人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一(含答案) (56)

人教版_部编版八年级数学上册第十三章第一节线段的垂直平分线的性质考试复习题一（含答案) 请用尺规作出符合下列要求的点（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）在图①中作出一点D，使得∠ADB＝2①C；
（2）在图①中作出一点E，使得∠AEB＝1
①C．
2
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）作AC的垂直平分线交BC于D，则DA＝DC，所以∠DAC＝∠C，然后根据三角形外角性质可得到∠ADB＝2∠C；
（2）延长BC到E使CE＝CA，则∠E＝∠CAE，然后根据三角形外角性质可得到∠AEB＝1
∠C．
2
【详解】
（1）如图1，∠ADB即为所作；
（2）如图2，∠AEB即为所作．
【点睛】
本题考查了作与﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
52．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．
（1）作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接AD，若DE＝2cm，求BC的长．
【答案】（1）线段AC的垂直平分线如图所示见解析；（2）BC＝12cm．
【解析】
【分析】
（1）利用圆规和直尺画出该图；（2）由题可知BC＝BD＋CD，因DE为AC的垂直平分线可求得AD＝CD＝2DE、BD＝2AD，进而可求得BC＝BD＋
C D.
【详解】
（1）线段AC的垂直平分线如图所示：
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4cm，∠BAD＝120°﹣30°＝90°，
∴BD＝2AD＝8cm，
∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12（cm）．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.
53．要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)在(1)的条件下，请在BD上确定一点P，使PC+PD=BD．
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的画法作出∠ABC的平分线BE交AC于点D，由此即可解答；（2）作线段BC的垂直平分线MN交BD于点P，连接PC，点P即为所求．
【详解】
（1）作∠ABC的平分线BE交AC于点D，射线BD即为所求；
（2）如图，作线段BC的垂直平分线MN交BD于点P，连接PC，点P 即为所求．
【点睛】
本题考查了尺规作图及线段垂直平分线的性质，正确作出图形是解决问题的关键．
54．如图，由相同的小正方形组成的网格线的交点叫格点，格点P是①AOB 的边OB上的一点(请利用网格作图，保留作图痕迹)．
(1)过点P画OB的垂线，交OA于点C；
(2)线段的长度是点O到PC的距离；
(3)PC＜OC的理由是 .
【答案】(1)见解析；(2)OP；(3)垂线段最短.
【解析】
【分析】
（1）利用尺规作图，过点P作PC⊥OB，交OA于点C即可；
（2）根据点到直线距离的定义（点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度）即可得出结论；
（3）根据垂线段最短（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短）即可得出结论.
【详解】
(1)如图所示：
(2)OP；
(3)垂线段最短
【点睛】
本题考查的是作图，熟知垂线段及垂线段性质是解答本题的关键．
55．如图，在△ABC 中，,AB AC =DE 是边AB 的垂直平分线，交AB 于E 、交AC 于D ，连接BD ．
（1）若40A ∠=︒，求DBC ∠的度数；
（2）若△BCD 的周长为16cm ，∠ABC 的周长为26cm ，求BC 的长．
【答案】（1）30°（2）6cm
【解析】
【分析】
(1)首先计算出∠ABC 的度数，再根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AD=BD ，进而可得∠ABD=∠A=40°，然后可得答案；
(2)根据线段垂直平分线的性质可得AD=DB ，AE=BE ，然后再计算出AC+BC 的长，再利用△ABC 的周长为26cm 可得AB 长，进而可得答案．
【详解】
解：(1) ∵AB AC =，
∴ABC C ∠=∠,40A ∠=︒ ， ∴180702
A ABC -∠∠==︒， ∵DE 是边A
B 的垂直平分线，
∴DA DB =，
∴40DBA A ∠=∠=︒，
∴704030DBC ABC DBA ∠=∠-∠=-=︒；
(2)∵△BCD 的周长为16cm ，
∴16BC CD BD ++=，
∴16BC CD AD ++=，
∴16BC CA +=，
∵△ABC 的周长为26cm ，
∴26261610AB BC CA =--=-=，
∴10AC AB ==，
∴262610106BC AB AC cm =--=--=.
故答案为(1)30°；(2)6cm.
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质求出AD=BD 是解题的关键．
56．如图，C ，D 是AB 的垂直平分线上两点，延长AC ，DB 交于点E ，AF ①BC 交DE 于点F ．
求证：(1)AB 是①CAF 的角平分线；
(2)①FAD ＝ ①E ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线及角平分线的定义作答；（2）根据垂直平分线的性质及与三角形有关的角的相应性质作答.
【详解】
(1)∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∵CB＝CA，∵∵CBA＝∵CAB．
∵AF∵BC交DE于点F，
∵∵BAF＝∵CBA．
∵∵BAF＝∵CAB．
即AB是∠CAF的角平分线．
(2)∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∵DB＝DA，∵∵DBA＝∵DAB．
∵∵DBA＝∵E＋∵CAB，∵DAB＝∵FAD＋∵BAF，∵CAB＝∵BAF，
∵∵E＝∵FAD．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线及角平分线的性质，熟练掌握垂直平分线及角平分线的性质是本题解题关键.
57．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，8)，B(4，8)，C是x轴正半轴上一点，点P满足下面两个条件：①P到①AOC两边的距离相等；①PA＝PB．
(1)利用尺规，作出点P的位置(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)点P的坐标为．
【答案】(1)见解析；(2)P(2，2)．
【解析】
【分析】
（1）根据尺规作图法进行画图；（2）由角平分线和垂直平分线的定义作答.
【详解】
（1）
(2)由题可知，C的坐标为（4，0），由角平分线与垂直平分线定义知，
∠POC=450，所以P 的坐标为（2，2）.，
【点睛】
本题考查了尺规作图的步骤、角平分线与垂直平分线的定义，熟练掌握尺规作图、角平分线与垂直平分线的定义是本题解题关键.
58．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA=PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB ＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”.
(1)如图1，点A，B的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，则在1(1,3)
P-，2(0,2)
P，
3(0,1)
P-，4(0,4)
P中，线段AB的“近轴点”是 .
(2)如图2，点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正半轴上，且∠OAB=30°.
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围；
②点C为y轴上的动点(不与点B重合且BC≠AB)，若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标.
【答案】(1)P2 , P3；(2)t＜0或t＞3；(3)当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．
【解析】
【分析】
（1）利用近轴点的意义即可得出结论；（2）①根据远轴点的定义通过图像判断即可；②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上，将情况分为点B，C在l的同侧以及在l的异侧进行讨论：当B，C在l的同侧时，易知当点C与点O重合，Q为AO与直线l的交点时，QB＋QC最小，根据30°角的三角函数关系得到QC与BQ的关系，再根据OA＝QC＋AQ＝QC＋BQ＝3列方程求
出Q点坐标即可；当B，C在l的异侧时，显然QB+QC＞3，即可得到答案．【详解】
(1)P2 , P3．
(2)①t＜0或t＞3．
②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上．
当点B，C在直线l的同侧时，
对于满足题意的点C的每一个位置，都有QB+QC=QA+QC．
∵QA+QC≥AC，AC≥AO
∴当点C与点O重合，Q为AO 与直线l交点时，QB+QC最小．
∵∠OAB=30°，AQ=BQ，
∴∠QBA=∠QBO=30°．
∴OQ=1
2 BQ．
在Rt△BOQ中，设OQ=x，则AQ=BQ=2x．
∴3x=3．
解得x=1．
∴Q(1，0)．
当点B，C在直线l的异侧时，QB+QC＞3．
综上所述，当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．
【点睛】
本题主要考查学生对新定义的理解能力、垂直平分线的性质以及运用一元一次方程解决问题的能力，解题的关键是正确理解题中所给“远轴点”、“近轴点”的意义，并利用所学灵活解决问题.
59．已知C是线段AB垂直平分线m上一动点，连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D在直线AB的上方，连接DB与直线m交于点E，连接BC，AE．
(1)如图1，点C在线段AB上．
①根据题意补全图1；
②求证：∠EAC=①EDC；
(2)如图2，点C在直线AB的上方，0°＜①CAB＜30°，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①补全图形见解析；②证明见解析；(2)BE=CE+DE，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据题意补全图形即可；②根据垂直平分线的性质可得EA＝EB，CA＝CB，根据等边三角形的性质可得CA＝CD，因此CD＝CB，即可证得∠EDC ＝∠B；（2）如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．根据垂直平分线的
性质以及等边三角形的性质可推出∠EDC＝∠EAC，又因为∠1＝∠2，可得∠DEA＝60°，所以∠AEB＝120°，进而可推出△CEF是等边三角形，因此△CDF≌△CBE，故BE＝DF＝CE＋DE.
【详解】
(1)①补全图形如图所示．
②∵直线m是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，CA=CB．
∴∠EAC=∠B．
∵△ACD是等边三角形，
∴CA=CD．
∴CD=CB．
∴∠EDC=∠B．
∴∠EAC=∠EDC．
(2)BE=CE+DE．
如图，在EB上截取EF，使EF=CE，连接CF．
∵直线m是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，CA=CB．
∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．
∴∠EAC=∠EBC．
∵△ACD是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=60°．
∴CD=CB．
∴∠EDC=∠EBC．
∴∠EDC=∠EAC．
∵∠1=∠2，
∴∠DEA=∠ACD=60°．
∴∠AEB=120°．
∵EA=EB，m⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=60°．
∴△CEF是等边三角形．
∴∠CEF=∠CFE=60°．
∴△CDF≌△CBE．
∴DF=BE．
∴BE=CE+DE．
【点睛】
本题主要考查了学生作图的能力、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握这些知识点并综合运用是解答的关键.
60．如图，Rt①ABC中，∠ACB=90°，AD平分①BAC，作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：∠BAD=①BFG；
(3)试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明．
【答案】(1)补图见解析；(2)证明见解析；(3)222
+=，证明见解
AB FD FB
析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意补全图形；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD．在Rt△AEH和Rt△CFH 中，根据三角形内角和定理得到∠CFH=∠CAD，等量代换即可得到结论；
（3）由线段垂直平分线的性质得到AF=FD，通过证明∠BAF=90°．在Rt△BAF中，利用勾股定理即可得到结论．
【详解】
(1)补全图形如图；
(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
∵FE⊥AD，∠ACF=90°，∠AHE=∠CHF，∴∠CFH=∠CAD，
∴∠BAD=∠CFH，即∠BAD=∠BFG．
(3)猜想：222
AB FD FB
+=．证明如下：
连接AF．
∵EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，
∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD．
∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠BAC+∠B=90°，∴222
+=，∴
AB AF FB 222
+=．
AB FD FB
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．。