大学物理热力学基础静电场知识点及试题带答案

静电场
一、基本要求 1、掌握描述静电场的两个物理量——电场强度和电势的概念，理解电场强度叠加原理和电势叠加原理，熟练掌握用微元法求解一些简单问题中的电场强度。

2、理解静电场的两个重要定理——高斯定理和环路定理，熟练掌握利用高斯定理求解电场强度的条件和方法。

3、掌握利用电势叠加原理和电势的定义式求解带电体的电势。

4、理解导体的静电平衡条件，了解电介质的极化现象及其微观解释，理解各向同性介质中的D 和E 之间的关系和区别。

理解电介质中的高斯定理和安培环路定理。

5、理解电容的定义，并能计算简单几何形状的电容器的电容。

6、了解电场能量密度和电场能量的概念，能用能量密度计算电场能量。

二、主要内容 1、库伦定律：123
014q q r
F r πε=
2、电场强度：0
F E q =
电场强度的叠加原理：123E E E E =+++… 电荷连续分布的带电体的场强：3014dq E dE r r πε==
⎰
⎰
（1）线状分布：2014l
dl r
E r r
λπε=
⎰
（2）面状分布：20
14s
ds r
E r r
σπε=
⎰⎰
（3）体状分布：201
4V
dV r
E r r ρπε=
⎰⎰⎰
3、静电场的高斯定理：
1
01
n
i
i S
E dS q ε=⋅=∑⎰⎰
4、静电场的环路定理：0L
E dl ⋅=⎰
5、电势：P P
U E dl ∞
=
⋅⎰
电势的叠加原理：123U U U U =+++… 电荷连续分布的带电体的电势：014dq
U dU r πε==
⎰
⎰
（1）线状分布：014l
dl
U r
λπε=
⎰
（2）面状分布：014s
ds
U r σπε=
⎰⎰
（3）体状分布：0
14V
dV
E r
ρπε=
⎰⎰⎰
6、导体的静电平衡条件
电场表述：（1）导体内部场强处处为零；（2）导体表面附近的场强方向处处与它的表面垂直，且0/e E σε=。

电势表述：（1）导体是等势体；（2）导体表面是等势面。

7、电介质中的高斯定理：
1
n
i
i S
D dS q =⋅=∑⎰⎰ 各向同性线性电介质：0r
D E E εεε==
8、电容器的电容：Q C U =
特例：平行板电容器的电容：S
C d
ε= 电容器储能：22111
222
Q W QU CU C =
== 9、电场的能量密度：2012e r E ωεε=
电场能量：201
2e e r V V
W dV E dV ωεε==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 三、习题及解答
1．在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是( D )
A.通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的
B.封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的
C.由高斯定理求得的场强仅由面内电荷所激发的
D.由高斯定理求得的场强是空间所有电荷共同激发的
2、半径为R 的“无限长”均匀带电圆柱面的静电场中各点的电场强度的大小E 与距轴线的距
离r 的关系曲线为： （ B ）
3、在真空中的A 、B 两平行金属板，
相距为d ，板面积为S （S→∞），各带电＋q 和－q ， 两板间的作用力f 大小为( C )
4、在静电场中，作一闭合曲面S ，若有 则S 面内必定（D ）
A ．既无自由电荷，也无束缚电荷
B ．没有自由电荷
C ．自由电荷和束缚电荷的代数和为零
D ．自由电荷的代数和为零
5．关于静电场中的电位移线，下列说法中，哪一种是正确的？（C ）
A ．起自正电荷,止于负电荷,不形成闭合线,不中断
B ．任何两条电位移线互相平行
C ．起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移线在无自由电荷的空间不相交
D ．电位移线只出现在有电介质的空间
6、一带电体可作为点电荷处理的条件是（C ）
（A ）电荷必须呈球形分布。

（B ）带电体的线度很小。

（C ）带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计。

（D ）电量很小。

7、真空中一半径为 R 的球面均匀带电 Q ，在球心 o 处有一带电量为 q 的点电荷，设无穷远处为电势零点，则在球内离球心 o 距离的 r 的 P 点处的电势为：（Ｂ）
Ａ、 B 、 C 、 Ｄ、
8、有两个点电荷电量都是 +q ，相距为2a 。

今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高
斯面， 在球面上取两块相等的小面积S 1和S 2, 其
位置如下图所示。

设通过S 1 和 S 2的电场强度通量
分别为 和 ,通过整个球面的电场强度通量为
则（D ） S q A 02/)(εd q B 024/)(πεS q C 022/)(εSd q D 022/)(ε0S
D ds ⋅=⎰
04q
r πε014q Q r R πε⎛⎫+ ⎪⎝⎭04q Q r πε+014q
Q q r R πε+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
021/,.εq ΦΦΦA S =>021/2,.εq ΦΦΦB S =<021/,.εq ΦΦΦ
C S ==0
21/,.εq ΦΦΦD S =<2Φ1ΦS
Φ
9、两块“无限大”的带电平行电板，其电荷面密度分别为σ(σ>0)及－2 σ，如图所示，试 写出各区域的电场强度
І区 的大小 ，方向 . ІІ区 的大小 ，方向 .
ІІІ区 的大小 ，方向 .
10、下列几个说法中哪一个是正确的？（C ）
（A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。

（B ）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同。

（C ）场强方向可由 E =F /q 定出，其中 q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，F 为试验电
荷所受的电场力。

( D )以上说法都不正确。

11、下面说法正确的是 (D)
(A)等势面上各点场强的大小一定相等； (B)在电势高处，电势能也一定高； (C)场强大处，电势一定高；
(D)场强的方向总是从电势高处指向低处.
12、已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零，则可肯定：（C ） （A ）高斯面上各点场强均为零。

（B ）穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。

（C ）穿过整个高斯面的电通量为零。

（D ）以上说法都不对。

13．真空中有一半径为R 均匀带正电的细圆环，其电荷线密度为λ，则电荷在圆心处产生的电场强度 的大小为 0 。

14、一质量为m 、电量为q 的小球，在电场力作用下，从电势为U 的a 点，移动到电势为
零的b 点，若已知小球在b 点的速率为V b
，则小球在a 点的速率V a ＝ 。

15、 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为kr ρ=(0)r R ≤≤
0ρ= ()r R > k 为一常量。

试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数
关系。

/2E σε=.x 轴正向03/2E σε=x 轴正向
0/2E σε
=x 轴负向22b qU v m
-E
分析：通常有两种处理方法：（1）利用高斯定理求球内外的电场分布。

由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有24s
E ds E r π⋅=⋅⎰
根据高斯定理
1
s
E ds dV ρε
⋅=
⎰
⎰，可解得电场强度的分布。

（2）利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布。

将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为24''dq r dr ρπ=⋅，每个带电球壳在壳内激发的电场0dE =，而在球壳外激发的电场 2
04r dq
dE e r πε=
由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布
()r
E r dE =⎰ (0)r R ≤≤ 0
()R E r dE =⎰ ()r R >
解1：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理
1
s
E ds dV ρε⋅=
⎰
⎰得球体内(0)r R ≤≤ 2
2
2
4000
1
()44,()4r
r k kr E r r kr r dr r E r e πππεεε===⎰
球体外()r R > 4
2
2
420
0001
()44,()4R
r
k kR E r r kr r dr R E r e r
πππεεε⋅=
==⎰ 解2：将带电球分割成球壳，球壳带电2
'4''dq dV kr r dr ρπ== 由上述分析，球体内(0)r R ≤≤ 22
20
001'4''()44r
r r kr r dr kr E r e e r ππεε⋅=
=⎰
球体外()r R > 24
220
001'4''()44R
r r
kr r dr kR E r e e r r
ππεε⋅=
=⎰
16、 两个同心球面的半径分别为1R 和2R ，各自带有电荷1Q 和2Q 。

求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？
分析： 通常可采用两种方法（1）由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球面对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势。

取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场分布，再由p P
V E dl ∞
=
⋅⎰
可求得电势分布。

（2）利用电势叠加原理求电势。

一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为04Q V r
πε=
在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势04Q V R
πε=
，其中
R 是球面的半径。

根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域
产生的电势叠加，可求得电势的分布。

解1：（1）由高斯定理可求得电场分布
110,()E r R =<，212201,()4r
E e R r R r
πε=
<<，12
3220,()4r
Q Q E e r R r
πε+=> 由电势r
V E dl ∞
=
⋅⎰
可求得各区域的电势分布。

当1r R ≤时，有
12
1
2
112311
2
01202
110()44R R r
R R V E dl E dl E dl
Q Q Q R R R πεπε∞
=⋅+⋅+⋅+=+-+⎰⎰⎰
1201
02
44Q Q R R πεπε=
+
当12R r R ≤≤时，有
2
2
223112
0202
11()44R r
R V E dl E dl
Q Q Q r R R πεπε∞
=⋅+⋅+=-+⎰⎰
112
002
44Q Q Q r
R πεπε+=+
当2r R ≥时，有12
3304r
Q Q V E dl r
πε∞
+=
⋅=
⎰
（2）两个球面间的电势差
2
1
1122012
11
()4R R Q U E dl R R πε=⋅=
-⎰ 解2：（1）由各球面电势的叠加计算电势分布。

若该点位于两个球面内，即1r R ≤，则
12101
02
44Q Q V R R πεπε=
+
若该点位于两个球面之间，即12R r R ≤≤，则112
2002
44Q Q Q V r
R πεπε+=
+
若该点位于两个球面之外，即2r R ≥，则12
304Q Q V r
πε+=
（2）两个球面间的电势差
2
11212012
11
()
()4r R Q U V V R R πε==-=
- 17、 两个很长的共轴圆柱面212( 3.010,0.10)R m R m -=⨯=，带有等量异号的电荷，两者的电势差为450V 。

求：（1）圆柱面单位长度上带有多少电荷？（2）0.05r m =处的电场强度。

解：（1）两圆柱面之间的电场强度为02E r
λ
πε=
根据电势差的定义有2
1
12210
ln /2R R U E dl R R λ
πε=
⋅=
⎰
解得
81012
21
2 2.110ln /U C m R R πελ--=
=⨯⋅
（2）解得两圆柱面之间0.05r m =出的电场强度 1074752E V m r
λ
πε-=
=⋅ 18、两同心带电球面,分别带等量异号电荷Q 。

内球面半径1R ，带电量+Q ；外球面半径2R ，带电量-Q 。

求球面内外的场强分布和两球面间的电势差。

解：110()E r R =<
2122
0()4Q E R r R r πε=
<<
320()E r R => 2
1
2
00
12
11
(
)44R R Q Q U dr r
R R πεπε=
=-⎰
19、如图所示，两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别是R 1、R 2，单位长度上的电荷为λ，内筒带正电，外筒带负电，求空间各点的电场强度及两筒间的电势差。

解： (1) 作同轴圆柱面为高斯面，设筒面高为L ，根据高斯定理
02/E rl q πε⋅=∑
对1r R <， 0q =∑，1
0E
=
对12R r R <<，q L λ=∑，202E r
λ
πε=
对2r R >，
[()]q L λλ=+-∑，0E =
(2) 两筒间电势差
2
1
2001
ln 22R R R V dr r R λλ
πεπε==⎰
20、在真空中，有一电荷为Q ，半径为R 的均匀带电球壳，其电荷是面分布的。

试求：（1）球壳内两点A r 、B r 间的电势差；（2）球壳外两点C r 、D r 间的电势差；（3）球壳外任意点的电势；（4）球壳内任意点的电势。

解：由高斯定理可求得电场分布
⎰∑=⋅S q S d E 0
ε
01=E R r <（2分） 2
024r
Q E πε=
R r >
（1）球壳内两点的电势差 ⎰=⋅=-B
A
r r
B A l d E V V 01
（2）球壳外两点的电势差
⎰⋅=-D
C
r r
D C l d
E V V
2⎰=
D
C
r r r dr Q 2
4πε
D
C
r Q r Q 0044πεπε-
=
（3）球壳外任意点的电势 r
Q l d E V
r
024πε⎰∞
=
⋅=
（4）由于带点球壳是一个等势体，当R r =时得球壳表面及内部的电势
R
Q V 04πε=
21、电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心为r(r<R)的P 点处的电势。

解：由高斯定理0
ε∑⎰=
⋅q s d E s
得：
当r >R 时，2
0141
r Q
E πε=
当r <R 时，r R Q E 30241
πε=
⎰⎰⎰
∞∞
⋅+⋅=⋅=R
R r P
P l E l E l E V P
d d d 12
沿径向路径积分得
3220122)3(41d d R
r R Q r E r E V P R R
r P P -=⋅+⋅=⎰⎰∞
πε 22、两个同心球面的内、外半径分别为1R 和2R ，内球带电量为+Q ，外球带电量为+3Q ，电荷均匀分布在球面上。

求：空间中各区域的电场强度。

1R r <时01=E
21R r R <<时2
024r
Q E πε=
r R <2时322
0044Q Q
E r r πεπε=
=
23、如图所示，长L 的直导线AB 上均匀地分布着线密度为λ的电荷。

求在导线的延长线上与导线一端B 相距d 处P 点的场强大小。

解：
在导线上取电荷元x d λ。

电荷元x d λ在P 点所激发的场强大小为
2
0)
(d 41d x d L x
E P -+=
λπε
导线上电荷在P 点所激发的总场强方向沿x 轴正方向，大小为
)11(4)(d 41d 00
2
0L
d d L Q
x d L x
E E L
P P +-=
-+==⎰⎰πελπε
24、图中所示为一沿 x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为λ=λ0(x-a ), λ
0为一常量。

取无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势。

解、
a
O
x
l
L
P
d
A B q
U dU
=⎰04a l
a
dx
x λπε+=⎰
0000ln 44l a a l a
λλπεπε+=-
25、如图所示，10.25C F μ=，20.15C F μ=，30.20C F μ=，1C 上电压为50 V .求：AB U .
解: 电容1C 上电量
111U C Q =
电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q = ∴ 35
50
25231123232⨯=
==
C U C C Q U 86)35
25
1(5021=+
=+=U U U AB V。