吉林初三初中数学月考试卷带答案解析

吉林初三初中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）
A．若x2=4，则x=2
B．若x2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8
C．方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1
D．若分式的值为零，则x=1，2
2.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0
C．k＜1D．k＜1且k≠0
3.下列函数中，图象通过原点的是（）
A．y="2x+1"B．y=x2﹣1
C．y=3x2D．
4.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说法正确的是（）
A．a＞0，b＜0，c＞0
B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜2时，y＞0
D．当x＜时，y随x的增大而减小
5.如图，△ABC绕点C按顺时针旋转15°到△DEC，若点A恰好在DE上，AC⊥DE，则∠BAE的度数为（）
A．15°B．55°C．65°D．75°
6.如图①是4×4正方形方格，已有两个正方形方格被涂黑，请你再将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定经过旋转后全等的图案都视为同一种，图②中的两幅图就视为同一种，则得到的不同图案共
有（ ）
A ．6种
B ．7种
C ．8种
D ．9种
7.放假了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
1.若实数a 、b 、c 满足9a ﹣3b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0必有一个根是 ．
2.写一个你喜欢的实数m 的值 ，使关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根．
3.已知二次函数y 1=ax 2+bx+c （a≠0）与一次函数y 2=kx+b （k≠0）的图象相交于点A （﹣2，4），B （8，2）（如图所示），则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是 ．
4.如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为 ．
5.如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从4这点开始跳，则经2015次跳后它停在数 对应的点上．
6.已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为 （结果保留π）．
7.随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是 ．
8.甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是 ．
9.如图所示，在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，OA=AB=5，将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到
△OA 1B 1．
（1）线段OA 1的长是 ，∠AOB 1的度数是 ；
（2）连接AA 1，求证：四边形OAA 1B 1是平行四边形．
三、解答题
1.已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
2.已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？
3.某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点
P ．
（1）求证：AM=AN ；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．
4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥DB 交AB 于点E ，设⊙O 是△BDE 的外接圆．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若DE=2，BD=4，求AE 的长．
四、计算题
1.小明和小芳做配紫色游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A 转出了红色，转盘B 转出了蓝色，或者转盘A 转出了蓝色，转盘B 转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，
（1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
（2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由．
2.已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D （如图）．
（1）求证：AC=BD ；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．
吉林初三初中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A ．若x 2=4，则x=2
B ．若x 2+2x+k=0有一根为2，则k=﹣8
C ．方程x （2x ﹣1）=2x ﹣1的解为x=1
D ．若分式的值为零，则x=1，2
【答案】B
【解析】试题解析：A 、若x 2=4，则x=±2，所以A 选项错误；
B 、若x 2+2x+k=0有一根为2，则4+4+k=0，解得k=﹣8，所以B 选项正确；
C 、方程x （2x ﹣1）=2x ﹣1，则（2x ﹣1）（x ﹣1）=0，则方程的解为x 1=1，x 2=，所以C 选项错误；
D 、根据题意得x 2﹣3x+2=0且x ﹣1≠0，则x=2，所以D 选项错误．
故选B ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；分式的值为零的条件；一元二次方程的解；解一元二次方程-直接开平方法．
2.若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．k ＞﹣1
B ．k ＞﹣1且k≠0
C ．k ＜1
D ．k ＜1且k≠0
【答案】B
【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得k ＞﹣1且k≠0．
故选B ．
【考点】1.根的判别式；2.一元二次方程的定义．
3.下列函数中，图象通过原点的是（ ）
A ．y="2x+1"
B ．y=x 2﹣1
C ．y=3x 2
D ．
【答案】C
【解析】试题解析：A 、当x=0，y=2x+1=1，所以A 选项错误；
B 、当x=0，y=x 2﹣1=﹣1所以B 选项错误；
C 、当x=0时，y=3x 2=0，所以C 选项正确；
D 、当x=0时，=﹣1，所以D 选项错误．
故选C ．
【考点】1.二次函数图象上点的坐标特征；2.一次函数图象上点的坐标特征．
4.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说法正确的是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0
B．b2﹣4ac＜0
C．当﹣1＜x＜2时，y＞0
D．当x＜时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，所以A选项错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以B选项错误；
当﹣1＜x＜2时，y＜0，所以C选项错误；
∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），
∴当﹣1＜x＜2时，y＜0，所以C选项错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，所以D选项正确．
故选D．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
5.如图，△ABC绕点C按顺时针旋转15°到△DEC，若点A恰好在DE上，AC⊥DE，则∠BAE的度数为（）
A．15°B．55°C．65°D．75°
【答案】A
【解析】试题解析：∵△ABC绕点C按顺时针旋转15°到△DEC，
∴∠ACD=15°，∠BAC=∠D，
∵∠EAC=∠D+∠ACD，
即∠BAE+∠BAC=∠D+∠ACD，
∴∠BAE=∠ACD=15°．
故选A．
【考点】旋转的性质．
6.如图①是4×4正方形方格，已有两个正方形方格被涂黑，请你再将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定经过旋转后全等的图案都视为同一种，图②中的两幅图就视为同一种，则得到的不同图案共
有（）
A．6种B．7种C．8种D．9种
【答案】C
【解析】试题解析：：如图，
得到的不同图案共有8种．
故选C．
【考点】利用轴对称设计图案．
7.放假了，小明与小颖两家准备从红荷湿地、台儿庄古城、莲青山中选择一景点游玩，小明与小颖通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】试题解析：用A，B，C分别表示红荷湿地、台儿庄古城、莲青山，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两家抽到同一景点的有3种情况，
∴两家抽到同一景点的概率是：．
故选A．
【考点】列表法与树状图法．
二、填空题
1.若实数a、b、c满足9a﹣3b+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有一个根是．
【答案】-3.
【解析】试题解析：当把x=﹣3代入方程ax2+bx+c=0能得出9a﹣3b+c=0，
即方程一定有一个根为x=﹣3.
【考点】一元二次方程的解．
2.写一个你喜欢的实数m的值，使关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根．
【答案】1.
【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4m＞0，
解得：m＜，
∴实数m的值可以是1．
【考点】根的判别式．
3.已知二次函数y 1=ax 2+bx+c （a≠0）与一次函数y 2=kx+b （k≠0）的图象相交于点A （﹣2，4），B （8，2）（如图所示），则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是 ． 【答案】x ＜﹣2或x ＞8. 【解析】试题解析：
【考点】1.二次函数的图象；2.一次函数的图象．
4.如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为 ．
【答案】（，﹣）．
【解析】试题解析：连接OB ，OB′，过点B′作B′E ⊥x 轴于E ，
根据题意得：∠BOB′=105°，
∵四边形OABC 是菱形，
∴OA=AB ，∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°，
∴△OAB 是等边三角形， ∴OB=OA=2， ∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2，
∴OE=B′E=OB′•sin45°=2×=，
∴点B′的坐标为：（，﹣）．
【考点】1.坐标与图形变化-旋转；2.菱形的性质．
5.如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点，若青蛙从4这点开始跳，则经2015次跳后它停在数 对应的点上．
【答案】2.
【解析】试题解析：由4起跳，4是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在3上，
3是奇数，沿顺时针跳两个点，落在5上，
5是奇数，沿顺时针跳两个点，落在2上，
2是偶数，沿逆时针下一次只能跳一个点，落在1上，
1是奇数，沿顺时针跳两个点，落在3上，
…
3﹣5﹣2﹣1﹣3，周期为4；又由2015=4×503+3，
经过2015次跳后它停在的点所对应的数为2．
【考点】1.规律型：图形的变化类；2.规律型：数字的变化类．
6.已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为 （结果保留π）． 【答案】. 【解析】试题解析：设扇形的弧长为l ，
由题意，得
l×3=2π， 解得l=．
【考点】1.扇形面积的计算；2.弧长的计算．
7.随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是 ．
【答案】.
【解析】试题解析：由树状图可知共有2×2=4种可能，至少有一次正面朝上的有3种，所以概率是
． 【考点】概率公式．
8.甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是 ．
【答案】.
【解析】试题解析：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲、乙二人相邻的有4种情况，
∴甲、乙二人相邻的概率是：．
【考点】列表法与树状图法．
9.如图所示，在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，OA=AB=5，将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到
△OA 1B 1．
（1）线段OA 1的长是 ，∠AOB 1的度数是 ；
（2）连接AA 1，求证：四边形OAA 1B 1是平行四边形．
【答案】（1）5，135°；（2）证明见解析.
【解析】（1）△OAB 是等腰直角三角形，△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA 1B 1，则
△OAB ≌△OA 1B 1，根据全等三角形的性质即可求解．
（2）可证明OA ∥A 1B 1且相等，即可证明四边形OAA 1B 1是平行四边形．
试题解析：（1）∵△OAB ≌△OA 1B 1，
∴OA 1=OA=5；
∵△OAB 是等腰直角三角形， ∴∠A 1OB=45°
∴∠AOB 1=∠BOB 1+∠BOA=90+45=135°．
（2）∵∠AOA 1=∠OA 1B 1=90°，
∴OA ∥A 1B 1，
又∵OA=AB=A 1B 1，
∴四边形OAA 1B 1是平行四边形．
【考点】1.旋转的性质；2.菱形的判定．
三、解答题
1.已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．
【答案】（1）k ＜1；（3）4．
【解析】（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足△=b 2﹣4ac ＞0，由此可以得到关于k 的不等式，然后解不等式即可求出实数k 的取值范围；
（2）利用假设的方法，求出它的另一个根．
试题解析：（1）∵△=[2（k ﹣1）]2﹣4（k 2﹣1）
=4k 2﹣8k+4﹣4k 2+4=﹣8k+8，
又∵原方程有两个不相等的实数根，
∴﹣8k+8＞0，
解得k ＜1，
即实数k 的取值范围是k ＜1；
（2）假设0是方程的一个根，
则代入原方程得02+2（k ﹣1）•0+k 2﹣1=0，
解得k=﹣1或k=1（舍去），
即当k=﹣1时，0就为原方程的一个根，
此时原方程变为x 2﹣4x=0，
解得x 1=0，x 2=4，
所以它的另一个根是4．
【考点】根的判别式．
2.已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？
【答案】（1）m=0或m=1（2）m 1≠0，m 2≠1
【解析】根据一次函数与二次函数的定义求解．
试题解析：（1）根据一次函数的定义，得：m 2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m ﹣1≠0即m≠1；
∴当m=0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m 2﹣m≠0
解得m 1≠0，m 2≠1
∴当m 1≠0，m 2≠1时，这个函数是二次函数．
【考点】1.二次函数的定义；2.一次函数的定义．
3.某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点
P ．
（1）求证：AM=AN ；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是菱形．理由见解析.
【解析】（1）根据旋转的性质得出AB=AF ，∠BAM=∠FAN ，进而得出△ABM ≌△AFN 得出答案即可；
（2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四边形ABPF 是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案．
试题解析：（1）∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），
∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，
在△ABM和△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．
理由：连接AP，
∵∠α=30°，
∴∠FAN=30°，
∴∠FAB=120°，
∵∠B=60°，
∴∠B+∠FAB=180°，
∴AF∥BP，
∴∠F=∠FPC=60°，
∴∠FPC=∠B=60°，
∴AB∥FP，
∴四边形ABPF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABPF是菱形．
【考点】1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的判定．
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，设⊙O是
△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若DE=2，BD=4，求AE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）如图，连接OD，首先由DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，证明BE是直径，点O是BE的中点，由∠C=90°得到∠DBC+∠BDC=90°，由BD为∠ABC的平分线得到∠ABD=∠DBC，又OB=OD，利用等腰三角
形的性质得到∠ABD=∠ODB，然后等量代换即可证明题目结论；
（2）首先利用勾股定理求出BE=,OE=，然后利用已知条件证明△ADB∽△AED，利用等腰三角形的性质
得到
AD=2AE，在Rt△AOD中由AO2=OD2+AD2，可以列出关于AE的方程，解方程即可解决问题．
试题解析：（1）连接OD，
∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，
∴BE是直径，点O是BE的中点，
∵∠C=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
又BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．
（2）∵DE⊥DB，DE=2，BD=4，
∴BE=,OE=，
∴∠ABD=∠ADE，又∠A为公共角，
∴△ADB∽△AED，则有，
∴AD=2AE，
在Rt△AOD中，AO2=OD2+AD2，
即（+AE）2=（）2+（2AE）2，
解得AE=或AE=0（舍去），
所以AE=．
【考点】1.切线的判定与性质；2.角平分线的性质；3.相似三角形的判定与性质．
四、计算题
1.小明和小芳做配紫色游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B 转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，
（1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
（2）若出现紫色，则小明胜．此游戏的规则对小明、小芳公平吗？试说明理由．
【答案】（1）出现结果见解析；（2）不公平的．理由见解析.
【解析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，即可得答案；
（2）由（1）的表格，分析可能得到紫色的概率，得到结论．
试题解析：（1）用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有12种．
（2）上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是，
即小明获胜的概率是；故小芳获胜的概率是．
而＜，
故小芳获胜的可能性大，这个“配色”游戏对双方是不公平的．
【考点】1.游戏公平性；2.列表法与树状图法．
2.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）8﹣2．
【解析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
试题解析：（1）过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE=6，
∴CE=，AE=，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2．
【考点】1.垂径定理；2.勾股定理．。