2020年高考模拟江西省名校学术联盟高考数学第二次模拟测试试卷(理科)(解析版)

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题
1．已知集合M＝{x|（x+2）（x﹣5）≤0}，N＝{y|y＝2x}，则M∩N＝（）A．（0，5]B．（0，2]C．[2，5]D．[2，+∞）
2．已知向量＝（1，﹣2），＝（4，λ），其中入λ∈R．若⊥，则＝（）A．B．C．D．2
3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，点P（﹣2，5）是角α终边上的一点，则cos2α＝（）
A．B．C．D．
4．现有如下命题：
命题p：“∀x∈（0，+∞），lnx﹣x＜0”的否定为“∃x0∈（﹣∞，0]，lnx0﹣x0≥0”；
命题q：“sin2x＞0”的充要条件为：“”，
则下列命题中的真命题是（）
A．p B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）5．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若|PF1|＝6，则∠PF1F2的余弦值为（）
A．B．C．D．
6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝（）
A．B．C．D．
7．已知函数，则f（x）的值域为（）A．B．C．D．
8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2AA1＝2，E，F分别是线段A1D1，CC1
的中点，若E'是E在平面BDD1B1上的射影，点F'在线段BB1上，FF'∥BC，则|E'F'|＝（）
A．B．C．D．
9．函数f（x）＝x﹣4﹣（x+2）（）x的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．3
10．已知函数，a＝f（log228），b＝f（3ln2），，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
11．若关于x的不等式x2﹣mlnx﹣1≥0在[2，3]上有解，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，e2﹣1]D．
12．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，连接AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1O＝BD＝4，点C'与点C关于平面BC1D对称，则三棱锥C'﹣ABD的体积为（）
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，将答案填写在题中的横线上）
13．记等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝．
14．若椭圆C过点，，则椭圆C的离心率为．
15．已知实数x，y满足则的最大值为．
16．已知首项为3的正项数列{a n}满足（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）＝3（a n+1）（a n﹣1），记数列的前n项和为S n，则使得S n＞440成立的n的最小值为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（2）求函数f（x）的极大值．
18．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，且
＝．
（1）求△ABC外接圆的半径；
（2）若c＝3，求△ABC的面积．
19．直角梯形ABCD如图（1）所示，其中AB∥CD，AB⊥AD，过点B作BM⊥CD，垂足为M，得到面积为4的正方形ABMD，现沿BM进行翻折，得到如图（2）所示的四棱柱C﹣ABMD．
（1）求证：平面CBM⊥平面CDM；
（2）若∠CMD＝90°，平面CBM与平面CAD所成锐二面角的余弦值为，求CM 的长．
20．已知圆C过点（4，1），（0，1），（2，3），过点P（﹣2，0）的直线与圆C交于M，N两点．
（1）若圆C'：（x+2）2+（y﹣4）2＝9，判断圆C与圆C'的位置关系，并说明理由；
（2）若，求|MN|的值．
21．记数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝4，2S n＝（a n+1）n．等比数列{b n}满足：a2＝b3，a3＝b1+b2+b3．
（1）求数列{b n}的通项公式以及前n项和T n；
（2）求数列{a n}的通项公式．
22．已知函数f（x）＝x2e x，其中e＝2.718…为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）在[﹣5，﹣1]上的最值；
（2）若函数g（x）＝，求证：当a∈（0，2e）时，函数g（x）无零点．
参考答案
一、选择题（共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M＝{x|（x+2）（x﹣5）≤0}，N＝{y|y＝2x}，则M∩N＝（）A．（0，5]B．（0，2]C．[2，5]D．[2，+∞）
【分析】求出集合M，N，由此能求出M∩N．
解：依题意，M＝{x|（x+2）（x﹣5）≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}，
N＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，
故M∩N＝（0，5]，
故选：A．
2．已知向量＝（1，﹣2），＝（4，λ），其中入λ∈R．若⊥，则＝（）A．B．C．D．2
【分析】根据即可得出，进而得出λ＝2，从而可得出，从而可求出的值．
解：∵，
∴，
解得λ＝2，故，
∴．
故选：D．
3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，点P（﹣2，5）是角α终边上的一点，则cos2α＝（）
A．B．C．D．
【分析】由已知利用三角函数的定义可求cosα的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．
解：依题意，，
故．
故选：C．
4．现有如下命题：
命题p：“∀x∈（0，+∞），lnx﹣x＜0”的否定为“∃x0∈（﹣∞，0]，lnx0﹣x0≥0”；
命题q：“sin2x＞0”的充要条件为：“”，
则下列命题中的真命题是（）
A．p B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）【分析】直接利用命题的否定和三角函数的性质的应用求出结果．
解：“∀x∈（0，+∞），lnx﹣x＜0”的否定为“∃x0∈（0，+∞），lnx0﹣x0≥0”，故命题为假；
，其中k∈Z，故命题q为真；故（￢p）∧q为真，
故选：C．
5．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若|PF1|＝6，则∠PF1F2的余弦值为（）
A．B．C．D．
【分析】利用椭圆的标准方程结合椭圆的定义，利用余弦定理转化求解即可．
解：依题意，|PF1|＝6，|PF2|＝10，而，故
，故选：A．
6．如图，在正六边形ABCDEF中，＝（）
A．B．C．D．
【分析】根据平面向量加减法运算分别表示出，，代入整理即可
解：依题意，，，
故＝＝，
故选：B．
7．已知函数，则f（x）的值域为（）A．B．C．D．
【分析】利用换元法转化为二次函数的单调性，即可得出．
解：依题意，f（x）＝3（1﹣sin2x）+4sin x＝﹣3sin2x+4sin x+3，
令，由y＝﹣3t2+4t+3的对称轴为，
则，y min＝﹣3×1+4×1+3＝4．
则f（x）的值域为，
故选：C．
8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2AA1＝2，E，F分别是线段A1D1，CC1的中点，若E'是E在平面BDD1B1上的射影，点F'在线段BB1上，FF'∥BC，则|E'F'|＝（）
A．B．C．D．
【分析】过点E作EE'⊥B1D1，垂足为E'，取BB1的中点F'，连接FF'，在△B1E′F′中求解．
解：过点E作EE'⊥B1D1，垂足为E'，取BB1的中点F'，连接FF'，则
＝
，
故选：D．
9．函数f（x）＝x﹣4﹣（x+2）（）x的零点个数为（）
A．0B．1C．2D．3
【分析】函数f（x）＝x﹣4﹣（x+2）（）x的零点⇔方程x﹣4﹣（x+2）（）x＝0的根⇔方程的根，原问题可转化为函数y＝1﹣与y＝（）x的交点，画出函数图象，即可得到答案．
解：函数f（x）＝x﹣4﹣（x+2）（）x的零点，
即为方程x﹣4﹣（x+2）（）x＝0的根，
即为方程的根，
y＝＝＝1﹣，
所以原问题可转化为函数y＝1﹣与y＝（）x的交点，
在同一直角坐标系中画出它们函数图象，
由图象可知有两个交点，
函数f（x）的零点个数2个．
故选：C．
10．已知函数，a＝f（log228），b＝f（3ln2），，则a，b，c的大小关系为（）
A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【分析】根据题意，分析可得f（x）＝，据此可得函数的单调区间以及对称轴，结合对数的性质分析可得答案．
解：根据题意，f（x）＝，则函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，且函数f（x）的图象关于x＝2对称，
又因为，3＜log328＜4，而，
故b＞c＞a，
故选：A．
11．若关于x的不等式x2﹣mlnx﹣1≥0在[2，3]上有解，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，e2﹣1]D．
【分析】分离参数得，令，则m≤g（x）max，利用导数得到g（x）在[2，3]上单调递增，所以m≤g（3），从而求出m的取值范围．
解：依题意，，
令，则，
令，则，易知m'（x）单调递增，m'（x）≥m'（2）＞0，
所以m（x）单调递增，故m（x）≥m（2）＞0，故g'（x）＞0，
则g（x）在[2，3]上单调递增，故g（3）≥m，
所以m，
即实数m的取值范围为，
故选：B．
12．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，连接AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1O＝BD＝4，点C'与点C关于平面BC1D对称，则三棱锥C'﹣ABD的体积为（）
A．B．C．D．
【分析】连接OC1，过点C作CM⊥OC1，垂足为M，推导出CM⊥平面BDC1，△ABD 是边长为4的等边三角形，△OCC'为等边三角形，且所在平面垂直底面，由此能求出三棱锥C'﹣ABD的体积．
解：连接OC1，过点C作CM⊥OC1，垂足为M，
因为OA1⊥平面ABCD，故OA1⊥BD，
因为四边形ABCD是菱形，故OA⊥BD，故BD⊥平面ACC1A1，故BD⊥CM，
又CM⊥OC1，故CM⊥平面BDC1，
又△ABD是边长为4的等边三角形，可得，所以，
在Rt△A1C1O中，可得∠A1OC1＝60°，则∠MOC＝30°，
可知△OCC'为等边三角形，且所在平面垂直底面，
故，
故选：D．
二、填空题（共4小题，将答案填写在题中的横线上）
13．记等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝．
【分析】根据题意，分析可得q≠1，由等比数列的前n项和公式可得
，求出q的值，进而分析可得答案．
解：根据题意，等比数列{a n}中，，显然q≠1，
故，变形可得q5＝3，
故；
故答案为：．
14．若椭圆C过点，，则椭圆C的离心率为．【分析】设出椭圆方程，得到点的坐标，转化求解椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可．
解：设椭圆C：mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），
则则故椭圆C：，
故离心率．
故答案为：．
15．已知实数x，y满足则的最大值为．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．
解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，表示平面区域内的点（x，y）与D（4，﹣4）连线的斜率，观察可知，，联立，解得，即，故的最大值为．故答案为：．
16．已知首项为3的正项数列{a n}满足（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）＝3（a n+1）（a n﹣1），记数列的前n项和为S n，则使得S n＞440成立的n的最小值为21．【分析】本题先根据递推式进行化简转化可发现＝，令，则数列{b n}是以8为首项，4为公比的等比数列，计算出数列{b n}的通项公式，然后根据对数运算可得数列的通项公式，发现数列是等差数列，根据等差数列的求和公式可得前n项和S n，代入不等式S n＞440计算可得n的取值范围及最小值．
解：依题意，由（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）＝3（a n+1）（a n﹣1），可得
，
故＝＝＝，
令，则b n+1＝4b n，
∵，
∴数列{b n}是以8为首项，4为公比的等比数列．
∴＝8×22n﹣2＝22n+1，n∈N*．
∴＝＝2n+1，
∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列．∴＝n2+2n，
令n2+2n﹣440＞0，即（n+22）（n﹣20）＞0，
解得n＞20或n＜﹣22（舍去），
∴使得S n＞440成立的n的最小值为21．
故答案为：21．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（2）求函数f（x）的极大值．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；
（2）先求出导函数f'（x），再求出单调区间，即可得到极值．解：（1）依题意，，
而f'（x）＝2x2﹣2x﹣4，f'（1）＝﹣4，
故所求切线方程为，即12x+3y﹣2＝0；
（2）依题意，f'（x）＝2（x2﹣x﹣2）＝2（x+1）（x﹣2），令f'（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝2，
故当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，
当x∈（﹣1，﹣2）时，f'（x）＜0，
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，
故函数f（x）的极大值为．
18．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，且
＝．
（1）求△ABC外接圆的半径；
（2）若c＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知结合正弦定理余弦定理及和差角公式进行化简即可求解A，然后再由正弦定理即可求解；
（2）结合（1）中的三边关系时即可求解b，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵＝，
∴＝，
由正弦定理可得，，
所以（a﹣b）b＝（c+a）（c+b﹣a），
整理可得，c2+b2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理可得，cos A＝＝﹣
所以A＝，
由正弦定理可得2R＝＝，即外接圆半径R＝；
（2）由c2+b2﹣a2＝﹣bc，a＝，c＝3可得，9+b2﹣13＝﹣3b，
解可得，b＝1，
所以S△ABC＝＝＝．
19．直角梯形ABCD如图（1）所示，其中AB∥CD，AB⊥AD，过点B作BM⊥CD，垂足为M，得到面积为4的正方形ABMD，现沿BM进行翻折，得到如图（2）所示的四棱柱C﹣ABMD．
（1）求证：平面CBM⊥平面CDM；
（2）若∠CMD＝90°，平面CBM与平面CAD所成锐二面角的余弦值为，求CM 的长．
【分析】（1）由已知可得BM⊥CM，BM⊥DM．由线面垂直的判定得BM⊥平面CDM，进一步得到平面CBM⊥平面CDM；
（2）证明CM⊥平面ABMD，又BM⊥MD，以M为原点，分别以MD，MB，MC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设CM＝a（a＞0），设平面CAD的法向量为＝（x，y，z），求解，取平面CBM的法向量为，由|cos＜
＞|＝求解a值即可．
【解答】（1）证明：在图（1）中，∵BM⊥CM，BM⊥DM，
∴翻折后，在图（2）中有，BM⊥CM，BM⊥DM．
又CM∩DM＝M，∴BM⊥平面CDM，
∵BM⊂平面CBM，∴平面CBM⊥平面CDM；
（2）解：∵CM⊥DM，CM⊥BM，DM∩BM＝M，∴CM⊥平面ABMD，
又BM⊥MD，以M为原点，分别以MD，MB，MC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设CM＝a（a＞0），D（2，0，0），C（0，0，a），A（2，2，0），
则，．
设平面CAD的法向量为＝（x，y，z），
由，取x＝a，y＝0，z＝2，得＝（a，0，2），
取平面CBM的法向量为，
由|cos＜＞|＝，即，
解得a＝3，即CM＝3．
20．已知圆C过点（4，1），（0，1），（2，3），过点P（﹣2，0）的直线与圆C交于M，N两点．
（1）若圆C'：（x+2）2+（y﹣4）2＝9，判断圆C与圆C'的位置关系，并说明理由；
（2）若，求|MN|的值．
【分析】（1）设出圆C的一般方程，把点的坐标代入求出，再化为标准方程，利用两圆圆心距判断即可；
（2）讨论直线MN与x轴重合，以及不重合时，分别求出满足条件的直线方程，再利用圆心到直线的距离求弦长．
解：（1）设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则
解得D＝﹣4，E＝﹣2，F＝1，
所以圆C的一般方程是：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，
化为标准方程是：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；
又，
所以圆C与圆C'外切．
（2）当直线MN与x轴重合时，令y＝0，x2﹣4x+1＝0，
解得，，
所以，不符合题意；
设直线MN的方程为：x+2＝ty，
将x＝ty﹣2代入圆C的方程整理可得（t2+1）y2﹣（8t+2）y+13＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
因为，且P（﹣2，0），所以，解得t＝2或t＝38，
所以圆心（2，1）到直线MN的距离为，
所以．
21．记数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝4，2S n＝（a n+1）n．等比数列{b n}满足：a2＝b3，a3＝b1+b2+b3．
（1）求数列{b n}的通项公式以及前n项和T n；
（2）求数列{a n}的通项公式．
【分析】（1）a2＝4，2S n＝（a n+1）n．n＝1时，2a1＝a1+1，解得a1＝1．进而得出a3．设等比数列{b n}的公比为q，根据a2＝b3，a3＝b1+b2+b3．可得b1q2＝4，b1（1+q+q2）＝7，联立解得：b1，q．可得b n，利用求和公式可得前n项和T n．
（2）n≥2时，2a n＝2（S n﹣S n﹣1）＝（a n+1）n﹣（a n﹣1+1）（n﹣1）．化为：（n﹣2）
a n﹣（a n﹣1+1）（n﹣1）＝1．（n﹣1）a n+1﹣n（a n+1）＝1，相减可得：2a n＝a n﹣1+a n+1，
利用等差数列的通项公式即可得出．
解：（1）a2＝4，2S n＝（a n+1）n．
∴n＝1时，2a1＝a1+1，解得a1＝1．
2（1+4+a3）＝（a3+1）•3，解得a3＝7．
设等比数列{b n}的公比为q，
∵a2＝b3，a3＝b1+b2+b3．
∴b1q2＝4，b1（1+q+q2）＝7，
联立解得：b1＝1，q＝2．
∴b n＝2n﹣1，
前n项和T n＝＝2n﹣1．
（2）n≥2时，2a n＝2（S n﹣S n﹣1）＝（a n+1）n﹣（a n﹣1+1）（n﹣1）．
化为：（n﹣2）a n﹣（a n﹣1+1）（n﹣1）＝1．
∴（n﹣1）a n+1﹣n（a n+1）＝1，
相减可得：2a n＝a n﹣1+a n+1，
∴数列{a n}为等差数列，公差d＝4﹣1＝3．
∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．
可得：数列{a n}的通项公式a n＝3n﹣2．
22．已知函数f（x）＝x2e x，其中e＝2.718…为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）在[﹣5，﹣1]上的最值；
（2）若函数g（x）＝，求证：当a∈（0，2e）时，函数g（x）无零点．【分析】（1）求导，令导函数等于0，列表即可求得最值；
（2）构造函数，
，问题转化为研究当a∈（0，2e）时，函数p（x）与函数q（x）没有交点．
解：（1）f′（x）＝2xe x+x2e x＝xe x（2+x），令f′（x）＝0，解得x＝﹣2或x＝0，则x，f′（x），f（x）在[﹣5，﹣1]的变化情况如下表：
x﹣5（﹣5，﹣2）﹣2（﹣2，﹣1）﹣1 f′（x）+0﹣
f（x）单增极大值递减
故函数f（x）在[﹣5，﹣1]上的最大值为，最小值为；
（2）证明：要证g（x）无零点，即证无解，即证无解，设，
，则即证函数p（x）与函数q（x）没有交点；
①先研究，，令p′（x）＝0，解得
，
且当x∈（0，1）及时，p′（x）＜0，函数p（x）递减；当
时，p′（x）＞0，函数p（x）递增，
且当x→0时，p（x）→0，当x→1﹣时，p（x）→﹣∞，当x→1+时，p（x）→+∞，
；
②再研究函数，，则函数q（x）
在（0，+∞）上单减，
故q（x）＜q（0）＝a，且当x→+∞时，q（x）→0，
作函数p（x）与函数q（x）的图象如图所示，
显然，当a∈（0，2e）时，函数p（x）与函数q（x）没有交点，即当a∈（0，2e）时，函数g（x）无零点．。