第七节 正弦定理和余弦定理

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正弦定理和余弦定理 结 束
跟踪练习:
sin A a 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ＝ , sin B c (b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC 的形状为( A．直角三角形 C．等边三角形 )
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课堂小结：
同学们这节课，你们收获了什么？
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B．等腰非等边三角形 D．钝角三角形
sin A a a a 解析：∵ ＝ ，∴b＝ c，∴b＝c． sin B c 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc， b2＋c2－a2 bc 1 ∴cos A＝ ＝ ＝ ． 2bc 2bc 2 π ∵A∈(0，π)，∴A＝ ，∴△ABC 是等边三角形． 3 答案：C
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考点一
利用正、余弦定理解三角形
例 1.△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
sin A 3 cos A 0 , a 2 7 , b 2
(1)求角 A （2）求 c
2 (1) 3
c 2 a 2 b2 2ab cosC
内容
（R为 ABC 外接圆的半径）
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定理
正弦定理 cos cos cos
余弦定理
b2 c2 a 2 A＝__________ 2bc
a 2 c2 b2 B＝___________ 2ac
(2)4
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跟踪练习： △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
2 cosC (a cos B b cos A) c ,求角 C
3
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考点三
与三角形面积有关的问题
例3、ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c。 已知a=bcosC+csinB (1)求B (2)若b=2，a 2c 求 ABC 的面积
(1)

4
（2）2
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2 2 2 a ＋ b － c C＝__________ 2ab
2 R sin A 2 R sin B 2 R sin C ，b=______,c=______ 变形形 a＝_____
式(边角 转化)
b sin A＝____，sinB=_____, 2R c SinC=_____ 2R
a 2R
a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C
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考点二
利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
π 例 2.在△ABC 中， c＝ 3， b＝1,∠B＝ ,则△ABC 的形状为( ) 6 A．等腰直角三角形 C．等边三角形 B．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：根据余弦定理有 1＝a2＋3－3a，解得 a＝1 或 a＝2， 当 a＝1 时，三角形 ABC 为等腰三角形，当 a＝2 时，三角 形 ABC 为直角三角形，故选 D． 答案：D
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2．三角形中常用的面积公式
(1)
S
1 ah （h为a边上的高） 2
（2） S (3)
1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin A 2 2 2 1 （其中 r为内切圆的半径） S r (a b c ) 2
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1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C
余弦定理
a 2 b2 c 2 2bc cos A
b2 a 2 c 2 2ac cos B
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第三章 三角函数、解三角形
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考试大纲：
1、掌握正、余弦定理及其它们的变形； 2、运用正、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题 （比如：角、边、面积，周长等问题）。
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跟踪练习：
（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.
(1) 3 3 14
3 ( 2017.北京)在△ABC中，A =60°， c a 7
.
(2)6 3
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