沪科版九年级下24.2圆的基本性质课件(共23张PPT)

1°的弧。
C
1度弧
D
一般地，n°的圆心角对着n°的弧， 弧对着n°的圆心角。
n°的
1度圆心角
结论：圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等。
O A
n度圆心角
n度弧 B
例题讲解:
例4：已知：如图，等边三角形ABC的三个顶
点都在⊙O上。 求证：∠AOB= ∠ BOC= ∠ COA=120°
证明：∵AB=BC=CA
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
垂径定理： “知二推三”
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都
可以推出其他三个结论
操作探究（1）
在平面内，一 图形绕某个点旋转
在两张透明纸1上80，°分，如别果作旋半转径前相等的 ⊙O和⊙O′，把两后张的纸图叠形能在互一相起重，使⊙O和⊙O′重
弦相等
弦心距相等
D
例6：已知 AB和CD为⊙O的两 条直径,弦CE∥AB, E⌒C 为40°. 求∠BOD的度数。
解：连接OE
∵ E⌒C =40°
∴∠COE =40°
∵OC=OE
∴∠OCE=
180 -40 70 2
又CE∥AB，
∴∠AOD=∠OCE=70°
∴ ∠BOD=180°-70°=110°
D A
24.2 圆的基本性质 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
学习目标：
1、复习垂径定理及其推论。 （知二推三） 2、理解圆心角的概念. 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的 相等关系定理及推论. （知一推三） 4、理解“1°的弧”的概念。
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
(3)如果A⌒B=C⌒D，那么∠AOB=∠COD， AB=CD， OE=OF；
(4)如果AB=CD，那么 ∠AOB=∠COD，OE=OF ，A⌒B=C⌒D 。
1°的弧：
把 顶 点 在 圆 心 的 周 角 等 分 成 360 份 ，
每一份的圆心角是1°的角，整个圆周被等
分 成 360 份 ， 我 们 把 每 一 份 这 样 的 弧 叫 做
A
圆心角相等
D
弧相等
弦相等 B
B'
弦心距相等
O
D'
“知一推三”
A'
B E
牛刀小试:
A
O
D
如图，AB，CD是⊙O的两条弦， F
OE、OF为AB、CD的弦心距，
C
(1)如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF ，AB=CD，A⌒B=C⌒D ;
(2)如果OE=OF，那么∠AOB=∠COD，AB=CD ，A⌒B=C⌒D ；
合，用图钉钉叫住合做，圆中那心心么。对这称将个图上图形面形。一个 圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？
圆是中 心对称 图形吗？
O( O′)
圆是旋 转对称 图形， 旋转中 心为圆
心。
A′
操作探究（2）①认识圆心角
B′
如图，顶点在圆心的角叫圆心角.
O
B
判别如下：列∠各图A中O的B、角是∠不A是′O圆B心′角等，并说A明理由。
BC于E,则△ABE为等边三角形。
结束寄语
下课了!
• 在数学领域中,提出问题的艺术比解
答的艺术更为重要.
•
——康托尔
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月2日星期三2022/3/22022/3/22022/3/2 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/22022/3/2March 2, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
M
垂径定理
推论
O
B
A
C
N
推(并②③2论且)M弦A:平NC的分⊥=垂B弦AC直B所平对分的线两①④⑤经条直过AA⌒弧线⌒NM圆M=;=N心NM⌒⌒B过B,圆心O
M
垂径定理
推论
O
C
A
B
N
推(分①⑤3论弦)直A平⌒N:,线并分= NM⌒且弦BN平所过分对圆弦的心所一O条对弧的的另直一②③④径条MAA⌒,弧NMC垂⊥.==M直B⌒ABC平B
O
O
①
②
O
O
③
④
操作探究（2）
②圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
当∠AOB=∠A′OB′时，根据圆的性质， 你能推测出两个圆心角所对的弧AB与弧A′B′、弦AB 与弦A′B、弦心距OM与弦心距OM′之间有怎样的关系？
根据圆的旋转对称性，把∠AOB连同弧AB
绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合，设
M′
A
∴ ∠AOB= ∠ BOC
=
∠ COA
1360o 120o
3
B
O C
例5：如图，点O是∠A平分线上的一点，以O为
圆心的圆和角的两边分别交于点C、D和E、F
求证：CD=EF
证明：作OK′⊥EF，
OK⊥CD，K′、K为垂足，
F
∵OK= OK′
K′
E
(角平分线性质）
A
O·
∴CD= EF
C K
“知一推三”
则∠AOB= 60 °， ∠BOC= 120 °, ∠COA= 180 °. 3、在⊙O中，A⌒B 的度数为60°，A⌒B 的长
是圆周长的 1 。
6
课堂小结：
本节课，你收获了什么？
1、圆具有“旋转不变性”。 即：圆绕圆心旋转任意角度，都能与本身重合
2、圆心角、1°的弧的定义。 3、四个量之间的等量关系。（知一推三） 4、圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系。
O E
B C
崭露头角：
下列说法正确吗？为什么？
（1）如图：因为∠AOB=∠A′OB′，
︵︵ 所以AB=A`B`. （不对）
（2）在⊙O和⊙O′中，如果
︵︵ AB=A’B’,那么AB=A`B`.
（不对）
O B'
A'
B
A
锋芒毕露：
1、一条弦把圆分成3：6两部分，则优弧所对 的圆心角为 240 °.
2、A、B、C为⊙O上三点，若 A⌒B 、 B⌒C 、C⌒D 的度数之比为1：2：3，
条件：
结论：
在同圆或等圆中 圆心角所对弧相等
圆心角相等
圆心角所对弦相等 圆心角所对的弦心距相等
猜想：把圆心角相等与三个结论的任何一个 交换位置，有怎样的结果？
(2) 定理：
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、
两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，
那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
在同圆或等圆中:
A′ ∠A′OA=α ∵ ∠AOB= ∠A′OB′
∴ ∠B′OB = ∠A′OB′+ ∠A′OB
B′ O
B
= ∠AOB + ∠A′OB =α
所以射线OB与OB′重合。
M A
又∵OA=OA′OB=OB′, 所以旋转后A与A′重合，B与B′重合。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弦相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等。
结论
｝ （1）直径
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
A
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
C
B
N
③ ④
A⌒C=B⌒C
AM= MB
⑤
⌒
AN=
⌒
NB
M
垂径定理
推论
O
C
A
B
推直①③论于直A(弦1C线)，=平MB并分CN且过弦平圆（分心不N弦是所直N对径②④⑤的）M两的AA⌒⌒NMN条直=⊥=N弧M径⌒⌒BAB。垂B
（相等） 5、常添的辅助线：作出半径、弦心距
布置作业：
• 课堂作业： 课本习题24.2 第7、8题
• 家庭作业
必做题：完成习题24.2 剩下的题目。
选做题： 中考链接：（2010年芜湖市中考题）
C E
在⊙O内，有折线OABC,其中OA=8，
oD
AB=12，∠A=∠B=60°,则BC的长为
A
B 提示：过点O作CD⊥BC，延长AO交