人教版高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

數學試卷
一、選擇題（每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意，請將正確答案的序號寫在括弧內.）
1.已知集合，，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
, 因為，所以，選C.
2.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等於（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
從三視圖中提供的圖形資訊與數據資訊可知該幾何體是正方體去兩個相同的三棱錐（虛線表示的部分），因為正方體的體積是，每個小的三棱錐的體積，則
三視圖所代表的幾何體的體積，應選答案A。

所以函數在處取最小值，結合函數的圖像可知當且，即時，方程有且僅有四個實數根，應選答案B。

3.執行如圖所示的程式框圖，若輸出的結果為，則輸入的正整數的可能取值的集合是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
迴圈依次為，所以可能取值的集合是，選A.
4.若，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，選C.
5.已知向量，，若與共線，則等於（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根據向量平行座標表示得方程，解得結果.
【詳解】因為與共線，
所以，選A.
【點睛】向量平行：，向量垂直：，向量加減：
6.已知函數（）的圖像的相鄰兩對稱軸間的距離為，則當時，
的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，所以
當時，
，的最大值為，選A.
點睛：已知函數的圖象求解析式
(1).
(2)由函數的週期求
(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.
7.設，是不同的直線，，，是不同的平面，有以下四個命題
①；②；③；④.其中正確的命題是（）
A. ①④
B. ①③
C. ②③
D. ②④
【答案】B
【解析】
試題分析：根據面面平行的性質可知①正確；②中與可能垂直也可能平行，故②不正確；根據直線和平面平行、線面垂直的性質可知③正確；④中與可能平行或在內，故④不正確，故選C．
考點：空間直線與平面間的位置關係．
8.設，且，，則等於（）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
試題分析：，，,兩式平方相加得，
考點：三角函數化簡求值
點評：求角的大小通常先求角的某一三角函數值，結合角的範圍求其值
9.已知為的導函數，若，且，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
試題分析：,,所以
，即，所以
，當且僅當，即時等號成立，所以則
的最小值為.
考點：1.導數運算；2.定積分運算；3.基本不等式.
【名師點睛】本題考查導數運算、積分運算及基本不等式的應用，屬中檔題；導數與基本不等式是高考的重點與難點，本題將兩者結全在一起，並與積分運算交匯，考查學生運算能力的同時，體現了學生綜合應用數學知識的能力.
10.已知函數是週期為的偶函數，若時，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，，選A.
點睛：利用函數性質比較兩個函數值或兩個引數的大小，首先根據函數的性質構造某個函數，然後根據函數的奇偶性轉化為單調區間上函數值，最後根據單調性比較大小，要注意轉化在定義域內進行
11.若圓（）上僅有個點到直線的距離為，則實數的取值範圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
圓心到直線距離為，所以要有個點到直線的距離為，需，選B.
點睛：與圓有關的長度或距離的最值問題的解法．一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解．
12.已知函數，，實數，滿足，若
，，使得成立，則的最大值為（）
A. 4
B.
C.
D. 3
【答案】D
【解析】
試題分析：因，則時，；當時，．所以，，令，設，作函數的圖像如圖所示，由得或，的最大值為.故應選D.
考點：導數的知識與函數的圖象等知識的綜合運用.
【易錯點晴】本題是以函數為背景,設置了一道考查函數的圖像和基本性質的綜合性問題.解答時充分借助題設中條件,合理挖掘題設條件中蘊含的有效資訊:，使得成立.本題解答的另一個特色就是數形結合思想的運用和轉化化歸的數學思想的運用.求解時是先運用導數求出了函數的最大值.然後通過解方程()求出或,最終求出的最大值是.本題的求解體現了函數方程思想、轉化化歸思想、數形結合思想等許多數學思想和方法具體應用.
二、填空題（每小題5分，共20分）
13.已知數列滿足則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
14. 某企業三月中旬生產A、B、C三種產品共3000件，根據分層抽樣的結果，企業統計員作了如下統計表格。

產品類別 A B C
產品數量(件) 1300
樣本容量(件) 130
由於不小心，表格中A、C產品的有關數據已被污染看不清楚，統計員記得A產品的樣本容量比C產品的樣本容量多10，根據以上資訊，可得C產品的數量是___________。

【答案】800
【解析】
設C產品的數量為x件，則A產品的數量為1700-x件，由
,各得C產品的數量為800件。

15.在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面積為，則＝________.
【答案】
【解析】
略
16.用表示，中的最小值，已知函數，，設函數
（），若有個零點，則實數的取值範圍是__________．
【答案】
【解析】
由題意得有極值，所以有解，因為有個零點，
所以
點睛：
對於方程解的個數(或函數零點個數)問題，可利用函數的值域或最值，結合函數的單調性、草圖確定其中參數範圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、週期性等．
三、解答題（共70分）
17.已知函數
（1）求證：；
（2）若方程有解，求的取值範圍.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
試題分析：（1）根據絕對值三角不等式得證（2）先根據基本不等式求最小值，再解絕對值不等式得的取值範圍.
試題解析：（1）證明：.
（2）解：因為，
所以要使方程有解，
則，
所以或或
解得或，
所以的取值範圍為.
點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．
18.以座標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線:,點的極座標為,直線的極座標方程為,且點在直線上.
(1)求曲線的極座標方程和直線的直角坐標方程；
(2)設向左平移個單位長度後得到,到的交點為,,求的長.
【答案】（1），；（2）
【解析】
試題分析：（1）根據將曲線直角坐標方程化為極座標方程，將直線的極座標方程化為直角坐標方程；（2）先根據平移得的方程，再根據化為極座標方程，聯立方程組可得極徑，由極徑之差絕對值可得的長.
試題解析：（1）的直角坐標為，的直角坐標方程為.
因為在上，所以，
所以的直角坐標方程為.
：化為極座標方程為.
（2）由已知得的方程為，
所以的極座標方程為（），
代入曲線的極座標方程或，所以.
19.已知向量，，.
（1）若，且，求的值；
（2）將函數的圖像向右平移個單位長度得到函數的圖像，若函數在上有零點，求的取值範圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】
試題分析：（1）由向量平行得正切值，再利用弦化切得的值；（2）先根據向量數量積化簡函數，再根據二倍角公式以及配角公式將函數化為基本三角函數，最後根據正弦函數性質求值域
試題解析：（1）因為，，
所以.
（2）因為
，所以.
因為，所以，所以.
令，所以的取值範圍為.
20.已知，，分別是的內角，，所對的邊，且，.
（1）求角的大小；
（2）若，求邊的長.
【答案】（1）；（2）
【解析】
試題分析：（1）由利用正弦定理及兩角和與差的正弦公式化簡，整理求出，又為三角形內角，所以；（2）由的值求出的值，利用兩角和與差正弦化簡，把各自的值代入，求出的值，即為的值，再由的值，利用正弦定理求出的值即可.
試題解析：（1）因為，
所以，
所以，
所以，又為三角形內角，所以.
（2）因為，所以，
所以
.
由正弦定理得，所以.
21.已知函數（）
（1）若曲線在點處的切線經過點，求的值；
（2）若在記憶體在極值，求的取值範圍；
（3）當時，恒成立，求的取值範圍.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
試題分析：（1）由導數幾何意義得切線斜率，再根據斜率公式得的值；（2）轉化為導函數在
內變號，由二次函數圖像可列滿足題意條件，解不等式可得的取值範圍；（3）利用參變分離
法將不等式恒成立問題轉化為對應函數最值問題，再利用導數求對應函數最值，可得的取值範圍
試題解析：.
（1），.
因為在處的切線過，所以.
（2）在內有解且在內有正有負.
令.
由，得在內單調遞減，
所以.
（3）因為時恒成立，所以.
令，則.
令，由，得在內單調遞減，又，
所以時，即，單調遞增，時，
即，單調遞減.所以在內單調遞增，
在內單調遞減，所以.所以.
點睛：對於求不等式成立時的參數範圍問題，在可能的情況下把參數分離出來，使不等式一端是含有參數的不等式，另一端是一個區間上具體的函數，這樣就把問題轉化為一端是函數，另一端是參數的不等式，便於問題的解決.但要注意分離參數法不是萬能的，如果分離參數後，得出的函數解析式較為複雜，性質很難研究，就不要使用分離參數法.
22.已知函數（其中是自然對數的底數），，.
（1）記函數，且，求的單調增區間；
（2）若對任意，，，均有成立，求實數的取值範圍.【答案】（1），；（2）
【解析】
試題分析：（1）求單調區間的方法是求出的解，確定（或）的取值區間，即函數的單調區間，此可用列表方法得出（同時可得出極值）；（2）本小題不等式或有絕對值符號，有兩個參數，由於函數是增函數，因此設，則有，原問題等價於恒成立，
分兩個問題，恒成立和恒成立，前面轉化為，可以考慮函數在上是單調遞增的，後面一個轉化為
，可以考慮函數在上是單調遞增的．
試題解析：（1），，
得或，
列表如下：（，）
極大值極小值
的單調增區間為：，，減區間為；
（2）設，是單調增函數，，
；
①由得：，
即函數在上單調遞增，
在上恒成立，
在上恒成立；
令，，
時，；時，；
，
；
②由得：，
即函數在上單調遞增，
在上恒成立，
在上恒成立；
函數在上單調遞減，當時，，
，
綜上所述，實數的取值範圍為．
考點：導數與函數的單調性，不等式恒成立問題．
【名師點睛】1．用導數研究函數的單調性：
（1）求函數f（x）單調區間的方法是，通過解不等式f′（x）>0（或f′（x）<0）直接得到單調遞增（或遞減）區間．
（2）導數法證明函數f（x）在（a，b）內的單調性的步驟：
①求f′（x）．
②確認f′（x）在（a，b）內的符號．
③得出結論：f′（x）>0時為增函數；f′（x）<0時為減函數．
2．不等式恒成立問題，一般通過轉化與化歸思想，轉化為用導數求函數的最值，研究函數的單調性，這類問題比較複雜，考查學生的分析問題解決問題的能力，考查計算推理能力．。