2.4 等比数列 2

则有－7＋3d＝－1，－4×q4＝－1，解得 d＝2，q2＝12，
所以 a2－a1＝d＝2，b2＝－4×q2＝－4×12＝－2，
所以a2－b2 a1＝－22＝－1.
第二章 2.4 第2课时
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例3已知－7，a1，a2，－1 四个实数成等差数列，－4，b1，b2，
递__增__数__列___ 递__减__数__列___
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等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使 {an}一定为递减数列的条件是( )
A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0,0<q<1或a1<0，q>1 D．q>1 [答案] C [解析] 等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对 值 来 决 定 ． 由 an ＋ 1 － an ＝ a1qn － 1(q － 1)<0 ， 得 a1>0,0<q<1 ， 或 a1<0，q>1.
＝4(a4－1)，则 a2＝( ) A．2
B．1
C．12
D．18
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成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
那么a3＋a5＝( )
A．5
B．10
C．15
D．20
第二章 2.4 第2课时
所以 b2＝2 或 b2＝－2， 由 b21＝－4×b2>0 知 b2<0，所以 b2＝－2， 所以a2－b2 a1＝－22＝－1.
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[警示] 对于等比数列{an}，若公比为正数，则每一项同 号，若公比为负数，则所有奇数项的符号相同，所有偶函数项 的符号相同．如本例中，无论公比是正数还是负数，b2与－4一 定同号．
=(n-1)loga6+b
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例3
已知－7，a1，a2，－1 四个实数成等差数列，
－4，b1，b2，b3，－1 五个实数成等比数列，则a2－b2a1＝________. 解法一：设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q，
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(9){an}是等比数列，且 an>0，则{logaan}(a>0，a≠1)是等差数列．
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(1)(2015·全国Ⅱ文，9)已知等比数列{an}满足 a1＝14，a3a5
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等比数列的性质
在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8
＝124，且公比为整数，则a10＝__________.
[解析] 由等比数列的性质，得 ∵q 为整数，
a3a8＝a4a7＝－512，
∴a3＝－4，a8＝128.
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(4)
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证明: 在等比数列中 ∵ aman=a1qn-1a1qm-1=a12qn+m-2 apaq=a1qp-1a1qq-1=a12qp+q-2 ∴aman=aras
由aa33＋ a8＝a8＝ －152142 ，得
∴q5＝aa83＝1－284＝－32，
a3＝－4 a8＝128
或aa83＝＝－1248
.
∴q＝－2. ∴a10＝a8·q2＝128×4＝512.
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• (1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则 a8a9a10a11＝____25______.
b3，－1 五个实数成等比数列，则a2－b2a1＝________. 解法二：因为－7，a1，a2，－1 四个实数成等差数列， 所以 a2－a1＝13[(－1)－(－7)]＝2， 因为－4，b1，b2，b3，－1 五个实数成等比数列， 所以－4，b2，－1 成等比数列，所以 b22＝(－4)×(－1)＝4，
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跟踪练习2 在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已 知a1＝1，且a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3. (1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q；q=6,d=5 (2)是否存在常数a，b使得对一切正整数n，都有an＝logabn ＋b成立？若存在，求出a和b；若不存在，说明理由．
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跟踪练习2 在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已 知a1＝1，且a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3. (1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q； (2)是否存在常数a，b使得对一切正整数n，都有an＝logabn ＋b成立？若存在，求出a和b；若不存在，说明理由．
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(7))若{an}为等比数列，公比为 q，则 an＝amqn－m(m，n∈N*)． (8)若{an}是等比数列，每隔 k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺 序排列，所得数列仍是等比数列，且公比为 qk＋1.
第二章 2.4 第2课时
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[等差数列性质总结]
(4)
第二章 2.4 第2课时
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(7))若{an}为等比数列，公比为 q，则 an＝amqn－m(m，n∈N*)． (8)若{an}是等比数列，每隔 k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺 序排列，所得数列仍是等比数列，且公比为 qk＋1. (9){an}是等比数列，且 an>0，则{logaan}(a>0，a≠1)是等差数列．
第二章 2.4 第2课时
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1，
bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋21n(n－1)lgq＋lgk]＝lga1＋21(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋21(n－1)lgq＋n1lgk] ＝12lgq－nn1＋1lgk. 要使数列{bn}为等差数列，只需 k＝1，
1．已知{an}为等比数列，则对于任意正整数 n，都有aan＋n1＝ ____q____.
2．已知{an}为等比数列，则对于任意正整数 n、m 都有aamn＝ __q_n－__m___.
3. 若{an}为等差数列，则 (1)a1＋a2，a3＋a4，_a_5_＋__a_6__成等差数列． (2)am，_a_m_＋_k____，am＋2k(m，k∈N*)成等差数列． (3)a7＋a9＝a5＋___a_1_1 ___＝___2_____a8.
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第二章 2.4 等比数列
第2课时 等比数列的性质
第二章 2.4 第2课时
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1．了解等比数列的性质的由来． 2．掌握等比数列的性质并能综合运用．
第二章 2.4 第2课时
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2．等比数列的单调性
公比q
单调性
q<0
0<q<1 q＝1
q>1
首项a1 a1>0 a1<0
摆动数 列不具 备单调
性
摆动数 列不具 备单调
性
_递__减__数__列__ _递__增__数__列__
常数列 不具备 单调性
常数列 不具备 单调性
• (2){an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20， 则a11＝__1_或_6_4___.
(3)在等比数列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，则公比q值的 个数可能为( D )
A．1个
B．2个C．3个
D．4个
例题2 已知数列{an}是各项为正数的等比数列，数列{bn}定义为 bn＝1n[lga1＋lga2＋…＋lgan－1＋lg(kan)]，是否存在实数 k，使得 数列{bn}为等差数列？并证明你的结论．
故存在实数 k＝1，使得数列{bn}成为等差数列．
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[方法规律总结] 1.解答存在型数列开放探究题时，先假 设存在，然后依题设条件和等差(等比)数列的定义、性质，通 项及前n项和寻找解题的突破口．
2．①若{an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比数 列；②若{an}是等比数列，且an>0，则{logaan}(a>0，a≠1)是等 差数列，这两个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转 化．