2020年上海华东师范大学第二附属中学高二数学文联考试卷含解析

2020年上海华东师范大学第二附属中学高二数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. (本小题满分14分) （14分）已知函数（a∈R）．
(1)若在上是增函数，求a的取值范围；
（2）若,证明：.
参考答案：
解：(1)∵ ,且在[1,e]上是增函数,
∴≥0恒成立，
即a≥-在[1,e]上恒成立, ∴a≥-1
（2）证明：当a=1时，x∈[1,e]． ks5u
令F(x)= -=- ,
∴,∴F(x) 在[1,e]上是减函数，
∴F(x)≤F(1)=∴x∈[1,e]时，<
略
2.
参考答案：
A
3. i是虚数单位,复数对应的点位于A第一象限 B第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：
B
4. 设，若，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．
参考答案：
B
5. 已知命题p：任意的x∈R，x>sin x，则p的否定形式为( ) A．：存在x∈R，x<sin x B．：任意x∈R，x≤sin x C．：存在x∈R，x≤sin x D．：任意x∈R，x<sin x 参考答案：
C
6. 若右边的程序框图输出的S是62，则条件①可为
A、m≤5
B、m≤6
C、m≤7
D、m≤8
参考答案：
答：D。

略
7. 已知△ABC的周长为20，且顶点B (－4，0)，C (4，0)，则顶点A的轨迹方方程
是（）
A．（y≠0） B．（y≠0）
C．（y≠0） D．（y≠0）
参考答案：
A
8. 已知点P(2，1)为圆C：x2＋y2－8x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为
A.2x＋y－5＝0
B.x＋2y－4＝0
C.2x－y－3＝0
D.x－2y＝0
参考答案：
C
9. 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排列种数为（）
A．B． C. D．
参考答案：
A
10. 设f(x)为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为( )
A. B．3 C．6 D．无法确定
参考答案：
C
略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知椭圆C：，则其长轴长为
___▲___；若F
为椭圆C 的右焦点，B 为上顶点，P 为椭圆C 上位于第一象限内的动点，则四边形OBPF的面积的最大值___▲___.
参考答案：
(1). (2).
由题意易得：长轴长为；
四边形OBPF的面积为三角形OBF与三角形BFP的面积和，
三角形OBF的面积为定值，要使三角形BFP的面积最大，则P到直线BF的距离最大，
设与直线BF平行的直线方程为y=﹣x+m，
联立，可得3x2﹣4mx+2m2﹣2=0．
由△=16m2﹣4×3×（2m2﹣2）=0，解得m=．
∵P为C上位于第一象限的动点，
∴取m=，此时直线方程为y=﹣x+．
则两平行线x+y=1与x+y﹣的距离为d=.．
∴三角形BFP的面积最大值为S=．
∴四边形OAPF（其中O为坐标原点）的面积的最大值是=．
故答案为：．
12. 已知等比数列{a n}的首项为1，且，则__________.
参考答案：
128
【分析】
先由等比数列的通项公式得到，进而得到，再根据等比数列的性质得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，因为，根据等比数列的通项公式的计算得
到：，所以.由等比数列的性质得到：.
故答案为：128.
【点睛】这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础. 对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
13. 命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否命题是．
参考答案：
若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】利用原命题和否命题之间的关系，准确的写出原命题的否命题．注意复合命题否定的表述形式．
【解答】解：原命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的否命题只需将条件和结论分别否定即可：
因此命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0的否命题为：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0．
故答案为：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0
14. （4分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx 的最大值为
_________ ．
参考答案：
15. 从装有个球（其中个白球，1
个黑球）的口袋中取出个球,共
有种取法。

在这
种取法中，可以分成两类：一类是取出的
个球全部为白球，共有
，即有等式：成立。

试根据上述思想化简下列式
子：。

参考答案：
略
16. 若直线l1：x+（1+k）y=2﹣k与l2：kx+2y+8=0平行，则k的值是．
参考答案：
1
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】直线与圆．
【分析】由于直线l1：x+（1+k）y=2﹣k与l2：kx+2y+8=0平行，可得．解出并验证即可．
【解答】解：∵直线l1：x+（1+k）y=2﹣k与l2：kx+2y+8=0平行，
∴．
∴，化为k2+k﹣2=0，解得k=1或﹣2，
当k=﹣2时，两条直线重合，应舍去．
故k=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了两条直线平行与斜率的关系，属于基础题．
17. 如图，正方形O/A/B/C/的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积
是．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数的最小正周期为π，直线为它的图象的一条对称轴．
（1）当时，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，若，求b+c的最大值．
参考答案：
【考点】余弦函数的图象．
【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）根据三角函数的性质求出函数的解析式，求出角的范围，利用三角函数的单调性进行求解即可．
（2），求出角A的大小，利用余弦定理和基本不等式解得b+c≤6．
【解答】解：（1）∵函数的周期是π，
∴T=，则ω=2，
则f（x）=2cos（2x+φ），
∵为它的图象的一条对称轴，
∴2×（﹣）+φ=kπ，k∈Z，
即φ=kπ+，
∵0＜φ＜，∴当k=0时，φ=，
即f（x）=2cos（2x+），
若时，2x∈，
2x+∈，
即当2x+=0时，函数f（x）取得最大值此时f（x）=2，当2x+=时，函数f（x）取得最小值此时f（x）=0，即函数的值域为．
（2）若，
则2cos=2cos（﹣A+）=，
即cos（﹣A+）=，
额cos（A﹣）=，
∵0＜A＜π，∴﹣＜A﹣＜，
即A﹣=，
即A=，
∵a=3，
∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos=b2+c2﹣bc=9，
即（b+c）2﹣3bc=9
即3bc=（b+c）2﹣9，
∵bc≤（）2，（b+c）2﹣9≤3（）2，
即4（b+c）2﹣36≤3（b+c）2，
则（b+c）2≤36，
即0＜b+c≤6，
即b+c的最大值是6．
【点评】本题主要考查了三角函数解析式的求解，利用三角函数的性质求出函数的解析式，以及利用余弦定理，基本不等式的是解决本题的关键．综合性较强．
19. （本小题满分13分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.
参考答案：20. 某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本平均值和方差；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人．
参考答案：
【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．
【分析】（1）根据茎叶图，计算平均数与方差；
（2）根据样本数据中有2人日加工零件个数大于样本均值，估计优秀工人数．
【解答】解：（1）根据题意，样本平均值为：
=×（17+19+20+21+25+30）=22；…
方差为：
s2= [（17﹣22）2+（19﹣22）2+（20﹣22）2+（21﹣22）2+（25﹣22）2+（30﹣22）2]=；…（2）因为样本数据中有2人日加工零件个数大于样本均值，
据此可以估计该车间12名工人中有优秀工人：
12×=4人．…
21. 下列程序的输出结果构成了数列的前10项．试根据该程序给出的数列关系，
（I）求数列的第3项和第4项；
（Ⅱ）写出该数列的递推公式，并求出其通项公式；
参考答案：
解：（I）依题意有，
；…………………4分
（Ⅱ）由此得到的数列的递推公式为：，且，用待定系数法可得
（第二问8分，答案不对酌情给分）
略
22. 已知直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+，过A作AE⊥CD，垂足为E，
G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC。

(1)求证：BC⊥平面CDE；
(2)求证：FG‖平面BCD；
(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由。

参考答案：
解：(1)证明：由已知得：
DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE.∴DE⊥BC.又BC⊥CE，CE∩DE＝E，
∴BC⊥平面DCE.
(2)证明：取AB中点H，连结GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.
又GH∩FH＝H，
∴平面FHG∥平面BCD，
∴FG∥平面BCD(由线线平行证明亦可).
（3）
略。