学而思寒假八年级尖子班讲义第2讲矩形、菱形性质、判定

2 矩形、菱形性质、判定知识目标
目标一掌握矩形的性质和判定
目标二掌握菱形的性质和判定
目标三综合应用矩形和菱形的性质和判定解题
模块一矩形的性质和判定
题型一矩形性质
例1 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E,AC 、BD 交于点O,BE:ED=1:3 (1)求证：BE= OE ； (2)求∠AOB 的度数．
O E
D
C
B
A
练 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点0，AE ⊥BD 于点E ，若 ∠DAE:∠BAE=3:1，求∠EAC 的度数？
O E
D
C
B
A
例2如图，矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，点M 为DA 延长线上一点，MB 、DE 的 延长线交于点N ，且∠MNC ＝90°． (1)求证：AD=2EN ： (2)求证：DM=DN ．
E
N
M
D
C
B
A
练 如图，矩形ABCD 中，点E 在线段CB 的延长线上 ，连结DE 交AB 于点F ，∠AED=2∠CED ， 点G 是DF 的中点，若BE=1，AG=4，求AB 的值。

E
F
G
D
C
B
A
拓 l 、（2012年全国初中数学竞赛）
如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，EF ⊥EC ，且EF ＝EC ， DE=4cm ，矩形ABCD 的周长为32cm ，求CE 的长．
F E
D
C
B
A
2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上不与AD 重合的一动点，PE ⊥BD PF ⊥AC ，E 、F 为垂足，求PE+PB 的值．
O
F
E
P
D
C
B
A
题型二 矩形的判定
例3 如图，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，∠OAB ＝∠OBA (1)求证：四边形ABCD 为矩形；
(2)作BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ． 求证：BE=CF
O
F
E
D
C
B A
练 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与BN 交于点P ，CN 与DQ 交于点M ．证明：四边形PQMN 是矩形．
N
M
Q
P
D
C
B
A
例4 如图，等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． (1)求∠CAE 的度数；
(2)取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，证明：四边形AFCE 是矩形．
F
E
D
C
B
A
练 如图，平行四边形ABCD 中，以AC 为斜边作Rt △AMC ，且∠BMD 为直角， 求证：四边形ABCD 是矩形．
O
M
D
C
B
A
模块二菱形的性质和判定
题型一菱形的性质
例5如图，菱形ABCD 中∠A=60°，AB =4，O 为BD 的中点，OE ⊥AB 于点E ． (1)求∠ADB 的度数；(2)求OE 的长．
E O
D
C
B
A
练如图，四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连OH ，若AC=8，OH=3， 求AH 的值．
H
O
D
C
B
A
例6如图，菱形ABCD 中，AB=1，∠ABC=60°，点E 、F 分别在CB 、DC 边的延长线上，且∠EAF=60°．
(1) 求证：∠AEB ＝∠AFC ；(2)求CE - CF 的值
F
E
D
C B
A
练如图，菱形ABCD 中，∠ADC=120°，N 为DB 延长线上一点，E 为DA 延长线上一点，且BN=DE ，连CN 、EN ．
(1)求∠CBN 的度数；(2)求证：CN=EN ．
E
N
D
C
B
A
拓 如图l ，菱形ABCD 中，∠BAD －∠ABC=60°，M 为BC 上一点，点N 在CD 上， ∠AMN=60°．
(1)直接写出∠B 的度数为______________； (2)求证：AM=MN ；
N
M
D
B
A
题型二 菱形的判定
例7 如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、AD 上，且EF 垂直平分AC 于O ． (1)求证：四边形AECF 为菱形： (2)若AD =8，AB =6，求AE 的长，
O
E
F
D
C
B
A
练 如图，四边形ABCD 是矩形，点E 是BC 边上的中点，点F 在CD 边上，点G 、H 分别在边AB 、DC 的延长线上，FG 经过点E 并且平分∠AFH ，且CH=CD ． 求证：四边形AGHF 是菱形
H
E
G
F D
C
B A
拓 如图，矩形ABCD 中，DE ∥CA ，AE ∥BD ，AE 、DE 交于点E ，连EO ． 证明：OE ⊥AD ．
O
E
D
C
B
例8 如图，△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，PE ∥AB 交AC 于点E ，PF ∥AC 交AB 于点F ． 求证：四边形AEPF 为菱形．
P
F
E
C
B
A
练 如图，Rt △ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC 交AD 于点M 、交AC 于点E ，AN 平分∠CAD 交BC 于点N ． 求证：四边形AMNE 为菱形．
N
M D E
C
A
B
挑战压轴题：
1如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转到矩形AEFG ，使得点B 恰好落在CD 上，连接 BG 交AE 于点M ．
(1)求证：∠BAE=2∠CBE
(2)若N 是BE 中点，猜测AF 与MN 的数量关系并证明； (3)若AB =5，BC =3，求BG 的值．
2如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作平行四边形APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠EAP ＝∠EPA ． (1)平行四边形APCD 是否为矩形？请说明理由； (2)求证：∠ABC=∠AEP ；
(3)如图2，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN （点M 是ME 与BA 延 长线的交点）．取EN= EM ，连接NP 并延长，交BC 于F ，请问在旋转过程中，点F 的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点F 的位置．
图2
图1
F
N
M
A
B
D C
E
P P E
C
D B
第2讲 [课后作业] 矩形、菱形性质、判定 1．矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直 C ．对角线相等 D.对角线平分一组对角
2．如图，E 、 F 、G 、H 分别是BD 、 BC 、AC 、 AD 的中点，且AB=CD.下列结论：
①EG ⊥FH ；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG ；④EG =21
(BC －AD)；⑤四边形
EFGH 是菱形．其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠D ＝60°，∠FAD ＝45°，则∠CFE=____度．
4．如图，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠A= 60°，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，四边
形BEDF 的面积为____________
5．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 为BC 上的动点，则△APE 的周长最小值为_________
G
H F
E D
C
B A
F E
D C B
A A B
C D E F E
D
C B A
6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连接CF ．
(1)求证：四边形BCFE 是菱形：
(2)若CE =4，∠BCF =120°，求菱形BCFE 的面积．
F
E D C A
7．如图，点A 是四边形BCED 外一点，且满足AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，∠BAD=∠CAE ． 求证：四边形BCED 是矩形．
E
D C
B A
8．如图，菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG ．
(1)求证：△AED ∽△DFB ；
(2)求∠BGD 的度数；
(3)求证：DG+BG=CG ．’ G F
E D
C
B A
9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，且BC=3， AC=4，D 为斜边AB 上一点，以CD 、 CB 为边作平行四边形CDEB ．当□CDEB 是菱形时，求线段AD 的长
A B
E D C
10．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线．点P 为矩形外一点且满足AP=CP ． AP ⊥CP ．PC 交AD 于点N ，连接DP ，过点P 作PM ⊥PD 交AD 于M ．
（1）若AP=5；，AB=3
1BC ，求矩形ABCD 的面积； （2）若CD=PM ，求证：AC=AP+PN
N M P
D
C B A。