2.4.2抛物线的简单几何性质(3)学案
《抛物线的简单几何性质》参考教案
抛物线的简单几何性质一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决办法：通过几个典型例题的讲解，使学生掌握几何性质的应用．)3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决办法：引导学生证明并加以记忆．)三、活动设计提问、填表、讲解、演板、口答．教学过程【情境设置】由一名学生回答，教师板书．问题抛物线的标准方程是怎样的？答为：抛物线的标准方程是．与椭圆、双曲线一样，通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质．下面我们根据抛物线的标准方程：来研究它的几何性质．【探索研究】1．抛物线的几何性质（1）范围因为，由方程可知，所以抛物线在轴的右侧，当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得，教师用小黑板给出来表让学生填写．再向学生提出问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？学生和教师共同小结：（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，为1．【例题分析】例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．求标准方程，请一名学生演板，教师予以纠正．画图可由教师讲解，步骤如下：由求出的标准方程，变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分（如图）．然后说明利用抛物线的通性，能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为，灯深，求抛物线的标准方程和焦点位置．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，轴垂直于灯口直径．抛物线的标准方程为，由已知条件可得点的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得：，所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是.（三）随堂练习1．求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点，关于轴对称，并且经过点②顶点在原点，焦点是③顶点在原点，准线是④焦点是，准线是2．一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高是m，跨度是m，求拱形的抛物线方程答案：1．①②③④2．(要选建立坐标系)（四）总结提炼抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大．它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．（五）布置作业1．顶点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（）A．B．C．D．2．若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（）A．1B．2C．4D．63．若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为__________.4．抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________.5．抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程．6．若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6，求的横坐标及抛物线方程．答案：1．B 2．C 3．4．5．6．9，。
2.4.2抛物线的几何性质(三)
设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） ，中点 P（x0,y0） y y ⑴ kOA 1 , kOB 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2
y12 y2 2 y1 y2 0 ∵ y12=2px1，y22=2px2∴ 2p 2p ∵ y1≠0，y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 ⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 2p 2p y1 y2 2p ( x x1 ) ∴ ∴ k AB ∴直线 AB： y y1 y1 y2 y1 y2 x1 x2 y1 y2
OA OB , 且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方
程是：( D )
x p (B) x 3 p (C) x 3 p (D)x 5 p (A) 2 2
.
F
x
O
x
.
B
例4 A 、B 是 抛 物线 y 2 2 px( p 0) 上 的 两 点, 满足 OA OB ( O 为坐标原点). 求证:⑴ A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
复习练习：
已知抛物线 y 2 32 x ，若 ABC 的三个顶点都在该 抛物线上，且点A的纵坐标为8， ABC 的重心恰在抛 物线的焦点上，求直线BC的斜率。
y 2 8 x 例1. 求抛物线
被点P(-1,1)平分
的弦所在直线方程.
变形:求斜率为4且与抛物线 y 2 8 x 相交的平行弦的中点轨迹方程.
2.4.2抛物线的简单几 何性质(3)
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
学案11：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1．通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p＞0)图形性质焦点 ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R________________对称轴 ________________顶点 ________ 离心率e ＝112y 2)，则有：(1)y 1y 2＝ ，x 1x 2＝ ； (2)|AB |＝ ，|AF |＝ ； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有_____个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线 公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有一个公共点． 思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？初试身手1．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是( ) A ．1716B ．78C ．1D ．15162．顶点在原点，对称轴为x 轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±8xD ．y 2＝±16x3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．44．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用例1 (1)等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( ) A ．8p 2 B ．4p 2 C ．2p 2D ．p 2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．规律方法把握三个要点确定抛物线的简单几何性质1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.2.关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦又称为通径长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题例2(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_________________________．(2)已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线'E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．①求抛物线E的方程；②求直线AB的方程．规律方法直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法跟踪训练2．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．类型3 直线与抛物线的位置关系例3(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？规律方法直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px p>0，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.1.若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.2.若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.跟踪训练3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．类型4 抛物线性质的综合应用探究问题1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？例4如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．母题探究1．若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△P AB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．(1)求动点Q的轨迹方程；(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点(3,0)．如何求解？规律方法应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．课堂小结1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＞0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＜0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．课堂检测1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB＝()A．30°B．45°C．60° D．90°3．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值．参考答案新知初探1．y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴y轴(0,0) 12．(1)－p2 p2 4(2) x 1＋x 2＋p x 1＋p23．两 一 没有 平行或重合思考：[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．初试身手1．【答案】D【解析】抛物线方程可化为x 2＝14y ，其准线方程为y ＝－116，点M 到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M 到x 轴的距离是1516．2．【答案】C【解析】顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线方程有两个：y 2＝－2px ，y 2＝2px (p >0)，由顶点到准线的距离为2知p ＝4，故选C ． 3．【答案】B【解析】|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8． 4．【答案】2【解析】F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1． ∴AF ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用 例1 (1)【答案】B【解析】由抛物线的对称性质及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，则B (2p ，－2p )，所以|AB |＝4p ，所以S △ABO ＝12·4p ·2p ＝4p 2，选择B ．(2)解：设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，交点A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23．(*)由对称性，知y 2＝－y 1，代入(*)式，得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4，得x 1＝±1， 所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上， 或点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上， 得3＝2p 或3＝－2p ×(－1)，所以p ＝32．故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x ．跟踪训练1．解：(1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4． ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12．∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y ．故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y ．准线方程为x ＝－1或y ＝18．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题 例2 (1)【答案】y 2＝4x【解析】设抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－2px ＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2p ．又因为P (2,2)为AB 的中点， 所以2p ＝4，所以y 2＝4x ．(2)解：①由于抛物线的焦点为(1,0)， 所以p2＝1，p ＝2，所求抛物线的方程为y 2＝4x ． ②法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1 ①，y 22＝4x 2 ②，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)，又x 1≠x 2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0．法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0， 所以y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点， 所以y 1＋y 2＝2， 所以k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 跟踪训练2．解：由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ， 消去y ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0． 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝p ＋2pk2，所以|AB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝52p ，解得k ＝±2．所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2． 类型3 直线与抛物线的位置关系 例3 (1)【答案】C【解析】直线方程可化为y ＝k (x －1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px (p >0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C ． (2)解：由题意，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0．① ①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1． ②当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．a ．由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点． b ．由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l 与抛物线有两个公共点．c ．由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12．于是当k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l 与抛物线无公共点．综上，当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点．当－1<k <12，且k ≠0时直线l 与抛物线有两个公共点．当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线无公共点．跟踪训练3．解：因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0，①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45．所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2. 综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45．类型4 抛物线性质的综合应用 探究问题1．[提示] 两条直线的斜率互为相反数． 2．[提示] 法一：设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43．∴最小距离为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43．例4 (1)解：由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1．(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1．又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．母题探究1．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知，A (4,4)，B (1，－2)， 则|AB |＝35．设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则 d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4 ＝125|(y 0－1)2－9|．∵－2<y 0<4，∴(y 0－1)2－9<0． ∴d ＝125[9－(y 0－1)2]．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274．故当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，1时，△P AB 的面积取得最大值，最大值为274． 2．(1)解：因为点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，所以点R 是线段FP 的中点，由此及RQ ⊥FP 知，RQ 是线段FP 的垂直平分线．因为|PQ |是点Q 到直线l 的距离，而|PQ |＝|QF |，所以动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x (x >0)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，直线AB ：x ＝my ＋1(m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0．于是，有y M ＝y 1＋y 22＝2m ，x M ＝m ·y M ＋1＝2m 2＋1，即M (2m 2＋1,2m )．同理，N ⎝⎛⎭⎫2m 2＋1，－2m ． 因此，直线MN 的斜率k MN ＝2m ＋2m2m 2＋1－⎝⎛⎭⎫2m 2＋1＝m m 2－1，方程为y －2m ＝mm 2－1(x －2m 2－1)，即mx ＋(1－m 2)y －3m ＝0．显然，不论m 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 过定点(3,0)．课堂检测1．【答案】C【解析】设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，通径为2p ＝8，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x ． 2．【答案】D【解析】由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫a ，a24，则S △AOB ＝12×2a ×a 24＝16，解得a ＝4，所以|AB |＝8，|OA |＝|OB |＝42，所以∠AOB ＝90°．3．【答案】B【解析】当直线垂直于x 轴时满足条件，当直线不垂直于x 轴时，设直线方程为y ＝kx ＋1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线． 4．解：由抛物线y 2＝8x 知，p ＝4．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以x 1＋x 2＝|AB |－p ．由条件知x 1＋x 22＝3，则x 1＋x 2＝6，所以|AB |－p ＝6， 所以|AB |＝10．。
《2.3.2抛物线的简单几何性质》导学案(新部编)3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《抛物线的简单几何性质》导学案学习目标:1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程:一、课前准备 复习1：准线方程为x =2的抛物线的标准方程是___________________．复习2：双曲线221169x y -=有哪些几何性质？ 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 新知：抛物线的几何性质 图形标准方程焦点(0,)2p -准线 2p y =-顶点 (0,0)(0,0)对称轴 x 轴 离心率试试：画出抛物线8y x =的图形，顶点坐标( )、焦点坐标( )、准线方程（ ）、对称轴（ ）、离心率（ ）． ※ 典型例题例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M -，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,22)M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ． 小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※ 动手试试练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点 (5M ，4)-；⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ； ⑶焦点是(0,8)F -，准线是8y =． 三、总结提升 ※ 学习小结1．抛物线的几何性质 ； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※ 知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．其长为2p ．※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是( )． A ．212y x =B ．2y x =C ．22y x =D ．24y x =2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程( ) ． A ．220y x = B ．220x y = C ．2120y x =D ．2120x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于( )．A ．10B ．8C ．6D ．4 4．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB=______________________．课后作业1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：⑴顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；P--．⑵顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点(6,3)2.M是抛物线24=上一点，F是抛物线的焦点，60y x∠=o，求FA．xFM。
教学设计2：2.4.2 抛物线的简单几何性质
教学内容 2.4.2 抛物线的简单几何性质三维目标【知识与技能】1．掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程；2．能由抛物线方程解决简单的应用问题；3．学会判断抛物线与直线的位置关系；4．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．【过程与方法】通过抛物线性质的学习，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。
【情感态度与价值观】通过抛物线性质的学习，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。
教学重点抛物线的几何性质及其运用，以及抛物线与直线的位置关系。
教学难点抛物线性质的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。
教学过程复习引入一．引入新课【师】复习提问：1、抛物线定义：平面内到一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数1的点的轨迹（或平面内到一个定点F和一条直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹）是抛物线。
点F叫做焦点．．，l叫做准线。
．．．2、抛物线的标准方程标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图形焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下那么，抛物线有哪些几何性质呢？点题，板书课题。
新课学习二．新课讲解1．抛物线的简单几何性质标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图像范围0≥x0≤x0≥y0≤y 对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称顶点()0,0()0,0()0,0()0,0离心率1=e焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下2．通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。
直接应用抛物线定义，得到通径：pd2=。
三．练习领会师生共同解答下列各例：【例1】已知点()2,0A和抛物线C：xy62=，求过点A且与抛物线C相切的直线L的方程。
学案9：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的下列性质：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的范围是什么？(2)抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴是什么？是否存在对称中心？(3)抛物线的顶点坐标有几个？顶点坐标是什么？(4)抛物线的离心率是多少？2．归纳总结，核心必记抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0，0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下在同一坐标系下画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，试分析影响抛物线开口大小的量是什么？课堂互动区知识点1 抛物线的几何性质 讲一讲1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 类题通法(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程． 练一练1．已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．知识点2 抛物线的焦点弦问题思考 抛物线上一点与焦点F 的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦，若P (x 0，y 0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？讲一讲2．已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.类题通法(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．练一练2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．知识点3 直线与抛物线的位置关系思考1若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切吗？思考2如何判断点P(x0，y0)与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系？讲一讲3．设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．类题通法研究直线和抛物线的位置关系时，由于消元后所得的方程中含参数，因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论．练一练3．已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．————————[课堂归纳·感悟提升]——————————1．本节课的重点是抛物线的几何性质和焦点弦问题，难点是直线与抛物线的位置关系．2．在研究直线与抛物线的位置关系时，直线与抛物线只有一个公共点，包括相交和相切两种情况，这是本节课的一个易错点．3．本节课要重点掌握的规律方法(1)抛物线的焦点弦问题，见讲2；(2)直线与抛物线的位置关系，见讲3.4．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．参考答案预习导引区核心必知1．(1)提示：x≥0，y∈R．(2)提示：对称轴为x轴，不存在对称中心．(3)提示：只有一个顶点坐标(0，0)．(4)提示：e ＝1． 问题思考提示：影响抛物线开口大小的量是参数p ，p 值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 课堂互动区知识点1 抛物线的几何性质 讲一讲1．解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3. 练一练1．解：因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2. 知识点2 抛物线的焦点弦问题思考 名师指津：x 0＋p 2 p 2－x 0 y 0＋p 2__p2－y 0 x 1＋x 2＋p p －x 1－x 2 y 1＋y 2＋p p －y 1－y 2． 讲一讲2．解：设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3，∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝ 1＋19·22－4×（－22）＝22303. 练一练2．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝⎛⎭⎫32，0.所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知， |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.知识点3 直线与抛物线的位置关系思考1 名师指津：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是只有一个公共点时，直线与抛物线可能相切也可能平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 思考2 名师指津：(1)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)内部⇔y 20<2px 0； (2)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上 ⇔y 20＝2px 0； (3)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)外部⇔y 20>2px 0． 讲一讲3．解：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.若k ≠0，方程k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0为一元二次方程．∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． (1)当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切， (2)当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交， (3)当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离．若k ＝0，直线l 方程为y ＝1，显然与抛物线C 交于⎝⎛⎭⎫14，1.综上所述，当k ＝1时，l 与C 相切；当k <1时，l 与C 相交；当k >1时，l 与C 相离． 练一练3．证明：设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k 2k 2－2k 2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝⎛⎭⎫1k －k y ＝x －2. 不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2，0)．。
抛物线的简单几何性质(参赛教案)
2.4.2 抛物线的简单几何性质一、本节课内容分析与学情分析1、教材的内容和地位本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版《数学》选修2—1第二章第四节的内容。
它是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，是高中数学的重要内容。
本节内容的学习，是对前面所学知识的深化、拓展和总结，可使学生对圆锥曲线形成一个系统的认识，同时也是一个培养学生数学思维和让学生体会数学思想的良好时机。
2、学生情况分析在此内容之前，学生已经比较熟练的掌握了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质，以及研究问题的基本方法。
本节课，学生有能力通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程去探索抛物线的几何性质。
可培养学生的自主学习能力和创新能力。
二、教学目标1、知识与技能：〔1〕理解并掌握抛物线的几何性质。
〔2〕能够运用抛物线的方程探索抛物线的几何性质。
2、过程和方法：注重对研究方法的思想渗透，掌握研究曲线性质的一般方法；培养运用数形结合思想解决问题的能力。
3、情感态度价值观：通过对几何性质的探索活动，亲历知识的构建过程，使学生领悟其中所蕴含的数学思想，数学方法，体会新知识探索过程中带来的快乐和成就感。
让学生养成自主学习，合作探究的习惯。
三、重难点分析教学重点：探索和掌握抛物线的简单几何性质。
教学难点：抛物线的几何性质在各种条件下的灵活运用。
四、教法、学法分析教法：本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法等教学方法。
“以学生的活动为主线，将问题抛给学生，用问题启发学生思考和探索，让学生在参与问题的提出、讨论和解决过程中，到达掌握知识、提高能力的目的。
学法：结合我校学生的特点，本节课主要采用“类比——探索——应用——思考——再探索”的探究式学习方法，使学生在掌握知识，形成技能的同时，培养学生的理性思维能力，增强学生学习的自信心。
五、教学过程*情景引入前面我们已经学习了椭圆与双曲线，根据他们的标准方程，得到了它们的简单几何性质。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。
3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。
教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。
2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。
3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。
步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。
b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。
d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。
步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。
2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。
步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。
2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。
3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。
步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。
教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。
2. 抛物线的图像和实例题目。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。
2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。
2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。
备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。
高中数学选修2-1自主学习导学案：2.4.2 抛物线的简单几何性质
§2.4.2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的图形性质22(0)y px p => ，焦点(,0)2p F ，准线2p x =-（1）顶点：(0,0)O（2）取值范围：0x ≥；（3）对称性：关于x 轴对称； （4）离心率1e =；（5）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB ，称为抛物线的通径，2AB p =，2p 越大，抛物线张口越大．2．抛物线的焦半径与焦点弦（1）连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径，如图所示AF ，BF ． 由抛物线的定义，A 点到焦点的距离等于到准线的距离，设00(,)A x y ，则02p AF x =+（2）过抛物线的焦点的弦叫做焦点弦，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：1212()()22p p AB x x x x p =+++=++． 以上结论可以推广到其他形式的抛物线：20202020122222322422==+=-=+==+=-=+(),||;(),||-(),||(),||-py px PF x py px PF x px py PF y px py PF y 21221221221212223242==++=-=--==++=-=--(),||;(),||(),||(),||y px AB x x p y px AB p x x x py AB y y p x py AB p y y3．关于抛物线的若干结论已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点．则有： （1）若l 的倾斜角为θ，则22sin pAB θ=． （2） 所有焦点弦中，通径最短． （3）求证：2212124⋅=⋅=-,p x x y y p ．（4）以AB 为直径的圆与准线相切．（5）112+=FA FB p．4．直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的位置关系有三种：（1）相离；（2）相切；（3）相交．判断它们的位置关系，可以将直线的方程与抛物线的方程联立，22Ax By C y px++=⎧⎨=⎩，消元，再根据消元后的方程进行判断．※ 典型例题考点1．抛物线定义的直接应用【例1】（1）已知点A （-2，3）与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p =________．（2）抛物线24y x =的弦AB 垂直x 轴，若|AB|= AB =，则焦点到AB 的距离为 ． 变式1．已知(3,2)M ，P 为抛物线22y x =上一点，F 为抛物线的焦点，（1）若P 到焦点的距离为2，则P 点坐标为____________；（2）PM PF +的最小值为______，此时P 点的坐标为_________． 考点2．直线与抛物线的位置关系【例2】已知直线 l ：1y kx =- 和抛物线C ：24y x =，试判断当 k 为何值时，l 与C 有：（1）一个公共点；（2）两个不同公共点；（3）没有公共点．【方法归纳】直线与抛物线位置关系的判断方法：（1）把直线方程代入抛物线方程；（2）得到一元一次方程，则直线与抛物线的对称轴平行，相交（一个交点）（3）得到一元二次方程，计算判别式，0∆>，相交；0∆=，相切；0∆<，相离 变式1．过点(0,1)M 且和抛物线C: 24y x =仅有一个公共点的直线的方程是________________．考点3．焦点弦与弦长【例3】斜率为1的直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【方法归纳】(1)直线被曲线截得的弦 |AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|；(2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x 1+x 2+p变式1．已知直线l ：y ＝－ x ＋1和抛物线C ：y 2＝4x 交点为A 、B ，求AB 的长．变式2．斜率为1的直线l 被抛物线C: 24y x =截得的弦长|AB|=8,则直线的l 的方程是________．考点4．中点弦有关的问题【例4】已知抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A,B 两点．若P(2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 ．变式1．直线l 和抛物线C: 24y x =交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M （2,1），则直线的l 的方程是_______．变式2．若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A,B 两点,则线段AB 的中点坐标是 ．变式3．已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程；(2)求直线AB 的方程．考点5．与抛物线有关的最值问题【例5】能否在抛物线C ：24y x =上求一点，使得点 P 到直线3y x =+的距离最短．考点6．与抛物线有关的定点(定值)问题【例6】已知点A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,且OA ⊥OB ．(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB 过定点．考点7．与抛物线有关的对称问题【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x-y-2=0，抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 的中点坐标为(2-p ，-p)；②求p 的取值范围．变式1．若抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,且y 1y 2=-1,则实数b 的值为 ( )A ．-3B ．3C ．2D ．-22．已知抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l :y=k(x-1)+1对称,则实数k 的取值范围为 ．1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．82．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 33．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．303B ．6C ．12D ．7 3 5．过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y 2=8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为 ( )A ．2B ．2C ．2D ．26．已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( ) A ．15 B ．14 C ．13 D ．127．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．28．过点(-1,0)且与抛物线y 2=x 有且仅有一个公共点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F,直线l 过点F 且与C 交于A,B 两点．若|AF|=3|BF|,则l 的方程为 ( )A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(x-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1) D ．y=(x-1)或y=-(x-1)10．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 11．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．12．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．14．在抛物线y=4x 2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 ．15．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．16．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．17．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于10时，求k的值．18．已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3．(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB相切．§2.4.2 抛物线的简单几何性质（教师版）1．抛物线的图形性质22(0)y px p => ，焦点(,0)2p F ，准线2p x =-（1）顶点：(0,0)O（2）取值范围：0x ≥；（3）对称性：关于x 轴对称； （4）离心率1e =；（5）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB ，称为抛物线的通径，2AB p =，2p 越大，抛物线张口越大．2．抛物线的焦半径与焦点弦（1）连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径，如图所示AF ，BF ． 由抛物线的定义，A 点到焦点的距离等于到准线的距离，设00(,)A x y ，则02p AF x =+（2）过抛物线的焦点的弦叫做焦点弦，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：1212()()22p p AB x x x x p =+++=++． 以上结论可以推广到其他形式的抛物线：20202020122222322422==+=-=+==+=-=+(),||;(),||-(),||(),||-py px PF x py px PF x px py PF y px py PF y 21221221221212223242==++=-=--==++=-=--(),||;(),||(),||(),||y px AB x x p y px AB p x x x py AB y y p x py AB p y y3．关于抛物线的若干结论已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点．则有： （1）若l 的倾斜角为θ，则22sin pAB θ=．222121212222222212021221πθπθθθθθθθ==∴≠=-=+-⋅-=∴=-+=∴=-=+=:,,,:()tan ,,tan :,tan ,,tan ()tan sin AB p AB p y p l y x x y py p py y p y y pAB y y p 解若则此时为抛物线的通径结论得证若设直线的方程为即代入抛物线方程得（2） 所有焦点弦中，通径最短．()()()2222221221223θθθ=≤∴≥∴:sin sin ,sin ,:;,:;.p AB pp AB p p 解由问题知:的最小值为即通径最短.通径的长度通径越大抛物线开口越大通径是抛物线的所有焦点弦中通径的性最短的质（3）求证：2212124⋅=⋅=-,p x x y y p ．212221212221212222244⋅=-==∴==:,,,()y y p y y x x p p y y P x x P 解由问题的解法知:（4）以AB 为直径的圆与准线相切． （5）112+=FA FB p． 4．直线与抛物线的综合问题直线与抛物线的位置关系有三种：（1）相离；（2）相切；（3）相交．判断它们的位置关系，可以将直线的方程与抛物线的方程联立，22Ax By C y px++=⎧⎨=⎩，消元，再根据消元后的方程进行判断．※ 典型例题考点1．抛物线定义的直接应用【例1】（1）已知点A （-2，3）与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离是5，则p =_____4____ （2）抛物线24y x =的弦AB 垂直x 轴，若|AB|= AB =AB 的距离为 2 ． 【答案】（1）4；（2）2；变式1．已知(3,2)M ，P 为抛物线22y x =上一点，F 为抛物线的焦点，（1）若P 到焦点的距离为2，则P 点坐标为____3(,2________； （2）PM PF +的最小值为____72__，此时P 点的坐标为_____(2,2)____．考点2．直线与抛物线的位置关系【例2】已知直线 l ：y ＝kx-1 和抛物线C ：y 2＝4x ，试判断当 k 为何值时，l 与C 有：（1）个公共点；（2）两个不同公共点；（3）没有公共点．解：（1）01k k ==-或；（2）10k k >-≠且；（3）1k <- 【方法归纳】直线与抛物线位置关系的判断方法：（1）把直线方程代入抛物线方程；（2）得到一元一次方程，则直线与抛物线的对称轴平行，相交（一个交点）（3）得到一元二次方程，计算判别式，0∆>，相交；0∆=，相切；0∆<，相离 变式1．过点(0,1)M 且和抛物线C:24y x =仅有一个公共点的直线的方程是________________． 答案：101或或y x y x ===+．解析：（1）若直线与x 轴垂直，则0x =，满足题意． （2）若直线的斜率存在，设直线方程为：1y kx =+，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得到2440ky y -+=，①若0k =，则1y =，满足题意②若0k ≠，令0∆=，解得1k =，所以1y x =+ 综上所述，所求直线方程为101或或y x y x ===+考点3．焦点弦与弦长【例3】斜率为1的直线过抛物线24y x =的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解法1：直线AB 的方程为1y x =+，代入抛物线方程得：2610x x -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则126x x +=，121x x =，所以8AB ==．解法2：1212()()62822p pAB x x x x p =+++=++=+= 【方法归纳】(1)直线被曲线截得的弦 |AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|；(2)过抛物线的焦点的弦 |AB|= x 1+x 2+p变式1．已知直线l ：y ＝－ x ＋1和抛物线C ：y 2＝4x 交点为A 、B ，求AB 的长．【解析】︱AB ︱=8变式2．斜率为1的直线l 被抛物线C:24y x =截得的弦长|AB|=8,则直线的l 的方程是________．【答案】y ＝x －1考点4．中点弦有关的问题【例4】已知抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点在x 轴上,直线y=x 与抛物线C 交于A,B 两点．若P(2,2)为AB 的中点,则抛物线C 的方程为 ．【解析】设抛物线的方程为y 2=2px(p≠0),与y=x 联立方程组,消去y,得x 2-2px=0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，所以x 1+x 2=2p ，又因为P(2,2)为AB 的中点，所以2p=4,所以y 2=4x ．变式1．直线l 和抛物线C:24y x =交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M （2,1），则直线的l 的方程是_______． 【答案】y ＝2x －3变式2．若直线x-y=2与抛物线y 2=4x 交于A,B 两点,则线段AB 的中点坐标是 ．【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，联立直线方程与抛物线方程得方程组整理得x 2-8x+4=0，所以x 1+x 2=8,y 1+y 2=x 1+x 2-4=4，所以线段AB 的中点坐标为(4,2)．变式3．已知A,B 为抛物线E 上不同的两点,若抛物线E 的焦点为(1,0),线段AB 恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程；(2)求直线AB 的方程． 【解析】(1)由于抛物线的焦点为(1,0),所以12p=，2p =，所求抛物线的方程为y 2=4x ． (2)方法一:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则2114y x = ①, 2224y x =②,且x 1+x 2=4,y 1+y 2=2，由②-①得(y 1+y 2)(y 2-y 1)=4(x 2-x 1), 所以21212y y x x -=-,所以所求直线AB 的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0．方法二:显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y-1=k(x-2),k≠0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由21(2)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得ky 2-4y-8k+4=0,所以y 1+y 2=4k， 又M 点是AB 的中点，所以y 1+y 2=2,所以k=2，故直线AB 的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0．考点5．与抛物线有关的最值问题【例5】能否在抛物线C ：y 2＝4x 上求一点，使得点 P 到直线 y ＝x+3 的距离最短． 【解析】00(.)P x y 解：直线与抛物线无交点，设抛物线上一点，2004y x =则，d ==2004y x =将代入得：d=20)y R =∈，0min 2,y d ∴==当时(1,2)P 此时方法2：0x y m -+=设直线与抛物线相切，2244400y xy y m x y m ⎧=⇒-+=⎨-+=⎩，0:1m ∆==由得，(1,2)P 此时.考点6．与抛物线有关的定点(定值)问题【例6】已知点A,B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,且OA ⊥OB ．(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证:直线AB 过定点．【解析】(1)设点A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则有k OA= 11y x ,k OB=22y x ． 因为OA ⊥OB,所以k OA ·k OB =-1,所以x 1x 2+y 1y 2=0．因为21y=2px 1,21y=2px 2,所以2212y y2p 2p+y 1y 2=0．因为y 1≠0,y 2≠0,所以y 1y 2=-4p 2,所以x 1x 2=4p 2． (2)因为221122y 2px y 2px ＝，＝，所以(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2),所以12AB 121212y y 2p 2p,k x x y y y y -=-++所以＝，故直线AB 的方程为y-y 1=122p y y + (x-x 1),所以1112122px 2pxy y ,y y y y +-++＝即211121212y 2px y y 2pxy .y y y y -+=+++ 因为21y=2px 1,y 1y 2=-4p 2,所以212122px 4p y ,y y y y -=+++所以y=122p y y + (x-2p),即直线AB 过定点(2p,0)．考点7．与抛物线有关的对称问题【例7】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x-y-2=0，抛物线C ：y 2=2px(p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程．(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 的中点坐标为(2-p ，-p)；②求p 的取值范围．【解析】(1)因为l :x －y －2=0，所以l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，即抛物线的焦点为(2，0)，所以p22=，，所以y 2=8x ． (2)① 设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则211211222222y x y 2px 2p y 2px y x 2p ⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩，， 则12PQ221212y y 2p k y y y y 2p 2p==+－，－又因为P,Q 关于直线l 对称， 所以k PQ =－1，即y 1+y 2=－2p,所以12y y p,2+=－又因为P,Q 的中点一定在直线l 上， 所以1212x x y y 22p,22++=+=－ 所以线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p)．②因为中点坐标为(2-p ，-p)，121222222121212y y 2p y y 2p y y x x 42p y y 8p 4p 2p +=⎧+=⎧⎪+⎨⎨+==+=⎩⎪⎩－，－，即－－， 所以12212y y 2p y y 4p 4p +=⎧⎨=⎩－，－，即方程y 2+2py+4p 2－4p=0有两个不等实根．所以Δ>0,(2p)2－4(4p 2－4p)>0⇒ 4p (0,).3∈ 【方法技巧】应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题,一是抓住对称两点的中点在对称轴上,二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值探路法找定点、定值．变式1．若抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,且y 1y 2=-1,则实数b 的值为 ( )A ．-3B ．3C ．2D ．-2【解析】选D ．因为抛物线y 2=x 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,所以=-1,所以=-1,所以y 1+y 2=-1．因为y 1y 2=-1,所以x 1+x 2=+=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=3，所以两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)中点坐标为．代入y=x+b,可得b=-2．2．已知抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l :y=k(x-1)+1对称,则实数k 的取值范围为 ．【解析】设抛物线上的点A(y12,y1),B(y22,y2)关于直线l对称．则122212221212y yk1y yy y y yk(1)1 22-⎧-⎪-⎪⎨++⎪=-+⎪⎩＝，，，得12212y y kk11y y2k2+-⎧⎪⎨+-⎪⎩＝，＝，所以y1,y2是方程22k11y ky02k2-＋＋＋＝的两个不同根．所以Δ=k2-42k11()2k2-＋>0,解得-2<k<0．故实数k的取值范围是-2<k<0．答案:-2<k<01．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A．2 B．1 C．4 D．8【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p2，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C．【答案】 C2．(2014·成都高二检测)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A．2 3 B．4 C．6 D．4 3【解析】据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P⎝⎛⎭⎫m24，m，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝＋2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D ．【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p2＝k ＝1，∴p ＝2．∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1． 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．303B ．6C ．12D ．7 3 【解析】 焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C ．5．过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y 2=8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为 ( )A ．2B ．2C ．2D ．2【解析】选B ．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)．由题意知AB 的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2．由得x 2-4x+1=0,所以x 1+x 2=4,x 1x 2=1．所以|AB|====2．6．(2014·湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0,1)，则|AF ||BF |＝( )A ．15B ．14C ．13D ．12【解析】 因为抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B |＝13，故选C ．【答案】 C7．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D ．【答案】 D8．(2016·郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y 2=x 有且仅有一个公共点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】选C ．点(-1,0)在抛物线y 2=x 的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x 轴．9．(2016·西安高二检测)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过点F 且与C 交于A,B 两点．若|AF|=3|BF|,则l 的方程为 ( )A ．y=x-1或y=-x+1B ．y=(x-1)或y=-(x-1)C ．y=(x-1)或y=-(x-1) D ．y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C ．由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l 与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以|MB|=2x,所以直线l 的倾斜角为60°或120°,即直线l 的斜率为±．【误区警示】本题容易将倾斜角当作45°而错选A ．10．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋x2，由题意有x ＋14＝x 2＋x2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝⎛⎭⎫18，±24．【答案】 ⎝⎛⎭⎫18，±2411．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1．【答案】 0或112．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．【解析】 设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0． 当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)13．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】 由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为 A ⎝⎛⎭⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝⎛⎭⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝2 3＋14p 2． 由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6． 【答案】 614．直线y=kx+2与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点,则k= ．【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y 得:k 2x 2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k -2)2-16k 2=0,解得k=1．答案:0或115．在抛物线y=4x 2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是 ． 【解析】设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-b,代入y=4x 2得4x 2-4x+b=0．令Δ=16-16b=0,解得b=1，所以与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-1,所以直线y=4x-1与抛物线相切,切点到y=4x-5的距离最短．由4x 2-4x+1=0,解得x=，所以y=1,所求点为．答案:16．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝⎛⎭⎫0，－p 2． ∵|AF |＝3，∴y 0＋p 2＝3，∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得， 8＝2p ⎝⎛⎭⎫3－p2，解得p ＝2或p ＝4． ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y ．17．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3． 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3． 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92．18．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1,0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．【解】 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k x ＋，消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1．设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，∴S △OAB ＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10， 解得k ＝－16或16．19．(2015·福建高考)已知点F 为抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E 上,且|AF|=3．(1)求抛物线E 的方程．(2)已知点G(-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B,证明:以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB 相切． 【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x ． (2)因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上, 所以m=±2,由抛物线的对称性, 不妨设A(2,2), 由A(2,2),F(1,0)可得直线AF 的方程为y=2(x-1)．由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B．又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．方法二:(1)同方法一．(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r．因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1)．由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B．又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==．又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r．这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。
学案4:2.3.2 抛物线的简单几何性质
2.3.2 抛物线的简单几何性质学习目标 ： 学习目标思维脉络1.掌握抛物线的简单几何性质;2.能运用抛物线的几何性质解决有关问题;3.掌握直线与抛物线的综合问题.【新知导学】1.抛物线的简单几何性质2.焦半径与焦点弦抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦.设抛物线y 2=2px (p>0)上任意一点P (x 0,y 0),焦点弦端点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则焦半径|PF|=x 0+p2,焦点弦|AB|=x 1+x 2+p.特别地,过抛物线的焦点F 作垂直于对称轴的直线,交抛物线于A ,B 两点,则线段AB 称为抛物线的“通径”,由A (p2,p),B (p2,-p)可知通径的长|AB|等于2p.3.直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有交点.(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.【重难探究】抛物线几何性质的应用1.注意抛物线各元素间的关系:抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.2.解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中,通过定义的运用,实现两个距离之间的转化,简化解题过程.例1若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.(14,±√24)B.(18,±√24)C.(14,√24)D.(18,√24)变式训练1若抛物线y2=16x上一点P到x轴的距离为12,则点P到焦点F的距离|PF|=.直线与抛物线的位置关系1.联立直线和抛物线方程得ax2+bx+c=0.当a≠0时,Δ>0⇔直线与抛物线相交,有两个不同的交点;Δ=0⇔直线与抛物线相切,只有一个公共点;Δ<0⇔直线与抛物线相离,没有公共点.当a=0时,则直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时,直线和抛物线相交,只有一个公共点,但不能称为相切.2.直线与抛物线相交且有两个公共点时,弦长|AB|=√1+k2|x1-x2|或|AB|=√1+1|y1-y2|.这里k2我们经常用设而不求的技巧,借助根与系数的关系整体代入.解题时应注意Δ>0这一隐含条件的作用.例2若直线l:y=(a+1)x-1与抛物线C:y2=ax(a≠0)恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.变式训练2设直线y=2x+b与抛物线y2=4x交于A,B两点,已知弦AB的长为3√5,则b=.抛物线的焦点弦问题设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则焦点弦AB的长度如下:,|AF|<|BF|,则例3过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=2512|AF|=.变式训练3过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于()A.4pB.5pC.6pD.8p抛物线中的定点、定值问题1.一般地,求证某式的值为定值时,可转化为求该式的值,在求解过程中参数一般可以通过约分化去,或可以整体抵消;有时也可以从特殊情形入手求出定值,然后给出证明.2.定点问题可有两种处理方式,一是直接推理,引入参数,在变形过程中消去参数(部分),得到曲线方程,由方程特点判断曲线过定点;二是先考察特殊情况,再给出严密的推理证明.例4 已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2=2x 的顶点,点A ,B 都在抛物线上,且∠AOB=90°,证明:直线AB 必过一定点.变式训练4设抛物线C :y 2=4x ,F 为C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,求证:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个定值.【当堂检测】1．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8y D ．x 2＝±16y2．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1，0)，且AB ＝1，则点A 的横坐标为( ) A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．－2或23．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16【课后训练案】1．过(1，1)点与抛物线y 2＝x 只有一个公共点的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 2．直线y ＝2x ＋4与抛物线y ＝x 2交于A 、B 两点，则△ABO 的面积为( ) A ．25 B ．4 5 C ．6 5 D ．853．设AB 为抛物线y 2＝x 上的动弦，且|AB |＝2，则弦AB 的中点M 到y 轴的最小距离为( ) A ．2 B.34 C ．1 D.544．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________． 5．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t ，3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.303B ．6C ．12D ．73 7．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于__________________________________________________________． 8．已知抛物线y 2＝2px的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________．9．过抛物线y 2＝4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |＝8，O 为坐标原点，求△OAB 的重心的横坐标．10．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是5，求此抛物线的方程．答 案【重难探究】 抛物线几何性质的应用例1【思路分析】利用抛物线定义将点P 到准线的距离转化为点P 到焦点的距离,从而得到点P 的横坐标,再代入抛物线方程求其坐标.【解析】由题意知,点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离,因此点P 在线段OF 的垂直平分线上,而F (14,0),所以点P 的横坐标为18,代入抛物线方程得y=±√24,故点P 的坐标为(18,±√24),故选B .【答案】B变式1【解析】不妨设点P (x ,12),则122=16x ,解得x=9, 故|PF|=9+p2=9+4=13. 【答案】13例2 【思路分析】将直线方程与抛物线方程联立,消去y 后化为关于x 的方程,其中二次项系数含有参数,分类讨论方程有一个解时a 的取值. 【答案】解:因为直线l 与抛物线C 恰好有一个公共点, 所以方程组{y =(a +1)x -1,y 2=ax 有唯一一组实数解.消去y ,得[(a+1)x -1]2=ax ,整理得(a+1)2x 2-(3a+2)x+1=0.①(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x 的一元一次方程,解得x=-1,这时,原方程组有唯一解{x =-1,y =-1.(2)当a+1≠0,即a ≠-1时,方程①是关于x 的一元二次方程. 令Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=a (5a+4)=0, 解得a=-45(a=0舍去).当a=-45时,原方程组有唯一解{x =-5,y =-2.综上可知,实数a 的取值集合为{-1,-45}.变式2 【解析】由{y =2x +b ,y 2=4x 消去y ,得4x 2+4(b -1)x+b 2=0.由Δ>0,得-2b+1>0,即b<12.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=1-b ,x 1x 2=b 24,∴|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1-2b . ∴|AB|=√1+22|x 1-x 2|=√5·√1-2b =3√5. ∴1-2b=9,即b=-4.【答案】-4例3 【解析】显然过焦点F 的直线AB 的斜率存在, 则设过抛物线焦点的直线方程为 y=k (x -12)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2).由{y 2=2x ,y =k (x -12),得k 2x 2-(k 2+2)x+14k 2=0,则x 1+x 2=k 2+2k 2,x 1x 2=14. 则|AB|=x 1+x 2+1=k 2+2k 2+1=2512,解得k 2=24,代入k 2x 2-(k 2+2)x+14k 2=0,得12x 2-13x+3=0,解得x 1=13,x 2=34, 故|AF|=x 1+12=56.【答案】56变式3 【解析】因为|PQ|=x 1+x 2+p ,且x 1+x 2=3p , 所以|PQ|=4p. 【答案】A例4【证明】设OA 所在直线的方程为y=kx ,则直线OB 的方程为y=-1k x , 由题意知k ≠0.由{y =kx ,y 2=2x ,解得{x =0,y =0或{x =2k 2,y =2k ,即点A 的坐标为(2k 2,2k ),同样由{y =-1k x ,y 2=2x ,解得点B 的坐标为(2k 2,-2k ).故AB 所在直线的方程为y+2k=2k +2k 2k 2-2k 2(x -2k 2),化简并整理,得(1k -k)y=x -2. 不论实数k 取任何不等于0的实数, 当x=2时,恒有y=0. 故直线过定点P (2,0).变式4 【证明】∵l 与抛物线有两个交点且过焦点,∴l 不与x 轴重合.设直线l 的方程为x=ky+1,设直线l 与抛物线的交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{x =ky +1,y 2=4x ,消去x 整理得y 2-4ky -4=0, ∴y 1+y 2=4k ,y 1y 2=-4.∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y2=(ky 1+1)(ky 2+1)+y 1y 2=k2y 1y 2+k (y 1+y 2)+1+y 1y 2=-4k 2+4k 2+1-4=-3, ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个定值.【当堂检测】 1．【答案】D2．【解析】由y 2＝4x 知B (1，0)为焦点，准线为x ＝－1，由抛物线定义知x A ＋p 2＝1，得x A＝0. 【答案】B 3．【答案】B【课后训练案】1．【解析】因为点(1，1)在抛物线y 2＝x 上，所以作与y 2＝x 只有一个公共点的直线有两条，其中一条为切线，一条为平行于x 轴的直线．2．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝x 2，得x 2－2x －4＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4，|AB |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10，原点到直线的距离d ＝45，S △AOB ＝12×10×45＝4 5.【答案】B3．【解析】由题意，抛物线y 2＝x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14，根据抛物线的定义，∵|AB |＝2，∴A ，B 到准线的距离和最小为2(当且仅当A 、B 、F 三点共线时取最小)．∴弦AB 的中点到准线的距离最小为1.∴弦AB 的中点到y 轴的最小距离为1－14＝34.【答案】B4．【解析】设A (x 2，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y 2＝4x ，整理得x 2－8x ＋4＝0，所以x 2＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 2＋x 2－4＝4，所以中点坐标为(4，2)． 【答案】(4，2)5．【解析】据已知可得直线AB 的方程为y ＝4tx －1，联立直线与抛物线方程，得⎩⎨⎧y ＝4t x －1，x 2＝12y ，消元整理，得2x 2－4t x ＋1＝0，由于直线与抛物线无公共点，即方程2x 2－4t x ＋1＝0无解，故有Δ＝(－4t )2－8<0，解得t >2或t <－ 2.【答案】D6．【解析】抛物线的焦点坐标为F (34，0)，直线AB 的斜率k ＝tan 30°＝33，所以直线AB的方程为y ＝33x －34.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －34，y 2＝3x 得13x 2－72x ＋316＝0，故x 1＋x 2＝212，x 1x 2＝916.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋13·（212）2－4×916＝12. 【答案】C7．【解析】由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，又点P 在抛物线上， 则k 2＝4p ，因为|PF |＝4，所以p2＋2＝4，即p ＝4，所以k ＝±4.8．【解析】双曲线x 27－y 29＝1的右焦点为(4，0)，即为抛物线y 2＝2px 的焦点⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以p 2＝4可得p ＝8，所以抛物线的方程为y 2＝16x ，其准线为x ＝－4，所以K (－4，0)，过A 作AM 垂直于准线，垂足为M ，则|AM |＝|AF |，则|AK |＝2|AM |，所以∠MAK ＝45°，|KF |＝|AF |，所以△AFK 的面积为12|KF |2＝32.【答案】329．【答案】解：由题意知抛物线焦点F (1，0)．设过焦点F (1，0)的直线为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．代入抛物线方程消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. ∵k 2≠0，∴x 1＋x 2＝2（k 2＋2）k 2，x 1x 2＝1. ∵|AB |＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋k 2）⎣⎡⎦⎤4（k 2＋2）2k 4－4＝8， ∴k 2＝1.∴△OAB 的重心的横坐标为x ＝0＋x 1＋x 23＝2.10．【答案】解：如图设直角三角形为AOB ，直角顶点为O ，AO 边的方程为y ＝2x ， 则OB 边的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px 得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，得B 点坐标为(8p ，－4p )．因为|AB |＝5，所以 （p ＋4p ）2＋⎝⎛⎭⎫p 2－8p 2＝5， 因为p >0，解得p ＝21313， 所以所求抛物线方程为y 2＝41313x .。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质教案抛物线是一种经典的二次函数，具有许多独特的几何性质。
它是数学中的重要概念，也常常出现在物理等实际应用中。
本文将介绍抛物线的一些简单几何性质，并设计一个教案，帮助学生理解和掌握这些性质。
一、抛物线的定义与性质1. 抛物线的定义：抛物线是一组与一直线和一个点的距离比例关系相符的点的轨迹。
2. 抛物线的特点：(1) 对称性：抛物线关于与其对称轴垂直的直线对称。
(2) 相同距离比例：抛物线上任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离的比例始终相等，即反映了抛物线的几何性质。
(3) 焦点和准线：抛物线上的焦点与准线的距离相等，且焦点位于对称轴上。
(4) 抛物线开口方向：开口向上或向下取决于二次函数的二次项系数的正负。
二、教案设计1. 教学目标：(1) 理解抛物线的定义；(2) 掌握抛物线的对称性、焦点和准线的性质；(3) 理解抛物线开口方向与二次项系数的关系。
2. 教学过程：(1) 导入：提问学生对抛物线的认识，引导学生思考距离比例的概念，并通过图片和实物示例展示抛物线的形状。
(2) 概念解释：向学生介绍抛物线的定义和性质，让学生了解对称性、焦点和准线等概念，激发学生的兴趣。
(3) 教学演示：通过数学软件或手绘，展示抛物线的对称性和焦点、准线的位置，并解释相同距离比例的特点。
(4) 学生练习：提供抛物线的图形，让学生找出其对称轴、焦点和准线，并计算相同距离比例。
(5) 小组合作：学生分小组讨论并解决抛物线开口方向与二次项系数的关系问题，并向其他小组进行解释和讨论。
(6) 总结复习：学生总结抛物线的简单几何性质，并展示在教室内或墙壁上。
3. 教学评价：(1) 课堂回答问题：老师通过提问检查学生对抛物线性质的理解和掌握情况。
(2) 练习册作业：让学生在练习册上完成相关练习题，检测学生对抛物线性质的理解和应用能力。
三、教学展望通过这节课的教学，学生应能够理解抛物线的基本几何性质，并能够应用这些性质解决简单的问题。
《2.3.2抛物线的简单几何性质》教学案3
《抛物线的简单几何性质》教学案教学目标：1、掌握抛物线的几何性质，能应用性质解决有关问题；2、从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力.教学重点：抛物线的几何性质及其运用.教学难点：抛物线几何性质的运用.教学过程设计：一、温故知新1．抛物线的定义.2．抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程.二、探索新知同学们觉得这节课应该研究 什么内容？类比椭圆、双曲线的研究过程，这节课应该来研究“抛物线的几何性质”. 提醒学生从数(方程)和形(图像)两个角度去研究抛物线的几何性质.请学生自己先类比椭圆双曲线的几何性质的研究方法，必要时可与同桌讨论.类似研究双曲线的性质的过程，我们以()022>=p px y 为例来研究一下抛物线的简单几何性质：1．范围数：由抛物线y 2 =2px (p >0)所以抛物线的范围为 0x ≥形：抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.2．对称性数： (),x y Q 与 (),x y -关于 x 轴对称，若点 (),x y 在抛物线上，即满足 22y px =， 则 ()22y px -=，即点(),x y -也在抛物线上， 0p >220px y =≥o x )0,2(p F P(x,y)故抛物线22y px =()0p >关于x 轴对称.形：从图像观察，关于x 轴对称，显而易见.注意：抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.3．顶点定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.数：()220y px p ∴=>中，令0y =则0x =即抛物线()220y px p =>的顶点是()0,0 形：从图像看，显然原点既是顶点.注意：这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.4.离心率定义：抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率. 由定义知， 抛物线y 2 = 2px (p >0)的离心率为e =1.探究：对于其它几种形式的方程，它们的性质如何，学生分析回答：(通过对照完成表) 练习1：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？(1)抛物线只位于___________个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有___________条对称轴，___________对称中心；(3)抛物线只有___________个顶点、___________个焦点、___________条准线；(4)抛物线的离心率是确定的，其值为___________．思考：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口的影响？P 越大开口越开阔补充性质：1、通径：标准方程中2P 的几何意义.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.通径的长度=2P P 越大开口越开阔 2、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径焦半径公式：02p PF x =+ 其他三种标准的抛物线对应的焦半径公式呢？三、典例分析：o x )0,2(p F P(x,y)例1：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2， )，求它的标准方程. 通径长=？MF长＝？变式：把“关于x轴对称”改成“关于坐标轴对称”，结果会有什么不同？设计意图：应用抛物线几何性质求出标准方程，及通径长，焦半径公式应用.练习题：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________.2、已知点A(-2，3)与抛物线的焦点的距离是5，则P=_________________.四、课堂小结：知识点：1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；2、对称性：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于1；5、通径：抛物线的通径为2P，2p越大，抛物线的张口越大.6、焦半径公式：数学思想及方法：类比，归纳，数形结合.。
2.4.2抛物线简单几何性质(3)
即当k 1，或k 1 时，方程组只有一个解， 2
即直线与抛物线只有一个公共点。
20由 0，即2k 2 k 1 0
分析:
解得1 k 1 . 2
直线与抛物线有两个 公共点时△>0
即当1 k 1 ,且k 0时，方程组有两个解， 2
即直线与抛物线有两个公共点。 分析:
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的 直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
y A
OFx B
小结: 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研
究直线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方 法.
当k 1或k 1 时， 2
即直线与抛物线没有公共点。
注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论
作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情 形,观察直线绕点P转动的情形
变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线 l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共 点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值是多少?
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
y
点A的坐标为(
y02 2p
,
y0
),则直线OA的方程为y
抛物线的准线是x p
2p y0
x,
A
2 联立可得点D的纵坐标为y
p2
.
因为点F的坐标是(
p
,0)
y0
,所以直线A
F的
2
抛物线的简单几何性质 学案
2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的简单几何性质 思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y 2＝2px (p >0)如何确定横坐标x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标O (0,0)离心率 e ＝1 通径长2p直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 知识点三 焦点弦的性质已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，|AF |＝x 1＋p2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(1)抛物线没有渐近线．(√)(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p .(×)(3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(×)(4)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(√)类型一 抛物线方程及其几何性质例1 (1)顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16y考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性简单应用 答案 D解析 顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py ，x 2＝2py (p ＞0)．由顶点到准线的距离为4，知p ＝8，故所求抛物线方程为x 2＝16y 或x 2＝－16y .(2)顶点在原点，经过点(3，－6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线方程是________________． 考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性简单应用 答案 y 2＝123x 或x 2＝－12y解析 若x 轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为点(3，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p ·3，解得2p ＝123，故所求抛物线的标准方程为y 2＝123x .若y 轴是抛物线的对称轴，则同理可得抛物线的标准方程为x 2＝－12y .反思与感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数． (2)方法：①定义法：根据定义求p ，最后写标准方程． ②待定系数法：设标准方程，列有关的方程组求系数．③直接法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．跟踪训练1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 考点 由抛物线的简单几何性质求方程 题点 由简单几何性质求抛物线的方程 解 由题意，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，准线l ：x ＝－a 2， ∴A ，B 两点坐标分别为⎝⎛⎭⎫a 2，a ，⎝⎛⎭⎫a 2，－a ， ∴|AB |＝2|a |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪a 2·2|a |＝4，∴a ＝±22，∴抛物线方程为y 2＝±42x . 类型二 焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线相交弦长及弦中点问题 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为 y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0， 解得x 1＝12，x 2＝92，故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.反思与感悟 抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．跟踪训练2 如图，斜率为43的直线l 经过抛物线y 2＝2px 的焦点F (1,0)，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段AB 的长．考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 求抛物线的焦点弦长解 (1)由焦点F (1,0)，得p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线的标准方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 直线l 的方程为y ＝43(x －1)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0， 由抛物线的定义可知， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝174＋2＝254，所以线段AB 的长为254.类型三 直线与抛物线位置关系例3 (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.(2)已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k ＞1时，l 与C 没有公共点． 引申探究求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解 (1)若直线斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以直线x ＝0与抛物线只有一个交点． (2)若直线斜率存在，设为k ，则过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0. 当k ＝0时，得x ＝12，且y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则 Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，则直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或x －2y ＋2＝0.反思与感悟 设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)若k 2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．跟踪训练3 (1)已知直线y ＝kx －k 和抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( ) A ．直线和抛物线有一个公共点 B ．直线和抛物线有两个公共点 C ．直线和抛物线有一个或两个公共点 D ．直线和抛物线可能没有公共点 考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 C解析 ∵直线y ＝kx －k 过定点(1,0)， ∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．(2)(2017·牌头中学期中)抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为____．答案 (－2,4) (1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由⎝⎛⎭⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x考点 由抛物线的简单几何性质求方程 题点 由简单几何性质求抛物线的方程 答案 C解析 在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0，得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫－112，0，设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12考点 抛物线的简单几何性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，且点A (－2,3)在准线上， 故－p2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2,0)， 这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.3．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列也成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 考点 抛物线的简单几何性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3. 因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题 答案 2解析 设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 易知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ， 且倾斜角为45°的直线的方程为y ＝x －p2，把x ＝y ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－p 2. ∵|AB |＝8，∴|y 1－y 2|＝42， ∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(42)2， 即(2p )2－4×(－p 2)＝32. 又p >0，∴p ＝2.5．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为________． 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用 答案41解析 圆心C (－3，－4)，由抛物线的定义知，m ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间的距离，即(－3－2)2＋(－4)2＝41.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．一、选择题1.(2017·嘉兴一中期末)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14B ．2C ．4D ．8 答案 B2．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 由简单几何性质求抛物线的方程答案 D解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2， ∴p 2＋p 4＝6，∴p ＝8. 3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D ．3 考点 直线与抛物线的位置关系题点 求距离最小值问题答案 A解析 设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值为43. 4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其上的三个点A ，B ，C 的横坐标之比为3∶4∶5，则以|F A |，|FB |，|FC |为边长的三角形( )A ．不存在B ．必是锐角三角形C ．必是钝角三角形D ．必是直角三角形考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 1＝3k ，x 2＝4k ，x 3＝5k (k >0)，由抛物线定义，得|F A |＝p 2＋3k ，|FB |＝p 2＋4k ，|FC |＝p 2＋5k ，易知三者能构成三角形，|FC |所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．5．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )．所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2. 6．(2017·牌头中学期中)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3C.1728D.10 答案 B解析 设点A 的坐标为(a 2，a )，点B 的坐标为(b 2，b )，直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，与抛物线y 2＝x 联立得y 2－ty －m ＝0，故ab ＝－m ，由OA →·OB →＝2得a 2b 2＋ab ＝2，故ab ＝－2或ab ＝1(舍去)，所以m ＝2，所以△ABO 的面积为12m |a －b |＝|a －b |＝⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，△AFO 的面积等于12×14|a |＝|a |8，所以△ABO 与△AFO 的面积之和为⎪⎪⎪⎪9a 8＋⎪⎪⎪⎪2a ≥29|a |8×2|a |＝3，当且仅当9|a |8＝2|a |，即|a |＝43时“＝”成立，故选B. 7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线位置关系的综合应用答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 消去x ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.二、填空题8．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是____________．考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 (1,2)或(1，－2)解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， 则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，∴点A 的坐标是(1,2)或(1，－2)．9．(2017·嘉兴一中期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．答案 32210．已知在抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线位置关系答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)，两点关于直线y ＝kx ＋92对称，显然k ＝0时不成立， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k . 设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k，y 0＝k ×⎝⎛⎭⎫－12k ＋92＝4. 又中点P 在抛物线y ＝x 2内，∴4＞⎝⎛⎭⎫－12k 2，即k 2＞116， ∴k ＞14或k ＜－14. 三、解答题11．(2017·嘉兴一中期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解 (1)由题意知抛物线焦点坐标为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2.∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．12．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 已知弦长求抛物线的方程解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ， 得2x 2－ax ＋a ＝0.∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8.设两交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2， ∴|AB |＝54(x 1－x 2)2＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝145(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .13．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为2，求|AB |的值；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题(1)解 依题意得F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)．设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得x 2－3x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1.方法一 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5×32－4×1＝5.方法二 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋2＝5.(2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x ，整理得y 2－4ky －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3，∴OA →·OB →是一个定值．四、探究与拓展14．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________．考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 25p 8 解析 由题意，知直线l 过⎝⎛⎭⎫p 2，0和(2p,2p )，所以直线l ：y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2.设另一交点坐标为(x 1，y 1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0.由根与系数的关系，得x 1＋2p ＝17p 8，所以焦点弦的长度为x 1＋2p ＋p ＝25p 8. 15．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)设点A 的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A 的距离的最小值d ，并写出d ＝f (a )的函数表达式．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题解 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13. 因为x ≥0，且在此区间上|P A |2随着x 的增大而增大，所以当x ＝0时，|P A |min ＝23， 故距离点A 最近的点P 的坐标为(0,0)，最短距离是23. (2)同(1)求得|P A |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋2x ＝[x －(a －1)]2＋(2a －1)．当a －1≥0，即a ≥1时，|P A |2min ＝2a －1，解得|P A |min ＝2a －1，此时x ＝a －1；当a －1＜0，即a ＜1时，|P A |2min ＝a 2，解得|P A |min ＝|a |，此时x ＝0.所以d ＝f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1，a ≥1，|a |，a ＜1.。
学案10：2.4.2 抛物线的简单几何性质
2.4.2 抛物线的简单几何性质教材新知入门答辩一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？问题3：抛物线有渐近线吗？新知自解1.抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)焦半径|PF||PF|＝x0＋p2|PF|＝p2－x0|PF|＝y0＋p2|PF|＝p2－y0焦点弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－x1－x2|AB|＝y1＋y2＋p|AB|＝p－y1－y2归纳领悟1．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同．4．抛物线的离心率e＝1(定值)．5．抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y2＝2px(p≠0)知，对同一个x，p越大，|y|也越大，说明抛物线开口越大．6．抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支．热点考向考点一求抛物线的标准方程及其几何性质例1抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．一点通用待定系数法求抛物线方程的步骤：题组集训1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6y2．平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．考点二 抛物线几何性质的应用例2 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．一点通 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A ，B 两点关于x 轴对称．另外，抛物线方程中变量x ，y 的范围也是常用的几何性质． 题组集训3．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．424．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．考点三 与焦点弦有关的问题例3 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．一点通 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算． 题组集训5．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A.254 B.252 C.258D.256．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 方法小结1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．参考答案教材新知 入门答辩问题1：提示：一个焦点．问题2：提示：不对． 问题3：提示：没有． 热点考向考点一 求抛物线的标准方程及其几何性质 例1 解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3. 题组集训 1．【答案】C【解析】依题意知抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)的形式， 又p2＝3，∴p ＝6,2p ＝12，故方程为x 2＝±12y . 2．【答案】y 2＝5x【解析】线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0， 与x 轴的交点为(54，0)，∴抛物线的焦点为(54，0)，∴其标准方程是y 2＝5x .考点二 抛物线几何性质的应用例2 解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. 又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p . 题组集训 3．【答案】C【解析】双曲线的方程可化为x 23－y 2p216＝1，∴双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)． 又∵抛物线的准线为x ＝－p2，所以由题意得－ 3＋p 216＝－p 2，解得p ＝4.4．解：如图，设等腰直角三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上．根据抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 由题意得A (2,2)在抛物线y 2＝2px 上， ∴p ＝1，抛物线的方程为y 2＝2x . 考点三 与焦点弦有关的问题例3 解：∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， ∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k2＋2.又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． 题组集训 5．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x －2，y 2＝8x ，得B 点的坐标为(12，－2)．∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.∴AB 的中点到准线的距离为254. 6．解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．直线的方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p . 将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .。
2.4.2抛物线的简单几何性质教案
课题:抛物线的简单几何性质教学目的:1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形;3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化教学重点:抛物线的几何性质及其运用教学难点:抛物线几何性质的运用授课类型:新授课教学过程:一、复习引入:1.抛物线定义:2.抛物线的标准方程:二、讲解新课:类比探索结合抛物线y2=2px(p>0的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1范围(2对称性(3顶点(4离心率(5焦半径(6通径特点:1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p 对抛物线开口的影响P 越大,开口越开阔三、讲解范例: 例1 已知抛物线关于x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点22,2( M ,求它的标准方程,并用描点法画出图形.例2 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线,灯口直径197mm ,反光曲面的顶点到灯口的距离为69mm ,由抛物线的性质可知,当灯泡按装载抛物线的焦点处,经反光曲面反射后的光线是平行光线,为了获得平行光线,应怎样安装灯泡(精确到1 mm例3 过抛物线px y 22 的焦点F 任作一条直线m ,交这抛物线于A 、B 两点,求证:以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切.四、课堂练习:课本47页练习 1,2,3五、小结 :抛物线、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、作业:1.P47 习题5,6,72.抛物线y2=2x 上距点A(a,0距离最近的点恰好是抛物线的顶点,求a 的取值范围.3.一抛物线形拱桥跨度为52m,拱顶离水面6.5m,一竹排上有一长、宽均为4m ,高为6m 的大木箱,问能否安全通过拱桥?。
高中数学 2-1 2.4.2抛物线的简单几何性质 教案
2.4。
2抛物线的简单几何性质（一)教学目标1.知识与技能：（1）通过对抛物线图形的研究，让学生熟悉抛物线的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率)以及离心率的大小对抛物线形状的影响，进一步加强数形结合的思想。
（2）熟练掌握抛物线的几何性质，会用抛物线的几何性质解决相应的问题。
2.过程与方法：通过讲解抛物线的相关性质，理解并会用抛物线的相关性质解决问题。
3.情感、态度与价值观：(1）学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题;(2) 培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.(二）教学重点与难点重点：抛物线的几何性质,数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质难点：数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质。
（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：前面两节课，说一说所学习过的内容？1、抛物线的定义？2、四种不同抛物线方程的对比？问题2：类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为抛物线22(0)=>有那些的几何性质？通过它的形状,你能从y px p图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？抛物线上哪些点比较特殊？点题：今天我们学习“抛物线的简单几何性质”活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）一、抛物线的简单几何性质1．范围：0x≥，y R∈由22(0)=>知，抛物线上点的坐标(,)y px px y满足不等式0x≥，当x的值增大时，｜y｜也增大，这说明抛物线向右上方或右下方无限延伸。
2．对称性：抛物线关于x轴对称.在曲线方程里，若以y-代替y方程不变，所以若点(,)x y在曲线上时，点(,)x y-也在曲线上，所以曲线关于x轴对称.这时，坐标轴x轴是抛物线的对称轴。
3．顶点:坐标原点（0，0)在抛物线的标准方程中，令0y=x=，得04．离心率：=1e抛物线上的点M到焦点的焦距与它到准线的距离的比叫抛物线的离心率。
=1e问题3：说出当e 满足下列条件时，曲线是什么图形？（1）当0＜e ＜1时，(2）当e ＞1时，(3）当e=1时。
教学设计3：2.4.2抛物线的几何性质
2.4.2抛物线的几何性质教学目标1.知识与技能(1)理解抛物线的几何性质及应用．(2)掌握与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系．2．过程与方法通过对抛物线几何性质的探究与应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过数与形的辨证统一，对学生进行辨证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受激发学生对美好事物的追求．教学重点：(1)抛物线的几何性质．(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．教学难点：抛物线各个几何性质的灵活应用，直线与抛物线的位置关系问题．抛物线的几何性质我们根据抛物线的标准方程，y2＝2px（p＞0）①来研究抛物线的几何性质.1.范围因为p＞0，由方程①可知，对于抛物线上的点M (x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同;当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口向右．2.对称性以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的对称轴.3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4.离心率抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．按照抛物线的定义可知，e=1．．在直角坐标平面内，顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应地有四种形式，它们都叫做抛物线的标准方程.设焦点到准线的距离为p(p>0),则抛物线标准方程的四种形式如下表所示x轴y轴典例精析例1已知抛物线以x轴为轴，顶点是坐标原点且开口向右，又抛物线经过点M(4，23)，求它的标准方程.解根据已知条件，设抛物线的方程为y2＝2px (p>0).因为点M(4,2 3 )在抛物线上，所以(2 3 )2＝2p·4，得2p＝3.因此，所求方程为y2＝3x.例2．汽车前灯反射镜与轴截面的脚线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处.已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点（即截得的抛物线的顶点）距离是多少？（图2-24（1））如图2-24解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标与那点，建立平面直角坐标系xOy ，如图2-24（2）所示.如图2-24因为灯口直径|AB |=24，灯深|OP |=10，所以点A 的坐标是（10,12）. 设抛物线的方程为y 2=2px （p >0）. 因为点A (10，12)在抛物线上，得 122=2p ×10，所以p =7.2，抛物线焦点F 的坐标为（36，0）. 因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm.例3 已知点A 在平行于y 轴的直线l 上，且l 与x 轴的交点为(4,0).动点P 满足AP →平行于x 轴，且OA →⊥OP →，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.解 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由已知得A 点坐标为(4，y )，所以OA →＝(4，y )， OP →＝(x ，y ).因为OA →⊥OP →，所以OA →·OP →＝0， 因此4x ＋y 2＝0，即P 的轨迹方程为4x ＋y 2＝0. 轨迹的形状为抛物线. 变式训练1、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M （2，），求它的标准方程.解：因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （2，），所以，可设它的标准方程为因为点M 在抛物线上，所以 即p =2.因此,所求抛物线的标准方程是--22(0)y px p =>2(22,p -=⨯24.y x =课堂检测1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x【解析】 由题意知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴标准方程为y 2＝8x . 【答案】 B2．直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 的公共点的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【解析】 直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点． 【答案】 B3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.【解析】 |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 【答案】 8 课堂小结1．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线动点的规律，一般用定义法．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，设而不求，能避免求交点坐标的复杂运算．3．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质等.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选修2－1第二章 圆锥曲线与方程 学案 班级： 姓名：
3） 1．解决与弦中点相关的问题；
2．掌握直线与抛物线相交时解决问题中运用的
“设而不求”法． 复习1.1122(,),(,)A x y B x y 的中点M 的坐标为：
复习2. 已知1122(,),(,),OA x y OB x y ==
则O A O B ⊥⇔
.
复习 3. 已知1122
(,),(,)A x y B x y 是抛物线()022>=p px y 上的两点，且满足
2
124.y y p =-求证：()
为原点O OB OA ⊥．
二、典型例题
例 1 已知抛物线x y 22
=，过点Q （2,1）作一条直线交抛物线于A ，B 两点，试求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
小结：
变式1：抛物线y =2x 2的一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
变式2：直线l 交抛物线x y 82=于AB 两点，弦AB 的中点为Q （4,1）
，求AB 所在直线的方程. 222,,,(1)(2)y x A B OA OB AB AB x =⊥
例已知抛物线上两点且求中点的轨迹方程；
证明与轴的交点为定值.
例3 直线:2l x p =与抛物线22(0)y px p =>交于A 、B 两点，求证：OA ⊥OB .
小结：
变式1：若直线(2,0)l p 过定点且与抛物线
22(0)y px p =>交于A 、B 两点，求证：OA ⊥
OB .
变式2：若直线l 且与抛物线2
2(0)y px p =>交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，则l 过定点 .
1.（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离是 . （2）抛物线2
2(0)y px p =>上一点M 到焦点距离是,a 则点M 到准线的距离是 ，点M 的横坐标是 .
（3）抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .
（
4）抛物线上一点(-到焦点(,0)F x 的距离是6，则抛物线的标准方程是 ．
2.如图，直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B 两点，求证：OA ⊥
3.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。
若AB 的中点为（2，2），求直线l 的方程.
4.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段A B 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A.1=x B. 1-=x C. 2=x D. 2-=x
5.已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）
(A)
34 (B) 1 (C)54 (D)74
6.已知抛物线px y 22
=()0>p 与直线b x y +=相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O
为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程.。