考点透析22 分类讨论问题的答案策略doc

考点透析22 解决分类讨论问题的思维策略
分类讨论思想是数学思维的重要思想，而分类讨论思想是人们解决问题的最高思想境界，分类思想在历年的数学高考中都有所考查，解决分类讨论问题的思维策略如下：①明确题意，确定级别；②确定标准，逐级分类；③逐类比较，归纳结论。

例1.已知函数3
23()(2)632
f x ax a x x =-++-试讨论曲线y=f(x)与x 轴的公共点的个数。

第一级分类:曲线类型,标准0a =二次抛物线, 0a ≠三次抛物线;
第二级分类:开口方向,标准0a >开口向上, 0a <开口向下
第三级分类:根的大小比较,标准2221;1;1a a a =>< 解: 22()33(2)63[(2)2]f x ax a x ax a x '=-++=-++
当0a =时, 2
()3(1)0f x x =--≤,()0f x =有且仅有一解; 当0a <时, 2()3()(1)f x a x x a '=--,21a
<,222364()0,(1)02a a a f f f f a a -+-∴==<==->极小极大 所以,此时()0f x =有三个不同的实数解;
当0a >时,10若
21a >,即02a <<时,2()(1)02a f f f f a ∴=<==-<极小极大 ()0f x =有且仅有一解; 20. 若21a
=,即2a =时, 2()6(1)0f x x '=-≥函数为R 上增函数, (0)30,(2)10f f =-<=>, ()0f x =有且仅有一解;
30
.若21a <,即2a >时, 2223640()(1)2a a a f f f f a a -+-∴>==>==-极大极小, ()0f x =有且仅有一解;
综上所述: 0a ≥时, 曲线y=f(x)与x 轴有且只有一个公共点, 0a <曲线y=f(x)与x 轴有三个公共点. 例2．（2005江苏改编）已知,a R ∈函数2
().f x x x a =-求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值. 解：设此最小值为m ①当1≤a 时，在区间[1，2]上，23)(ax x x f -=，因为0)3
2(323)('2>-=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， 则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以f m -==1)1(
②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2
≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知)(==a f m ③当2>a 时，在区间[1，2]上，3
2)(x ax x f -= )3
2(332)('2x a x x ax x f -=-= 若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以)1(-==a f m
若32<<a ，则2321<<
a 当a x 321<<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 3
2]上的增函数， 当232<<x a 时，0)('<x f ，则)(x f 是区间[a 3
2，2]上的减函数， 因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或2(4)2(-==a f m
当372≤
<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ， 当33
7<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m 总上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=3713
72)2(42101
1a a a a a a a m
例3．（2006年上海高考题改编）设数列 1121n n b k -=
+-(n=1,2,…,2k).求满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －
23|＋|k b 2－23|≤4，求k 的值． 解: 设b n ≤23,解得n≤k+21,又n 是正整数,于是 当n≤k 时, b n <2
3；3322n n b b -=- 当n≥k+1时, b n >
23.3322n n b b -=- 原式=(
23－b 1)+(23－b 2)+…+(23－b k )+(b k+1－23)+…+(b 2k －2
3) =(b k+1+…+b 2k )－(b 1+…+b k ) =]12)10(21[]12)12(21[k k k k k k k k k +--+-+--+=122-k k . 当1
22
-k k ≤4,得k 2－8k+4≤0, 4－23≤k≤4+23,又k≥2, ∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
例4．已知()(0)a f x x a x =+
>，且当[1,3]x ∈时，min max ();()f x n f x m == ，求m n -的最小值． 解：∵()(0)a f x x a x
=+>， ︒1若01a <<，33a m =+，1n a =+，24233
m n a -=-+> ︒2若1
3a ≤<，∴f （x ）在[1,3],n=max{(3),
(1)}33
a m f f
==+，∴333a m n -=->+︒3若
39a ≤<，∴f （x ）在[1,3],n=
max{(3),(1)}1m f
f a ==+，则14m n a -=+--
︒4若9a ≥，(1)1m f a =-=+，(3)33a n f =-=+，2243
a m n -=-≥ …………（12分）
4
423433-<<<+min ()4m n -=-a ＝3时取最小值） …………（14分） (考查目标：10检验类似于一元二次函数图象与根的分布问题，20数形结合思想，30分类讨论思想)
例5.解关于的不等式：x ax a x 2110-++<()(答案见备备考考指南P 142例3)
分析：这是一个含参数a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a 分类：（1）a ≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根
之间。

而确定这一点之后，又会遇到1与1a
谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。

故而解题时，需要作三级分类。

解：（）当时，原不等式化为10101a x x =-+<∴>
（）当时，原不等式化为20110a a x x a
≠--<()() ①若，则原不等式化为a x x a
<-->0110()() 1011a a <∴< ∴<>不等式解为或x a
x 11 ②若，则原不等式化为a x x a
>--<0110()() （）当时，，不等式解为i a a a
x ><<<11111 ()ii a a
x 当时，，不等式解为==∈∅111 ()iii a a x a
当时，，不等式解为011111<<><< 综上所述，得原不等式的解集为
当时，解集为或a x x a x <<>⎧⎨⎩⎫⎬⎭
011；{}当时，解集为a x x =>01|； 当时，解集为0111<<<<⎧⎨⎩⎫⎬⎭
a x x a ；当时，解集为a =∅1； 当时，解集为a x a x ><<⎧⎨⎩⎫⎬⎭
111。