教案 逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础：课程教案（供12节）
第二章逻辑代数基础：课程教案（供12节）（2节）
教学内容：
2．1 概述
逻辑代数是分析和研究数字逻辑电路的基本工具。

逻辑代数=布尔代数（英国：乔治布尔）=二值代数 普通代数：Y=F （X ） X 为一切实数
逻辑带声：Y=（X ） X 为0或1 Y 为0或1 不表示数值大小、只表示相
反的两种状态（开关的闭合断开、晶体管的导通截止、电位的高低）。

2.2 逻辑函数及表示方法 2.2.1 基本逻辑函数及运算
逻辑关系： 一、与逻辑 二、或逻辑 三、非逻辑 电 路：
真值表：
Y=A+B Y=A
函数式： Y=A*B 逻辑符号：
注：开关闭合为1、断开为0、灯亮为1、灯灭为0。

2.2.2 几种导出的逻辑运算
逻辑运算： 与非运算 或非运算 与或非运算 异或运算 同或运算 逻辑函数：
...Y AB
Y ABC ==
...
Y A B
Y A B C =+=++Y AB CD =+
Y AB AB Y A B
=+=⊕ Y AB AB
Y A B =+=Θ 逻辑图（逻辑符号）：
A B Y 0 0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 1
A Y 0 1
1 0
A B Y 0 0 0 1 1 0 1 1
0 0 0 1
真值表：略
2.2.3 逻辑函数及其表示方法
一、逻辑函数的建立
P16 例2.2.1
P17 例2.2.2
二、逻辑函数的表示方法
1、真值表P17：唯一的。

N个变量时有2N个变量取值组合。

2、逻辑函数式：不是唯一的。

由真值表写出标准与—或式方法P18（1）（2）及例2.2.3。

3、逻辑图P18：不是唯一的。

由函数式来定。

（1）真值表→函数式→逻辑图
（2）逻辑图→函数式→函数式
教学手段与方法：讲授
思考题、讨论题、作业：P 18（6、7、8）题
第8题补充：(1)
(2)()()()() Y AB AC ABAC
Y A B A B A C A C
=+=
=++++
课后小结：
第二章逻辑代数基础：课程教案（2节）
教学内容： 2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1逻辑代数的基本公式
一、逻辑常量运算P19：即0和1的与、或、非三种运算。

与运算或运算非运算
0*0=0 0+0=0 1/=0
0*1=0 0+1=1 0/=1
1*0=0 1+0=1
1*1=1 1+1=1
二、逻辑变量与常量运算P19；即0、1与变量A、A/的与、或、非逻辑运算。

与运算或运算非运算
Ａ*0=0 A+0=A
A*1=A（A/*1=A/）A+1=1（A/+1=1）A//=A
A*A=A（A/*A/=A/）A+A=A（A/+A/=A/）
A*A/=0 A+A/=1
2.3.2 逻辑代数的基本定律
一、与普通代数相似定律P20：
1、交换律：A+B=B+A 加法交换律
A*B=B*A 乘法交换律
2、结合律：A+B+C=（A+B）+C=A+（B+C）加法结合律
A*B*C=（A*B）*C=A*（B*C）乘法结合律
3、分配律：A（B+C）=AB+AC 乘对加分配律
（A+B）（A+C）=A+AC+AB+BC=A+BC 加对乘分配律
二、吸收律P20：
吸收律证明
1、AB+AB/=A
2、A+AB=A
3、A+A/B=A+B =A+AB+A/B=A+B（A+A/）=A+B
4、AB+A/C+BC=AB+A/C =AB+A/C+BC（A+A/）=AB+A/C+ABC+A/BC=AB+A/C
推广：AB+A/C+BCDE（沉余项）=AB+A/C
三、摩根定律——反演律
（A*B）/=A/+B/（A+B）/=A/*B/证明用真值表P21
推广：（ABC---）/=A/+B/+C/+ --- （A+B+C+ ---）/=A/B/C/---
课内练习与作业： P23 1、2、3
P36 题2.2 （1、2、3、4、5、6、7、8）
2.3.3逻辑代数的三个重要规则
一、代入规则P21
对于任一含有变量A的逻辑等式、可以将等式两边的所有变量A用同一个逻辑函数
替代、替代后等式仍然成立。

例2.3.1P22
二、反演规则----摩根定律P22
对任何一个逻辑函数Y、如果将式中所有的“*”换成“+”、“+”换成“*”、“0”
换成“1”、“1”换成“0”原变量换成反变量即“A”换成“A/”、反变量换成原变
量即“A/”换成“A”、则得到原来逻辑函数Y的反函数。

注：1、变换后的运算顺序要保持变换前的运算优先顺序不变、必要时可加括号表
明运算的先后顺序。

2、规则中的反变量换成原变量只对单个变量有效、而对于与非、或非等运算
的长非号则保持不变。

例2.3.2 P22
例2.3.3 P22
练习与作业
P36题2.5 用反演规则求下列函数的反函数（学习指导P18）
（1）Y=AB+（A/+B）（C+D+E） Y/=（A/+B/）（AB/+C/D/E/）
（2）Y=[A+（BC/+CD）E]+F Y/=A/[（B/+C）（C/+D/）+E/]F/
（3）Y=（（AB）/+ABC）/（A+BC） Y/=[（A/+B/）/（A/+B/+C/）]/+A/（B/+C/）
一、对偶规则P22—23：
定义：P22—23
对偶变换要注意保持变换前运算的优先顺序不变。

常用基本定律、公式的对偶式表P23。

练习与作业
P36题2.4写出下列各式的对偶式
（1）（A+B+C）/=A/B/C/（ABC）/=A/+B/+C/
（2）（A+B/+C）（AB+CD）+E=ACD+BCD+E [AB/C+（A+B）（C+B）]E=（A+C+D）（B+C+D）E （3）Y=[（AB）/+C+D]/+E Y，=[（A+B）/CD]/E
（4）Y=（A+B）（A/+C）（C+DE）+F Y，=[AB+A/C+（CD+E）]F
P23（4、5、6） P362.2（5、6、7、8）
第二章逻辑代数基础：课程教案（4节）
授课题目：2.4 逻辑涵数的公式化简法授课类型理论课
授课时间第周第节
教学目标或要求：理解化简的意义和标准；掌握代数化简的几种基本方法并能熟练运用。

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
重点：5种常见的逻辑式；用并项法、吸收法、消去法、配项法对逻辑函数进行化简。

难点：运用代数化简法对逻辑函数进行化简。

提纲
2.4 逻辑涵数的公式化简法
2 . 4 . 1 化简的意义与标准
一、化简逻辑函数的意义
二、逻辑函数式的几种常见形式和变换
三、逻辑函数的最简与-或式
2 . 4 . 2 逻辑函数的代数化简法
一、并项法
二、吸收法
三、消去法
四、配项法
2 . 4 .
3 代数化简法举例
教学手段与方法：
思考题、讨论题、作业：（可另附页）
课堂讨论：例2 .4 .1 例2 .4 .2
复习（提问）：逻辑代数的基本公式、基本定律和三个重要规则。

作业：P35 2.1
参考资料：
课后小结：
教学内容： 2.4 逻辑代数的公式化简法
2.4.1 化简的意义与标准
一、化简逻辑函数的意义P23—24
可得到最简的逻辑函数式和所需要的形式、设计出最简洁的逻辑电路。

二、逻辑函数式的几种常见形式变换P24
逻辑函数式不是唯一的、可以有多种形式并互相转换。

1、与—或式：Y1=AB+B/C
2、或—与式：Y2=（A+B/）（B+C）=AB+B/C
3、与非—与非式：Y3=[（AB）/（B/C）/]/= AB+B/C
4、或非—或非式：Y4=[（A+B/）/+（B+C）/]/= AB+B/C
5、与或非式：Y5=（A/B+B/C/）/= AB+B/C
三、逻辑函数的最简与—或式P24
1、逻辑函数式中的乘积项（与项）的个数最少。

2、每个乘积项中的变量数最少。

练习与作业
P36题2.7用与非门实现下列逻辑函数P26（1、2、3）
（1）Y=AB+AC=[（AB）/（AC）/]、
（2）Y=（A/+B）（A+B/）[C+（BC）/]=[（A/B/）/（AB）/]/
（3）Y=（ABC/+AB/C+A/BC）/=ABBC ACBCBC AB
=+++=
（4）Y ABC AB BC AB ABC
2.4.2 逻辑函数的代数化简法
P24运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑函数化简的方法。

一、并项法；
公式：A+A/=1 P25
练习与作业P26
（1）Y=ABC+A/+B/+C/=1
（5） Y=（A⊕B）C+ABC+A/B/C=C
二、吸收法：
公式：A+AB=A P25
练习与作业P35题2.1用代数法化简下列函数
（1）Y=A+ABC+AB/C+BC+B/C=A+C
（2）Y=ABC+（B/+C/）D+AD=ABC+B/D+C/D
三、消去法：
公式：A+A/B=A+B P25
练习与作业P35题2.1用代数法化简下列函数
（2）Y=AB/+BD+CDE+A/D=AB/+D
（4）Y=A+AB/C/+A/CD+（C/+D/）E=A+CD+E
四、配项法：
公式：A+A/=1 A*A/=0 P25
2.4.3 代数化简举例（习题课）
例2.4.1 例2.4.2 P25
练习与作业P35题2.1用代数法化简下列函数
（3） Y=（A+B+C ）（A /+B /+C /）=AC /+B /C+A /B=AB /+A /C+BC /
（6） Y=A /（C ⊕D ）+BC /D+ACD /+AB /C /
D=C ⊕D
（7） Y=D /（AB /D /+A /BD /）/=（A ⊙B ）D /
（8） Y AB ABBC BC AB BC AC =++=++ （9） ()()1Y A B CCD B C ABD BC =+++++= （10） Y =()()()A B C D E A B C DE DE ++++++=
教师手册P12题1.8（1—10） P13题1.9（a —d ） P14题1.10（1—6） P36题
第二章逻辑代数基础：课程教案（4节）
教学内容： 2.5 逻辑代数的卡诺图化简法
2.5.1 最小项与卡诺图
一、最小项的定义和性质
1、最小项的定义：P27
M n的编号方法：P27
三变量最小项：P27（表2.5.1）
四变量最小项：
2、最小项的基本性质：P27
二、表示最小项的卡诺图
1、相邻最小项定义P27
2、最小项的卡诺图表示：最小项卡诺图又称为最小项方格图。

用2n个小方格表
示n个变量的2n个最小项，并且使逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻，按这
样的相邻要求排列起来的方格图叫n变量最小项卡诺图，这种相邻原则又称卡诺
图的相邻性。

（1）二变量卡诺图P28
（2）三变量卡诺图P28
（3）四变量卡诺图P28
练习与作业：P34（1、2、3）
2.5.2 用卡诺图表示逻辑函数
一、逻辑函数的标准与—或式：
定义：P30
例2.5.1
二、用卡诺图表示逻辑函数：
用卡诺图表示逻辑函数的步骤：
（1）根据逻辑式中的变量数n，画出n变量最小项卡诺图。

（2）将卡诺图中有最小项的方格内填1，没有最小项的方格内填0或不填。

1、已知逻辑函数式为标准与—或式，画逻辑函数卡诺图P30。

例2.5.2
2、已知逻辑函数真值表，画逻辑函数卡诺图P30。

例2.5.3
3、逻辑函数为一般表达式，画逻辑函数卡诺图P30。

例2.5.4
2.5.3 用卡诺图化简逻辑函数
用卡诺图化简逻辑函数式，其原理是利用卡诺图的相邻性，对相邻最小项进行合并，消去互反变量，以达到化简的目的。

2个相邻最小项合并，可以消去1个变量；4个相邻最小项合并，可以消去2个变量；把2n个相邻最小项合并，可以消去n个变量。

化简逻辑函数式的步骤和规则：P32
例2.5.5 例2.5.6 例2.5.7 例2.5.8
练习与作业： P35 4
P36题2.6用卡诺图化简下列逻辑函数为最简与—或式
（1）Y=AC/+A/C+BC/+B/C=A/C+AB/+BC/=AC/+B/C+A/B
（2）Y=A/B/+AC+B/C=A/B/+AC
（3）Y=ABC+ABD+C/D/+AB/C+A/CD/+AC/D=A+D/
（4）Y=（A/B/+ABD）/（B+C/D）=AB/C/D+A/B+BD/
（5）Y=∑M（0、1、2、3、4、6、7、8、9、10、11、14）=A/C+A/D/+CD/+B/
（6）Y=∑M（0、2、5、7、8、10、13、15）=BD+B/D/
P37题2.9 题2.10 教师手册P15题1.13 题1.16
2.5.4 具有无关项的逻辑函数的化简
1、逻辑函数中的无关项P34
无关项是指那些与所讨论的逻辑问题没有关系的变量取值组合所对应的最小项。

约束项---某些变量取值组合不允许出现：如8421BCD码中1010---1111。

随意项---某些变量取值组合客观上不会出现：如双联开关（A、B）组成的电路。

约束项、随意项都是一种不会在逻辑函数中出现的最小项，所以对应于这些最小项的变量取值组合、函数值为1或0都可以（因为实际上不存在这些变量取值）--这样的最小项称为无关项。

2、利用无关项化简逻辑函数
无关项方框内视为1还是0根据化简的需要而定。

例2.5.9P34
练习与作业： P35 6
P36题2.6用卡诺图化简下列逻辑函数为最简与—或式
（7）Y=∑M（3、6、8、9、11、12）+∑d（0、1、2、13、14、15）=A/CD/+AC/+B/D
（8）Y=∑M（2、4、6、7、12、115）+∑d（0、1、3、8、9、11）=C/D/+CD+A/C
（9）Y=∑M（0、13、14、15）+∑d（1、2、3、10、11）=A/B/+AD+AC
补充内容一：5个变量（A、B、C、D、E）卡诺图
补充内容二：6个变量（A、B、C、D、E、F）卡诺图
1、定义：在n变量的逻辑函数中、若每个和项都含有n个变量、而且每个变量以原变量和反变量的形式出现，并且仅出现一次。

则称此和为n变量逻辑函数的最大项（唯一的）。

三变量逻辑函数的最大项、最小项及其编号
2、最大项的性质
（1）对于任何一个最大项、只有一组变量取值为0、其余均 1。

（2）两个不同的最大项之和恒为1。

（3）对于变量的任一组取值、全体最大项之和为0 即：∏M I=0
（4）逻辑函数的最大项表达式：即称为或—与表达式。

F=∏M I=（A+B+C/）（A+B/+C/）（A/+B+C/）（A/+B/+C/）=M1M3M5M7=∏M（1、3、5、7）
例：将函数F=（A+B）（A+C）（B+C）转换为最大项形式。

解：F=（A+B）（A+C）（B+C）=（A+B++CC/）（A+C+BB/）（B+C+AA/）
=（A+B+C）（A+B+C/）（A+B/+C）（A/+B+C）
=M0M1M2M4=∏M（0、1、2、4）
注明：1、最大项逻辑函数的性质：见《数字电子技术重点、难点及典型题精解》西安交大P21。

2、两种标准表达式之间的转换：
Y=∑M（0、1、4、5）=A/B/C/+A/B/C+AB/C/+AB/C
F=∏M（2、3、6、7）=（A+B/+C）（A+B/+C/）（A/+B/+C）（A/+B/+C/）
练习与作业：教师手册P15 P17
第二章逻辑代数基础（选择、判断共20题）
一、选择题
1. 以下表达式中符合逻辑运算法则的是 。

A.C ·C =C 2
B.1+1=10
C.0<1
D.A +1=1 2. 逻辑变量的取值１和０可以表示： 。

A.开关的闭合、断开
B.电位的高、低
C.真与假
D.电流的有、无 3. 当逻辑函数有n 个变量时，共有 个变量取值组合？ A. n B. 2n C. n 2 D. 2n 4. 逻辑函数的表示方法中具有唯一性的是 。

A .真值表 B.表达式 C.逻辑图 D.卡诺图 5.F=A
B +BD+CDE+A D= 。

A.D B A +
B.D B A )(+
C.))((D B D A ++
D.))((D B D A ++ 6.逻辑函数F=)(B A A ⊕⊕ = 。

A.B
B.A
C.B A ⊕
D. B A ⊕
7．求一个逻辑函数F 的对偶式，可将F 中的 。

A .“·”换成“+”，“+”换成“·”
B.原变量换成反变量，反变量换成原变量
C.变量不变
D.常数中“0”换成“1”，“1”换成“0”
E.常数不变 8．A+BC= 。

A .A +
B B.A +
C C.（A +B ）（A +C ） D.B +C 9．在何种输入情况下，“与非”运算的结果是逻辑0。

A ．全部输入是0 B.任一输入是0 C.仅一输入是0 D.全部输入是1 10．在何种输入情况下，“或非”运算的结果是逻辑0。

A ．全部输入是0 B.全部输入是1 C.任一输入为0，其他输入为1 D.任一输入为1
二、判断题（正确打√，错误的打×） 1． 逻辑变量的取值，１比０大。

（ ）。

2． 异或函数与同或函数在逻辑上互为反函数。

（ ）。

3．若两个函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等。

（ ）。

4．因为逻辑表达式A+B+AB=A+B 成立，所以AB=0成立。

（ ） 5．若两个函数具有不同的真值表，则两个逻辑函数必然不相等。

（ ） 6．若两个函数具有不同的逻辑函数式，则两个逻辑函数必然不相等。

（ ） 7．逻辑函数两次求反则还原，逻辑函数的对偶式再作对偶变换也还原为它本身。

（ ） 8．逻辑函数Y=A B +A B+B C+B C 已是最简与或表达式。

（ ）
9．因为逻辑表达式A B +A B +AB=A+B+AB 成立，所以A B +A B= A+B 成立。

（ ） 10．对逻辑函数Y=A B +A B+B C+B C 利用代入规则，令A=BC 代入，得Y=
BC B +BC B+B C+B C =B C+B C 成立。

（ ）
三、填空题
1. 逻辑代数又称为 代数。

最基本的逻辑关系有 、 、 三
种。

常用的几种导出的逻辑运算为 、 、 、 、 。

2. 逻辑函数的常用表示方法有 、 、 。

3. 逻辑代数中与普通代数相似的定律有 、 、 。

摩根定律又称
为 。

4. 逻辑代数的三个重要规则是 、 、 。

5．逻辑函数F=A +B+C D 的反函数F = 。

6．逻辑函数F=A （B+C ）·1的对偶函数是 。

7．添加项公式AB+A C+BC=AB+A C 的对偶式为 。

8．逻辑函数F=A B C D +A+B+C+D= 。

9．逻辑函数F=AB B A B A B A +++= 。

10．已知函数的对偶式为B A +BC D C +，则它的原函数为 。

四、思考题
1. 逻辑代数与普通代数有何异同？
2. 逻辑函数的三种表示方法如何相互转换？
3. 为什么说逻辑等式都可以用真值表证明？
4. 对偶规则有什么用处？
第二章答案
一、选择题
1、D，
2、ABCD，
3、D，
4、AD，
5、AC，
6、A，
7、ACD，
8、C，
9、D，10、BCD
二、判断题
1.×
2.√
3.√
4.×
5.√
6.×
7.√
8.× 9．×10．×
三、填空题
1．布尔与或非与非或非与或非同或异或
2．逻辑表达式真值表逻辑图
3．交换律分配律结合律反演定律
4．代入规则对偶规则反演规则
5．A B（C+D）
6．A+BC+0
7．（A+B）（A+C）（B+C）=（A+B）（A+C）
8．1
9．0
10．)
•
+
A+
B
+
•
(
)
(C
B
D
C
四、思考题
1．都有输入、输出变量，都有运算符号，且有形式上相似的某些定理，但逻辑代数的取值只能有0和1两种，而普通代数不限，且运算符号所代表的意义不同。

2．通常从真值表容易写出标准最小项表达式，从逻辑图易于逐级推导得逻辑表达式，从与或表达式或最小项表达式易于列出真值表。

3．因为真值表具有唯一性。

4．可使公式的推导和记忆减少一半，有时可利于将或与表达式化简。