贵州省遵义航天高级中学2019届高三上学期第三次月考数学(理)试题 (2)

【题文】
已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >.
（1）当2a >时，求函数()f x 的单调区间；
（2）设定义在D 上的函数()h x y =在点00(,())P x h x 处的切线方程为():g x l y =，若()()
0g h x x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()h x y =的“类对称点”，当4a =时，试问()f x 是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，请说
明理由.
【答案】
【解析】 （1））函数()f x 的定义域为(0,)+∞ ……………………1分
2()(2)ln f x x a x a x =-++ ∴()2(2)a
f x x a x '=-++2
2(2)x a x a x -++=2()(1)2a x x x --=………………3分 2a >，∴12
a > 由0)(>'x f ，即2()(1)20a x x x
-->，得01x <<或2a x > 由0)(<'x f ，得2
1a x <<…………………………，单调递减区间为(1,)2a …………5分 （2）解：当4a =时， 2)64ln f x x x x =-+（
， 从而'4)26f x x x
=-+（所以在点P 处的切线的斜率为000'4=)26k f x x x =-+（ 所以在点P 处的切线方程为
2000000
4()(26)()64ln g x x x x x x x x =-+-+-+……………………7分 令()()()x f x g x φ=-
则22000000
4()64ln (26)()(64ln )x x x x x x x x x x x φ=-+--+---+ 又000002()(2)44()26(26)x x xx x x x x x xx φ--'=+--+-=
则令()0x φ'=得0x x =或02x x =
………………8分 ①当002x x >
，即00x <<()0x φ'<，则00
2x x x <<， 所以函数()x φ在区间002(,
)x x 上单调递减， 又易知0()0
x φ= 所以当002(,)x x x ∈时，0()()0x x φφ<=，从而有002(,)x x x ∈时，0()0x x x φ<- ②当00
2x x <
，即0x >()0x φ'<，则002x x x <<， 所以()x φ在002(
,)x x 上单调递减， 所以当002(,)x x x ∈时，0()()0x x φφ>=，从而有002(,)x x x ∈时，0
()0x x x φ<-
所以当0(2,)x ∈+∞时，函数()y f x =不存在“类对称点”…………10分
③当0x
22()(0x x x
φ'=->，所以函数()x φ在(0,)+∞上是增函数， 若0x x >，0()()0x x φφ>=，0
()0x x x φ>- 若0x x <，0()()0x x φφ<=，
0()0x x x φ>- 故0()0x x x φ>-恒成立
所以当0x =()y f x =存在“类对称点
”。

……………12分
【标题】贵州省遵义航天高级中学2019届高三上学期第三次月考数学（理）试题
【结束】。