
所以0
3)(x x f =，故0
0(())M x
f x ，在直线x y 3=上。

8。

解析：DE BF ⋅=2
2115115()()2
2
4
2
24
CB CD CD CB CB CD CD
CB --=⋅--=-. 由2CD AB ==，1BC AD ==,可得1cos 2
CB CD 〈〉=，
， 所以3
CB CD π〈〉=，
，从而3
AB AD π〈〉=，。

9． 解析：如图，先作出点()P x y ，所在的平面区域。

22
)1(++y x
表示动
点P 到定点(01)Q -，
距离的平方。

当点P 在(10)-，时,2
2PQ
=,而点Q 到直线012=+-y x 的
距离的平方为925
<；当点P 在(02)，时，离Q 最远，92
=PQ 。

因此
22)1(++y x 的最大值为9，最小值为
9
5。

10。

解析：显然
PF PA
>，
PF AF
>,所以由PAF ∆是等腰三角形得
PA AF
=。

易知A (0)a ，
，P 2()a ab
c c
， ，所以2
222()()()a ab a c a c c
-+=-，
222222()()()()()a a a c c a c a c c ⇒-+-=-22()()1a a c a c c c a +⇒+=-
2211111
e e e e +⇒+=-。

解得 2e =。

11. 解析: 该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图 所示，则其体积为：
6
11111213121221=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=
V .
12。

解析:
001()1
111
x x x f x x <<<⎧⎪=⎨--⎪+⎩≤， ，。

作函数()y f x =的图象，如图所示。

函数()g x 零点的个数⇔函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+交点
的个数.
当直线
4y mx m
=+过点(11)，
时,1
5
m =
;当直线
4y mx m
=+与曲线
1
11
y x =
-+（01x <<-)
相切时,可求得1m =-. 根据图象可知当15
m ≥或1m 时，函数()g x 在
区间(
11)，上有且仅有一个零点。

二、填空题
题号 13
14
15
16
答案
1
160-
2
π 9
13。

2
6y
x
的准线32
x ，圆心(
21)
，到其距离等于
3
1(2)2
2
. 32213
()()122。

14. 解析：展开后的通项是n m n m n m m x x C C
----⋅⋅333
)4()4
(,当n m =时为常数.
于是m m m
m m
m n
m n m n m m x
x C C x
x C C
2333333
)4()4()4()4
(------⋅⋅=-⋅⋅. 若0m =，则3
(4)
64-=-;若1m =，则11
324(4)96C C ⋅⋅-=-。

故常数项是.1609664-=-- 或:6
3
)2()
44(x
x x
x -
=-+展开后的通项是 k k
k k k k
x C x
x C 26666)()2()2()(---=-
⋅。

令620k -=，得3k =。

所以常数项是33
6
(2)
160C -=-.
15。

解析：如图，因为平面BDC ⊥平面ABD (折成直二面角），
所以AB ⊥平面BDC ，CD ⊥平面ABD ，得.AD CD BC AB ⊥⊥， 取AC 的中点O ，则OD OC OB OA ===。

于是外接球的球心是O ，12
OA AC =,2
21
4OA
AC =
. 而.2
1
)24(2122222222=+=+=+=BD AB BD AB BC AB AC 所以半径.4
2
21=
=AC OA 于是外接球的表面积为2
42
S OA
π
π=⋅=。

16。

解析：12121(21)()
(21)2
n n
n n n
n a a a
S a n a ---+=⇒=
-，
2
(21)n n a n a ⇒=- 21n a n ⇒=-，*∈N n .
8
n
n a n
λ
+≤
就是(8)(21)8215n n n n n λλ+-⇒-+≤≤.
8
215n n
-+在1n ≥时单调递增，其最小为9，所以9λ≤，
故实数λ的最大值为9.
三、解答题
17．解析：(Ⅰ）在△ABC 中,根据正弦定理,有
sin sin AC DC
ADC DAC
=
∠∠。

因为
AC ，所以sin ADC DAC ∠=
∠=
. 又
6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC
所
以
120
ADC ∠=。

……………3分
于
是
3030120180=--=∠C ，
所
以
60
B ∠=。

……………6分
（Ⅱ）设
DC x =，则2BD x =,3BC x =，AC =。

于是sin AC B BC
==
，cos B =，.6x AB =
(9)
分
在ABD ∆中，由余弦定理，得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，
即
222264222x x x x =+-⨯= ,得2x =。

故
.2=DC
…………
…12分
18．解析:（Ⅰ）证明：
G//G A EF A ⇒与EF 共面。

由平面//ADE 平面//BCFG AE FG ⇒⇒ 四边形AEFG 为平行四边形。

连接AF 交EG 于M ，连接AC ,BD 交于O ， 连接MO ，如图1所示. 则//MO CF ,且12
MO CF BG ==，
故BOMG 为平行四边形，所以//MG BO . 又BO ⊂平面ABCD ，MG ⊄平面ABCD , 所以//MG 平面ABCD ,即//EG 平面
ABCD .
……………6分
（Ⅱ）解法一、
CF ABCD CF DB
ABCD BD AC CF AC ABCD CF AC O ⊥⇒⊥⎫⎪
⇒⊥⎬⎪⊂=⎭平面四边形是菱形面且、
BD ACF ⇒⊥平面。

由(Ⅰ）知//EG BD ，所以EG ACF ⊥平面AEFG ACF ⇒⊥平面平面.
因为平面AEFG 平面=ACF AF ，C ∈平面ACF ，所以点C 在平面AEFG 内的射影落在AF 上,故FC 与平面AEFG 所成的角就是AFC ∠。

在Rt AFC ∆中，5
5422sin 2
2=
+=
=∠AF
AC AFC ， 所以
FC
与平面AEG
所成角的正弦为
5
5。

……………12分 解法二、
由(Ⅰ）易知，.2==BG DE 以O 为坐
AC
=
标原点,分别以直线AC 、BD 为x 、y 轴，建立空间直角坐标系xyz O -， 如图2所示。

则有(100)A ，，、(032)E ，，
(032)G ，，
(100)C -，，，(104)F -，，，
所以 (132)AE =-，，(0230)EG =，，
(004)CF =，，.
设面AEG 的法向量为()n x y z =，，， 由n AE ⊥,
n EG ⊥，得320230.
x z ⎧-+=⎪⎨
=⎪⎩，
令1=z ，则2=x
所以(201)n =，，,于是5
cos 5
45
n CF <>==
，
………
10分
故直线CF 与平面AEG 所成角的正弦值为
.5
5
………12分
19。

解析:（Ⅰ)因为22
400(6012014080)400
4.3956 3.84114026020020091
K ⨯⨯-⨯=
=≈>⨯⨯⨯，
所以有95%把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结
构”有关。

……… 5分
(Ⅱ）因为140:1207:6=，所以13人中有老年人7人,中青年人6人。

那
么
2000
X =,
1500
，
1000。

……… 7分
26213C 5(2000)C 26P X ===
,1176
213C C 7(1500)C 13P X ===，2
7213C 7(1000)C 26
P X ===， 所以X 的分布列为
200015001000146226132613
EX =⨯+
⨯+⨯=≈。

……… 12分
20。

解析：（Ⅰ)圆A 的圆心为(0)A ，半径14r =。

设动圆M 的半径为2
r ，依题意有2
||r MB =．
由 ||AB =可知点B 在圆A 内,从而圆M 内切于圆A ，故1
2
||MA r r =-，
即 ||||4MA MB +=32>.
所以动点M 的轨迹E 是以A 、B 为焦点,长轴长为4的椭圆，
其
方
程
为
14
22
=+y x . …………5分
（Ⅱ)
设直线l 的方程为(0)y kx b k =+≠，联立2244y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，，
消去y 得，
222(14)8440k x kbx b +++-=, 2216(41)k b ∆=-+.
设1
1
()P x kx b +，,1
1
()Q x kx b +，，
则122
814kb x x k
+=-+，2122
4414b x x k
-=+. (7)
分
于是=+Q N PN k k
12121212112(4)()844(4)(4)
kx b kx b kx x k b x x b
x x x x ++--+-+=----，
由ONP ONQ ∠=∠知0=+Q N PN
k k。

故动直线
l
的方程为
y kx k
=-,过定点
(10)，。

…………12分
21。

解析:(Ⅰ）因为()2(1)f x x '=-，2ln ()a x g x x
'=， ………
2分
所以()2(1)f e e '=-，2ln 2()a e a g e e
e
'==。

由
()()
f e
g e ''=，得
2a e e =-.
……… 5分
（Ⅱ）222()2(1)m x x m
h x x x x
-+'=-+=，0x >。

因为()h x 有两个极值点1
x ，2
x ,所以1
x ，2
x 是方程2
220x
x m -+=的两
个实数根,
.121=+x x
而120x x <<,所以
12
1
2<<x 。

因为2
2
222m x
x =-+,所以22
22222()(1)(22)ln h x x x x x =-+-. ……… 8分
令()t ϕ=2
2(1)
(22)ln t t t t -+-，
12
1
<<t 。

则21()2(1)(24)ln (22)2(12)ln 0t t t t t t t t t
ϕ'=-+-+-⋅=->，
所以()t ϕ在1(1)2
，内是增函数。

于是112ln 2()()24
t ϕϕ->=，
即2
12ln 2()4
h x ->。

………
12分
22．解析：(Ⅰ）如图,连接OD .
因为O 是AB 的中点，D 是BC 的中点， 所以
OD //AC .
因为AC DE ⊥,所以OD DE ⊥，
所以DE 是⊙O 的切线。

………… 5分
(Ⅱ）因为AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，所以BC AD ⊥.
又D 是BC 的中点，所以
AB
AC 。

故
30=∠=∠B ACD .
因为AC DE ⊥，所以
30=∠ADE . 在直角三角形AED
中，
30tan =DE
AE
; 在直角三角形DEC 中， 30sin =DC
DE 。

于
是
6
3
3321=
⨯=DE AE 。

………… 10分
23．解析：(Ⅰ)当2
π=a 时，直线l 的普通方程为1x
；
当
2
π
≠
a 时，直线
l
的普通方程为
(tan )(1)y x 。

………… 2分
由θρcos 2=，得θρρcos 22
=，
所以
22
2x y x
,即为曲线
C
的直角坐标方
程。

………… 4分
（Ⅱ）把a t x cos 1+-=，sin
y
t 代入2
2
2x
y x ，整理得
24cos
30t t .
由012cos 162
=-=∆α，得2
3
cos 4=
,所以3cos 2=或3
cos 2
=， 故
直线
l
倾斜角
α
为
6
π或
56
π。

………… 10分 24．解析：（Ⅰ）2=a 时，1)(<x f 就是.123<+--x x
当2-<x 时，321x x -++<，得51<,不成立； 当23x -<≤时，321x x ---<，得0x >,所以30<<x ;
当3x ≥时，321x x ---<，即51-<，恒成立,所以3x ≥。

综
上可知，不等式
1
)(<x f 的解集是
(0)+∞，.
…………5分
(Ⅱ) 因为()3(3)()3f x x x a x x a a =--+--+=+≤，
所以)(x f 的最大值为3+a .
对于任意实数x ,恒有()2f x a ≤成立等价于32a a +≤.
当3a -≥时，32a a +≤，得3a ≥；
当3a <-时，32a a --≤，1a -≥,不成立。

综
上
，
所
求
a
的取值范围是
[3)+∞，
………… 10分。