2020-2021学年陕西省榆林市高二数学上学期期末考试数学试题文含解析
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陕西省榆林市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）
满分150分，时间120分钟.
一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
由交集定义计算．
因此， .
故选：C.
3. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ， ，则 的值为（）.
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
根据正弦定理建立方程可得选项.
〖详 解〗由正弦定理 得 ，解得 ，
故选：B.
〖点 睛〗本题考查运用正弦定理解三角形，属于基础题.
4.已知向量 ， 不共线， ， ，若 ，则 （）
故答案选B
〖点 睛〗本题主要考查了圆柱和球的表面积，属于基础题.
11.已知命题 ， ，命题 ， ，则下列命题是真命题的是（）
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
根据初等函数的性质，先判定命题 都为假命题，再利用复合命题的真假判定方法，结合选项，即可求解.
〖详 解〗例如：当 时， ，所以命题“ ” 假命题，
A. -12B.-9C. -6D. -3
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖析〗
根据 ，由 ，利用待定系数法求解.
详解〗已知向量 ， 不共线，且 ， ，
因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
解得 ，
故选：D
〖点 睛〗本题主要考查平面向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5.已知 ，则（）
A. B. C. D.
〖解 析〗
〖分析〗
，可得 ，即 ，化简可得 ，即得渐近线方程.
〖详 解〗由题可知，OA为圆F的直径，B为圆上一点， ，
， ， ，
不妨设B在渐近线 上，
则在直角三角形 中， ，
由 ，所以 ，所以命题“ ， ”为假命题，
则 和 都为真命题，
所以 为假命题， 为真命题， 为假命题， 为假命题.
故选：B.
12.已知 是一个等差数列的前 项和，对于函数 ，若数列 的前 项和为 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
首先根据题意求出 ，再利用裂项求和法即可求解.
A B.1C. 2D. 3
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.
〖详 解〗画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将 化为 ，
观察图形可得，当直线 过点 时， 取得最大值为3.
故选：D.
9.已知函数 ，若对任意 ，且 ，都有 ，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
〖详 解〗由题意，抛物线的方程为 ，可得 ，
所以抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，
根据抛物线的定义，可得 ，
所以 ，
又因为 过抛物线的焦点 ，且 ，
所以 ，故选D.
〖点 睛〗本题主要考查了抛物线的定义的应用，以及抛物线的焦点弦问题，其中解答中熟记抛物线的定义，合理利用焦点弦的性质求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
直接利用指数函数和对数函数的单调性判断.
〖详 解〗因为 ，
所以 ，
故选：D
6.过抛物线 的焦点的直线 交抛物线于 、 两点，如果 ，则 ( )
A. 9B.6C. 7D. 8
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
根据抛物线的方程，算出焦点为 ，准线方程为 ，利用抛物线的定义求得弦长，即可求解.
〖答 案〗4
〖解 析〗
〖分析〗
，然后利用对勾函数的知识可得答案.
〖详 解〗因为 ，所以当 时
故答案为：4
16.已知双曲线 的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心， 为半径的圆与x轴交于O，A两点，与双曲线C的一条渐近线交于O，B两点.若 ，则双曲线C的一条渐近线方程为______.
〖答 案〗 (或 )
〖详 解〗根据集合交集中元素的特征，可得 ，
故选：A.
〖点 睛〗本题考查集合的交集运算，属于简单题．
2.已知等比数列 的各项都是正数，且 ，则 （）
A. B. C. D.
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
利用等比中项的性质结合数列 是正项数列可求得 的值.
〖详 解〗已知等比数列 的各项都是正数，且 ，由等比中项的性质可得 。
〖详 解〗 是一个等差数列的前 项和，则 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的前 项和为
，
则 .
故选：D
〖点 睛〗本题考查了等差数列的前 和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题.
二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若 ，则 __________．
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
〖详 解〗
14.曲线 在点 处的切线方程为______.
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
求出曲线在 处的导数值即切线斜率，即可得出方程 .
〖详 解〗 ， ，
在点 处的切线的斜率 ，
则切线方程为 ，即 .
故答案为： .
15.为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度 (单位： )随时间 (单位： )的变化关系为 ，则池水中药品的浓度最大可达到________ .
7.“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
先解不等式 ，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
〖详 解〗解不等式 得 ；
由 能推出 ，由 不能推出 ；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选B
8.已知变量x，y满足约束条件 ，则 的最大值为（）
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
由题可得 在 上单调递增，讨论 和 两种情况可求出.
〖详 解〗 对任意 ，且 ，都有 ，
在 上单调递增，
的对称轴为 ，
当 时， 开口向下，在 单调递减，不符合题意；
当 时， 开口向上，要在 单调递增，则 ，解得 ，
综上， .
故选：C.
〖点 睛〗本题考查利用函数的单调性求参数，解题的关键是判断出 在 上单调递增.
10.一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
设球的半径为 ,分别求出球和圆柱的表面积即可求解.
〖详 解〗设球的半径为 ,则该圆柱的底面半径为 ，高为
所以圆柱的表面积为： ,球的表面积为：
则圆柱的全面积与球的表面积之比为
满分150分，时间120分钟.
一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
〖答 案〗A
〖解 析〗
〖分析〗
由交集定义计算．
因此， .
故选：C.
3. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ， ，则 的值为（）.
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
根据正弦定理建立方程可得选项.
〖详 解〗由正弦定理 得 ，解得 ，
故选：B.
〖点 睛〗本题考查运用正弦定理解三角形，属于基础题.
4.已知向量 ， 不共线， ， ，若 ，则 （）
故答案选B
〖点 睛〗本题主要考查了圆柱和球的表面积，属于基础题.
11.已知命题 ， ，命题 ， ，则下列命题是真命题的是（）
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
根据初等函数的性质，先判定命题 都为假命题，再利用复合命题的真假判定方法，结合选项，即可求解.
〖详 解〗例如：当 时， ，所以命题“ ” 假命题，
A. -12B.-9C. -6D. -3
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖析〗
根据 ，由 ，利用待定系数法求解.
详解〗已知向量 ， 不共线，且 ， ，
因为 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
解得 ，
故选：D
〖点 睛〗本题主要考查平面向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5.已知 ，则（）
A. B. C. D.
〖解 析〗
〖分析〗
，可得 ，即 ，化简可得 ，即得渐近线方程.
〖详 解〗由题可知，OA为圆F的直径，B为圆上一点， ，
， ， ，
不妨设B在渐近线 上，
则在直角三角形 中， ，
由 ，所以 ，所以命题“ ， ”为假命题，
则 和 都为真命题，
所以 为假命题， 为真命题， 为假命题， 为假命题.
故选：B.
12.已知 是一个等差数列的前 项和，对于函数 ，若数列 的前 项和为 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
首先根据题意求出 ，再利用裂项求和法即可求解.
A B.1C. 2D. 3
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.
〖详 解〗画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将 化为 ，
观察图形可得，当直线 过点 时， 取得最大值为3.
故选：D.
9.已知函数 ，若对任意 ，且 ，都有 ，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
〖详 解〗由题意，抛物线的方程为 ，可得 ，
所以抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，
根据抛物线的定义，可得 ，
所以 ，
又因为 过抛物线的焦点 ，且 ，
所以 ，故选D.
〖点 睛〗本题主要考查了抛物线的定义的应用，以及抛物线的焦点弦问题，其中解答中熟记抛物线的定义，合理利用焦点弦的性质求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
直接利用指数函数和对数函数的单调性判断.
〖详 解〗因为 ，
所以 ，
故选：D
6.过抛物线 的焦点的直线 交抛物线于 、 两点，如果 ，则 ( )
A. 9B.6C. 7D. 8
〖答 案〗D
〖解 析〗
〖分析〗
根据抛物线的方程，算出焦点为 ，准线方程为 ，利用抛物线的定义求得弦长，即可求解.
〖答 案〗4
〖解 析〗
〖分析〗
，然后利用对勾函数的知识可得答案.
〖详 解〗因为 ，所以当 时
故答案为：4
16.已知双曲线 的右焦点为F，O为坐标原点，以F为圆心， 为半径的圆与x轴交于O，A两点，与双曲线C的一条渐近线交于O，B两点.若 ，则双曲线C的一条渐近线方程为______.
〖答 案〗 (或 )
〖详 解〗根据集合交集中元素的特征，可得 ，
故选：A.
〖点 睛〗本题考查集合的交集运算，属于简单题．
2.已知等比数列 的各项都是正数，且 ，则 （）
A. B. C. D.
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
利用等比中项的性质结合数列 是正项数列可求得 的值.
〖详 解〗已知等比数列 的各项都是正数，且 ，由等比中项的性质可得 。
〖详 解〗 是一个等差数列的前 项和，则 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的前 项和为
，
则 .
故选：D
〖点 睛〗本题考查了等差数列的前 和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题.
二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若 ，则 __________．
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
〖详 解〗
14.曲线 在点 处的切线方程为______.
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
求出曲线在 处的导数值即切线斜率，即可得出方程 .
〖详 解〗 ， ，
在点 处的切线的斜率 ，
则切线方程为 ，即 .
故答案为： .
15.为了净化水质，向一游泳池加入某种药品，加药后，池水中该药品的浓度 (单位： )随时间 (单位： )的变化关系为 ，则池水中药品的浓度最大可达到________ .
7.“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
先解不等式 ，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
〖详 解〗解不等式 得 ；
由 能推出 ，由 不能推出 ；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选B
8.已知变量x，y满足约束条件 ，则 的最大值为（）
〖答 案〗C
〖解 析〗
〖分析〗
由题可得 在 上单调递增，讨论 和 两种情况可求出.
〖详 解〗 对任意 ，且 ，都有 ，
在 上单调递增，
的对称轴为 ，
当 时， 开口向下，在 单调递减，不符合题意；
当 时， 开口向上，要在 单调递增，则 ，解得 ，
综上， .
故选：C.
〖点 睛〗本题考查利用函数的单调性求参数，解题的关键是判断出 在 上单调递增.
10.一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
〖答 案〗B
〖解 析〗
〖分析〗
设球的半径为 ,分别求出球和圆柱的表面积即可求解.
〖详 解〗设球的半径为 ,则该圆柱的底面半径为 ，高为
所以圆柱的表面积为： ,球的表面积为：
则圆柱的全面积与球的表面积之比为